Парадоксы в математике

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: «Финансы и кредит»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «Математика»
Парадоксы в математике

Содержание
Введение
Глава I.Парадоксы в математике
1.1 Свойство парадоксов
1.2 Устранение и объяснение парадоксов
Глава II.Многообразие парадоксов
2.1 Парадокс «Лжец»
2.2 Парадокс Греллинга
2.3 Парадокс Берри
2.4 Парадоксы со множествами
2.5 Парадоксы-петли
Глава III.Проблемы парадоксов в математике
Заключение
Библиография
•
Введение
Парадокс в широком смысле — это утверждение, резкорасходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, чтопредставляется «безусловно правильным». Само греческое слово, откоторого произведено слово «парадокс», буквально означало «необычное,странное, невероятное, замечательное».
Парадокс в более узком и более современном значении — этодва противоположных утверждения, для каждого из которых имеютсяпредставляющиеся убедительными аргументы.
Особое место занимают парадоксы в математике и логике, таккак «чистая математика» — абстрактная наука, построенная на теориях,которые не кажутся очевидными с первого взгляда. Здесь их статус глубоких икардинальных проблем не подвергается сомнению. Тем более, что в математике, какни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и логическуюпоследовательность доказательств. При этом часто возникают ситуации, в которыхрассуждения, применяющиеся совсем недавно и считающиеся строгими, будуттребовать дополнительного обоснования. Тогда математик просто излагает своиидеи в том виде, как они у него возникают. Однако часто возникает необходимостьсделать выбор между методами изложения некорректными, но, быть может,плодотворными, и корректными, но позволяющими выразить мысль лишь в измененномвиде и притом ценой значительных усилий. Ни тот, ни другой путь не свободен отопасностей. Первый путь ведет к возникновению и развитию новых теории и новогоуровня абстракции, а, следовательно, и парадоксов, второй к «затуханиюнауки». Поэтому данная курсовая работа ставит перед собой цель рассмотретьпонятие «парадоксов», их виды, а также проблемы парадоксов вматематике и их значение для развития математической науки.
Глава I. Парадоксы вматематике
 
Парадокс — это два противоположных утверждения, длякаждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.
Парадоксы были типичными способами постановки проблем вантичном мышлении. Сначала парадоксы рассматривались только как продуктфилософских измышлений, теперь наука признала их полноправными членамисообщества научных проблем.
Парадоксы возникают в современных прикладных науках такжечасто, как и в древних. В свое время (VII в. до н. э) вавилонскиежрецы-астрологи заметили, что некоторые планеты временами замедляют движение, пятятсяназад, а затем снова продолжают движение в обычном направлении. ГераклидПантийский смог объяснить «явление блуждающих светил» с помощьюматематической теории эпицикла. Но при этом оставались другие проблемы — не всесветила вели себя по этой схеме. Долгое время ученые с помощью своих теорий (геометрическая,механическая) не могли объяснить «дуализм света» (XVIII-XIX вв.),только предположение Д.К. Максвелла о электромагнитной природе света разрешилоэту проблему. Таким образом, можно считать, что парадоксы возникают в наукетам, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение такихпарадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.1.1 Свойство парадоксов
Все парадоксы имеют одно общее свойство — самоприменимость (циркулярность).В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредствомнекоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мывыделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупностилюдей, к которой относится и данный человек. И если говорим: «Этовысказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путемссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.
Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, азначит, есть как бы движение по кругу, приводящее, в конце концов, к исходномупункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к тойсовокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама онадля своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может бытьясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источникпарадоксов.
 1.2 Устранение и объяснение парадоксов
Следует обратить внимание на одно важное различие. Устранениепарадоксов и их разрешение — это вовсе не одно и то же.
Устранить парадокс из некоторой теории — значитперестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в нейнедоказуемым.
Каждый парадокс опирается на большое число определений,допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочкурассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено,отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многихработах так и поступают и этим ограничиваются. Но это еще не разрешениепарадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосноватьпредлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу,должно быть хорошо обосновано.
Прежде всего, решение об отказе от каких-то логическихсредств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно бытьувязано с нашими общими соображениями относительно природы логическогодоказательства и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранениепарадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается втехническую по преимуществу задачу.
Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он иобеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантируетавтоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксамине следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегдадолжно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, чтоэтим же шагом будут устранены и другие парадоксы.
Однако надо иметь в виду, что непродуманный и неосторожныйотказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто ктому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабаятеория, имеющая только частный интерес.
/>Глава II.Многообразие парадоксов2.1 Парадокс «Лжец»
Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всехлогических парадоксов является парадокс «Лжец», сформулированныйгреческим философом Эвбулидом из Милета в IV веке до н.э.
Имеются различные варианты этого парадокса. В простейшемварианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу»,или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным».Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущийговорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.
Данный парадокс можно переформулировать и так. Допустим, чтона лицевой стороне карточки стоят слова: «На другой стороне этой карточкинаписано истинное высказывание» — и ничего более. Ясно, что эти словапредставляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы находим наее обороте слова: «На другой стороне этой карточки написано ложноевысказывание» — и опять-таки ничего более. Предположим, что утверждение налицевой стороне — истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и,значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждениес лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложными, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. Выходит,что данное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным. Но этопротиворечит принципу исключенного третьего. Парадокс ошеломляющий. Он произвелгромадное впечатление на греков. Ходит даже легенда, что он привел ксамоубийству некоего Филита Косского. Этот парадокс разбил Аристотель и многиедругие логики, жившие позднее. Некоторые философы считали, что поскольку рассматриваемоеутверждение содержит ссылку на самое себя, то оно просто не имеет смысла, абессмысленные высказывания должны быть исключены из языка.
С развитием логики в нем стали видеть смешение двух языков: языка,на котором говорится о предметах, существующих в мире, и языка, служащего дляописания самого такого «предметного» языка. В нашем обычном языке этидва уровня не различаются.
Было предложено другое объяснение, основанное на анализеодной весьма необычной особенности этого высказывания. Дело в том, что этовысказывание одновременно является актом действия; причем как раз то, что вэтом высказывании утверждается, в то же время становится и действием. Болеетого, высказывание и действие разорвать нельзя. Такие высказывания встречаютсяне так уж и редко. Например: «Я клянусь», «Я говорю»,«Я лгу», и т.п. Высказывания такого рода называются перформативными ик ним как считают некоторые авторы, не применимы какие-либо оценки ихистинности. Их истинность зависит от того, когда, кем и где они употребляются.
Выше было сказано, что парадокс «Лжец» возникаетиз-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними. Еще античныефилософы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определеннуюмысль, но не несет никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Болеетого, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иноговысказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали ониследующим образом. Пусть A0есть некоторое высказывание, например:«1 января шел снег», и пусть это событие действительно имело место. Нотак как из содержания высказывания А0не следует, что оно истинно,то необходимо дополнительное высказывание A1: «Высказывание A0истинно». Нетрудно, однако, заметить, что истинность высказывания A1 тожениоткуда не следует. Поэтому необходимо новое высказывание А2:«Высказывание A1 истинно» и т.д. до бесконечности.
Получается, что понятие истинности действительно не выразимосредствами естественного языка.
Впрочем, это не совсем так. На самом деле доказано толькото, что выше описанным способом нельзя выразить утверждение об истинностивысказывания A0. Поэтому остается вопрос: «А нельзя ли этосделать каким-либо другим способом?». И вообще, неужели утверждение обистинности или ложности какого-либо конкретного высказывания нельзясформулировать так, чтобы достоверность этого утверждения не вызывала сомнений?
Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. Кэтому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполнеопределенную предметную область и пользуется при этом только такими языковымисредствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, тоее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым дляописания этой области языком является язык, на котором можно говорить обоперациях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоитдело с «истинностью» арифметических высказываний? Общепринятоеопределение истинности как соответствия реальному положению дел в данном случаеоказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания,непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьмазатруднительна (это, например, гипотеза о невозможности существования четверокФерма)
Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются отпрактики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих, выяснилось,что даже после уточнения понятия «истинности», множество истинныхформул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языкеарифметики. Это значит, что понятие «истинности» не выразимо на языкеарифметики. Значит, это понятие относится к другому языку.
