Насыщенные формации заданной структурой подформаций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение Образования
"ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Ф. СКОРИНЫ"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой___________________ Л.А. Шеметков
"____"________________200___г.
Дипломная работа
Насыщенные формации заданной структурой подформаций
Исполнитель
студент группы М-52
Рябченко Елена Александровна
Научный руководитель
к. ф. — м. н., доцент
Васильев Александр Федорович
Рецензент
к. ф. — м. н., доцент
Новиков Сергей Петрович
ГОМЕЛЬ 2005
Оглавление
Введение
1. Решетка всех -насыщенных формаций и ее основные свойства
Спутники формаций
Решетка внутренних -локальных спутников формации
2. -Насыщенные формации с ограниченным -дефектом
Понятие -дефекта.
3. Решетка — насыщенных формаций с дополнениями
-Насыщенные формации, у которых решетка является решеткой с дополнениями
Заключение
Список использованных источников
Введение
Важное место в современной алгебре занимает изучение конечных групп, для исследования которых было разработано немало средств. И хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующихся точек зрения.
Толчок, произведенный работой Гашюца 1963 года, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления, новой теории. Уже в первые годы существования этой теории были получены значительные результаты. С этого момента началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, наибольшую популярность среди которых получили формации.
Напомним, что формация — это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. В работе Гашюца был впервые выделен важный для приложений класс насыщенных формаций и предложен способ конструирования такого рода формаций при помощи специальных функций. В вопросах приложения теории формаций к исследованию непростых конечных групп нашли широкое применение насыщенные и />-насыщенные формации. При их изучении выделились два подхода. Первый связан с так называемым локальным заданием формации />. В качестве рабочего инструмента этого способа Гашюц предложил использовать функции вида
/>
При этом вводится понятие локального спутника формации />. Говорят, что /> — локальный спутник формации />, если данная формация состоит из тех и только из тех групп, для которых имеет место /> для любого />.
Позднее эта теория расширилась, и в результате возникла необходимость изучать частично насыщенные формации. Рабочим инструментом теперь стало понятие />-локального спутника формации. В качестве которого выступает функция вида
/>
где данная формация /> состоит только из тех групп />, для которых /> и /> для любого />. Формацию /> называют />-насыщенной, если из /> всегда следует />.
Как показал Гашюц, всякая локальная формация насыщена. В дальнейшем Любезедер и П. Шмид установили, что всякая непустая насыщенная формация локальна. Таким образом, оказалось, что класс локальных формаций совпадает с классом непустых насыщенных формаций. Идеи, заложенные в отмеченной выше работе Гашюца, привлекли внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.
Развивая локальный метод Гашюца, Л.А. Шеметков предложил второй подход для изучения формаций, в основе которого лежит идея изучения формаций с заданной системой подформаций. Этот метод исследования был впервые рассмотрен в книге Л.А. Шеметкова «Формации конечных групп» (Москва: Наука, 1978 г). Решение задач, поставленных в этой книге, дало толчок целому кругу новых идей и, в частности, это привело к возникновению таких важных понятий как минимальные не />-формации, />-кратно насыщенные формации, />-дефект насыщенной формации, дополняемость подформаций, длина насыщенной формации и др.
Немаловажным из рабочих инструментов исследования частично насыщенных формаций являются результаты и методы общей теории решеток. Как известно, методы общей теории решеток с успехом используются при исследовании различных алгебраических объектов. Привлечение методов этой теории к изучению классов групп позволяет не только значительно упрощать доказательства многих уже известных теорем, но и с успехом решать ряд открытых вопросов, связанных с изучением внутреннего строения таких классов. Применение решеточных подходов в теории классов групп было впервые осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее А.Н. Скиба показал, что привлечение решеточных конструкций весьма полезно и при изучении формаций групп. При этом существенную роль играет тот факт, что решетка всех насыщенных формаций модулярна. В дальнейшем рассматривался вопрос о модулярности и дистрибутивности решеток формаций других типов. Так в монографии Л.А. Шеметкова и А.Н. Скибы «Формации алгебраических систем» (М.: Наука, 1989 г) была доказана модулярность решетки всех />-кратно насыщенных формаций; Баллестером-Болиншес и Л.А. Шеметковым было показано, что модулярна решетка всех />-насыщенных формаций; Л.А. Шеметковым и А.Н. Скибой была установлена модулярность решетки />-кратно />-насыщенных формаций. Эти результаты позволили широко применять элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций таких типов. Широкий спектр применения решеточных конструкций при исследовании формаций представлен в монографии А.Н. Скибы «Алгебра формаций» (Минск: Беларуская навука, 1997 г). Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов групп является актуальной задачей.
В настоящее время теория насыщенных формаций является весьма развитым учением, обогащенным большим числом ярких теорем и содержательных примеров. Они отражены в ряде работ. В то же время, частично насыщенные формации и, в частности, />-насыщенные формации изучены сравнительно мало. Следует отметить, что как показывают результаты ряда авторов, полученные в последние годы, />-насыщенные формации весьма полезны при анализе многих вопросов при исследовании нормального строения конечных непростых групп. А методы, разработанные на основе частично насыщенных формаций широко используются в различных областях современной математики. Наиболее широкий диапазон применения этой теории в общей алгебре.
Настоящая дипломная работа посвящена изучению свойств частично насыщенных формаций с заданной структурой подформаций. Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы. Каждый раздел условно можно разделить на две части. Первая часть носит вспомогательный характер. В ней приводятся обозначения, определения понятий, которые неоднократно используются в дальнейшем. В этой части также включены некоторые результаты теории формаций конечных групп для удобства ссылок и независимости текста работы от других источников. Во второй части работы находятся новые результаты, полученные автором в результате изучения данной темы.
Первый раздел посвящен изложению основных свойств решетки />-насыщенных формаций. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о частично насыщенных формациях и их />-локальных спутниках. Доказано, что совокупность всех внутренних />-локальных спутников формации образует полную модулярную решетку.
Во втором раздле дипломной работы исследуется />-дефект />-насыщенной формации. Изучаются вопросы, связанные с понятием минимальных />-насыщенных не />-нильпотентных подформаций. Основным результатом этого раздела является теорема, дающая описание />-насыщенных формаций />-нильпотентного дефекта />.
