Автор: Фильчев Э.Г.
Решениекубического уравнения в системе mn параметров
Решениекубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным.В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы
— разложение левой части на линейные множители ( если возможно )
— с помощью формулы Кардана
— применение специальных таблиц
(см.например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980.стр.219).
Вданной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включаянеприводимый случай формулы Кардана!
Задача«Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+cx + d = 0.
Используяформулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходногоуравнения ». Пусть а = 1.
Решение
Насайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формулаmnпреобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формулаимеет вид
(2mn)2+ ( 3x+ b)(2mn)+ 3x2+ 2bx+с = 0 ( 1 )
где
x — любой из нулей ( корней) исходного уравнения
2mn- разность любой пары из трех нулей исходного уравнения
Решивуравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, врезультате, после простых, но громоздких преобразований, получим
(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4+(3c– b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3+ ( 2b3 – 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )
Этоуравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром(2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделатьследующее утверждение
Утверждение1«Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+cx + d = 0 справедливы уравнения
3x2 +2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2
2(3c-b2)= — [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]
[4(3c-b2)3+(2b3 — 9bc+27d)2]/27= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
где(2mn)j — разность любой пары корнейисходного уравнения.
x- один ( любой ) из корней исходного уравнения. „
1.Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+cx + d = 0 определяем значение
D1=- /> =- (2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32
2.Определяем значение
D2= — 2( 3c – b2) = — [(2mn)12 + ( 2mn)22 +( 2mn)32]
Изэтих уравнений следует, что
— если выражение — 2(3c — ) — целое число, то оно разложимо на сумму трехквадратов
— иесли при этом выполняется равенство D1= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решениедля (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.
3.Определяем значение корней исходного уравнения
3x2 + 2bx+ c = — (2mn)1( 2mn)2
3x2 +2bx + c = (2mn)1( 2mn)2
3x2 +2bx + c = — (2mn)1( 2mn)3
3x2 +2bx + c = (2mn)1( 2mn)3
3x2 +2bx + c = — (2mn)2( 2mn)3
3x2 + 2bx+ c = (2mn)2( 2mn)3
Задачарешена !
Пример1 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 9x2+ 23x — 15 = 0
гдеa =1, b = — 9, c = 23, d = -15
Решение
1.Определяем значение D1= = — />
-→D1= — [4(69-81)3+( — 1458 +1863 — 405)2]/27= — [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162
Обратимвнимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d)= 0
2.Определяем значение D2=- 2(3c — )
-→D2= — 2( 3∙23 — 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4
Этоединственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно
имеем(2mn)1 = 2, (2mn)2= 4, (2mn)3 = 2.
3.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c= — (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 — 18x + 23 = — -> 3x2 — 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.
3.23x2 + 2bx+ c= (2mn)1( 2mn)2
-→3x2 — 18x + 23 = -> 3x2 — 18x+ 15 = 0 -→ x2 — 6x+ 5 = 0
-→X1= 3 + 2 = 5, X2= 3 — 2 = 1
ЗдесьX1= 5— одно из решений исходного уравнения.
ЗдесьX2= 1 второе решение исходного уравнения.
3.3 3x2 +2bx + c= — (2mn)1( 2mn)3
-→ 3x2 — 18x + 23 = — -> 3x2 — 18x + 27 = 0 -→ x2 — 6x + 9 = 0
-→X2= 3
ЗдесьX=3 — последнее из решений исходного уравнения.
3.43x2 + 2bx+ c= (2mn)1( 2mn)3
-→3x2 — 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 — 18x+ 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.
Задачарешена!
Пример2 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 20x2+ 113x — 154 = 0
гдеa =1, b = — 20, c =113, d = -154
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(339-400)3+( — 16000 +20340 — 4158)2]/27= — [-907924+33124]/27=32400
2.Определяем значение D2= — 2(3c — )
-→D2= — 2( — 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42+ 52 + 92
Здесьимеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.
Поэтому,проверяем на соответствие с числом D1= 32400.
2.132 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400
2.242 ∙ 52 ∙ 92 = 32400. Этотвариант подходит!
-→(2mn)11 = 4, (2mn)12= — 4,
(2mn)21= 5, (2mn)22 = — 5,
(2mn)31= 9, (2mn)32 = — 9.
3.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 — 40x + 113 = — 4∙5 -> 3x2 — 40x + 133 = 0.
