Федеральное агентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственныйгуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускнаяквалификационная работа
Положительные и ограниченныеполукольца
Выполнил:
студент V курсаматематического факультета
Ворожцов ВячеславАндреевич _____
Научный руководитель:
кандидатфизико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В.Чермных ________
Рецензент:
докторфизико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______
Допущена к защите в государственнойаттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав.кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Деканфакультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение… 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец… 4
1.1. Определениеполукольца. Примеры… 4
1.2. Дистрибутивныерешетки… 5
1.3. Идеалы полуколец… 6
Глава 2 Положительные и ограниченныеполукольца… 7
2.1. Определение ипримеры положительных и ограниченных полуколец 7
2.2. Основные свойстваположительных и ограниченных полуколец… 7
Библиографический список… 16
Введение
Теория полуколец – этораздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивныерешетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Каксамостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивнотеория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не толькотеоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работыявляется изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрениеосновных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказываетсяавтором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав.В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается этаработа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения исвойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказанынекоторые теоремы.
Глава I. «Основные понятия теорииполуколец».
1.1. Определениеполукольца. Примеры.
Определение полукольца:Непустое множество S сбинарными операциями + и · называется полукольцом, есливыполняются следующие аксиомы:
1. (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
· Ассоциативность: />;
· Коммутативность: />;
· Существованиенейтрального элемента: />.
2. (S,·) – полугруппа:
· Ассоциативность: />;
3. Умножение дистрибутивно относительносложения:
· леваядистрибутивность: /> а(в+с)=ав+ас;
· правая дистрибутивность:/> (а+в)с=ас+вс.
4. Мультипликативное свойство0:
· />.
Эта аксиоматика появиласьв 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S называется коммутативным, если операция /> в нем коммутативна: />.
Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в немсуществует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):/>
Примеры полуколец:
1. N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычнымиоперациями + и ·;
2. — тривиальное полукольцо;
3. Двухэлементные полукольца:Z2,+,·>, (в В 1+1=1);
4. Множество матриц />с элементами из полукольца N и операциями + и />;
5. Множества N, Z, Q+, Q, R+, R ивведенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение,максимум /> и минимум /> двух чисел, НОД и НОК,когда они определены.
Полукольцо с импликацией /> /> называетсямультипликативно (аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняетсяравенство /> />, называется мультипликативно(аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивныерешетки.
Пусть L – произвольное множество. Введем наL отношение /> положив,
/>.
Отношением порядка называется рефлексивное,транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество Lназовем частично упорядоченныммножеством.
Отношение /> на множестве L является отношением порядка.
Пусть M – непустое подмножество частичноупорядоченного множества L.Нижней гранью множества M называетсятакой элемент />, что /> для любого />. Нижняя граньm множества M называется точной нижней гранью, если/>, где n– произвольная нижняя грань множестваM. Двойственным образом определяетсяточная верхняя грань.
Частично упорядоченноемножество L называется решеткой, еслилюбые два элемента имеют точную верхнюю /> иточную нижнюю /> грани; решетканазывается дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивныезаконы:
/>
/>
Кроме этого определениясуществует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система Lс двумя бинарными операциями сложения+ и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентнымикоммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
/> ,/>;
Решетка называется дистрибутивной,если для любых /> />, ограниченной, если она имеет0 и 1.
1.3.Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольцаS, если для любых элементов a, b/>I, s/>S элементы a+b и sa(as) принадлежат I.
Непустое подмножество,являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двустороннимидеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольцаS называется собственным. Наименьшийиз всех (левых) идеалов, содержащий элемент a/>S, называется главным (главнымлевым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS,односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всехэлементов принадлежащих главному идеалу можно записать так />.
Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом,если /> влечет M=A или A=S для каждого идеала A .
Примерами идеалов могутслужить следующие подмножества:
1. {0} – нулевойидеал;
2. S – идеал, совпадающий со всемполукольцом;
3. Идеал на полукольце/>: />;
4. Главный идеалограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a:/>.
Глава II«Положительные и ограниченные полукольца».
2.1.Определение, примеры и основные свойства.
Полукольцо S с 1 называется положительным,если для любого элемента а /> S элемент а+1 обратим в S, т.е./>.
Примерами положительныхполуколец служат следующие алгебраические системы:
1. ограниченныедистрибутивные решетки;
2. полукольцанепрерывных R+ — значных функций;
3. множество всехидеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, еслидля любого /> выполняется />. Ограниченноеполукольцо – частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченныхполуколец:
1. ограниченныедистрибутивные решетки;
2. множество всехидеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основныесвойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для полукольца Sследующие условия равносильны:
1. S– положительное полукольцо;
2. для любогомаксимального одностороннего идеала Mв Sи любых a и b /> S
(a+b/> M)/> (a/> M& b/> M).
Доказательство:
1/>2. Пусть/> для произвольных /> и максимального правогоидеала M. Предположим, что />,тогда /> и />/>длянекоторых /> и />. Имеем:
/>.