В третьем разделе рассматриваются />-насыщенные формации, у которых решетка />/>-насыщенных формаций, заключенных между /> и />, является решеткой с дополнениями. В теореме получено описание />-насыщенных формаций такого вида.--PAGE_BREAK--
Работа носит теоретический характер. Результаты ее могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.
1. Решетка всех />-насыщенных формаций и ее основные свойства
Спутники формаций
В работе рассматриваются только конечные группы. Используются определения и обозначения, принятые в книгах — и работе .
Напомним, что через /> обозначают множество всех простых чисел. Пусть /> — некоторое непустое множество простых чисел. /> — дополнение к /> во множестве простых чисел, т.е. />. Через /> обозначают множество всех различных простых делителей натурального числа />, а через /> — множество всех простых делителей порядка группы />, т.е. />. Полагают также, что />. Натуральное число /> называется />-числом, если />. Группа /> называется />-группой, если ее порядок есть />-число.
Определение.Формация /> — это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений, т.е. /> — формация, если
1) /> и /> следует, что />;
2) /> и /> следует, что />.
Напомним, что если /> — произвольный непустой класс групп, то через /> обозначают пересечение всех формаций, содержащих />.
Определение.Пусть /> — непустое множество простых чисел. Всякую функцию /> вида />
называют />-локальным спутником. При этом запись /> означает множество />.
Для произвольного класса групп /> символом /> обозначают пересечение всех таких нормальных подгрупп />, что />, а символом /> обозначают произведение всех нормальных />-подгрупп группы />.
Пусть /> — класс всех тех групп, у которых каждый композиционный фактор является />-группой.
Полагают, />, />.
Через /> обозначают наибольшую нормальную />-подгруппу группы />.
Лемма. Пусть /> — нормальная подгруппа группы />.
1. Если /> — />-группа, то />.
2. Если />, то />.
Для произвольного />-локального спутника />
/>
Лемма. Пусть />, где /> и />. Тогда либо />, либо найдется такое число />, что />.
Доказательство. Пусть /> и /> для всех />. Первое соотношение влечет />. Пусть />. Тогда /> и />. Значит, для всех /> имеет место включение />. Следовательно, />. Полученное противоречие доказывает лемму.
Определение.Если формация /> такова, что />, то говорят, что /> является />-локальной, а /> — ее />-локальный спутник. Если при этом все значения /> таковы, что /> для любого />, то /> называется внутренним />-локальным спутником.
Пример. Пусть /> — формация, содержащаяся в />, и /> — такой />-локальный спутник, что /> и /> для любого />. Тогда, очевидно, />. Таким образом, всякая подформация формации /> является />-локальной. Отсюда, в частности, следует, что пустая формация /> и формация единичных групп /> являются />-локальными для всех />.
Определение.Насыщенной называют такую формацию />, что для любой группы /> с /> всегда следует />.
Определение.Формацию /> называют />-, если ей принадлежит всякая группа />, для которой />, где />. В частности, если />, то />-насыщенные формации называют />-насыщенными.
Определение.Пусть /> — произвольная совокупность групп, /> — некоторое простое число. Полагают
/>
Пусть /> и /> — некоторые />-насыщенные формации. Тогда через /> обозначают класс групп, равный />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Вместо /> пишут />.
Следующая теорема для />-локальных формаций является аналогом известной теоремы Гашюца--Любезедер--Шмида,, .
Теорема. Пусть /> — формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
/> Формация />/>-насыщенная;
/>/> для всех />;
/>/>, где /> и /> для всех />;
/> Формация />/>-локальна.
Доказательство. Импликация /> доказана в работе. Пусть выполняется условие 2) и /> Включение /> очевидно. Предположим, что обратное включение неверно и /> — группа минимального порядка из /> с минимальной нормальной подгруппой />. Если /> — />-группа, то />. Значит />
противоречие. Следовательно, />. Пусть />. Если /> — неабелева группа, то /> Поэтому
/>
что противоречит выбору группы />. Значит, /> — />-группа. Ввиду теоремы /> работы формация /> является />-насыщенной, откуда вытекает, что />, т.е. />. Тогда /> и, следовательно, />
Полученное противоречие показывает, что />. Таким образом, />.
Предположим теперь выполнимость условия /> и допустим, что формация /> не является />-насыщенной. Тогда найдется такое число /> и такая группа /> с нормальной подгруппой />, что />, но />. Поскольку />/> для простых /> и />, получаем /> и /> для всех />. Следовательно, />. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть /> — произвольный набор />-локальных спутников. Через /> обозначают такой />-локальный спутник />, что /> для всех />.
Если /> для всех />, то полагают, что />.
Лемма. Пусть />, где />. Тогда />, где />.
Доказательство. Пусть выполнены условия леммы, т.е. />, где /> и пусть />. Тогда по условию />. Следовательно, для любого />/>. Но, так как для всех /> имеет место />, то /> для всех /> и />. Тогда /> всех /> и />. Таким образом получаем, что />. Лемма доказана.
Определение.Пусть /> такая совокупность формаций, что либо />, либо />, где />, />. Такую совокупность формаций называют цепью формаций.
Определение.Цепью />-локальных спутников называют такую совокупность />-локальных спутников />, что либо />, либо />, где />, />.
Лемма. Пусть /> — цепь формаций, /> — такая цепь />-локальных спутников, что /> и для всех /> имеет место в точности тогда, когда /> для всех />. Тогда />, где /> для каждого />.
Доказательство. Пусть /> — цепь формаций и /> — такая цепь />-локальных спутников, что />, причем для всех /> выполнено в точности тогда, когда /> для любого />.
Пусть />.Т. е. существует номер /> такой, что />. Следовательно, /> для любого /> и />. Тогда /> для любого /> и /> Это означает, что />. Пусть теперь />. Следовательно, /> для любого /> и />    продолжение
--PAGE_BREAK--
Тогда существует такой номер />, что /> для любого /> и />. Тогда получаем, что />. Следовательно, />. Лемма доказана.
Лемма. Если />=/> и />, для некоторого />, то />.
