План
I. Вступ
1.1 Фрактал. Історія йоговиникнення
1.2 Види фракталів та методиїх створення
1.3 Типи самоподібності у фракталах
1.4 Розмірність фракталів
II. Основна частина
2.1Класифікаціяалгоритмів створення фракталів
2.2 Системи ІтеріруємихФункцій
2.3 Стиснюючі афінніперетворення
2.4 Метод простої заміни
2.4.1 Серветка Серпінського
2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея
2.5 Алгебраїчні фрактали
2.6 Графіки функційкомплексної змінної
2.7 Формули побудови фракталів
2.7.1 Різновид алгебраїчнихфракталів — басейни Ньютона
2.7.2 Множина Жюліа таМандельброта
III. Висновок
IV. Використана література
І Вступ
1.1 Фрактал. Історія його виникнення
Все, що створено людиною, обмежено площинами. Коли зустрічається об’єкт уприроді, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближеной допоможуть в цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідовоїгеометрії, там зустрічаються фрактали.
Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярна,самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малічастини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої (мал.1).
Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго дотого, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах РонаЕглаша «Африканські Фрактали», задокументовано поширені фрактальнігеометричні фігури в мистецтві тубільців. У 1525 році німецький митець АльбрехтДюрер опублікував свою працю “Керівництво Художника”, один із розділів якої маєназву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрерабагато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуютьсяп'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малювавоб'єкти, дуже схожі на фрактали.
Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунуто філософомЛейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. У 1872 КарлВеєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізьнеперервної, але ніде недиференційованої — графік цієї функції тепер називавсяб фракталом. У 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним тааналітичним означенням Веєрштрасса, розробив більш геометричне означення схожоїфункції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котріскладаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П'єром Леві,який у своїй роботі «Криві та поверхні на площині та у просторі»,виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві(мал.2 а, б, в).
/>
а) б) в)
Мал.2
Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичнимивластивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали.
Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці XIX тана початку XX століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та ҐастономЖюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них забракло засобіввідобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.
У 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів,розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність, наприкладКрива Хильберта (мал.3 а, б, в, г).
/>
/>
Мал.3
1.2 Види фракталів та методи їх створення
Існують три поширені методи створення (генерування) фракталів:
Перший метод — ітераційні функції, які будуються відповідно дофіксованого правила геометричних заміщень, в результаті яких утворюютьсягеометричні фрактали, наприклад: сніжинка Коха (мал.4).
/>
Мал.4
А також множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського,крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладамигеометричних фракталів.
Другий метод — рекурентні відношення, це фрактали, що визначаютьсярекурентним відношенням у кожній точці простору (такому як площина комплекснихчисел). Отримані таким методом фрактали називають алгебраїчними.
Прикладами алгебраїчних фракталів є множина Мандельброта (мал.5),палаючий корабель та фрактал Ляпунова.
/>
Мал.5
/>
Третій метод — випадкові процеси, це фрактали, що генеруються звикористанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад: фрактальніландшафти (мал.6 а, б, в, г, д), траєкторія Леві та броунівське дерево.
/>
Мал.6.
1.3 Типи самоподібності у фракталах
Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:
Точна самоподібність — це найсильніший типсамоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів,згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точнасамоподібність.
Майже самоподібність — слабка форма самоподібності;фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях.Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених тавироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень,зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.
Статистична самоподібність — це найслабкіша формасамоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються призбільшенні. Найприйнятніші означення «фракталів» просто містять всобі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме пособі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фракталиє прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точносамоподібними.
1.4 Розмірність фракталів
У евклідової геометрії є поняття розмірності: розмірність крапки — нуль,відрізка та кола — одиниця, круга і сфери — два, кулі — три. З одновимірнимиоб'єктами ми пов'язуємо поняття довжини, з двовимірними — площі і так далі. Алеяк можна уявити собі множину з розмірністю 3/2? Мабуть, для цього потрібно щосьпроміжне між довжиною і площею, і якщо довжину умовно назвати 1-мірою, а площа- 2-мірою, то потрібна (3/2) -міра.
У 1919 році Ф. Хаусдорф дійсно визначив таку а-міру і на цій основікожній множині в евклідовому просторі підставив число, назване їм метричноюрозмірністю. Він же навів перші приклади множин з дробовою розмірністю.Виявилось, що дробову розмірність мають канторова множина, крива Коха і іншіекзотичні об'єкти, до недавнього часу маловідомі за межами математики.
