Реферат по предмету "Математика"


Морфологический анализ цветных спектрозональных изображений

--PAGE_BREAK--A(j), хотя, вообще говоря, — другим, отличным от j
. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство  влечет . Если   — самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j
¢)и A(j)цвет изображения  может оказаться одинаковым[5].

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

            Для определения понятия формы цветного изображения f(×
) на   удобно ввести частичный порядок p, т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ; отношение pдолжно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение pинтерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно,  означает, что изображения f(×) иg(×)сравнимы по форме, причем форма g(×)  не сложнее, чем форма f(×).      Если  и , то f(×)и g(×)назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×)
~
g(×). Например, если f(×)и g(×)— изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f(×), если .

            В рассматриваемом выше примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A
¢(j
¢), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A
¢(j
¢(j))=A(j),, причем, если . В этом случае равенства  и  эквивалентны,  и  изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

            Если же  не взаимно однозначно, то A
¢(j
¢)=U A(j) и . В этом случае равенство  влечет  (но не эквивалентно) ,  передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .

            Пусть, скажем, g(×)— черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX. Если преобразование  — следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) — изображения одной и той же сцены, но в g(×),вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть  F— некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования FÎF, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×)
, то они, тем более, не будут отражены в g(×)
.

            Формой  изображения f
(×)
назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f`
(×)
, и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее  . Если считать, что  для  любого изображения , то это будет означать, что отношение pнепрерывно относительно сходимости в   в том смысле, что .

            Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

            Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде   здесь   — индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , ,  j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны.  Поскольку согласно лемме 2

  ,                              (3)

то цветное изображение fe(×)
, такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N. Для изображения ,  где , также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai, если , — непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость постоянны на Ai, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения , если  не зависит явно от .  Для такого изображения примем следующее представление:

,                     (4)

его черно-белый вариант

                                                                           (4*)

на каждом Ai  имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)

                                                                (4**)

  не меняется на Ai и равен , i=1,...,N.

            Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi имеет несовпадающие яркости   и различные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус:

 .           (4***)

v(a), очевидно, содержится в n×
Nмерном линейном подпространстве

 ,            (4****)

 которое назовем формой a(×
) в широком смысле.

            Форму в широком смысле любого изображения a(×
), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство, натянутое не вектор-функции Fa(
×
),F
Î
F
, где F— класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x)
®F
a(x) во всех точках xÎ
X; здесь F — любое преобразование . Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.

            Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×
)(4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах Аi, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {Аi} — измеримое разбиение X: .

Изображение(3) имеет на каждом подмножестве Ai :

-постоянную яркость  и цвет  , если и только если выполняется равенство (4);

-постоянный цвет , если и только если в (3)                                                            ;

-постоянную яркость fi, i=1,...,N, если и только если в (3)  не зависит от  , i=1,…...,N.

            Доказательство.     На множестве Ai яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]

                                     ,  ,i=1,.…..,N.

            Если выполнено равенство (4), то   и  от  не зависят. Наоборот, если  и , то и , т.е. выполняется (4).

            Если   , то цвет  не зависит от  . Наоборот, пусть   не зависит от . В силу линейной независимости  координаты j(i)(x)не зависят от  , т.е.  и, следовательно,    где   — яркость на A i  и . Последнее утверждение очевидно n

            Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai , i=1,...,N, поля зрения X.

            Итак, пусть в согласии с леммой 3

 ,                                        (5)

где,   — индикаторная функция Ai, , функция gi(×)задает распределение яркости

                                                              (6)

в пределах Ai  при постоянном цвете

,  i=1,...,N,                       (7)

причем для изображения (5) цвета     продолжение
--PAGE_BREAK--j(i)
, i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции  g(i), i=1,.…..,N, — удовлетворяющими условиям  i=1,.…..,N.

            Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки   , позволяющее упростить выражения (6) и (7)  для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается функцией  а цвет на Ai равен

                            (7*)

            Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

                                              (8)

,                                                    

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в изображении  на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета  на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения  по сравнению с формой f(×)  (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N, считаются изоморфнымиf(×) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(×). Если , то, очевидно, .

