Министерство образования и науки республики Казахстан
Северо-Казахстанский государственныйуниверситет
им. М. Козыбаева
Факультет информационных технологий
Кафедра математики
Курсовая работа
«Некоторые интерполяционные свойства конечномерныхсетевых пространств и пространств Лоренца»
Петропавловск, 2007
Аннотация
В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семействконечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классовпространств.
Содержание
Введение
1. Основные понятия и некоторыеклассические теоремы теории интерполяции
2. Общиесвойства интерполяционных пространств
3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерныхпространств
Заключение
Список использованнойлитературы
/>Введение
Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвьфункционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет всевозрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории являетсяпроблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачейпостроения совокупности «промежуточных» пространств – арены, накоторой действуют «промежуточные» операторы. Основополагающий вклад втеорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом неследует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали(и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяциилинейных операторов в пространствах lp.
Теория интерполяция также применяется в других областях анализа(например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе,теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционныхметода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции.Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремыМарцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых раннихпримеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шурсформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц,соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремыРисса-Торина с ограничением p≤q,которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутсявещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенствоГельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смогустранить ограничение p≤q.В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенствомГельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума.
1. Основные понятия и некоторые классическиетеоремы теории интерполяции
Пусть (u,μ) –пространство с мерой μ, которую будем всегдапредполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными,если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры.При этом обозначим через lp(u,dμ) или просто (lp(dμ), lp(u) или lp) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина
/>
конечна, здесь 1≤p
В случае, когда p=∞, пространство lp состоит из всех μ-измеримыхограниченных функций. В этом случае
/>
Пусть T — линейноеотображение пространства lp=lp(u,dμ)в пространство lq=lq(v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g).
Если к тому же T- ограниченное отображение, тоесть если величина конечна, то пишут T: lp®lq.
/>
Число μ называется нормой отображения T. Справедливыследующие известные теоремы:
Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина)
Предположим, что /> /> и что T:/> с нормой μ0и T: /> снормой μ1.
Тогда T: />→ /> с нормой μ,удовлетворяющей неравенству /> (*),при условии, что 0; /> .
Неравенство (*) означает, что μ как функцияот θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклаяфункция.
Доказательство теоремы приведено в [1].
Для скалярнозначной μ-измерной функции f,принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле
/>
Ясно, что m(σ,f)представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную наположительной вещественной полуоси />.Очевидно, что m(σ,f) –невозрастающая и непрерывная справа функция. Кроме того,
/> при 1≤p
и />.
Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые lp-пространства,обозначаемые через />. Пространства />, 1≤p
/>
В предельном случае p=∞, положим />.
Заметим, что /> не являетсянормой при 1≤p
Действительно, ясно, что
/>
Применяя неравенство />,заключаем, что
/>
Последнее означает, что />представляетсобой так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие отнормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника />, в квазинормированныхпространствах имеет место лишь «квази-неравенство треугольника» /> для некоторого k≥1.) Однако, при p>1 впространстве />можно ввести норму, при наделениикоторой оно становится банаховым пространством.
Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)
Пусть p0≠p1и
T: /> снормой />,
T: /> с нормой />.
Положим />; />, и допустим, что p≤q.
Тогда T: />→/>, с нормой μ,удовлетворяющей неравенству />.
Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее вомногих важных отношениях.
Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так икомплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобыскаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важнаяособенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства /> и /> заменены на более широкиепространства /> и />.
Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в техслучаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.2. Общие свойства интерполяционныхпространств
Пусть A — векторноепространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называетсянормированным векторных пространством, если существует вещественнозначнаяфункция (норма) />, определенная наA, удовлетворяющая условием.
1) />, причем />
2) /> (λ-скаляр)
3) />.
Пусть A и B – дванормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченнымлинейным оператором, если
/>, /> и />.
Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.
Пусть A0и A1– топологических векторных пространства. Говорят, что
A0и A1 совместимы,если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A0и A1, являются подпространствами. В этом случаеможно образовать сумму A0+ A1, и пересечение A0∩A1. Сумма состоит из всех a/>U, представимых ввиде a=a0+a1, где a0/>A,и a1/>A,
Справедлива следующая лемма
Лемма 2.1. Пусть A0и A1-совместимые нормированные векторныепространства. Тогда
A0∩A1,есть нормированное векторное пространство с нормой
/>
A0+ A1,также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой
/>
При этом если A0и A1– полные пространства, то A0∩A1 и A0+ A1 также полны.
Дадим некоторые важные определения:
Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмамиопределено трехместное отношение T: A↷B.
Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST,называемый произведением (или композицией) морфизмов Sи T, такой, что ST: A↷ C.
Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет законуассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA, такой, что для любого морфизма T: A↷A TI=IT=T
Через σ1 обозначим категорию всех совместимых пар /> пространств из σ.