-→X1= 7, X2= />
4.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 7, и кроме того, известны значения (2mn)11÷ (2mn)32. Этихданных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1Пусть (2mn)11 = 4 = (X1 — X2)-→ X2= X1– 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).
4.2Пусть(2mn)12= — 4 = (X1 — X2)-→ X2= X1+ 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.
4.3Пусть (2mn)21 = 5 = (X2 — X3)-→ X3= X2 — 5 = 7 — 5 = 2. Это третий корень.
Решениемисходного уравнения будет X1= 7, X2= 2, X3= 11.
Расчетзакончен !
Пример3 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 10x2 — 49x + 130 = 0
гдеa =1, b = — 10, c = — 49, d = 130
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4( -147 — 100)3+( 2000 +4410 — 3510)2]/27= — [-60276892+8410000]/27= 1920996
2.Определяем значение D2= — 2( 3c — )
-→D2= — 2( — 147 — 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22+ 72 + 212 = 72 + 112 + 182
Изэтих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратовподходит последний вариант, т.к. 72 ∙ 112 /> 182 =1920996
-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 =- 7,
(2mn)21 = 11, (2mn)22 = — 11,
(2mn)31 = 18, (2mn)32 = — 18.
3.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)11( 2mn)21
-→ 3x2 — 20x — 49 = 7∙11 -> 3x2 — 20x — 126 = 0. Эти значения Xне подходят!
3.23x2 + 2bx + c= (2mn)11( 2mn)22
-→ 3x2 — 20x — 49 =- 77 -→ 3x2 — 20x + 28 = 0.
-→X1= /> , X2=2 – это один из корней исходного уравнения!
4.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 2, и кроме того, известны значения (2mn)11÷ (2mn)32. Этихданных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1Пусть (2mn)11 = 7 = (X1 — X2)-→ X2= X1– 7 = 2 – 7 = — 5. Это второй корень!
4.2Пусть(2mn)12= — 7 = (X1 — X2)-→ X2= X1+7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.
4.3Пусть(2mn)21= 11 = (X1 — X3)-→ X3= X1 — 11= 2 — 11 = — 9. Это не корень.
4.4Пусть(2mn)21= -11 = (X1 — X3)-→ X3= X1+ 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!
Решениемисходного уравнения будет X1= 2, X2= — 5, X3= 13.
Расчетзакончен !
Пример4 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0
гдеa =1, b = — 6.85, c = 13.425, d = — 8.1
Вэтом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то,что и корни также могут иметь нецелые значения.
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4( 40.275 – 46.9225)3+(-642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27
-→D1= — [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500
2.Определяем значение D2= — 2( 3c — )
-→D2= — 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950
Вэтом случае имеют место дробные значения для D1и D2. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами,поэтому необходимо умножить на 10k.
Приэтом значение степени kдолжно определяться
— для D2числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2= 4 )
— для D1 =3∙ (число знаков в мантиссе для D2). -→ k1= 3∙ k2( для данного примера k1= 12 ).
Длядальнейшего рассмотрения используем два числа
— D11= 987539062500
— D21 =132950.
3.Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел( А, Б, Д), при которых выполняются равенства D21= А2 + Б2 + Д2и D11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2.
Длянахождения значений чисел А, Б, Д можно использовать две методики
— найти все варианты представления числа D21в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будетсоответствовать условию D21= А2 + Б2 + Д2и D11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2.
— найти все варианты представления числа D11в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будетсоответствовать условию D21= А2 + Б2 + Д2и D11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2.
ВариантD11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2следует считать более удобным.
Длярассматриваемого примера
D11= 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152
D21 =132950 = 2502 + 2652 + 152.
4.В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путемумножения соответствующих чисел на множители k1и k2. Совершая обратную операцию, получим
(2mn)11= 2.5, (2mn)12 = — 2.5,
(2mn)21= 2.65, (2mn)22 = — 2.65,
(2mn)31= 0.15, (2mn)32 = — 0.15.
5.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
5.13x2 + 2bx+ c = — (2mn)11( 2mn)21
-→3x2 — 2∙(6.85)∙ x+ 13.425 = (2.5)∙(2.65) ->3x2 –13.7x + 6.8 = 0.
-→X1=4 – это один из корней исходного уравнения!
6.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 4, и
крометого, известны значения (2mn)11÷ (2mn)32. Этихданных достаточно для
определениядвух остальных корней.
6.1Пусть (2mn)11 = 2.5 =(X1 — X2)-→ X2= X1– 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!
6.2Пусть(2mn)12= — 2.5 = (X1 — X2)-→ X2= X1+2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.