Оскільки фрактал складається з нескінченного числа елементів, щоповторюються, неможливо точно виміряти його довжину. Це означає, що чимточнішим інструментом ми будемо його вимірювати, тим більшою виявиться йогодовжина. Тоді як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновимірнийпростір, фрактальна лінія виходить за межі одновимірного простору, вторгаючисьу двовимірне. Таким чином, фрактальна розмірність кривої Коха знаходитиметьсяміж 1 і 2. Найдивовижнішим виявляється те, що й багато природних об'єктівволодіють ніби дробовою розмірністю, хоча, відверто кажучи, для природнихоб'єктів таку розмірність обчислити неможливо. Правильніше сказати, що в певнихдіапазонах спостереження природні об'єкти, що виникли в результаті довгої дифузіїй абсорбції, схожі на фрактальні множини. Наприклад, розмірність побережжялежить між 1,01 і 1,6, а кровоносної системи людини — між 3,4 і 3,6
ІІ Основна частина
2.1Класифікація алгоритмів створення фракталів
Бенуа Мандельброт в своїх книгах навів яскраві приклади вживанняфракталів до пояснення деяких природних явищ. Мандельброт приділив велику увагуцікавій властивості, якою володіють багато фракталів. Річ у тому, що частофрактал можна розбити на скільки завгодно малі частини так, що кожна частина виявитьсяпросто зменшеною копією цілого. Інакше кажучи, якщо ми дивитимемося на фракталв мікроскоп, то із здивуванням побачимо ту ж саму картину, що і без мікроскопа.Це властивість самоподібності різко відрізняє фрактали від об'єктів класичноїгеометрії.
Необхідно відзначити, що властивість самоподiбностi характерна лише длярегулярних фракталів.Багато регулярних фракталів будуються шляхом нескiнченногоповторення декількох простих операцій — заміною одного елементу деякоюкомбінацією інших, йому подібних. Потім ця ж операція повторюється з кожним зцих елементів, і так далі до нескінченності. На методі простої замінизаснований перший алгоритм побудови фракталів.
Виникає питання, чи не можна цю «процедуру заміни» перекластимовою математичних формул. Таким чином, в середині 80-х років з'явився методСистем Ітеріруємих Функцій — СІФ (Iterated Function System — IFS) як простийзасіб здобуття фрактальних структур. Таким чином, деякі з вищепереліченихфракталів можна отримати за допомогою методу СІФ. Метод Систем Ітеріруємихфункцій є основою для другого алгоритму побудови фрактальних структур.Замість детермінованого способу побудови регулярних фракталів в алгоритмстворення фрактальних структур був включений деякий елемент випадковості, щоприводить до побудови випадкових фракталів. Багато фракталів можуть бутиотримані за допомогою цих двох алгоритмів. Тоді в першому випадку вонипобудовані як регулярні фрактали, а в другому як випадкові.
Одним з найбільш яскравих прикладів серед різних систем ітеріруємих функційє відкрита система М. Бранслі з чотирьох стискуючих афінних перетворень, аттракторомдля якої є множина точок, яка дуже нагадує по формі зображення листа папороті.
/>
Мал.7
Третім алгоритмом створення фрактальних об'єктів на площині євикористання комплексних відображень, що зіставляють одному комплексному числуінше комплексне число за деяким ітераційним правилом. Прикладом фракталаотриманого за допомогою комплексних відображень є множина Жюліа (мал.7).
2.2 Системи Ітеріруємих Функцій
У евклідовом просторі /> відстань />(x;y) між точками x=(/>;/>) і y=(/>;/>) визначається задопомогою наступної формули
/>
Відстань в просторі /> можна також вимірювати функцією />(x;y)=|/>-/>|+|/>-/>|.
Дві приведені функції, будучи вимірами відстані, по-різному визначаютьвідстані між двома точками. Існують чотири основні властивості функціївідстані:
ü відстанівід точки x до точки y і від точки y до точки x рівні: d(x;y)=d(у;x);
ü відстаньвід точки x до цієї ж точки x дорівнює нулю: d(x;x)=0;
ü відстаньпо прямій — це найкоротша відстань між двома точками: d(x;y)
ü для двохточок x і у функція відстані має бути дійсною, скінченою і додатною: />.
Функція відстані, що задовольняє даним властивостям, називається метрика.
Метричний простір (X,d) — множина точок X разом з метрикоюd, визначеною на X.