Доказательство. Прежде заметим, что поскольку />, то />. А поскольку /> и для всех /> имеет место /> то /> и />. Значит, />. Лемма доказана.
Определение.Непустое множество формаций /> называют полурешеткой формаций, если пересечение любого множества из /> снова принадлежит />.
Определение.Пусть /> — формация, имеющая />-локальный спутник />. Если /> является минимальным (максимальным) элементом множества всех />-локальных спутников формации />, то /> называют минимальным (соответственно максимальным) />-локальным спутником формации />.
Пусть /> — полурешетка формаций. Если формация /> обладает />-локальным спутником />/>, то формация /> обладает />-локальным спутником />. Значит, множество всех тех формаций, которые имеют хотя бы один />-локальный спутник, является полурешеткой формаций.
Пусть /> — некоторый класс групп. Через /> обозначают пересечение всех тех />-насыщенных формаций, которые содержат />, т.е. /> — наименьшая />-насыщенная формация, содержащая формацию />. В частности, если />, то пишут />form/>.
Теорема. Если /> и /> — минимальный />-локальный спутник формации />, то справедливы следующие утверждения:
1) />;
2) /> для всех />;
3) /> и /> — некоторый фиксированный элемент из />, то />, где /> для всех />,
/>
и, кроме того, />;
4) />, где /> и /> для всех />
Из теоремы и леммы непосредственно вытекает
Следствие. Пусть />и />— минимальные />-локальные спутники формаций />и />соответственно. Тогда />в том и только в том случае, когда />.
Определение.Пусть /> — />-насыщенная формация. />-Локальный спутник /> формации /> называется каноническим, если /> и /> для всех />.
Замечание 1. Согласно теореме всякая />-локальная формация /> имеет />-локальный спутник />, который является каноническим. Такие спутники обозначают большими латинскими буквами.
Ясно, что если /> и /> — произвольный внутренний />-локальный спутник формации />, то ввиду леммы />.
Если формация />, то /> для всех />.
Из следствия теоремы следует
Лемма. Пусть /> и />. Тогда /> в том и только в том случае, когда />.
Определение.Через />, /> обозначают такие />-локальные спутники /> и /> соответственно, что /> и /> для любого />.
Лемма. Пусть /> — минимальный />-локальный спутник формации />, где />. Тогда /> — минимальный />-локальный спутник формации />
Доказательство. Пусть />.
И пусть />, а /> — минимальный />-локальный спутник формации />. Тогда, если />, то для любого /> имеет место />. Значит, />. Понятно также, что />. Пусть />. Тогда найдется такое />, что />. Значит, согласно теореме, имеет место     продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
Лемма доказана.
Решетка />-насыщенных формаций.
Результаты и методы общей теории решеток широко используются в различных областях современной математики. Наиболее широк диапазон применения этой теории в общей алгебре. Применение решеточных подходов в теории классов групп было впервые осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее А.Н. Скибой было показано, что привлечение решеточных конструкций весьма полезно и при изучении формаций групп. Следует отметить, что существенную роль играет тот факт, что решетки всех формаций и всех насыщенных формаций модулярны. Эти результаты позволили широко использовать элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций групп. Широкий спектр применений решеточных конструкций при исследовании формаций представлен в монографии А.Н. Скибы, где, в частности, показано, что привлечение общей теории решеток при исследовании классов групп позволяет не только с успехом решать открытые вопросы, но и значительно упрощать доказательства многих уже известных теорем. Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов алгебраических систем является актуальной задачей.
Напомним, что решеткойназывается частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует как наибольший, так и наименьший элементы.
Через />обозначают множество всех />-насыщенных формаций.
Если две />-насыщенные формации /> и /> такие, что />, то полагают, что />. Относительно вхождения формаций друг в друга множество />-насыщенных формаций является частично упорядоченным.
Для любых двух />-насыщенных формаций /> и /> полагают />
Определение.Непустую совокупность формаций /> называют полной решеткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из /> снова принадлежит /> и во множестве /> имеется такая формация />, что /> для любой формации />.
Лемма. Частично упорядоченное множество с наибольшим элементом является полной решеткой, если в нем любая непустая совокупность элементов обладает нижней гранью.
Лемма. Множество всех />-насыщенных формаций /> образует полную решетку.
Доказательство. Частичным порядком /> на /> является вхождение формаций друг в друга. Множество всех />-насыщенных формаций /> замкнуто относительно операций /> и />, так как объединение /> и пересечение />/>-насыщенных формаций снова является />-насыщенной формацией. Таким образом, /> является решеткой.
В качестве наибольшего элемента в /> выступает /> — формация всех групп. Так как пересечение любой совокупности />-насыщенных формаций снова будет />-насыщенной формацией, то по лемме /> — полная решетка. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> — монолитическая группа с неабелевым монолитом, /> — некоторая полуформация и />. Тогда />.
Лемма. Пусть /> — полуформация и />. Тогда если />, то />, где />
Лемма. Пусть /> — такой внутренний />-локальный спутник формации />, что />, где />. Тогда /> где />.
Определение.Пусть L — полная решетка и />. Элемент /> называют компактным в />, если из условия /> следует, что /> для некоторого конечного подмножества />, т.е., иначе /> — компактный элемент в />, если из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.
Определение.Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.
Определение.Атомом решетки /> называют наименьший ненулевой элемент, т.е. />, то в /> не существует /> такого, что />.
Определение.Пусть /> — произвольный />-локальный спутник. Символом /> обозначают класс групп />
Если для формации /> выполнено равенство />, то говорят, что /> — />-локальный />-спутник формации />.
Минимальным />-локальным />-спутником формации /> называют ее />-локальный />-спутник /> со следующими значениями:
/>
Лемма. Пусть /> — минимальный />-локальный />-спутник формации />, />. Тогда включение /> имеет место в том и только том случае, когда />.
Лемма. Пусть /> — минимальный />-локальный />-спутник формации />, />. Тогда /> — минимальный />-локальный />-спутник формации />.
Теорема. Решетка всех />-насыщенных формаций /> является алгебраической.