6.3Пусть(2mn)21= 2.65 = (X1 — X3)-→ X3= X1– 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!
Решениемисходного уравнения будет X1= 4, X2= 1.5, X3= 1.35.
Расчетзакончен !
Неприводимый случайформулы Кардана
Если для кубическогоуравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженныхкорней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.
Рассмотрим неприводимыйслучай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.
Задача“Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимыхсопряженных корня. Используя формулы системы mn параметров предложить методопределения нулей исходного уравнения ».
Пустьа = 1.
Решение
Ранее было показано, чтодля любого кубического уравнения имеют место формулы
D1= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
D2= — [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],
где
— (2mn)j -разность любой пары корней исходного уравнения
— D1= — />
— D2= — 2( 3c – b2)
— ( b,c,d)– коэффициенты исходного уравнения.
Поусловиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два сопряженных мнимых корня X2=( g2 — hi), X3= ( g2+ hi). Тогда
(2mn)1= ( X1 — X2)= (g1 — g2) + hi
(2mn)2= ( X1 — X3)= (g1 — g2) – hi
(2mn)3 = ( X2 — X3)= g2 — hi — g2 – hi = — 2hi
-→ D1= — ( 2mn)12∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 =- [(g1 — g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 — g2 ) — hi]2 ∙ [2 hi]2
-→D1=[(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2
Обратимвнимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место
— знак “ + “
— только действительные числа.
Таким образом, методрешения поставленной задачи заключается в следующем
1. На основании значений коэффициентовисходного уравнения по формулам
D1= — />
D2= — 2( 3c — b2)
определяютсязначения D1и D2.
2.ОпределяютсяD1 — как произведение двух квадратов
D2— как удвоенная сумма двух квадратов.
3.Определяютсязначения g1,g2,h.
4.Определяютсязначения (2mn)11, (2mn)21,(2mn)31
5.Определяютсязначения корней исходного уравнения.
Пример5 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 9x2 + 73x – 265 = 0
гдеa =1, b = — 9, c = 73, d = — 265
Вэтом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(219 – 81)3+(- 1458 +5913 – 7155)2]/27 = — [10512288 + 7290000]/27= — 659344
2.Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтомубудем рассматривать D1как положительную величину.
-→D1= [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2= 659344= 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29=4∙72 ∙ 582
Здесьчисло 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядностиформирования множителей в соответствии с формулой [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2. Тогда можно записать
h= 7,(g1 — g2)2 + h2= 58 -→(g1 — g2)2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 — g2) = ± 3
3.Для определения g1и g2воспользуемся свойством корней исходного уравнения
— b = X1+X2+X3 -→- ( — 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1+ 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.
4.Теперь, имея два уравнения ( g1 — g2)= ± 3 и (g1+ 2 g2)= 9, можно определить значения g1и g2
Пусть( g1 — g2)= 3 -→g2= g1– 3 -→g1+ 2(g1– 3) = 9 -→ 3g1= 15 -→ g1= 5-→g2= 2.
-→X1= 5, X2= 2 + 7i, X3= 2 – 7i
Расчетзакончен !
Пример6 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 30x2 + 322x – 1168 = 0
гдеa =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168
Вэтом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(966 – 900)3+(- 54000 +86940 – 31536)2]/27 = — [1149984 + 1971216]/27= — 115600
2.Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтомубудем рассматривать D1как положительную величину.
-→D1= [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2= 115600= 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17=4∙ 52 ∙342
Здесьчисло 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядностиформирования множителей в соответствии с формулой [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2. Тогда можно записать
h= 5,(g1 — g2)2 + h2= 34 -→(g1 — g2)2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 — g2) = ± 3
3.Для определения g1и g2воспользуемся свойством корней исходного уравнения
— b = X1+X2+X3 -→- ( — 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1+ 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.
4.Теперь,имея два уравнения ( g1 — g2)= ± 3 и (g1+ 2 g2)= 30, можно определить значения g1и g2
Пусть( g1 — g2)= — 3 -→g2= g1– 3 -→g1+ 2(g1– 3) = 30 -→ 3g1= 24 -→ g1= 8-→g2= 11.
-→X1= 8, X2= 11 + 5i, X3= 2 – 5i
Расчетзакончен !