Определение 2.1. Пусть />=(A0,A1)-заданнаяпара из σ1. Пространство A из σбудем называть промежуточным между A0и A1 (или относительно />),если имеют место непрерывные вложения.
/> .
Если, кроме, того T: />↷ />влечет T:A ↷ A, то A называется интерполяционным пространством между A0и A1.
Более общим образом, пусть />и /> — две пары из σ1.Тогда два пространства A и B изσ называются интерполяционными относительно />и/>соответственно и T: />↷ />влечет T:A↷B.
Если выполнено
/>,
В этом случае, говорят, что A и Bравномерные интерполяционные пространства.
Определение 2.2 Интерполяционные пространства A иB называются пространствами типа θ (0≤θ≤1),если
/>
В случае с=1 говорят, что A и B — точные интерполяционные пространства типа θ.
3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора,спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерномслучае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как онаизменится в случае некоторого преобразования.
В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементовнеотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектральногорадиуса.
Определим пространство /> какмножество всех наборов вида
a=(a1, a2,…, aN)
с нормой
/>.
Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности N x N. Любое множество Q0={(ki,lj): />, />} будет являтьсяподрешеткой размерности r x m.
Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве /> определяется следующимобразом:
r(A)=/>,
где lk-собственные значения оператора A.
Пусть m ≤ N, d1,…,dm — положительные числа. Через Dm обозначиммножество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимаютзначения d1,…,dm.Через P(A) обозначим множествоиндексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎDm.Если D={(ki,lj), i=1,…,q, j=1,…,p}подрешетка, содержащая P(A), тодля соответствующего оператора А
/>
Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицынорма не меняется.
Пусть даны положительные числа d1,…,dm и натуральное число m
Будем исследовать следующие вопросы:
Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобынорма линейного оператора AQ соответствующегорешетке (матрице) Q была максимальной?
Пусть в неотрицательной решетке Q m положительных элементов. Какрасположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейногооператора AQсоответствующейполученной решетке была максимальной?
Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобыспектральный радиус был минимальным (максимальным)?
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 3.1 Пусть d1,…,dm положительные числа, Dm- класс неотрицательных матриц, ненулевые элементыкоторых принимают значения d1,…,dm. Если m ≤ N, Q0-произвольная подрешетка размерности 1/> m, то
/>.
Доказательство. Воспользуемся определением и неравенствомКоши-Буняковского, получаем
/>
/>
/>
Неравенство в обратную сторону очевидно.
Теорема доказана.
Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньшелибо равно N, то своего максимума норма достигаетсякогда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.
Теорема 3.2 Пусть d1=…=dm=d, то есть Dm– множествовсех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которыеравны числу d. Q0 -произвольнаярешетка, симметричная относительно главной диагонали размерности n/>n, где n=min{r: r2 ≥ m}. Тогда
/>,
где [m1/2] — целая часть числа m1/2.
Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm
/>
/>.
Пусть Q1 -подрешетка, такжесимметричная относительно главной диагонали размерности />. Тогда для AÎDm, Q1ÌP(A)ÌQ0имеет место представление
А=А1+А0, где А1, А0ÎDm,Р(А1)=Q1, P(A0)ÌQ1\Q0.
Учитывая, что матрицы А0и А1 неотрицательны,получаем
/>,
поэтому r(A0)≤r(A).
С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно
/>.
Таким образом,
/>.
Теорема доказана.
Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q — решетка размерности n/>n таково, что, если(k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.
Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.
Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевымиэлементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2=0, т.е. А –нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственноезначение 0.
Теорема доказана.
Теорема 3.4 Пусть AÎDm.Пусть Q0-минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находитсяхотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.
Пусть Ad – матрица, полученная изматрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда
/>
Доказательство.
Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцовматрицы, то можно считать, что решетка A0={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m}расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пустьдобавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0,j0) внерешетки Q0. Возможны три случая:
1) 1 ≤ i0 ≤ l, j0 >m;
2) i0 > l, 1 ≤ j0 ≤m;
3) i0 > l, j0 > m.
Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этотненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). Поусловию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевойэлемент и мы можем предположить, что a1m=0. Получаем:
/>
/>
/>
Используя неравенства
/>, />
имеем:
/>
Пусть z1=x1,z2=x2,…,zm=/> и
/>,
тогда
/>
/>
где элемент /> имеет координаты(1,m).
Следовательно
/>
Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элементсоответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждойстроке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, чтоот перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al1=0. Аналогично первому случаю имеем:
/>
/>
/>.
Используя неравенства
/>, />
получаем:
/>.
Пусть z1=y1,z2=y2,…,zm=/> и
/>,
тогда
/>
/>
где элемент /> имеет координаты(l,1). Следовательно
/>
Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этотненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк истолбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm=0. Рассуждая также, как и в предыдущихслучаях, получаем:
/>
/>
/>
где элемент /> имеет координаты(l,m).
Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов былирассмотрены в работах [1], [5].
4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств
Пусть 1 ≤ p
/>
где /> невозрастающаяперестановка последовательности />.Обозначим через />–множествовсех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M/>/> ,1 ≤ p
Определим семейство конечномерных пространств
/>
/>
|e| — количество элементов множества e.
При q=∞ положим
/>
Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевыхпространств, введенных в [1].
Будем говорить что {AN} ↪ {BN} если существует константа c,такая что /> для любого />, где cне зависит от />.
Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q . Тогда имеет местовложение
/>↪ />
то есть
/>
где с не зависит от выбора N.
Доказательство. Пусть />
/>(1)
то есть />↪/>
Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q
/>
/>
/>
/>
/>
Лемма доказана.
Лемма 4.2 Пусть 1≤p
/>↪ />
Доказательство.
Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p
/>↪ />
Получаем:
/>
/>
/>
Лемма доказана.
Лемма 4.3 Пусть 1. Тогда
/>/>
Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причемконстанты не зависят от/>.
Доказательство. Сначала докажем соотношение:
/>(2)
Заметим, что
/>
Поэтому
/>
Теперь покажем обратное неравенство. Пусть />. Учитывая выбор /> имеем.
/>
/>
/>
/>~
~ />
Заметим, что
/>
/>
Согласно (2) получаем:
/>
то есть />↪/>.
Докажем обратное включение. Пусть />Введемследующие обозначения:
/>
Тогда
/>.
Пусть для определенности
/>.
Возможны следующие случаи:
/>.
В первом случае получаем, что
/>
/>.
Во втором случае />,следовательно />. Представим />, тогда />. Здесь и далее /> - целая часть числа />.
Получаем
/>
Заметим, что существует /> такое,что
/>
Положим /> Тогда />.
/>
/>.
Таким образом, получаем
/>
/>
Из того, что
/>
Имеем
/>
То есть />. Следовательно />↪ />где соответствующиеконстанты не зависят от N.
Лемма доказана.
Для пары пространств /> определиминтерполяционные пространства /> аналогично[5] .
Пусть /> />, тогда
/>
где />
При q=∞
/>
Лемма 4.4 Пусть /> />, d>1.Тогда
/> />
Справедлива следующая
Теорема 4.1 Пусть ≤p0
/>↪ />
где />
Доказательство.
Учитывая, что />↪/>нам достаточно, доказатьследующее вложение
/>↪ />
/>
Пусть /> Рассмотримпроизвольное представление a=a0+a1, где
/> тогда
/>
/>
/> (3)
Так как представление a=a0+a1 произвольно, то из (3) следует
/>
Где /> Рассматривая нормуэлемента в пространстве и применяя
лемму 4.4, получаем:
/>
Теорема доказана.
Теорема 4.2 Пусть 1≤p0Тогда имеет место равенство
/>
Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, независящими />N.
Доказательство. По теореме 4.1 и того, что /> являетсяобобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:
/>↩ />
/>.
Определим элементы /> и /> следующим образом
/>
/> , тогда />.
Заметим что
/> (4)
где />
/>(5)
где />
Тогда
/>
Из (4) и (5) имеем:
/>
/>
Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используянеравенство Гельдера:
/>
/>~
/>
/>
/>
/>
где />.
Таким образом, получаем, что /> Аналогичнорассмотрим второе слагаемое:
/>
/>~
~/>
/>
/>~ />
Таким образом, получаем
/>
где c не зависит от />.
Теорема доказана.
Теорема 4.3 Пусть /> -матрица /> /> />, тогда
/>~ />
Причем соответствующие константы не зависят от />
Доказательство.
Воспользуемся эквивалентными представлением нормы /> и неравенством оперестановках, получим
/>~/>
где /> - невозрастающаяперестановка последовательности />
Применим неравенство Гельдера
/>
Учитывая лемму 3, имеем
/>
Обратно, пусть e произвольное множество из M1, /> , где
/>
Тогда
/>
/>
В силу произвольности выбора e из M1 получаем требуемый результат.
Следствие. Пусть /> -матрица /> /> />
p0 тогда
/>
/>
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что
/>
/>
/>
Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем
/>
то есть
/>
С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем
/>/>,
Следствие доказано.
Заключение
В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойстваконечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.
Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов,аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использовандля чтения спецкурсов и спецсеминаров.
Список использованной литературы
1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир,1980.
2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженныхоператоров. М.: Наука, 1965.
3. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах впространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С.475-491.
4. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами.//Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.
5. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда//Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.
6. Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ееэлементов. // Материалы Международной научной конференции «Современныепроблемы теории функций и их приложения», Саратов, Россия, 2004, с.177-178.
7. Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц.//Материалы Международной научно-практической конференции «Современныеисследования в астрофизике и физико-математических науках», Петропавловск,2004, с. 104-107.
8. Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств.//Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов2005», Астана, 2005, с. 41-42.