Доказательство. По лемме /> является полной решеткой. Поскольку каждая />-насыщенная формация, очевидно, является решеточным объединением своих однопорожденных />-насыщенных формаций, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая однопорожденная />-насыщенная формация /> является компактным элементом в />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> — некоторая однопорожденная />-насыщенная формация, /> — />-насыщенная формация, содержащая />, где /> — />-насыщенная формация, />.
Пусть /> — минимальный />-локальный />-спутник формации />, /> — минимальный />-локальный />-спутник формации />, /> — минимальный />-локальный />-спутник формации />. Согласно определению минимального />-локального />-спутника формации /> для всех /> и />
Ввиду леммы />. Согласно лемме />
Ввиду алгебраичности решетки всех формаций (см. ) для каждого фиксированного /> существует конечное число индексов /> (/>) таких, что />
И существует набор индексов />,..., /> таких, что />
Тогда />. Таким образом />
Итак, решетка всех />-насыщенных формаций алгебраична, и ее компактными элементами являются однопорожденные />-насыщенные формации. Теорема доказана.
Следствие 1. Решетка всех />-насыщенных формаций является алгебраической.
Следствие 2. Решетка всех насыщенных формаций является алгебраической.
Определение.Решетка называется модулярной, если для любых элементов />, />, /> решетки таких, что /> выполняется />.
Теорема. Решетка всех />-насыщенных формаций /> модулярна.
Доказательство. Пусть />, />, /> — />-насыщенные формации и кроме этого />. Покажем, что />
Рассмотрим такие />-локальные спутники />, что /> и /> при всех />, где />. Ввиду теоремы справедливо равенство />. Пусть />. По лемме имеем />
Из леммы вытекает, что /> — внутренний />-локальный спутник формации />.
Понятно, что /> при всех />. Значит, при всех /> имеет место равенство />
Следовательно, />. Но /> — внутренний />-локальный спутник формации />. Значит, согласно теореме, получаем /> откуда следует требуемое равенство. Теорема доказана.
Следствие 1. всех />-насыщенных формаций модулярна.
Следствие 2. всех насыщенных формаций модулярна.
Лемма. Подрешетка модулярной решетки модулярна.
Решетка внутренних />-локальных спутников формации
Пусть /> — некоторая />-насыщенная формация. Обозначим через /> — множество всех внутренних />-локальных спутников формации />.
Теорема. Пусть /> непустая />-насыщенная формация. Тогда имеют место следующие утверждения:
1) множество /> c операциями /> и /> образует полную решетку;
2) решетка /> является модулярной.
Д о к а з а т е л ь с т в о.1) Относительно операции /> множество /> является частично упорядоченным. Кроме этого для любых двух />-локальных спутников /> и /> по лемме существуют такие />-локальные спутники /> и />, что /> и />, т.е. для любых двух />-локальных спутников из /> существует как наибольший, так и наименьший элементы. Следовательно, /> является решеткой.
Покажем, что /> является полной решеткой. Так как формация />/>-насыщена, то по теореме у формации /> имеется такой />-локальный спутник />, что /> и /> для всех />. Этот />-локальный спутник является каноническим. По определению канонического спутника получаем, что для любого /> выполнено включение />.
Применяя лемму, получаем, что для любой непустой совокупности внутренних />-локальных спутников формации /> из /> существует наименьший элемент, равный пересечению этих />-локальных спутников. При этом этот элемент является точной нижней гранью. По лемме получаем, что /> является полной решеткой.
2) Пусть /> — внутренние />-локальные спутники формации />, причем />, т.е. /> для любого />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Покажем, что выполнено /> Возьмем произвольное /> из />. Тогда />, /> и /> — являются некоторыми формациями, причем все эти формации содержатся в формации />. По теореме и лемме получаем, что для любого />, в силу модулярности решетки всех формаций, выполнено равенство />
Но тогда />
Таким образом, /> является модулярной решеткой. Теорема доказана.
2. />-Насыщенные формации с ограниченным />-дефектом
Пусть /> и /> — некоторые />-насыщенные формации, причем формация /> хорошо изучена. Тогда у нас имеется некоторая информация и относительно формации />, поскольку в ней содержится часть формации />, а именно />. Так, например, при изучении насыщенной формации часто используют ее подформацию />, где /> — некоторая формация классического типа. Напомним, что формация /> называется формацией классического типа, если она имеет такой локальный спутник, все неабелевы значения которого насыщены. Однако, в общем случае без дополнительных ограничений на «хорошо известную часть» /> формации /> что-либо сказать о самой формации /> трудно. В качестве одного из возможных ограничений на /> можно, например, рассматривать ограничения, накладываемые на решетку />-насыщенных формаций />, заключенных между /> и /> (/>-насыщенная формация /> принадлежит /> тогда и только тогда, когда />). Очевидно, что /> — это наименьший, а /> — наибольший элементы />-насыщенной решетки />
Понятие />-дефекта
Определение.Для любых двух />-насыщенных формаций /> и />, где />, через /> обозначают длину решетки />/>-насыщенных формаций, заключенных между /> и />.
Определение.Пусть /> и /> — произвольные />-насыщенные формации. Тогда, если решетка /> имеет конечную длину />, то говорят, что />-дефект формации />конечен и равен />. Если же длина /> этой решетки бесконечна, то говорят, что />-дефект формации /> — бесконечен и пишут />.
Определение.Пусть /> и />/>-насыщенные формации. Формация /> называется максимальной />-насыщенной подформацией формации />, если />, и в /> не существует такой />-насыщенной подформации />, что />.
Пример. Пусть />-насыщенная формация /> не имеет максимальных />-насыщенной подформаций. Тогда для любой />-насыщенная подформации />, не содержащей />, />-дефект формации /> бесконечен.
Лемма. Пусть /> и /> — />-насыщенная формации и />. Тогда />.
Доказательство. Поскольку в силу модулярности решетки />-насыщенных формаций имеет место решеточный изоморфизм
/>
и в модулярной решетке длина любой ее подрешетки не превосходит длину самой решетки, то />. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> и /> — />-насыщенные формаций, причем />. Тогда если />, /> и /> — соответственно />-дефекты формаций /> и /> и />, то />.