Новыйметод решения кубических уравнений
Изанализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый методрешения кубических уравнений… Для корней кубического уравнения могут
иметьместо следующие случаи
— три корня имеют одинаковые действительные значения
— три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными,т.е. если X1= g + h,то X2= g – hилиX1=/> (g+ h), то X2= />(g– h), Наличие множителя /> обусловленочисленным значением коэффициента bпри X для X3+ bX2+ cX + d= ( X – X1)∙(X2 +bX+ c) = 0.
— один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные,т.е. если X1= g + ih,то X2= g – ih.
Первыйслучай – тривиальный. (x– a )3 = x3– 3ax2+3a2x– a3=0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.
Триразных действительных корня
Пустьимеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить наразность ( X – g1),то получим квадратное уравнение вида
[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 — h)] = 0
-→ X2 – 2g2X + (g22– h2) = 0
-→ X1 = g1, X2,3= g2 ± h -→ X2 = ( g2 — h), X3 = ( g2 + h)
-→(2mn)1 = ( X1 — X2) = (g1 — g2 ) + h
(2mn)2 = ( X1 — X3)= (g1 — g2 ) – h
(2mn)3 = ( X2 — X3)= g2 — h — g2 – h = — 2h
-→ D1 = — ( 2mn)12∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 =- [(g1 — g2 ) + h]2 ∙ [(g1 — g2 ) — h]2 ∙ [2h]2
-→ D1= [(g1 — g2 )2 — h2 ]2 ∙ 4h2(3)
-→ D2 = — [ (2mn)12+ (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [(g1 — g2 ) + h]2 + [(g1 — g2 ) — h]2+ 4h2
→ D2= — [(g1 — g2 )2 + 2(g1 — g2)∙ h + h2 + (g1 — g2 )2 — 2(g1 — g2 )∙ h + h2 + 4h2]
→ D2= — [ 2(g1— g2)2 + 6h2] = — 2[(g1— g2)2 +3h2] (8)
Наосновании формул системы mnпараметров имеем
D1= — /> (4)
D2= — 2( 3c — b2), (5)
гдеb,c,d — коэффициентыисходного кубического уравнения.
Тридействительных корня и два одинаковых
Пустьимеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два равных действительных корня. Тогда имеем h=0и (2mn)I= 0
При(2mn)I= 0 наосновании уравнения (1) будем иметь
3x2+ 2bx+с = 0 (6)
→X2=( g2 — h), X3= ( g2+ h) →X2= X3= g2
→ (2mn)1 = ( X1 — X2) = (g1 — g2 )
(2mn)2 = ( X1 — X3)= (g1 — g2 )
(2mn)3 = ( X2 — X3)= g2 — g2 = 0
→ D1= — ( 2mn)12∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 =0
→ D2 = — [ (2mn)12+ (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [ (2mn)12+ (2mn)22 ]
→ D2 = 2 (2mn)12= 2 (g1 — g2 )2 = — 2( 3c – b2) = 2( b2 – 3c )
→ (g1 — g2 )2= ( b2 — 3c )
Наосновании свойств корней исходного уравнения можно записать — b=X1+ 2X2
→ g1+ 2g2= — b
Решаясистему из двух уравнений будем иметь g2= — />
→ X11,12 = g11,12= />[- b ± /> ]
→X21,22= g21,22= />[ — b± /> ]
Расчетзакончен !
Пример7 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 41x2 + 475x – 1083 = 0
гдеa =1, b = — 41, c = 475, d = — 1083
1. X11,12 = g11,12= />[- b ± /> ]→ X11,12 = />[41 ± /> ]= />[41 ± /> ]
→ X11 = /> ,X1 = 3
X21,22 = g21,22= />[- b ± /> ]→ g21,22 = />[41 ± /> ]=/>[41 ± /> ]
→X21= 19, X22= /> →X2= X3= 19
Расчетзакончен !
Выводосновных формул
Заданоисходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимонайти значения корней.
1.Определяем значение D1= — />
2.Разделим/>
3.Представляемчисло /> в видепроизведения двух квадратов /> = [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ h2.
4.Меньшиймножитель принимаем за h2→[(g1 — g2)2 — h2]2 = />
→(g1 — g2) = /> (6)
5.Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Изисходного уравнения b = — (X1+ X2+ X3) →b = — (g1+ g2 — h + g2+h )
→b= — ( g1+ 2g2) (7)
6.Решаясистему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим
X1 = g1= /> -b )
→ X11 = g11= /> -b ) (8)
→ X12 = g12= /> -b ) (9)
Такимобразом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7.→g2 = — />
→ g21 = — />
→g22= — />
8.Определяемдва остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Этимиформулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этихвариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.
