--PAGE_BREAK--Задача №2
Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов
Задание: Решить задачу линейного программирования графическим методом. Исходные данные (вариант 7):
Целевая функция: f(x) = x1+ 2x2→ max,
Ограничения: –x1– x2≥ –1, x1– 2x2 ≤ 1.
Решение:
–х1 – х2 ≥ –1
х1 – 2х2 ≤ 1 (–1)
х1 ≥ 0; х2 ≥ 0
х1 + х2 ≤ 1
2х2 – х1 ≥ 1
х1 + х2 = 1
х1 = 1 – х2
Если х1 = 0, то х2 = 1;
если х2 = 0, то х1 = 1.
х1 – 2х2 = 1
х1 = 1 + 2х2
Если х1 = 0, то х2 = –1/2;
если х2 = 0, то х1 = 1.
Строим прямые уравнений ограничений и находим область допустимых решений (рис. 1).
х2 ≤ – х1 +1 – нижняя полуплоскость;
2х2 ≥ х1 –1 – верхняя полуплоскость.
Рис. 1 — Решением системы неравенств является т. С (0;1)
Ответ: х1= 0
х2 = 1
Задача №3
Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством.
Исходные данные (вариант 7):
Целевая функция: f(x) = x1+ 2x2–3х3 → max.
Ограничения: x1+ x2+ х3 = 25,
2x1 – 3x2 + 3х3 ≥ 10;
x1 – 3x2 + 4х3 ≤ 30.
Решение:
Т.к. дана задача на максимизацию целевой функции f, то она сводится к задаче на минимизацию функции –f.
Введем функцию q= –f= –x1– 2x2+3х3
От ограничений неравенств переходим к ограничениям-равенствам, введя новые переменные х4 и х5:
х4 = 2x1 – 3x2 + 3х3 – 10; х5 = –x1 + 3x2 – 4х3 + 30.
Получим следующую основную задачу линейного программирования:
x1+ x2+ х3 = 25
х4 = 2x1 – 3x2 + 3х3 – 10
х5 = –x1 + 3x2 – 4х3 + 30
q= –x1– 2x2+3х3 → min
Выразим из 1-го уравнения х1 через другие неизвестные и подставим это его выражение в другие уравнения, а также в уравнение для функции q. Получим:
x1= –x2– х3 + 25
х4 = –2x2 – 2x3 + 50 –3х2 + 3х3 – 10
х5 = х2 + x3 – 25 + 3х2 – 4x3 + 30
q= x2+ х3 – 25 + 2х2 + 3x3
x1= –x2– х3 + 25 (1)
х4 = –5x2 + х3 + 40 (2)
х5 = 4х2 – 3x3 + 5 (3)
q= –x2+ 4х3 – 25 (4)
Выразим х2 из второго ограничения и подставим его выражение в первое и третье ограничения, а также в выражение для целевой функции:
5x2= х3 – х4 + 40
х2 = 0,2х3 – 0,2х4 + 8
x1= –0,2x3+ 0,2х4 – 8 –x3 + 25
х2 = 0,2х3 – 0,2х4 + 8
х5 = 0,8х3 – 0,8x4 + 32 –3x3 + 5
q= –0,2x3+ 0,2х4 – 8 + 4х3 – 25
x1= –1,2x3+ 0,2х4 + 17
х2 = 0,2х3 – 0,2х4 + 8
х5 = –2,2х3 – 0,8x4 + 37
q= 3,8x3+ 0,2х4 – 33
В выражении для функции qоба неизвестных входят со знаком «+». Поэтому можно утверждать, что найден оптимальный план: х3 = х4 = 0. Подставив эти значения в последнюю систему ограничений, получим и остальные неизвестные:
х1 = 17; х2 = 8; х5 = 37;
Оптимальное значение функции q= – 33, следовательно
f(x) = 33 млрд.руб.
Ответ: f(x) = 33 млрд.руб.
Задача №4
Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.
Задание:
Требуется найти оптимальную трассу участка железнодорожного пути между пунктами А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Местность, по которой пройдет магистраль, является пересеченной и включает лесистые зоны, холмы, болота, реку. Поэтому стоимость строительства равных по длине участков пути может быть различной. Требуется так провести дорогу из А в В, чтобы суммарные затраты на сооружение участка были минимальны.
План прокладки пути разобьем на ряд возможных шагов, на каждом из которых стоимость строительства известна. Каждый шаг строительства является прокладкой пути между двумя рядом расположенными узлами. Все узлы пронумерованы, и в соответствии с номером варианта дана стоимость сооружения элемента пути между узлами.
Исходные данные – (вариант 67).
Решение:
Задачу решаем методом динамического программирования, последовательно двигаясь от конца трассы к ее началу, при этом на каждом шаге процесса выбирая то направление трассы, которое дает меньшую стоимость ее строительства от рассматриваемого пункта до пункта В (рис. 2).