Лемма. Пусть /> и /> — />-насыщенные формации, причем />. Тогда в том и только в том случае /> имеет конечный />-дефект />, когда в /> имеется максимальная />-насыщенная подформация /> с /> и в /> нет ни одной максимальной />-насыщенной подформации /> с />
Доказательство. Достаточность. Предположим, что />. Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм, />/> и, согласно условию, />, получаем />. Значит, если /> — такая максимальная подформация в />, что />, то />. Противоречие. Значит, />. Поэтому />. Следовательно, />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Необходимость. Если /> — такая максимальная подформация формации />, что />, то очевидно, />. Предположим, что в /> имеется максимальная подформация /> такая, что />
Тогда />. Следовательно, />
Поэтому, согласно лемме ,
/>
/>
Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Насыщенные формации с />-нильпотентным дефектом 1.
Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не />-формации (или иначе />-критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не />-формаций была отмечена Л.А. Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп. Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.
Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не />-формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.
Пусть />— холловская />-подгруппа группы />. Группу />называют />-нильпотентной, если />нормальная подгруппа в группе />.
Группу /> называют />-нильпотентной, если она />-нильпотентна для любого />.
Обозначим через /> — формацию всех />-нильпотентных групп.
Определение.Пусть /> — некоторая />-насыщенная формация. />-Дефект формации /> называют />-нильпотентным дефектом.
Определение./>-Насыщенная формация /> называется минимальной />-насыщенной не />-нильпотентной формацией, если />, но все собственные />-насыщенные подформации из /> содержатся в />.
Лемма. Пусть /> — формация классического типа, /> — непустая />-насыщенная формация. Тогда если />, то в /> имеется по крайней мере одна минимальная />-насыщенная не />-подформация.
Следствием леммы является следующая
Лемма. Пусть /> — произвольная />-насыщенная не />-нильпотентная формация. Тогда в /> имеется по крайней мере одна минимальная />-насыщенная не />-нильпотентная подформация.
Лемма. Тогда и только тогда /> является минимальной />-насыщенной не />-нильпотентной формацией, когда />, где /> — такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой />, что />, и либо /> и P — />-нильпотентный корадикал группы />, либо />, и выполняется одно из следующих условий:
1) группа /> неабелева, причем, если />, то /> — />-группа, если же />, то /> — простая неабелева группа;
2) />, где /> — />-группа, а /> такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой />, что />, />, /> — />-группа, и либо />, либо /> — группа порядка q, где />.
Лемма. Пусть /> — произвольная непустая формация и пусть у каждой группы />/>-корадикал /> не имеет фраттиниевых />-главных факторов. Тогда, если /> — монолитическая группа из />, то />.
Лемма. В любой модулярной решетке если /> и оба элемента /> и /> покрывают />, то /> покрывает и />, и />; двойственно, если /> и /> покрывает оба элемента /> и />, то /> и /> оба покрывают />.
Теорема. Пусть /> — формация всех />-нильпотентных групп, и пусть /> — некоторая />-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае />-нильпотентный дефект формации /> равен 1, когда />, где /> — />-насыщенная />-нильпотентная подформация формации />, /> — минимальная />-насыщенная не />-нильпотентная подформация формации />, при этом:    продолжение
--PAGE_BREAK--
1) всякая />-нильпотентная подформация из /> входит в />;
2) всякая />-насыщенная не />-нильпотентная подформация /> из /> имеет вид />.
Доказательство. Необходимость. Пусть />-нильпотентный дефект формации /> равен 1. Так как формация /> — не />-нильпотентна, то по лемме в формацию входит некоторая минимальная />-насыщенная не />-нильпотентная подформация />. По условию /> — максимальная />-насыщенная подформация в />. Значит, />.
Достаточность. Пусть />/>-насыщенная не />-нильпотентная формация, удовлетворяющая требованиям теоремы, т.е. /> — />-насыщенная />-нильпотентная подформация формации />, /> — минимальная />-насыщенная не />-нильпотентная подформация формации />. Понятно, что />. Пусть />-дефекты формаций />, /> и /> равны соответственно />, /> и />. Поскольку /> — />-насыщенная />-нильпотентная формация, то ее />-дефект /> равен 0. Так как /> — минимальная />-насыщенная не />-нильпотентная формация, то ее />-дефект /> равен 1.Т. е., в силу леммы, получаем, что />-дефект формации /> равен
/>
Если />, то отсюда следует />-нильпотентность формации />, что противоречит условию />. Таким образом получаем, что />-дефект формации /> равен 1. Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как /> — максимальная />-насыщенная подформация в />, то, в силу теоремы, имеет место решеточный изоморфизм
/>
/>
Следовательно, /> — максимальная />-насыщенная подформация в />. Следовательно, поскольку />, то всякая />-нильпотентная подформация из /> входит в />.
Для доказательства утверждения 2) прежде покажем, что в /> нет минимальных />-насыщенных не />-нильпотентных подформаций, отличных от />. Предположим, что в /> существует /> — минимальная />-насыщенная не />-нильпотентная подформация, отличная от />. Тогда, поскольку />, то />.
Пусть /> — внутренний />-локальный спутник формации />, такой, что
/>
/>
/>
где />. И пусть /> — внутренний />-локальный спутник формации /> такой, что
/>
/>
/>
По теореме такие спутники существуют. Тогда по лемме получаем, что формация /> имеет такой />-локальный спутник />, что
/>, если />,
/>.
По лемме имеем, что />, где /> монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой />, что />, и либо /> и /> — />-нильпотентный корадикал группы />, либо />, и выполняется одно из следующих условий:
(1) группа /> неабелева, причем, если />, то /> — />-группа, если же />, то /> — простая неабелева группа;
(2) />, где /> — />-группа, а /> такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой />, что />, />, /> — />-группа, и либо />, либо /> — группа порядка q, где />.
Поскольку />, то />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> удовлетворяет условию (1), т.е. /> — неабелева />-группа. Поскольку, очевидно, /> — />-насыщенная формация, то />. Но /> — единственная минимальная нормальная подгруппа.
Следовательно, />. Но по лемме />. Тогда, так как />, то получаем />. Поэтому />
Поскольку /> — минимальная />-насыщенная не />-формация, то имеем, что />. Противоречие.
Пусть теперь для группы /> выполняется условие (2), т.е. />. Так как />, то />
Поскольку /> и />, то />. Поэтому />
Но тогда />. Снова получили противоречие.