Задачарешена!
Пример8 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 33x2 + 311x – 663 = 0
гдеa =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(933 – 1089)3+(- 71874+ 92367 – 17901)2]/27 = — [-15185664 +6718464 ]/27=313600
-→D1= [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ 4h2= 313600= 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72= 4∙702∙42 = 4∙282∙102
313600= 4∙1402∙22 = 4∙72∙402= 4∙52∙562
-→/> = 402∙72= 702∙42 = 282∙102 =1402∙22 =52∙562
2.Пусть h12= 72
→ X1 = g11 = /> -b ) = /> -b) = />
→ g11 = X11 =13, X12 = 9.
→ g21 = — /> =- /> =10
→X2,3= g21+ h1= 10 ± 7 → X2= 17, X3= 3
Задачарешена!
Неприводимыйслучай формулы Кардана
Пустьимеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два мнимых сопряженных корня
X2=( g2 — ih), X3= ( g2+ ih).
-→(2mn)1 =( X1 — X2)= (g1 — g2) +ih
(2mn)2= ( X1 — X3)= (g1 — g2) – ih
(2mn)3= ( X2 — X3)= g2 — ih— g2– ih= — 2ih
Заданоисходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимонайти значения корней.
1.Определяем значение D1= — />
2.Разделим/>
3.Представляемчисло /> в видепроизведения двух квадратов /> = [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ h2.
4.Меньшиймножитель принимаем за h2→[(g1 — g2)2 + h2]2 = />
→(g1 — g2) = />
5.Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Изисходного уравнения b = — (X1+ X2+ X3) →b = — (g1+ g2 — ih + g2+ ih )
→ b = — ( g1 + 2g2 )
6. X1 = g1= /> -b )
→ X11 = g11= /> -b )
→ X12 = g12= /> -b )
7.→g2 = — />
→ g21 = — />
→g22= — />
8.Определяемдва остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Пример9 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 6x2 + 58x – 200 = 0
гдеa =1, b = — 6, c = 58, d = — 200
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(174 – 36)3+(- 432 +3132 – 5400)2]/27 = — [10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→D1= [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ 4h2= 659344= 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292= 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→/> = 2032∙22= 582∙72 = 292∙142
Пустьh12= 72
→ X1 = g11 = /> -b ) = /> +6) = /> =4
→ X1 = 4
→ g21 = — /> =- /> =1
→ X2,3 = g21 +ih1 = 1 ± 7i → X2= 1 — 7i, X3= 1 + 7i
Задачарешена!
Пример10 Дано уравнение
x3 — 6x2 + 21x– 52 = 0
гдеa =1, b= — 6, c = 21, d= — 52
Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(63 – 36)3+(- 432 +1134 – 1404)2]/27 = — [ 78732+ 492804 ]/27= 21168
→D1=[(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ 4h2= 21168= 4∙22∙72 ∙ /> = 4∙142∙/> = 4∙/>
→D1= /> /> />
Пустьh12= />
→ X1 = g11 = /> -b ) = /> +6) = /> =4
→ X1 = 4
→ g21 = — /> =- /> =1
→ X2,3 = g21 +ih1 = 1 ± 2i/> →X2= 1 + 2i/> ,X3 = 1 — 2i/>
Сравнитеметод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн.К. А.Семендяев.Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Выводновых формул
Основныесвойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известнымиформулами Виета. Использование системы mnпараметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формулотражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотримкубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2mn)2+ ( 3x+ b)(2mn)+ 3x2+ 2bx+с = 0
Еслив это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубическогоуравнения, то получим
(2mn)2+ ( 3xi+ b)(2mn)+ 3xi2+ 2bxi+с = 0
→(2mn)2 +( 3x1+ b)(2mn)+ 3x12+ 2bx1+с = 0
→(2mn)2 +( 3x2+ b)(2mn)+ 3x22+ 2bx2+с = 0
→(2mn)2 +( 3x3+ b)(2mn)+ 3x32+ 2bx3+с = 0
Такимобразом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения.При этом для каждого положительного значения (2mn)Iобязательно найдется отрицательное значение (2mn)j.Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn)будет равна нулю.
→( 3x1+ b) + ( 3x2+ b) + ( 3x3+ b) = 0 →3( x1+ x2+ x3) = — 3 b
→( x1+ x2+ x3) = — b.
