Историческиесведения
В КиевскойРуси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, небыло. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление.
Мерыплощади нужны были для определения размеров земельных участков. Участки же невсегда были четко разграничены, соприкасались друг с другом, имели межевыезнаки.
В древнейРуси в целях податного обложения использовали чисто условные единицы,характеризовавшие рабочую силу или сельскохозяйственный инвентарь, а такжемеры, в основе которых лежали трудовые возможности. Отсюда такие наименованияземледельных мер (единиц обложения), как «дом» (семья) или «дым», «рало», «соха»,«обжа» и пр. Трудовой характер мер «соха» и «обжа» и их соотношение явствуют изсохранившегося ответа новгородцев на запрос Ивана III в 1478 г.: «Триобжи – соха, а обжа – 1 человек на 1 лошади орет (пашет); а кто на 3 лошадях исам третий орет, ино то соха».
Несмотря нанеопределенность в геометрическом смысле, «посевные» меры оказались болееудобными для земледельцев, кроме того, объективнее и точнее определялся размерподатного обложения.
Длясенокосных угодий широко применяли «урожайные» меры – копны сена. Копны иногдаиспользовали и в качестве мер посевных площадей.
Все «трудовые»,«урожайные» и «посевные» меры заключали в себе элементы субъективизма ипроизвола, которые проявлялись непосредственно в практике использования этихмер.
Во времяфеодальной раздробленности Руси как меры площади применялись «дом» (дым), «соха»,«обжа». Но они отличались по количеству в зависимости от княжества. Отличиябыли и в наименованиях мер. В Новгороде, например, в качестве посевной мерыприменялась «коробья» (площадь, на которую высевали коробью ржи – меру объема).
Площадисенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накоситькопну сена). Эти меры позволяли определить урожайность, а о форме и размерахземельных участков полного представления не давали.
В серединеXIII века татары проводили в значительных масштабах описи земельных площадей. Воснову описей в качестве единицы измерения было положено отдельное хозяйство («дом»или «дым»).
Впамятниках древней письменности с конца XIV века упоминается геометрическаямера земельных площадей – десятина. Первоначально применяли «круглую» десятину –квадрат со стороной, равной десятой доле версты (50 сажен), откуда и происходитназвание «десятина». С середины XV века десятину стали употреблять для пахотныхземель, а не только для сенокосных угодий. С этого момента можно говорить обиспользовании в землемерной практике действительно мер в метрологическом смыслеслова.
Переход отчетверти к десятине оказался затруднительным, т. к. в основе четвертилежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовыхкнигах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.
площадимера доказательство формула
Площадьмногоугольника и его свойства
Площадьмногоугольника – это величина той части плоскости, которую занимаетмногоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицыизмерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадейпринимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Квадратнымсантиметром обозначается см2. Аналогично определяется квадратныйметр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т.д.
Привыбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражаетсяположительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и еечасти укладываются в данном многоугольнике.
Обычноизмеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляютплощадь по определенным формулам.
Вывод этихформул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас и рассмотрим.
Преждевсего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадейи ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е.имеет место следующее свойство:
1. Равныемногоугольники имеют равные площади
Далее,пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренниеобласти любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек. Очевидно,величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммойвеличин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники.Итак:
2. Еслимногоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равнасумме площадей этих многоугольников
Свойства 10и 20называют основными свойствами площадей. Аналогичнымисвойствами обладают и длины отрезков.
Наряду сэтими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей.
3. Площадьквадрата равна квадрату его стороны
Краткуюформулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата привыбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадьэтого квадрата выражается числом а2.
Площадьквадрата
Докажем, чтоплощадь S квадрата со стороной а равна а2.
Начнем стого, что а =/>, гдеn – целоечисло. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке а) (на рисунке n=5).
рис. а)
/>/>/>
/>
/>/>/>/>/>
a=/>Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждогомаленького квадрата равна />. Сторона каждого маленькогоквадрата равна />, т.е.равна а. Итак,
S=/>=/> (формула1)
Пустьтеперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (В частности,число а может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m= /> целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке б) (на рисунке m=7)
рис. б)
/>
/> При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей и, значит, сторона любогомаленького квадрата равна
/>
По формуле1 площадь маленького квадрата равна/>. Следовательно, площадь S данного квадрата равна
/>
Наконец,пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь.Рассмотрим число а, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаковпосле запятой, начиная с (n+1) – го. Так как число а отличается от аnне более чем на />, то />, откуда
/>
Ясно, чтоплощадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной /> иплощадью квадрата со стороной /> (рисунок в)), т.е. между /> и />:
/> (формула 3)
/>/>/>/>/>рис.в)
/>
/>
Будемнеограниченно увеличивать число n. Тогда число /> будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число /> будетсколь угодно мало отличаться от числа />. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа />.Следовательно, эти числа равны: />, что и требовалось доказать.