Таким образом, можно придти к выводу, что в познаниисуществуют два уровня — две иерархические ступени. На первом уровне строитсятеория, описывающая некоторую предметную область (в данном случае — арифметику).Для описания этой области используется специальный, заранее фиксированныйпредметный язык. На втором уровне возникает метатеория, предметом исследованиякоторой становится ранее созданная предметная теория первого уровня. Вметатеории исследуется, в частности, вопрос об «истинности» высказыванийпредметной теории. Для этой цели используется специальный метаязык.
Предметный язык и метаязык — это разные языки, это языки,относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этогообстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером можетпослужить описанный выше парадокс «Лжеца». Покажем, что этодействительно так.
С одной стороны, предложение «Высказывание, которое ясейчас произношу, ложно» относится к метаязыку, поскольку в нем говоритсяо ложности некоторого высказывания.
С другой стороны, поскольку о каком-то высказыванииговорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается,должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказываниеутверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относитсяк предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и кметаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этогоразличия и привело к парадоксу.2.2 Парадокс Греллинга
Парадокс Греллинга был сформулирован в 1908 годуматематиками Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927). Вэтом парадоксе речь идет о прилагательных. Каждое прилагательное либо самообладает тем свойством, которое оно выражает, либо — нет. Например,прилагательное «русский» (-ая, — ое, — ие) само является русским, априлагательное «голубой» (-ая, — ое, — ые) само, конечно, голубым неявляется. Прилагательные первого вида описывают самих себя, т.е. применимы ксебе. Такие прилагательные назовем «автологичными». Прилагательныевторого вида не применимы к себе, их мы назовем «гетерологическими». Введемтеперь обозначения: прилагательные обозначим буквами р, g,..., а выражаемые имисвойства обозначим, соответственно, буквами Р, G,… .
Предложение «Прилагательное р применимо к себе» символическизапишется в форме Р (р), а предложение «Прилагательное р не применимо ксебе» запишется в форме Р (р). Если относительно некоторогоприлагательного р установлено Р (p), то по принятому определению,прилагательное р будет гетерологическим. Обозначив свойство «бытьгетерологическим» через G получим: «p (G (p)» (P (p)) (*).
Слово «гетерологический» само тоже являетсяприлагательным. Обозначим это прилагательное буквой g. Тогда при р=g из условия(*) получим противоречие: (g)«G (g).
Это противоречие снимается, если учесть, что первоначальномы имели только прилагательные некоторого предметного языка, которыеклассифицировались на автологические и гетерологические; прилагательное же»гетерологический" появилось только при описании этой классификациии, значит, относится к метаязыку. Поэтому в условии (*) квантор общности имелсмысл «для всех прилагательных предметного языка» и подстановка р=gбыла неправомерной.2.3 Парадокс Берри
Еще один внешне простой парадокс был указан в самом началенашего века Д. Берри, занимавшем должность библиотекаря Оксфордскогоуниверситета. Позже он был опубликован Бертраном Расселом. В русскойинтерпретации он звучит так: множество натуральных чисел бесконечно. Множествоже тех имен этих чисел, которые имеются в русском языке и содержат меньше, чем,допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такиенатуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Средиэтих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредствомрусского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение «наименьшеенатуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя,слагающееся из менее чем ста слов» является как раз именем этого числа. Этоимя сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидныйпарадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени.
Этот парадокс исчезает, если различать предметный язык иметаязык. В самом деле, в рассматриваемой фразе речь идет о различных описанияхназванного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, вэтой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 буквпредметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому можетсодержать и меньшее количество букв.2.4 Парадоксы со множествами
В результате абстракции неизбежно возникают понятия,относящиеся к более высокому иерархическому уровню, чем исходные. Таковымявляется, в частности, и понятие множества, являющееся ключевым в современнойматематике. Чтобы в этом убедиться, представим себе, что наблюдаем стадо,состоящее из пяти коров. Когда мы говорим о стаде, мы имеем в виду множествоэтих коров; и мы представляем его себе именно как отдельный самостоятельныйпредмет. Таким образом, получается шесть предметов: пять коров и стадо,состоящее из них. Но если нас спросят: «Сколько предметов вы видите?»- мы ответим: «Пять!». Шестой предмет увидеть нельзя! Множество — этопредмет, созданный нашей мыслью. Мы мысленно объединяем эти коровы ипредставляем себе результат объединения как нечто целое, самостоятельное.