Пусть теперь /> — />-группа. Заметим, что если /> — неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, /> — абелева />-группа, где />.
Покажем, что />. Поскольку />, то по лемме />-дефект формации />. С другой стороны, />-дефект формации />/>, так как />. Значит, />-дефект /> равен 1. Поэтому в /> существует максимальная />-насыщенная />-нильпотентная подформация />. Следовательно, />
Поскольку, в силу теоремы, />
где />, то получаем, что /> — максимальная />-насыщенная формация в />.
С другой стороны, />
Но тогда /> максимальна в />.
А, значит, по лемме формация /> максимальна в /> и />. Так как в /> и /> имеется единственная максимальная подформация, то />
Поскольку />, то />
Но />. Поэтому />. Таким образом />.
Так как /> — абелева />-группа, где /> и />, то /> где /> — группа порядка />.
Понятно, что />. Значит, />
В силу теоремы заключаем, что />
Заметим, что />
Действительно, пусть />
где /> — группа минимально порядка и /> — минимальная нормальная подгруппа в />. Если /> не является />-группой, то, так как />, имеем />. Значит />. Противоречие.
Поэтому /> — />-группа. Так как при этом /> и />, то /> — группа порядка />. Но тогда />. Противоречие.
Таким образом, />
Значит,
/>
/>
Но />. Следовательно />. Таким образом,
/>
По лемме /> — гомоморфный образ группы из />. Следовательно />. Последнее влечет />. Противоречие. Таким образом, в формации /> нет минимальных />-насыщенных не />-нильпотентных подформаций, отличных от />. Пусть теперь /> — произвольная не />-нильпотентная />-насыщенная подформация из />. Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что />. Следовательно, применяя лемму и модулярность решетки />-насыщенных формаций, получаем />
Теорема доказана.
Если />, а /> — множество всех простых чисел, то из теоремы вытекает
1. Пусть />— некоторая />-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации />равен 1, когда />, где />— />-насыщенная нильпотентная подформация формации />, />— минимальная />-насыщенная ненильпотентная подформация формации />, при этом:    продолжение
--PAGE_BREAK--
1) всякая нильпотентная подформация из /> входит в />;
2) всякая />-насыщенная ненильпотентная подформация /> из /> имеет вид />.
Если /> и /> равны />, то из теоремы вытекает
2. Пусть />— некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации />равен 1, когда />, где />— насыщенная нильпотентная подформация формации />, />— минимальная насыщенная ненильпотентная подформация формации />, при этом:
1) всякая нильпотентная подформация из /> входит в />;
2) всякая насыщенная ненильпотентная подформация /> из /> имеет вид />. Если />, то вытекает
3. Пусть />— некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае />-нильпотентный дефект формации />равен 1, когда />, где />— насыщенная />-нильпотентная подформация формации />, />— минимальная насыщенная не />-нильпотентная подформация формации />, при этом:
1) всякая />-нильпотентная подформация из /> входит в />;
2) всякая насыщенная не />-нильпотентная подформация /> из /> имеет вид />.
3. Решетка /> — насыщенных формаций с дополнениями
/>-Насыщенные формации, у которых решетка />является решеткой с дополнениями
Изучение />-насыщенных формаций, имеющих заданную подрешетку с дополнениями, начато в работах --.
В этом разделе устанавливается тот факт, что тогда и только тогда /> — решетка с дополнениями, когда формация /> представима ввиде объединения всех своих минимальных />-насыщенных неразрешимых подформаций и />.
Напомним, что группа /> называется, если она обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.
Пусть /> — некоторая />-насыщенная формация. Тогда через /> обозначим следующее пересечение />, где /> — формация всех разрешимых групп.
Определение.Пусть /> — решетка с /> и />, />. Тогда элемент /> называется дополнением элемента /> в />, если /> и />. Решетку с нулем и единицей называют решеткой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет дополнение.
Определение.Решетка с /> и /> называется решеткой с относительными дополнениями, если каждый ее интервал /> является решеткой с дополнениями.
Лемма. Любая модулярная решетка с дополнениями является решеткой с относительными дополнениями.
Лемма. Любая модулярная решетка с дополнениями, имеющая конечное число атомов, является решеткой конечной длины.
Лемма. В решетке конечной длины с относительными дополнениями каждый элемент является объединением содержащихся в нем атомов.
Определение.Пусть /> — некоторая />-насыщенная формация. />-Дефект формации /> называют разрешимым дефектом.
Лемма. Пусть /> — />-насыщенная формация. Тогда и только тогда разрешимый дефект формации /> равен />, когда />, где /> — разрешимая />-насыщенная формация, /> — минимальная />-насыщенная неразрешимая формация, при этом:
1) всякая разрешимая подформация из /> входит в />;
2) всякая неразрешимая />-насыщенная подформация /> из /> имеет вид />
Следующее утверждение является следствием леммы .
Лемма. Пусть /> — произвольная />-насыщенная неразрешимая формация. Тогда в /> имеется по крайней мере одна минимальная />-насыщенная неразрешимая подформация.
Лемма. Тогда и только тогда /> — минимальная />-насыщенная неразрешимая формация, когда />, где /> — такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой />, что группа /> разрешима.
Лемма. Пусть /> — некоторый набор минимальных />-насыщенных неразрешимых формаций, /> — />-насыщенная разрешимая формация. Тогда если /> — некоторая минимальная неразрешимая подформация из /> то />.
Доказательство. Пусть выполняются условия леммы и />, /> — некоторая минимальная />-насыщенная неразрешимая подформация формации />. Покажем, что тогда />.
Ввиду леммы />, где /> — такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой />, что группа /> разрешима.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Тогда />
Поскольку /> — неабелева группа, то />. Но тогда по лемме имеем />. Так как />, то найдется такое />, что />. Значит, />. Поскольку /> — минимальная />-насыщенная неразрешимая формация, то />. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> — произвольная неразрешимая />-насыщенная формация. Тогда и только тогда формация /> — атом решетки />, когда />, где /> — некоторая минимальная />-насыщенная неразрешимая формация из />.
