План
1. Теорема о проецировании прямого угла
2. Главные линии плоскости
3. Прямая, перпендикулярная к плоскости
4. Перпендикулярные плоскости
5. Перпендикулярные прямые
1. Теорема о проецировании прямого угла
Возможны три случаяпроецирования прямого угла:
1. Еслиобе стороны прямого угла прямые общего положения, то прямой угол проецируетсяискаженно на все три плоскости проекций.
2. Еслиобе стороны прямого угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то прямойугол проецируется на эту плоскость в натуральную величину.
3. Еслиодна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то прямойугол проецируется на эту плоскость в натуральную величину, рис. 64. Этоосновная теорема о проецировании прямого угла.
/>
Рис. 64
Дано: ÐАВС = 90°; ВСúúН. Необходимо доказать: ÐА¢В¢С¢= 90°.
1. ВС ^АВВ¢А¢
ВС^АВ, следовательно ВС ^ ВВ¢- по свойству ортогонального проецирования
2. В¢С¢úúВС
3. В¢С¢^АВВ¢А¢
4. В¢С¢^А¢В¢- что и требовалось доказать2. Главные линии плоскости
Линии уровня плоскости
Кроме прямых линийобщего положения, в плоскости отмечают три главные линии: горизонтальную(горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего наклона. Эти линииприменяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из них — горизонтальнаяи фронтальная — уже рассматривались.
Необходимо добавить,что все горизонтальные линии плоскости параллельны между собой, а ихгоризонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости (рис. 65).Горизонтальный след плоскости — одна из горизонталей.
/>
/>
Рис. 64
Рис. 65
Все фронтальные линииплоскости параллельны между собой, а их фронтальные проекции параллельныфронтальному следу плоскости. Фронтальный след плоскости — одна из фронтальныхлиний (рис. 66).
/>
Рис. 66
Линии наибольшегонаклона плоскости
Прямые плоскости,перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости, называются линией наибольшегонаклона (ЛНН) данной плоскости к соответствующей плоскости проекций.
Линии наибольшегонаклона плоскости перпендикулярны к ее следам или к линиям уровня (либо к еегоризонталям, либо к фронталям, либо к ее профильным прямым) (рис. 67).
В случаеперпендикулярности к горизонтали определяется наклон к плоскости проекций H(при этом ЛНН называют линией наибольшего ската), перпендикулярности кфронтали — наклон к плоскости проекций V, перпендикулярности к профильнойпрямой — наклон к плоскости проекций W.
На рис. 67, 68 даноизображение плоскости (а || b), для которойтребуется построить линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекцийH.
Проведем в даннойплоскости горизонталь h (рис. 68). Прямая n, перпендикулярная кпрямой h, перпендикулярна и к следу плоскости H (KL^H)(рис. 69).
/>
Рис. 67
Угол наклона прямой nк плоскости H определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость H.Строим KK¢^H(рис. 69). Тогда угол j — искомый угол наклона прямой nк плоскости H.
На рис. 68 построеналиния наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскостипроекций — прямая n. Угол наклона плоскости к плоскости Hполучают при определении натуральной величины отрезка KMпри построении прямоугольного треугольника по проекциям K¢M'и />.
/>
Рис. 69
3 Прямая, перпендикулярная к плоскости
Прямая,перпендикулярная к плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым,принадлежащим этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого углав качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать еелинии уровня.
Поэтому, проводяперпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые:горизонталь и фронталь.
Проекции прямой,перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны ксоответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линияперпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна бытьперпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция —фронтальной проекции фронтали (рис. 70) или соответствующим следам плоскости(рис. 71).
/>
/>
Рис. 70
Рис. 71
На рис. 72 изображенаплоскость общего положения (a|| b), ккоторой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.
/>
Рис. 72
Проводим в даннойплоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронталь v (через точки1,4) (рис. 72).
Затем из точки 1проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскостиследующим образом:
n¢^h¢; n²^h².
Построенная прямая n(n', n'') является искомым перпендикуляром к плоскости . 4. Перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимноперпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную даннойплоскости. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:
1) плоскость проводитсячерез перпендикуляр к другой;
2) плоскость проводитсяперпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.
На рис. 73 изображеныпрямая общего положения /> иплоскость общего положения (а ´b). Требуется построить через прямую /> плоскость,перпендикулярную к плоскости .
/>
Рис. 73
Для решения задачинеобходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М, провестиперпендикуляр к плоскости , заданной пересекающимися прямыми a и b.
Проводим в плоскости горизонталь h и фронталь v (рис. 73).
Далее из точки М,взятой на прямой />, опускаемперпендикуляр n, пользуясь рассмотренным выше положением: n' ^h'; n'' ^ v'', т.е. горизонтальнаяпроекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекциигоризонтали, а фронтальная его проекция — перпендикулярна фронтальной проекциифронтали (рис. 73).
Плоскость (/>Çn), проходящая через прямую n, будет перпендикулярна к плоскости . 6.5 Перпендикулярные прямые
Две прямыеперпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можнопровести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
На рис. 74 изображенапрямая /> общего положения, ккоторой требуется провести перпендикулярную прямую.
/>
Рис. 74
Через точку Апрямой /> строим перпендикулярную кней плоскость (h Ç v) (рис.71):
/>'^h'; />'' ^h''.
Любая прямая, лежащая вплоскости будет также перпендикулярна к данной прямой />. Поэтому проведем в этойплоскости произвольную прямую t, на которой возьмем произвольную точку,например, точку В (рис. 74).
Соединив точки Аи В, лежащие в плоскости, получим прямую n, перпендикулярную кданной прямой /> (рис. 74).