Перетворення — зіставлення, згідно заздалегідь визначеному правилу, точців одному просторі точки в іншому (можливо і в тому ж самому просторі).
/>Відображення, це перетворення, якепереводить простір X1 в простір X2 і позначається fn:X1 X2.
/>Стиснююче відображення — перетворення /> в метричномупросторі X1 X2 за умови існування коефіцієнта стисненняперетворення f: 0/>ssd(x1,x2)для всіх />
/>Система ітеріруємих функцій (Iterated Function System)складається з повного метричного простору (X,d) і скінченної множини стиснюючихвідображень fn: X1 X2 з коефіцієнтами стисненняSn.
2.3 Стиснюючі афінні перетворення
/>
Мал. 8.
Перш ніж розкривати зміст поняття — стиснюючі афінні перетворення,розглянемо лінійне перетворення /> накомплексній площині Z, яке переводить рівносторонній трикутник з довжиноюсторони рівній одиниці в рівносторонній трикутник в два рази меншого розмірупредставлений на мал. 8.
Розглянуте вище лінійне перетворення на комплексній площині є окремимвипадком афінного перетворення площини
xn+1=axn+byn+e
yn+1=cxn+dyn+f
Його можна подати в матричному вигляді
/>
Так, наприклад, розглянуте перетворення можна записати у вигляді
/>
У загальному випадку афінне перетворення на площині задається шістьманезалежними дійсними числами. Два числа e і f описують звичайну трансляцію, ачотири числа а, b, с, d задають довільне лінійне перетворення при незмінномуположенні початку координат (0;0).
2.4 Метод простої заміни
2.4.1 Серветка Серпінського
Фрактал серветка Серпінського може бути побудований як за допомогоюметоду простої заміни, який застосовують для побудови регулярних фракталів, такі за допомогою методу IFS.
Розглянемо алгоритм побудови, заснований на методі простої заміни.Правильний трикутник ділений середніми лініями на чотири рівні трикутники івнутрішність центрального викидаємо. З трьома трикутниками, що залишилися,робимо те ж саме і так нескінченне число разів. Після певного числа викиданьзалишається множина S, представлена на мал. 9, яка є серветкою Серпінського.
/>
Мал.9.
Фрактальна розмірність серветки Серпінського підраховується по формулі D=ln3/ln2=1,5849.Серветка має нульову площу, оскільки неважко перевірити, що в процесі їїпобудови була виключена площа, в точності рівна площі вихідного трикутника. Проце ж свідчить і значення фрактальної розмірності D
Всім відомий трикутник Паскаля (мал.10) за допомогою якого обчислюютькоефіцієнти розкладу виразу виду />. Починаючи з трикутника, щоскладається з одиниць, обчислюють значення на кожному наступному рівні шляхомдодавання сусідніх чисел; останньою ставлять одиницю.
/>
Мал.10
Таким чином можна наприклад визначити, що:
/>.
/>
Мал.11
Цей трикутник можна перетворити на привабливий фрактальний візерунок(мал.11), якщо замінити непарні коефіцієнти одиницями, а парні — нулями.
Візерунок демонструє властивості коефіцієнтів, що використовується при«арифметизації» комп’ютерних програм, що перетворює їх в алгебраїчні рівняння.
2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея
Для більшості регулярних фракталів фрактальна розмірність D менша, ніжрозмірність d того простору, в якому знаходиться даний фрактальний об'єкт.Нерівність D
/>
Мал.12
Перші чотири кроки його побудови представлено на мал.12
Як випливає з мал.13 кожний з відрізків прямої на наступному кроцізамінюється на два відрізки, створюючих бічні сторони рівнобедреногопрямокутного трикутника, для якого вихідний відрізок був би гіпотенузою. Врезультаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрям прогинучергується. Перший відрізок прогинається вправо (по ходу руху зліва направо),другий — вліво, третій — знову управо і так далі На мал.13 пунктиром показанаконфігурація попереднього кроку. Таким чином, після кожного кроку число наявнихвідрізків подвоюється, а довжина кожного відповідно зменшується вдвічі. Томуфрактальна розмірність кривої, що утворюється в результаті (після нескінченногочисла кроків), рівна 2.
Для реалізації вказаного вище алгоритму побудови необхідно перейти докомплексних чисел ZA, ZB и ZC (Мал.14).
/>
Мал.13
Для знаходження координат точки C представимо комплексні числа втригонометричній формі. Знаходження координат точки C представлене формулами 1-8.