Рис. 2
Ответ: Минимальные затраты на сооружение участка А – В составят W= 131 ден.ед.
Задача №5
Задача оптимального распределения ресурсов.
Задание (вариант 67):
Предприятие имеет свободных К млрд. руб. средств, которые оно может вложить в пять различных производственных программ. При этом прибыль от каждой из программ зависит от объема инвестиций. Эти зависимости fiизвестны и имеют следующий вид:
f(х)= bx – ax2
и конкретно:
f1(х1) = 0,18x1– 0,05x12;
f2(х2) = 0,16x2– 0,04x22;
f3(х3) = 0,14x3– 0,02x32;
f4(х4) = 0,12x4– 0,02x42;
f5(х5) = 0,1x5– 0,01x52млрд.руб.
где х1, х2, х3, х4, х5 – инвестиции в программы, млрд.руб. Их общий объем равен К = 8,5 млрд.руб.
Требуется найти неотрицательные объемы инвестиций х1, х2, х3, х4, х5 соответствующие наибольшей общей прибыли
П = f1(х1) + f2(х2) + f3(х3) + f4(х4) + f5(х5).
Решение:
Возможны следующие варианты:
1) Все средства передаются первой программе;
2) Средства распределяются между первой и второй программами;
3) Средства распределяются между первой, второй и третьей программами;
4) Средства распределяются между первой, второй, третьей и четвертой программами;
5) Средства распределяются между первой, второй, третьей, четвертой и пятой программами.
Рассмотрим все 5 вариантов.
1) К1 = х1 = 8,5
П1 = f1(х1) = 0,18 8,5 – 0,05 8,52 = – 2,08 млрд.руб.
2) К2 = х1 + х2
П2 = f1(х1) + f2(х2)
0,18 – 2 0,05х1 = 0,16 – 2 0,04х2
х1 + х2 = 8,5
0,1х1 – 0,08х2 = 0,02
х1 = 8,5 – х2
0,1 (8,5 – х2) – 0,08х2 = 0,02
0,85 – 0,1х2 – 0,08х2 = 0,02
0,85 – 0,18х2 = 0,02
0,18х2 = 0,83
х2 = 4,61
х1 = 8,5 – 4,61 = 3,89
П2 = 0,18 · 3,89 – 0,05 3,892 + 0,16 4,61 – 0,04 4,612 = 0,7 – 0,757 + 0,738 – 0,85 = – 0,169 млрд.руб.
3) К3 = х1 + х2 + х3
П3 = f1(х1) + f2(х2) + f3(х3)
0,18 – 0,1х1 = 0,16 – 0,08х2
0,16 – 0,08х2 = 0,14 – 2 · 0,02х3
х1 + х2 + х3 = 8,5
0,18 – 0,1х1 = 0,16 – 0,08х2
0,16 – 0,08х2 = 0,14 – 0,04х3
х1 + х2 + х3 = 8,5
0,1х1 – 0,08х2 = 0,18 – 0,16 · 50
0,08х2 – 0,04х3 = 0,16 – 0,14
х1 + х2 + х3 = 8,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
4х2 – 2х3 = 1 (2)
х1 + х2 + х3 = 8,5 (3)
Из 2 – го ур – ия: х3 = 2х2 – 0,5
5х1 – 4х2 = 1
х1 + х2 + 2х2 – 0,5 = 8,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
х1 + 3х2 = 9 (2)
Из 2 – го ур – ия: х1 = 9 – 3х2
5 (9 – 3х2) – 4х2 = 1
45 – 15х2 – 4х2 = 1
19х2 = 44
х1 = 9 – 3 · 2,316 = 2,052
х3 = 2 · 2,316 – 0,5 = 4,132
П3 = 0,18 · 2,052 – 0,05 · 2,0522 + 0,16 · 2,316 – 0,04 · 2,3162 + 0,14 · 4,132 – 0,02 · 4,1322 = 0,369 – 0,21 + 0,37 – 0,215 + 0,578 – 0,34 = 0,552 млрд.руб.