Такимобразом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотримлюбых два уравнения, например,
→(2mn)2 +( 3x1+ b)(2mn)+ 3x12+ 2bx1+с = 0
(2mn)2+ ( 3x2+ b)(2mn)+ 3x22+ 2bx2+с = 0.
Здесьв качестве свободных членов имеем 3x12+ 2bx1+с и 3x22+ 2bx2+с. Их сумма равна
→Σ = 3(x12+ 3x22)+ 2b(x1+ x2) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x12+x22)+ 2b( x1+ x2) + 2 с = ( x1 — x2)2
→(x1+ x2)2+ b( x1+ x2) + с — x1∙x2= 0
Тогдадля трех корней исходного уравнения будем иметь
→ (x1+ x2)2+ b( x1+ x2) + с — x1∙x2= 0
→ (x1+ x3)2+ b( x1+ x3) + с — x1∙x3= 0
→(x2+ x3)2+ b( x2+ x3) + с — x2∙x3= 0
Этоновые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
Вобщем случае эта формула имеет вид
(xi + xj)2+ b( xi+ xj) + с — xi∙xj= 0 ( 10 )
Пример11 Проверитьформулу ( 10 )
x3 — 20x2+ 113x- 154 = 0
гдеa =1, b= — 20, c =113, d= -154
ЗдесьX1= 7, X2= 2, X3= 11.
→(x1+ x2)2+ b( x1+ x2) + с — x1∙x2= 0 → (7 + 2)2 — 20( 7 + 2 ) + 113- 7∙ 2= 0
→(x1+ x3)2+ b( x1+ x3) + с — x1∙x3= 0 → (7 + 11)2 — 20( 7 + 11 ) +113 — 7∙ 11= 0
→(x2+ x3)2+ b( x2+ x3) + с — x2∙x3= 0 → (2 + 11)2 — 20( 2 + 11 ) +113 — 2∙ 11= 0
Расчетподтверждает верность формулы ( 10 ).
Тридействительных корня и два одинаковых
Приналичии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn)= 0.
Тогдаиз уравнения (2) следует 3x12+ 2bx1+с = 0. Подставив значения коэффициентов bи с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример12 Пустьимеемв качестве исходногоуравнение x3–25x2+ 203x – 539 = 0. Необходимонайти решения данного уравнения.
РешениеДопустим,что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогдаимеем 3x12+ 2bx1+с = 0 → 3x12 — 50x1+ 203 = 0 → x1,2= /> ) → x1= /> , x2= 7.
Подставивзначение x= 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения.Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда.Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X1= X2= 7,X3= 11
Тридействительных и одинаковых корня
Вэтом случае имеем для всех (2mn)= 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x12+ 2bx1+с = 0.
→x1,2= /> ).При равенстве трех корней имеем /> = 0
→x1,2,3= — /> .
Этуформулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
→(x1+ x2+ x3) = — b.При x= x1= x2= x3→ 3 x= — b→x= — /> .
Пример12 Дано уравнение
x3– 24x2 +183x – 448 = 0 → b=- 24, с = 183, d = — 448
Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(549 – 576)3+(- 27648 +39528 – 12096)2]/27 = — [-78732 + 46656 ]/27= 1188
-→1188=4∙9∙33 = 4∙36∙/>
2.Пусть h2= />
→/> = [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ h2→ [(g1 — g2)2 + h2]2 = 36 →[(g1 — g2)2 — h2] = ± 6
→(g1 — g2)2 = — 6 + /> = />→ g1 — g2= ± /> .
Второеуравнение ( x1+ x2+ x3) = — b→(g1+ g2+ h+ g2– h) = — b→g1+ 2g2= 24
Такимобразом, имеем два уравнения g1 — g2= ± />и g1= 24 — 2g2.
→24 — 2g2— g2= ± /> →g2 =/> = /> →g2= /> →g1= 24 — 2g2→g1= 24 – 17→g1= 7
→X1= 7, X2= /> ( 17 + /> ), X3= /> ( 17 — /> )
Задачарешена!
Внимание!В данном примере имеет место множитель /> в значениях X2и X3.Этот случайобусловленследующим
1.Разделим исходное уравнение x3– 24x2 +183x – 448 = 0 на (x– 7)
→/> = — x2+ 17x – 64→ x3– 24x2 +183x – 448= (x– 7)∙( x2 — 17x + 64)=0.
кубическое уравнение формула кардан
2.В уравнении x2 — 17x + 64=0 при xимеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙/> .
Автор с благодарностьюпримет конкретные предложения, замечания и оценки.
E- Mail: fgg-fil1@narod.ru