/> (1)
/> (2)
/> (3)
/> (4)
/> (5)
/> (6)
/>
/>
Гранична фрактальна крива (коли n прямує донескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея. У машинній графіцівикористання геометричних фракталів необхідно для отримання зображень дерев,кущів, берегових ліній. Двовимірні геометричні фрактали використовуються длястворення об’ємних текстур (малюнка на поверхні об’єкту). 2.5 Алгебраїчні фрактали
Це найкрупніша група фракталів. Отримують їх за допомогоюнелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш досліджені двомірніпроцеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічнусистему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовийпортрет, сталий процес, аттрактор та інші.
Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількомастійкими станами. Той стан, в якому виявилася динамічна система після деякоїкількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан(або як говорять — аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з якихсистема обов'язково попаде в дані кінцеві стани. Таким чином фазовий простірсистеми розбивається на області тяжіння аттракторів. Якщо фазовим єдвомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можнаотримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу).Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини зхимерними багатокольоровими узорами. Несподіванкою для математиків сталаможливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складнінетривіальні структури.
/>
Мал.14.
Наприклад, фрактал Ньютона, який штрихується відповідно докількості ітерацій (мал.14).
2.6 Графіки функцій комплексної змінної
Комплексні числа можна трактувати як точки на площині. Тоді множинуМандельброта можна побудувати у просторі />.
Взагалі, графік дійсної функції можна побудувати в двомірному просторі(2D), на площині xOy. Це багатьом знайомо й звично(мал.15 а, б):
/>
Мал.15(а, б)
/>Графік комплексної функції можнабуло б побудувати в чотиривимірному (4D) просторі (дві координати потрібно длязображення />,і дві – для /> ).
/>/>/>/>На жаль, переважна більшість людейстикаються з серйозними проблемами при уяві чотиривимірного простору… Тому,одне з хитрощів, зазвичай вживане, полягає в наступному: графік будується втривимірному (3D) просторі. Вісь Ox відповідає за, вісь Oy – за,вісь Oz – за……… Для зображення використовується колір отриманої3D-крапки. Колір береться із заздалегідь сформованої кольорової шкали(градієнта).
Ось декілька прикладів (мал.16 а, б) для />:
/>
а)/>
/>
б)/>
Мал.16 (а, б)
Для наочності під отриманою «поверхнею» зображено множина значень /> ( («кругла тінь»).
2.7 Формули побудови фракталів
2.7.1 Різновид алгебраїчних фракталів — басейни Ньютона (мал.17).
p(z) = 0, p(z) = /> − 1,
які будуються за формулою:
/>
/>
Узагальнена формула, де a — будь-яке комплексне число.
/>
2.7.2 Множина Жюліа та Мандельброта
Позначимо через /> площину комплексних чисел, ачерез />—риманову сферу />. Розглянемо процес/>, де /> та />. Взявши будь-яке число />, піднесемо доквадрату та додамо константу для того, щоб отримати />; потім повторимо розрахунки длятого, щоб отримати />, /> і так далі.
Почнемо з найпростішого із можливих значень константи />, тобто />. Тоді при кожнійітерації підраховується точний квадрат числа: />. У залежності від значеннярозглядається три випадки:
1. Якщо />, тоді числаотримуються все менші та менші, їх послідовність прямує до нуля.
2. Якщо />, тоді числаотримуються все більші та більші, прямуючи до нескінченності.
3. Якщо />, тоді точкипродовжують залишатися на відстані 1 від нуля. Їх послідовності лежать награниці двох областей тритягання, у данному випадку на колі (мал.18) зодиничним радіусом та центром у нулі.
/>
Мал.18
Ситуація така: площина ділиться на дві зони впливу, а границя між ними єпросто коло.
Сюрприз починається, коли ми візьмемо значення параметру /> не дорівнює нулю,наприклад />.У цьому випадку для послідновності присутні також три вищеперелічених випадків,але внутрішня точка, до якої прямує послідовність, вже не є нулем, а границявже не є плоскою, вона надто крива(мал.19). Саме це Б. Мандельброт назвав фрактальнойструктурой такої границі.
/>
Мал.19
Однією з таких характерних особливостей такої границі є їїсамоподібність. Якщо взяти будь-яку частину границі, то можна побачити, що воназустрічається в різних місцях границі та мають різні розміри. Границі такоговиду в математиці називають множинами Жюліа.