Площадьпрямоугольника
Теорема:
Площадьпрямоугольника равна произведению его смежных сторон
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольниксо сторонами a, b и площадью S (рис. а). Докажем,
что S = ab.
Рис. а)
/>b
a
Достроимпрямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на (рис. б)
По свойству30площадь этого квадрата равна />.
Рис. б)
/>
a2 a b
a a
/>
b b
a b
С другойстороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с
площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 10площадей) и двух квадратов с площадями a2 и b2 (свойство 30 площадей).По свойству 20имеем:
/>, или />.
Отсюдаполучаем: S = ab. Теорема доказана.
Площадьпараллелограмма
Основание – одна из сторон параллелограмма
Высотапараллелограмма – перпендикуляр,проведенный из любой точки
Противоположнойстороны к прямой, содержащей основание.
Теорема
Площадьпараллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство:
Рассмотримпараллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD
заоснование и проведем высоты BH и CK (см. рис.). Докажем, что S = AD/>BH.
Докажем сначала,что площадь прямоугольника HBCK также равна S.
Трапеция ABCK составлена изпараллелограмма ABCD и треугольника ABH.
Нопрямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположныестороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы припересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.
Следовательно,площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т.е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S = BC /> BH, а так как BC = AD, то S = AD /> BH. Теорема доказана.
/>/>/>BC
A H D K
Площадьтреугольника
Теорема
Площадьтреугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство:
Пусть S – площадь треугольника ABC (см. рис.). Примем сторону AB за основание треугольника ипроведем высоту CH. Докажем, что /> AB /> CH.
Достроимтреугольник ABC до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC – их общая сторона, AB = CD и AC = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны.Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е. /> AB /> CH. Теорема доказана.
/>/>/>C D
A H B
Следствие 1
Площадьпрямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Следствие 2
Если высотыдвух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Воспользуемсяследствием 2 для доказательства теоремы об отношении
площадейтреугольников, имеющих по равному углу.
Теорема
Ели уголодного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этихтреугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство:
Страница 10
Пусть S и /> – площади треугольников ABC и />, укоторых /> (см.рис.) Докажем, что />.
Наложимтреугольник /> натреугольник ABC так, чтобы вершина /> совместилась с вершиной А, а стороны /> и /> наложилисьсоответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и A/>Cимеют общую высоту CH, поэтому />.Треугольники A/>C и A/>также имеют общую высоту />,поэтому />.Перемножая полученные равенства, находим:
/> = /> или/>.
Теоремадоказана. />
/>/>С
A B /> />
Площадьтрапеции
Докажемследующую формулу для вычисления площади трапеции:
Площадьтрапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра,опущенного на неё из середины другой боковой стороны.
Доказательство.Пусть ABCD – данная трапеция (/>),/> – середина стороны />– перпендикуляр, опущенныйиз точки /> на прямую />. (рис. 1)
/>
Рис. 1
Проведёмчерез точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки еёпересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так какпятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтентреугольнику KPD, т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.
Посколькуплощадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН,утверждение доказано.
Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:
/>,
/> (попостроению),
/>(постороне и двум прилежащим углам), поэтому
/>,
следовательно,/>.
ТеоремаПифагора
Пользуясьсвойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательноесоотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема,которую мы докажем, называется теоремой Пифагора.
Она являетсяважнейшей теоремой геометрии.
Теорема
Впрямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство
Рассмотримпрямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.
Докажем,что />.
Достроимтреугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь S этого квадрата равна />. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равныхпрямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна />, иквадрата со стороной c, поэтому
/>
/>
Откуда
/>
/>
ДоказательствоЕвклида
Идеядоказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половинаплощади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадейквадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малыхквадратов равны.
Рассмотримчертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольноготреугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярногипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на двапрямоугольника – BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площадиданных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных насоответствующих катетах.
Попытаемсядоказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этоговоспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той жевысотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площадизаданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половиныпроизведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадьтреугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке),которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.
Докажемтеперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадратаDECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, – это доказатьравенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равнаполовине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно:треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно – AB=AK,AD=AC – равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернёмтреугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, чтосоответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввидутого, что угол при вершине квадрата – 90°).
Рассуждениео равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.
Тем самыммы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается изплощадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательствадополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.
/>/>
Теорема,обратная теореме Пифагора
Теорема
Есликвадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, тотреугольник прямоугольный.
Доказательство
Пусть втреугольнике ABC />.Докажем, что угол C прямой.
Рассмотримпрямоугольный треугольник /> с прямым углом />, у которого /> и />. Потеореме Пифагора />, и,значит, />. Но/> поусловию теоремы. Следовательно, />, откуда />
ТреугольникиABC и /> равныпо трем сторонам, поэтому />, т.е. треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Теорема доказана.