Георг Кантор (1843-1918), создатель теории множеств, назвалэтот мысленный акт «свертыванием». В результате возникаетабстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мыподнимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мирабстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и болееабстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, болеевысокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показатьследующим образом.
Пусть дано некоторое множество людей, живущих в одном и томже доме, причем каждый жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множествавыполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельныхквартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данногомножества. Подмножествами очевидно будут различные дома, в которых будут житьсоответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждыйэлемент исходного множества является в то же время и элементом целого рядаподмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и вцелом ряде домов — подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будетиметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома?
Так как одним из подмножеств является пустое множество, тодолжен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть,например, здание клуба или театра, или церковь. Одноэлементным подмножествамбудут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным — двухквартирные и т.д.
Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что жеполучилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домомне является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело смножествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникломножество нового вида — множество домов и это новое множество мы, естественно,называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматриватьмножество всех подмножеств этого города. То, что мы получим, не будет городом,это будет нечто более общее. Можно, например, назвать эту совокупность городов«страной».
Приведенный пример показывает, что при восхождении кабстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокийиерархический уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести квозникновению противоречий и парадоксов. Покажем это на конкретном примере.
Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств к иобозначим его через U. Построим теперь множество E, единственным элементомкоторого является U. Значит, E={U}.
Из этого определения следует: U есть элемент E. Но,поскольку E является одноэлементным множеством, а U — это множество всеходноэлементных множеств, E есть элемент U.
Таким образом, оказалось, что множество U, являясьсовокупностью одноэлементных множеств, в то же время содержится в качествеэлемента в одном из своих подмножеств. Но этого ведь быть не может, так как E иU различны.
Причина противоречия кроется опять в игнорированиииерархических различий. Множество U было множеством всех одноэлементныхмножеств некоторого исходного иерархического уровня, а множество E былосформировано позже; оно относится уже к другому, более высокому иерархическомууровню. Поэтому утверждение E элемент из U было неправомерным, так как наисходном иерархическом уровне множества Е не было.
Этот парадокс можно объяснить и неопределенностью смысласлова «все». Если слово «все» относится к элементам вполнеопределенного множества, то смысл этого термина достаточно ясен. А еслимножество задано недостаточно четко, если его границы расплывчаты, еслидопускается возможность обнаружения новых элементов, о существовании которых заранееничего не известно, что тогда означает «все»? Очевидно, должен бытьуточнен смысл термина «все», а это как раз и происходит, когдаучитывается принадлежность предметов к тому или иному иерархическому уровню.
Следующий парадокс, свидетельствующий о необходимости учетаиерархических различий, — это знаменитый парадокс Кантора, заключающийся в том,что универсальное, всеобъемлющее «множество всех множеств» никакоймощностью обладать не может.
Кантор исходил из того, что каждое множество А должнообладать некоторой «мощностью». Под «мощностью» он понималколичественную характеристику множества.
Мощность множества А Кантор обозначил через />, отмечая двумячерточками, что она получается в результате двойной абстракции: абстракции отприроды элементов и абстракции от их порядка. Множество всех подмножествданного множества А (называемое также булеаном множества А) обозначено через Р (А).Кантор доказал, что />.
Рассмотрим теперь множество всех множеств, назовем его«универсумом» и обозначим через U. Из приведенной выше теоремы приА=U получим, что />.
С другой стороны, поскольку U — это множество всех множеств,то оно должно обладать максимальной мощностью, и, значит, />. Получилосьпротиворечие.
В кажущейся неразрешимости этого противоречия и заключаетсяпарадокс Кантора. На самом деле этот парадокс все же разрешим. Дело в том, чтомы неявным образом предположили, что универсум U является таким же множеством,как и все остальные множества, и поэтому тоже обладает некоторой мощностью.
Противоречие же показывает, что оно никакой мощностьюобладать не может. Значит, универсум U множеством не является. U — это объект,который относится к другому иерархическому уровню.2.5 Парадоксы-петли
Выше было показано, что игнорирование иерархических различийприводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеютиногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося копределенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другойиерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образомприходим к первоначальному утверждению.
Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новомуровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится кпервоначальному иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца.
Парадокс Рассела (О парикмахере) был найден БертраномРасселом (1872-1970). Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей ивсе мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, чтов этом поселке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и толькотех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается,что ни «да», ни «нет» ответить нельзя. Если парикмахербреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людейэтой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он недолжен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то онотносится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз идолжен брить. Значит, он должен бриться сам.
Получается странная, невозможная петля: если парикмахербреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он,напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущеерассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которойнет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировкеправила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтеныиерархические различия. Правило должно относится ко всем жителям поселка, кромепарикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другойиерархической категории.
Если же не учитывать иерархических различий и не уточнятьправило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говориттолько о том, что такого парикмахера быть не может.
Парадокс Маннури (О мэре) голландского математикаГеррита Маннури (1867-1956) похож на предыдущий парадокс. В этом парадоксе речьидет о стране, состоящей из отдельных областей. Каждая из которых имеет мэра,который, однако, не обязательно должен жить в той же области, которой онуправляет. На основании этой оговорки всех мэров можно разделить на двекатегории. К одной из них относятся те мэры, которые живут в той же области,которой они управляют, — их мы назовем «хорошими»; к другой относятсявсе те, которые не живут в той области, которой они управляют, — этих мыназовем «плохими».
Известно также, что президент страны выделил для плохихмэров отдельную область и издал приказ, обязывающий всех плохих мэровпереселиться именно в эту новую область. Кроме того в приказе было сказано, чтов новой области никто кроме плохих мэров проживать не может. Очевидно, новаяобласть должна была иметь и своего мэра. В связи с этим спрашивается: какимбудет этот мэр — хорошим или плохим?
Если он хороший, то он должен жить в той области, которой онуправляет, но там он жить не может, так как эта область создана только дляплохих мэров, а он, по предположению, хороший.
Если же он плохой, то с одной стороны из определения понятия«плохой» следует, что он не должен жить в той области, которой онуправляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как онаспециально создана для плохих мэров.
Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэрособой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самойэтой области, ни вне ее. В чем же дело?
Причина парадокса в том, что иерархические уровни опятьоказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаютсяна три категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр тойособой области, в которой живут все плохие мэры.
Мэр особой области существенно отличается от остальных мэров:обычные мэры управляют гражданами, а мэр особой области управляет мэрами — этоновый, более высокий иерархический уровень. Свойства «быть плохим мэром»и «быть хорошим мэром» пригодны только для характеристики обычныхмэров, а мэр особой области относится к другой категории, — его характеризуютдругие свойства, и поэтому бессмысленно спрашивать, хороший он, или плохой. Выявленноепротиворечие как раз и показывает, что он не может быть ни тем, ни другим.
Принципиальное различие в свойствах элементов различныхиерархических уровней на практике обычно сразу же бросается в глаза. Например,все яблоки, лежащие на столе, могут быть желтыми — это их общее свойство. Номножество этих яблок желтым быть не может, так как множество яблок — этоабстрактный, идеальный предмет, относящийся к совершенно другому иерархическомууровню.
Элементы определенного иерархического уровня либо обладаютнекоторым, естественным для них свойством, либо нет. Ничего другого быть неможет. Третьего не дано. Поэтому, когда обнаруживается элемент, который неможет обладать; этим свойством и в то же время не может не обладать им, атретьего не дано, то это противоречие кажется неразрешимым. Но это только кажущеесяпротиворечие. Третье все же дано! Рассматриваемый элемент на самом делеотносится к другой категории и обладает другими свойствами.
Свойства элементов различных иерархических уровнейсовершенно различны — они не сводимы друг к другу. Свойства элементов болеевысокого уровня нельзя определить, нельзя объяснить, нельзя свести к свойствамэлементов какого-либо другого уровня. Таким образом, можно сказать, чторассмотренные парадоксы возникают вследствие игнорирования иерархическихразличий.
Следует заметить, что в каждом из рассмотренных парадоксовимеется неосознанное и к тому же неправомерное предположение. Именно оно иприводит к противоречию. Поэтому парадокс на самом деле следует рассматриватькак доказательство ошибочности принятого предположения. Здесь, по существу,имеет место доказательство «от противного».