            Если в (8) яркость , то цвет  на Ai считается произвольным (постоянным), если же  в точках некоторого подмножества , то цвет  на Ai считается равным цвету  на , i=1,...,N.

            Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у  то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости  остаются произвольными (если , то цвет  на Ai определяется равным цвету f(×)на Ai, i=1,...,N).

            Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×)в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости  при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения

                                                  (9)

назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти для всех , [ср. 2].  является линейным подпространством , содержащем любую форму

,                                       (10)

в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то   — выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

            Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений.Форма как оператор наилучшего приближения.

            Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными)  изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения  в том случае, когда считается, что   для любого преобразования , действующего на изображение  как на вектор  в каждой точке  и оставляющего  элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле  определяется как оператор  наилучшего приближения изображения  изображениями

                 

где — класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

                                                                (10*)

а   — оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для  является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого.

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в  цветного изображения f(×)(2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение  поля зрения X  и требуется определить  из условия



                           (11)

            Теорема 1.  Пусть . Тогда решение задачи(11) имеет вид

,  i=1,...,N,  j=1,...,n,                                  (12)

и искомое изображение(4) задается равенством

 .                (13)

Оператор  является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)  изображений (4),яркости и цветакоторых не изменяются в пределах каждого Ai
, i=1,...,N.

            Черно-белый вариант (4*) цветного изображения (4) является наилучшей в  аппроксимацией черно-белого варианта цветного изображения f(×) (2),если цветное изображение (4) является наилучшей в  аппроксимацией цветного изображения f(×) (2).Оператор
, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого
.

В точках множества цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(×)(2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(×)излучений, которые попадают на .

Доказательство.     Равенства (12) — условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П — ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация — ортогональная проекция f(×)на . Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13).Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX.   ■

            Замечание 1.Для любого измеримого разбиения  ортогональные проекторы  и  определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4),цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белогоизображени
я, яркость котор
огопостоянна на каждом  и различна для разных,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус  (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор
 на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что  [2]. Дело в том, что оператор   определяет форму
   изображения (4), а именно

  — множество собственных функций оператора . Поскольку  
f(
×
) — наилучшее приближение изображения  изображениями из , для любого изображения  из  и только для таких -. Поэтому проектор
 можно отождествить с формой изображения (4).

            Аналогично для черно-белого изображения a(
×
)

,[7] [2]. И проектор
 можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

            Примечания.

            Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами  и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если  оператор наилучшего в  приближения злементами выпуклого замкнутого (в  и в ) конуса , то  . Иначе говоря, для определения наилучшего в  приближения  элементами  можно вначале найти ортогональную проекцию  изображения  на , а затем  спроецировать в  на . При этом конечномерный проектор  для каждого конкретного конуса  может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора     продолжение
--PAGE_BREAK--П .

            Форма в широком смысле  (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

,                                           

если векторы  попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле  может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

            Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство  (10*) для произвольного изображения . Пусть   — множество значений  и   — измеримое разбиение X , порожденное , в котором   — подмножество X , в пределах которого изображение  имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .

            Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение  можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

                            (*)

где   — индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

            В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

— -  C — измеримо, ;

— N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;

— минимальная s-алгебра, содержащая все  , совпадает с C.

            Лемма (*). Пусть   — исчерпывающая последователь-ность разбиений X и — то множество из , которое содержит . Тогда для любой
C-измеримой функции

   

и
m-почти для всех   [    ].            n

            Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть   — минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где   — прообраз борелевского множества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, Cна  и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность (  — измеримых) разбиений в лемме (*).

            Теорема (*).Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений  X, причем — минимальная s-алгебра, содержащая все  и П(N) — ортогональный проектор , определенный равенством ,

            Тогда

1) для любого -измеримого изображения   и почти для всех ,             ,

2) для любого изображения  при   (в ), где П — ортогональный проектор на .

            Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) — продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает:  и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как   — множество всех -измеримых изображений и их пределов (в), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

 , то для любого изображения  и для любого  , ибо -измеримо, N=1,2,...           n

            Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

            Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×),в которой задано не разбиение  поля зрения X, а векторы  в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение   — наилучшая в  аппроксимация f(×).Так как

,              (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

     ,           (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

            Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором

                          (15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из  в  по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения  и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.[8]

            Теорема 2.     Пусть   — заданные векторыRn. Решение задачи



наилучшего в приближения изображения f(×)изображениями имеет вид , где   — индикаторная функция множества . Множество  определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.

            Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

 

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

            Замечание 3. Выберем векторы fi,i=1,..,q  единичной длины: , i=1,...,q. Тогда

.                 (16)

            Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение  изображения f(×)инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f(×).

            Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов  оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения  соответственно на измеримых множествах  (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из   — пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

            Иначе говоря, в данном случае формой изображения  является множество всех изображений, принимающих заданные значения  на множествах положительной меры  любого разбиения X,
и их пределов в .

            Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(
×
) изображениями , в котором требуется определить как векторы
, так и множества
 так, чтобы

.                         

            Следствие 1.

            Пусть D
i,i=1,...,N, — подмножестваRn(15), П -ортогональный проектор (13), , где . Тогданеобходимые и достаточные условия  суть следующие:, где , .

            Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть   — исходные векторы в задаче (14*),   — соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1) — оператор наилучшего приближения и   — невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения  оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение     продолжение
--PAGE_BREAK--f(
×
), чем F(1): . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение  и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда . На следующем шаге по разбиению  строим  и оператор П(3) и т.д.

            В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn. Для каждого q=1,2,… образуем разбиение E(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями  множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X, i=1,...,N(q), q=1,2…  -измеримы и  является продолжением

5.2. Приближениеизображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.

            Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

            Запишем изображение (5) в виде

                                                                (17)

где  .

            Пусть A1,...,AN — заданное разбиение X,  — индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  изображениями (17), не требуя, чтобы

                       (18)

            Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения  изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN  поля зрения X, (см. Лемму 3).

            Так как 



то минимум S (19) по   достигается при

,                                                       (20)

и равен

                                                            (21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче
.                                    (22)

            В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор 

 .                                                          (23)

            Максимум (неотрицательной) квадратичной формы  на сфере в Rn, как известно, (см., например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению >0,

,

и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен  и достигается, например, при

            Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение
X, причем[9]
m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения  изображениями g(×) (17) является изображение
                          (24)

            Операторы  ,i=1,...,N, и   — нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: Пi проецирует в Rnвекторы  на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор  оператора Фi  (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,

;                                                (25)

П проецирует в  изображение  на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

                          (19*).

            Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi  неотрицательны и среди них ri — наибольшее.

            Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):



                                                          (26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

            Пусть fi — cсобственный вектор Фi, отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить  следует решить задачу на собственные значения для оператора :

.

Поскольку rank=1,  имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для                               n

            Лемма 4. Для любого изображения  решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .

            Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если  то согласно (23) , поскольку включение  означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .

            Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке  (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где , .

            Так как матрица  симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение   — алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

. Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного множителя , .          n

            Замечание 4.

Если ,т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 ,.

            Наоборот, если , то

 , т.е.  определяется выражением (17), в котором  .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN
попарно различны. Тогда форма в широком смысле  изображения (17) есть множество решений уравнения

,,                                                        (27)

где , fi— собственный вектор оператора Фi:  , отвечающий максимальному собственному значению r
i,i=1,...,N. В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).

            Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения  , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения  (17).

            Заданы векторы цвета
j1,...,
jq, требуется определить разбиение A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета 
j1,...,
jqи оптимальные распределения яркостей [10].

            Речь идет о следующей задаче наилучшего в  приближения изображения

.           (28)

            Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

,              (29)

и достигается на

,                                               (30)

то, как нетрудно убедиться,

,                (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство  могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj.

            Пусть   — разбиение , в котором

                        (32)

а     продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.