Доказательство. Необходимость. По условию леммы длина решетки /> равна />. Следовательно, формация /> обладает разрешимой максимальной />-насыщенной подформацией. Применяя лемму, имеем />, где /> — некоторая минимальная />-насыщенная неразрешимая подформация из />.
Достаточность. Предположим противное. Пусть найдется такая />-насыщенная формация />, что />
Так как /> не содержится в />, то по лемме формация /> обладает минимальной />-насыщенной неразрешимой формацией />. Тогда />
Следовательно, ввиду леммы имеем />. Значит, />
Противоречие. Таким образом, /> — атом решетки />. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> — произвольная />-насыщенная формация и пусть /> — некоторый набор />-насыщенных неразрешимых подформаций /> из />, у которых /> — максимальная />-насыщенная подформация. Пусть />
где />. Тогда если /> — произвольная />-насыщенная неразрешимая подформация из /> c максимальной подформацией />, то />.
Доказательство. По лемме каждая формация /> имеет вид />где /> — минимальная />-насыщенная неразрешимая формация. Следовательно, формация /> имеет вид />
Ввиду леммы формация /> имеет вид />, где /> — минимальная />-насыщенная неразрешимая формация. Следовательно, по лемме имеет место /> т.е. /> для некоторого />. Значит />
Лемма доказана.
Лемма. В однопорожденной />-насыщенной формации содержится лишь конечное число разрешимых />-насыщенных подформаций.
Лемма. В каждой однопорожденной />-насыщенной неразрешимой формации содержится лишь конечное множество />-насыщенных подформаций с разрешимым дефектом />.
Доказательство. Пусть /> для некоторой группы />. Ввиду леммы каждая минимальная />-насыщенная неразрешимая подформация /> из /> имеет вид />, где /> — такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой />, что группа /> разрешима. Тогда />
Поскольку /> — неабелевая минимальная нормальная подгруппа группы />, то />. В силу леммы, /> — гомоморфный образ группы />. Но /> — конечная группа. Значит, в /> имеется лишь конечное множество минимальных />-насыщенных неразрешимых подформаций. В силу леммы, формация /> содержит лишь конечное множество разрешимых />-насыщенных подформаций.
Пусть теперь /> произвольная неразрешимая />-насыщенная подформация формации />, имеющая разрешимую максимальную />-насыщенную подформацию. По лемме имеем /> где /> — некоторая разрешимая />-насыщенная формация, а /> — минимальная />-насыщенная неразрешимая формация. Из доказанного выше следует, что в /> имеется лишь конечное множество />-насыщенных формаций с разрешимым дефектом />. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> — однопорожденная />-насыщенная формация и /> — решетка с дополнениями. Тогда каждый элемент /> решетки /> представим в виде /> где /> — набор всех минимальных />-насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в />.
Доказательство. Ввиду теоремы и леммы решетка />-насыщенных подформаций формации /> модулярна. Следовательно, модулярной является и ее подрешетка />. В силу леммы /> — модулярная решетка с относительными дополнениями. Ввиду лемм и решетка /> имеет конечное число атомов. Значит, по лемме имеет конечную длину. Но тогда, по лемме и лемме, каждый элемент /> решетки /> представим в виде /> где /> — набор всех минимальных />-насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в />. Лемма доказана.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Теорема. Пусть /> — некоторая />-насыщенная неразрешимая формация и /> — множество всех минимальных />-насыщенных неразрешимых подформаций из />. Тогда и только тогда /> — решетка с дополнениями, когда />
Доказательство. Необходимость. Пусть /> — решетка с дополнениями. И пусть /> — произвольная неразрешимая группа, принадлежащая />. Обозначим через />.
Пусть /> — множество всех неразрешимых формаций из />.
Из теоремы и леммы следует, что /> является модулярной решеткой.
Очевидно, что /> — подрешетка решетки />. Следовательно, по лемме получаем, что /> — решетка с дополнениями.
Ввиду леммы, имеем, что /> — модулярная решетка. Поэтому имеет место решеточный изоморфизм />
Таким образом, /> — решетка с дополнениями. Тогда, применяя лемму, получаем />
Так как /> то, в силу произвольности выбора группы />, получаем />
Достаточность. Пусть теперь />. Пусть /> — произвольная />-насыщенная формация, принадлежащая решетке />, т.е. />.
Обозначим через /> множество всех минимальных />-насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в />, а через /> — множество всех минимальных />-насыщенных неразрешимых подформаций, не содержащихся в />. Очевидно, что множество /> является дополнением к множеству /> во множестве всех />-насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в />. Пусть /> — />-насыщенныя формация, порожденная множеством />, а /> — />-насыщенная формация, порожденная множеством />. Поскольку /> и />, то ввиду леммы имеют место равенства
/>
/>
Допустим, что /> не содержится в />, то есть />. Тогда по лемме в /> имеется минимальная />-насыщенная неразрешимая формация />. По лемме /> для некоторого />. Следовательно, />. Но />. Противоречие. т.е. />. Но в таком случае />/>/>/>/>. Ввиду леммы и произвольности выбора формации />, каждый элемент решетки /> представим в виде объединения содержащихся в нем атомов.
Покажем теперь, что в решетке /> дополняема каждая />-насыщенная формация. Если />, то дополнением к /> в решетке /> является формация />. Итак, можем считать, что />. Обозначим через /> множества всех атомов решетки />, через /> — множества всех атомов решетки />, которые содержатся в />. Тогда />, иначе, ввиду доказанного выше, />
Пусть /> — дополнение к /> в /> и />
Так как по условию /> то ввиду леммы имеет место равенство /> Рассмотрим формацию />. Так как /> и /> являются элементами решетки />, то />. Допустим, что /> не содержится в />, т.е. />. Тогда по лемме формация /> содержит минимальную />-насыщенную неразрешимую подформацию />. Следовательно, /> содержит формацию />. По лемме формация /> — атом решетки />, содержащийся в />. Так как /> содержится в />, то, применяя теперь лемму, имеем />
Полученное противоречие показывает, что />. Таким образом, формация /> — дополнение к /> в решетке />. А, следовательно, /> — решетка с дополнениями. Теорема доказана.