В левой части последнегоравенства – элемент из M,тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
2/>1. Пусть выполнено 2 и с– произвольный элемент из S.Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеалеполукольца S (т.к. в противном случае в силуусловия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит,1+собратим.
II. В положительном полукольце Sсправедливы импликации:
/>
Доказательство. Пусть />.Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый />,такой что />. Тогда
/>, т.к./>.Получили y=1 и значит />.
Таким образом мыдоказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оноограниченно,
Теперь, пусть />, тогда />, т.е. такое полукольцо ещеи аддитивно идемпотентно.
Поскольку /> выполняется для />, то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножимобе части на x и получим необходимое равенство.
III. Полукольцо Sположительно тогда и только тогда,когда для любого элемента /> илюбого обратимого элемента /> элемент/> обратим.
Доказательство.
/> Полукольцо положительно,следовательно, элемент /> - обратим.Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.
/>
В левой части обратимый элемент, значити в правой элемент тоже обратим.
/> /> и/> – обратимы, тогда ихпроизведение также обратимо />,значит/> обратим.
IV. Для коммутативного положительногополукольца Sравносильны следующие условия:
1. S– дистрибутивная решетка.
2. />
Доказательство.
/>. Очевидно.
/>. По свойству 2 следует />, тогда:
/> и />.
Эти условия наряду сассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяютдистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1– единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимыйэлемент u,
/> и />
/>
VI. Пусть a– фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечетследующее утверждение:
1. a+1=1;
2. /> />
3. /> />
Доказательство.
/>. Докажем методом математической индукции по числу n.
I. База. к=1. />(выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для кn условие выполняется, т.е./>
Рассмотрим для k=n
/> и a+1=1 />
/>
Из I и II Следует />.
/>. />.
Можно выбрать из всегоколичества N, некоторое число, для которого тоже данное выражениебудет верно.
Примером того, что условие 3 невлечет условие 1 является полукольцо матриц />.Зафиксируем элемент />, где />. Для n=2
/> верно, но /> совсемневерно.
VII. Если S– полукольцо с мультипликативнымсокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойстваравносильны.
Доказательство.
Осталось доказать />.
Имеем />.Добавим к правой и левой части выражения равные элементы />:
/>
В силу аддитивнойидемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед />. В соответствии с биномомНьютона, подберем коэффициенты и получим:
/>
Используямультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильностьусловий 1 – 3.
VIII. Пусть S– ограниченное полукольцо, исуществует такое /> , что /> для всех />. Тогда:
1. /> для всех />;
2. /> - коммутативноеограниченное полукольцо с 1, где I– множество всех мультипликативныхидемпотентов из S, а операция/>определяется так:
/>.
Доказательство.
1. Возьмем />.
Тогда />, т.к. />.
Для доказательствапонадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
/>.
Доказательство: ММИ по числу n в />.
I. База. n=1. Из условия ограниченности
/>
/>
II. И.П. n=i-1.
/>
Из условия II и ограниченности:
/>/>
/>.
По ИП:
/>
Из условий I,II получили, что данное равенство верно для />, лемма доказана.
Рассмотрим />:
/>
Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо/> (1 группа), либо /> (2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группыимеется член />. Этот член всумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии /> и лемме 1. из группы 1останется только элемент />
Аналогично с элементамигруппы 2, в которой имеется элемент />,который и останется. Получаем
/>
2.Прежде всего проверим замкнутость операций /> и + на множествеI.
/>/>
/>
(1) Поскольку в качествеаддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа снейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что /> - коммутативная полугруппас нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент />
/>
/>/>
/>/>
/>
Элемент Xсостоит из таких слагаемых, которыеполучены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1,или со всеми с. Элемент /> имеетсяв качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.
/>
/>
/>
С другой стороны />
/>
/>/>/>
Таким образом, правыечасти рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана. />
b). 1 – нейтральный элемент:
/>
с). Коммутативность:
/>, />
1./>
/>
2./>
/>
Из 1 и 2 следует />, по причине равенствправых частей каждого, а значит следует равенство />.Коммутативность доказана. /> -коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:
/>
/>
(4) />
Все аксиомы полукольцадоказаны, а значит /> - коммутативное полукольцои его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо –ограничено.
IX. Если в положительном полукольце Sвыполняется равенство
/> />,
то S– аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
/> />
Рассмотрим t>1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> />
/>
Рассмотрим t=1, />
/>
/>
/>
…
/>
/>
/> />
/> />
/>
/>
/>
/>
/> />
/>
т.к. полукольцоположительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный иполучим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X. В положительном полукольце S /> справедливоследующее тождество:
/>
Доказательство.
/>
Домножим на обратный к />: />
Получим:
/>
Что итребовалось доказать.
Библиографический список
1. Чермных, В.В.Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.
2. Вечтомов, Е.М.Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ,2000. – ст.5 — 30.