Різноманітні значення параметру /> можуть створювати різноманітнімножини Жюліа, причому найменші зміни цього параметру нерідко призводять досуттєвих метаморфоз.
/>
Деякі множини Жюліа зв’язні, інші являють собою «пилевидні» канторовімножини(мал.20 а, б, в, г).
Існує правило, що з’ясовує вид множини Жюліа. Воно залежить від параметру/> тапов’язано з зображенням множини Мандельброта. Множина всіх точок />, для яких ітерації /> залишаютьсяобмеженими при />, називається множиноюМандельброта (мал.21).
/>
Мал.21
Цікаво, що всі значення />, при яких множини Жюлиа зв’язні,належать множині Мандельброта, тому останнє може бути визначеним і як множинавсіх значень параметру />, при яких множина Жюліа зв’язна.
/>/>Сукупність елементів /> поля коплексних чисел,для яких послідовність: />, що визначена ітераційно заправилом />,де …… задовольняє умову. Наприклад множина Мандельброта (мал.22 а, б, в, г, д, е).
/>
а)/>б)/>в)/>
/>
/>
г) /> д)/> е) />
Мал.22
Висновок
Фрактал є однією з багатьох складових частин певної субстанції, томузникнення однієї з таких складових призводить до втрати візуальної гармонії, щолюдське око розпізнає одразу. Присутність фрактала з першого погляду можна і непомітити, якщо не заглиблюватись у досконале вивчення математики. Ця наука,дійсно, не має меж і постійно спонукає до різноманітних досліджень.
Фрактал — це математична величина, що зустрічається досить часто. Алеякщо добре не придивитися, його можна і не побачити. Абсолютно точна,алгебраїчна величина, яка творить собою неймовірні фігури, візерунки та складаєцікаві орнаменти, що ми зустрічаємо кожного дня. Це і листя папороті, імаленькі сніжинки та ще багато іншого.
Галілео Галілей у 1623 році писав: “Вся наука записана у цій великійкнизі, — я маю на увазі Всесвіт, — що завжди відкрита для нас, але якунеможливо зрозуміти, не навчившись розуміти мову, на якій вона написана, анаписана вона на мові математики, і її лутерами є трикутники, кола і іншігеометричні фігури, без яких людині не можливо розібрати жодного її слова; безних вона подібна блукаючому в пітьмі…”
Поняття фрактала змінило багато традиційних уявлень про геометрію, а вісторії розвитку математики введення цього поняття стало переломним моментом. Зкожним роком поняття фрактала стає відоме все більш широкому колу людей. Ізараз цей термін важко залишити без належної уваги. У природі є багато чого, щомає прямий зв’язок до цього терміну.
Займаючись цією темою напротязі двох років, я більш широко дізнався прооб’єкт дослідження: його властивості, способи створення та використання. Залгебраїчних фракталів я звернув увагу на три основні їх види: множинуМандельброта, множину Жюліа, дракон Хартера-Хейтуея, які відрізняються один відодного за побудовою та своїми загальними формулами створення, на мою думку,найбільше досліджені в наш час. За допомогою їх з’являється більшістьновостворених фракталів.
Знайшовши збірник зображень фракталів, що були створені небагато роківтому, і серед яких провели конкурс на найкращий малюнок, мене дуже вразилорозмаїття кольорів та фантазія людей. Мені стало відомо, яким чином вонистворюються в наш час, що цією темою зацікавлені люди, яким до вподобинеординарне художнє мистецтво, що не рідко втілюється у комп’ютерній графіці.
Сподіваюсь, що і після закінчення гімназії, у мене залишиться великебажання продовжити досліджувати загальні формули побудови фракталів і задопомогою цих формул створювати нові фрактали та захоплюватися їхньоюнезрівнянною красою.
Використана література
1. МандельбротБ. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований»,2002.
2. ПайтгенХ.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
3. Федер Е.Фракталы. — М: «Мир», 1991.
4. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
5. Фракталыв физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. —М.: «Мир», 1988.
6. Шредер М.Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск:«РХД», 2001.
7. МандельбротБенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция вфинансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. —С. 400. ISBN 5-8459-0922-8
8. http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
9. http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
10. en.wikipedia.org/wiki/Julia_set
11. en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal
12. en.wikipedia.org/wiki/Fractal_art
13. commons.wikimedia.org/wiki/Fractal
14.http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape15.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB
16. www.fractalus.com/