Если />, то из теоремы вытекает
Пусть />— некоторая насыщенная неразрешимая формация и />— множество всех минимальных насыщенных неразрешимых подформаций из />. Тогда и только тогда />— решетка с дополнениями, когда />
Заключение
В дипломной работе изучены ключевые свойства частично насыщенных формаций с заданной структурой подформаций.
В работе установлено, что совокупность всех внутренних />-локальных спутников />-насыщенной формации /> образуют полную и модулярную решетку. В теореме дано описание />-насыщенного />-нильпотентного дефекта 1. В теореме рассматриваются />-насыщенные формации, у которых решетка />/>-насыщенных формаций, заключенных между /> и />, является решеткой с дополнениями.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Результаты настоящего диплома являются новыми имогут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.
Список использованных источников
?? Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Bd.80, №4. — S.300--305
?? Libeseder U. Formationsbildungen in endlichen auflosbaren Gruppen, 1963.
?? Schmid P. Every saturated formation is a local formation // J. Algebra. 1978. Vol.51, N 1. P.144--148.
?? Шеметков Л.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
?? Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. — 568 с.
?? Скиба А.Н. Алгебра формаций. — Мн.: Белорусская наука, 1997. — 240 c.
?? Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. — Минск: Наука и техника 1986. — С.135--149.
?? Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. — 253 с.
?? Ballester-Bolinches A., Shemetkov L. A. On lattices of />-local formations of finite groups // Math. Nachr. — 1997. — V.186. — P.57--65.
?? Скиба А.Н., Шеметков Л.А., Кратно />-локальные формации и классы Фитинга конечных групп // Матем. Труды, Т.2., № 2 (1999). — С.144--147.
?? Шаблина И.П. Модулярные и алгебраические решетки />-кратно />-насыщенных формаций конечных групп: Кан. дис." Модулярные и алгебраические решетки />-кратно />-насыщенных формаций конечных групп" // Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины. — Гомель, 2003. — 92с.
?? Л.А. Шеметков, Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюз. симпозиум по теории групп, Киев: Навуковая думка, 1980, с.37--50.
?? Сафонова И.Н. О существовании />-критических формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. — 1999. — Вып.15. С.121--129.
?? Сафонова И.Н. К теории />-критических формаций конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. — 2001. — Вып.17. С.124--133.
?? Джарадин Джехад Классификация />-локальных формаций длины />: Автореф. дис. «Классификация />-локальных формаций длины />» к-та физ. — мат. наук: Д 02.12.01 // Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины. — Гомель, 1996. — --15 с.
?? Скиба А.Н., Таргонский Е.А. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 // Матю заметки. — 1987. — Т.41. — Вып.4. — С.490--499.
?? Жевнова Н.Г. />-локальные формации с дополняемыми подформациями: Автореф. дис. "/>-локальные формации с дополняемыми подформациями" к-та физ. — маи. наук: Д 02.12.01 // Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины. — Гомель, 1997. — 17 с.
?? Сафонова И.Н. О частично насыщенных формациях с заданной системой подформаций // IX Бел. мат. конф. Гродно. — 2004. — С.47--48.
?? Рыжик В.Н., О критических />-локальных формациях, Препринт // Гомельский госуниверситет. Гомель, 1997. №58.12 с.
?? Скиба А.Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во«Университетское». — 1987. — Вып.3. С.21--31.
?? Джарадин Джехад О формациях с системами наследственных подформаций // Изв. вузов. Математика. — 1997. — Вып.1. — С.1--5.
?? Джарадин Джехад Минимальные />-насыщенные ненильпотентные формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом. гос. ун-т. 1995. Вып.8. С.59--64.
?? Джарадин Джехад Элементы высоты 3 решетки />-насыщенных формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом. гос. ун-т. 1996. Вып.9. С.45--59.
?? Жевнова Н.Г. />-Локальные формации с дополняемыми подформациями с булевой решеткой />-локльных подформаций // Докл. АН Беларуси. — 1997. — Т.41. — №5. — С.15--19.
?? Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. — Гомель: Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины, 2003. — 319 с.
?? Рыжик В.Н., Скиба А.Н. Факторизации />-локальных формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом. гос. ун-т. 1997. Вып.11. С.76--89.
?? Сафонова И.Н. О минимальных />-локальных формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. — 1998. — Вып.12. С.123--130.
?? Сафонова И.Н. О критических />-локальных формациях конечных групп. — Препринт // Изд-во Гомельского ун-та. Гомель, 1998. № 76.12 с.
?? Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О частично локальных формациях // Док. АН Беларуси. — 1995. — Т.39, №3. С.9--11.
?? Шаблина И.П. Формации с максимальной />-кратно />-насыщенной нильпотентной подформацией // Изввестия Гом. гос. ун-та им.Ф. Скорины. Вопросы алгебры. — 2001. — №3 (6). — С. 194. — -197.
?? Шаблина И.П. Формации групп с максимальной />-насыщенной нильпотентной подформацией // Весн. Вiцебс. джярж. ун-та. — --2001. №4 (22). — С.78--83.
?? Шаблина И.П. Формации групп с максимальной />-локальной нильпотентной подформацией. — Гомель, 2002. — 17 с. — — (Препринт/ УО«ГГУ им.Ф. Скорины», №25).
?? Шаблина И.П. Об алгебраичности решетки всех />-заскнутых />-кратно />-насыщенных формаций // Некоторые вопросы алгебры и прикладной математики: Сб. науч. тр. Бел. гос. ун-та трансп.; Под ред. Т.И. Васильевой. — Гомель, 2003. — С.34--37.
?? Шаблина И.П. Алгебраичность решетки всех />-заскнутых />-кратно />-насыщенных формаций // Изввестия Гом. гос. ун-та им.Ф. Скорины. Вопросы алгебры. — 2002. — №5 (14). — С.59. — -67.
?? Шаблина И.П. О /> замкнутых />-локальных формациях />, у которых решетка /> является решеткой с дополнениями. — Препринт // Изд-во Гомельского ун-та. Гомель, 2003. № 40.10 с.
?? Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. — Berlin--New York: Walter de Gruyter, 1992. — 889 p.
?? Gaschutz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups // Notes on pure mathematics; № 11. — Canberra: Australian National University. — 1979. — 100 p.