Глава III. Проблемыпарадоксов в математике
Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 г. ипостепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначаленатолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков ибезразличие со стороны подавляющего большинства философов. Только в началедевяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий,широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелоевидение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда егорезультаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся спервым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 г. Кантор не был способен в товремя предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишкомсерьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теориивполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотрдоказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как этоне раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.
Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В1902 г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав на парадокс,относящийся к самым началам теории множеств и показывавший, что в основанияхэтой дисциплины что-то неблагополучно. Но парадокс Рассела потряс основы нетолько теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишьлегкое изменение в формулировке, чтобы перевести парадокс Рассела впротиворечие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основныхлогических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарномуровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых «точных»наук — логики и математики.
Парадокс Рассела явился истинным потрясением для технемногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснования на рубежепрошлого и нынешнего столетий. Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природеи назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности — егометод «цепей» может даже быть взят за основу в теории вполнеупорядоченных множеств — и использовал понятие множества в его полномканторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствиеудара, нанесенного ему парадоксом Рассела, Дедекинд на некоторое времяприостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной.
Еще более трагичной была судьба Фреге. Он считал, чтоосновным вопросом, на который нужно ответить при обосновании арифметики,является вопрос о том, благодаря чему мы имеем право считать числаопределенными, конкретными предметами. Ведь «численность» множества — это свойство, а не предмет, и тем не менее мы оцениваем численность с помощьюнатурального числа, воспринимаемого нами именно как предмет. Происходитопредмечивание: свойство превращается в предмет. Значит, заключает Фреге, безоператора опредмечивания не обойтись. И Фреге формулирует «Основной закон»:каждой функции f соответствует ее график Гf. Таким образом, в предметнуюобласть кроме исходных, первоначальных предметов, обозначаемых «Истина»(И) и «Ложь» (Л), попадают и новые предметы — графики функций.
Фреге хотел сконструировать универсальную предметную область,в которой все предметы были бы абсолютно «равноправны». Но именно этои привело к смешению иерархий. Ведь предметы из некоторого множества и функции,определенные на этом множестве, — это разные вещи, относящиеся к совершенноразным иерархическим уровням. Нет ничего удивительного в том, что многиематематики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств какполноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию.
Прошло около века с тех пор, как началось оживленноеобсуждение парадоксов. С течением времени отношение к парадоксам стало болееспокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только втом, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что сними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков и математиков,поиски их решений активно продолжаются.
Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксыоказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя инеспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, чтоабсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногдав начале нынешнего, — это в принципе недостижимый идеал.
Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящейособняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разнымтипам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики и математики. Обнаружениепарадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции изаняться систематической переработкой основ логики и математики. При этомстремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй,главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышлениянад центральными темами математики и логики. Если сравнить парадоксы с особоотчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленноисключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особеннозаботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимоих объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностяхмышления.
Заключение
Таким образом:
Парадокс в широком смысле — это утверждение, резкорасходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется«безусловно правильным».
Парадокс в более узком и более современном значении — этодва противоположных утверждения, для каждого из которых имеютсяпредставляющиеся убедительными аргументы.
Все парадоксы имеют одно общее свойство — самоприменимость илициркулярность.
Парадоксы возникают в науке там, где теория не описываетпроцессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в своюочередь к возникновению новых теорий.
Устранить парадокс из некоторой теории — значит перестроитьее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым.
Решение об отказе от каких-то логических средств,используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано собщими соображениями относительно природы логического доказательства и другимилогическими интуициями.
Проблемы, связанные с парадоксами, относятся к разным типами затрагивают все основные разделы логики и математики. Требуется не просторазрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее представления о логическихзакономерностях мышления.
Библиография
1.        Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
2.        Ивлев Ю.В. Логика. — М., 2004.
3.        Кантор Г. Труды по теории множеств. — М., 1985.
4.        Мадер В.В. Введение в методологию математики. — М., 1994.
5.        Мадер В.В. О логико-арифметической концепции Готлоба Фреге // Историко-математическиеисследования, вып.30. — М., 1986.
6.        Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX в. — М., 1965.