4) К4 = х1 + х2 + х3 + х4
П4 = f1(х1) + f2(х2) + f3(х3) + f4(х4)
0,18 – 0,1х1 = 0,16 – 0,08х2
0,16 – 0,08х2 = 0,14 – 0,04х3
0,14 – 0,04х3 = 0,12 – 0,04х4
х1 + х2 + х3 + х4 = 8,5
0,1х1 – 0,08х2 = 0,18 – 0,16
0,08х2 – 0,04х3 = 0,16 – 0,14 · 50
0,04х3 – 0,04х4 = 0,14 – 0,12
х1 + х2 + х3 + х4 = 8,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
4х2 – 2х3 = 1 (2)
2х3 – 2х4 = 1 (3)
х1 + х2 + х3 +х4 = 8,5 (4)
Из 3 – го ур – ия: х4 = х3 – 0,5
5х1 – 4х2 = 1
4х2 – 2х3 = 1
х1 + х2 + х3 + х3 – 0,5 = 8,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
4х2 – 2х3 = 1 (2)
х1 + х2 + 2х3 = 9 (3)
Из 2 – го ур – ия: х3 = 2х2 – 1
5х1 – 4х2 = 1
х1 + х2 + 2 (2х2 – 1) = 9
5х1 – 4х2 = 1
х1 + х2 + 4х2 – 2 = 9
5х1 – 4х2 = 1 (1)
х1 + 5х2 = 11 (2)
Из 2 – го ур – ия: х1 = 11 – 5х2
5 (11 – 5х2) – 4х2 = 1
55 – 25х2 – 4х2 =1
29х2 = 54
х2 = 1,862
х1 = 11 – 5 1,862 = 1,69
х3 = 2 · 1,862 – 1 = 2,724
х4 = 2,724 – 0,5 = 2,224
П4 = 0,18 1,69 – 0,05 1,692 + 0,16 1,862 – 0,04 1,8622 + 0,14 2,724 – 0,02·2,7242 + 0,12 2,224 – 0,02 2,2242 = 0,3 – 0,143 + 0,298 – 0,139 + 0,381 – 0,148 + 0,267 – 0,1 = 0,716 млрд.руб.
5) К5 = х1 + х2 + х3 + х4 +х5
П5 = f1(х1) + f2(х2) + f3(х3) + f4(х4) + f5(х5)
0,18 – 0,1х1 = 0,16 – 0,08х2
0,16 – 0,08х2 = 0,14 – 0,04х3
0,14 – 0,04х3 = 0,12 – 0,04х4
0,12 – 0,04х4 = 0,1 – 0,02х5
х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 8,5
0,1х1 – 0,08х2 = 0,18 – 0,16
0,08х2 – 0,04х3 = 0,16 – 0,14
0,04х3 – 0,04х4 = 0,14 – 0,12
0,04х4 – 0,02х5 = 0,12 – 0,1
х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 8,5
0,1х1 – 0,08х2 = 0,02
0,08х2 – 0,04х3 = 0,02 50
0,04х3 – 0,04х4 = 0,02
0,04х4 – 0,02х5 = 0,02
х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 8,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
4х2 – 2х3 = 1 (2)
2х3 – 2х4 = 1 (3)
2х4 – х5 = 1 (4)
х1 + х2 + х3 +х4 + х5 = 8,5 (5)
Из 4 – го ур – ия: х5 = 2х4 – 1
5х1 – 4х2 = 1
4х2 – 2х3 = 1
2х3 – 2х4 = 1
х1 + х2 + х3 +х4 + 2х4 – 1= 8,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
4х2 – 2х3 = 1 (2)
2х3 – 2х4 = 1 (3)
х1 + х2 + х3 + 3х4 = 9,5 (4)
Из 3 – го ур – ия: х4 = х3 – 0,5
5х1 – 4х2 = 1
4х2 – 2х3 = 1
х1 + х2 + х3 + 3 (х3 – 0,5) = 9,5
5х1 – 4х2 = 1
4х2 – 2х3 = 1
х1 + х2 + 4х3 – 1,5 = 9,5
5х1 – 4х2 = 1 (1)
4х2 – 2х3 = 1 (2)
х1 + х2 + 4х3 = 11 (3)
Из 2 – го ур – ия: х3 = 2х2 – 0,5
5х1 – 4х2 = 1
х1 + х2 + 4 (2х2 – 0,5) = 11
5х1 – 4х2 = 1
х1 + х2 + 8х2 – 2 = 11
5х1 – 4х2 = 1 (1)
х1 + 9х2 = 13 (2)
Из 2 – го ур – ия: х1 = 13 – 9х2
5 (13 – 9х2) – 4х2 = 1
65 – 45х2 – 4х2 = 1
49х2 = 64
х2 = 1,306
х1 = 13 – 9 1,306 = 1,246
х3 = 2 1,306 – 0,5 = 2,112
х4 = 2,112 – 0,5 = 1,612
х5 = 2 · 1,612 – 1 = 2,224
П5 = 0,18 1,246 – 0,05 1,2462 + 0,16 1,306 – 0,04 1,3062 + 0,14 2,112 – 0,02 2,1122 + 0,12 1,612 – 0,02 1,6122 + 0,1 2,224 – 0,01 2,2242 = 0,224 – 0,078 + 0,209 – 0,068 + 0,296 – 0,089 + 0,193 – 0,052 + 0,222 – 0,049 = 0,808 млрд.руб.
Ответ: Максимальное значение прибыли П5 = 0,808 млрд. руб.
Распределение инвестиций: х1 = 1,246 млрд. руб.
х2 = 1,306 млрд. руб.
х3 = 2,112 млрд. руб.
х4 = 1,612 млрд. руб.
х5 = 2,224 млрд. руб.
продолжение
--PAGE_BREAK--