МІНІСТЕРСТВООСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національнийуніверситет “Львівська політехніка”
ІнститутКомп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедраавтоматизованих систем управління
Лабораторнаробота № 5-6
з дисципліни
“Математичні методи представленнязнань”
на тему:
«Обчислення означених інтегралів»
Виконав:
студент групи КН-29
Коцуба О.
Прийняв:
Биненко Б. І.Львів– 2011
Обчислення означенихінтегралів
Мета роботи: вивчитиметоди наближених обчислень і запрограмувати алгоритми обчислення означенихінтегралів .
Порядок роботи:
1. Попереднє опрацюваннятеоретичного матеріалу.
2. Отримання допуску довиконання лабораторної роботи.
3. Опрацювання типовогонавчального завдання (прикладів).
4. Створення проекту длявиконання індивідуального завдання.
5. Оформити звіт для захистулабораторної роботи за зразком:
· назвароботи;
· метароботи;
· порядокроботи;
· короткітеоретичні відомості;
· алгоритмрозв’язування задачі;
· тексти відповіднихмодулів проекту;
· аналізотриманих результатів та висновки.
6. Захистлабораторної роботи.
Короткітеоретичні відомості
1.Формули прямокутників.
Нехайна відрізку/>задана неперервна функція />. Потрібно обчислити інтеграл />
Розіб’ємовідрізок /> наn рівних частин точками />, i=0,1,…n-1, довжина кожної зяких дорівнює /> . Через /> позначимо значення функції /> в точках /> і складемосуми
/> або />/>
Кожназ цих сум є інтегральною сумою для /> на відрізку/>і тому наближеновиражають означений інтеграл:
/> (1)
/> (1/)
Ціформули називаються формулами прямокутників. Із рис. 1 видно, що якщо />додатна ізростаюча функція, то формула (1) відображає площу ступінчатої фігури, щоскладена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (1/) – площу фігури, щоскладена із “зовнішніх” прямокутників.
Похибкаметоду прямокутників дається формулою (2):
/> (2)
формула прямокутник лагранж функція
Похибкапри цьому буде тим меншою, чим більше число n (тобто чим менший крок поділу/>). Зауважимо,що формули прямокутників дають точні результати для багаточленів першогостепеня.
2.Формула трапецій.
Очевидно,що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву /> замінити неступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ламаною(рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями /> і заміниться площамитрапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа
/>
Рис.1Рис.2
першоїтрапеції дорівнює />другої – /> і т.д.,
то />
або
/> (3)
Формула (3)називається формулою трапецій. Число n вибирається довільним, але чим більшимце число буде, а значить, крок /> меншим, тим з більшою точністюсума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтегралу.
3.Формула парабол (Сімпсона).
МетодСімпсона найпоширеніший і простіше застосовний для програмування. Його сутьполягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.
Отже,розглянемо спочатку інтеграл />, де /> – парабола; />,/>,/>– деякі параметри (абочисла).
Тоді
/>
/>
Нехай тепер маємоінтеграл />,де /> - неперервнана інтервалі/>функція. Якщо інтервал розбити на п рівних частинок />, i=0,1,…n-1,, то заданий інтегралІ можна записати так:
/>
Якщона кожному з інтегралів для проміжків /> функцію />замінимо параболами />, що проходятьчерез точки /> , то одержимо
/>
Черезте, що, формула матиме вигляд:
/> або
/>
/> (4)
Формула(4) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень /> за формулоюСімпсона є такою:
/> (5)
Проте,цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо /> є хоча б чотири рази диференційовною.Але, якщо /> навітьчотири рази диференційовна, то часто оцінка четвертої похідної /> може виявитись досить складною.Тому на практиці переважно користуються таким методом: обчислюють інтеграл,розділяючи інтервал, заданий границями інтегрування, один раз на n рівнихчастин, а другий раз на т частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла маловідрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можнаоцінити і точність обчислень.
Приклад.Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл
/>
Р о зв ’ я з у в а н н я. За формулою (4) маємо:
при при
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> -0,5 0,0000
/> -0,5 0,00000
/> 0,05 0,0371
/> -0,4 -0,1203
/> -0,45 -0,0946
/> 0,10 0,0772
/> -0,3 -0,1303
/> -0,40 -0,1203
/> 0,15 0,1200
/> -0,2 -0,1081
/> -0,35 -0,1304
/> 0,20 0,1652
/> -0,1 -0,630
/> -0,30 -0,1303
/> 0,25 0,2122
/> 0,0000
/> -0,25 -0,1204
/> 0,30 0,2607
/> 0,1 0,0772
/> -0,20 -0,1081
/> 0,35 0,3103
/> 0,2 0,1652
/> -0,15 -0,0881
/> 0,40 0,3610
/> 0,3 0,2607
/> -0,10 -0,0630
/> 0,45 0,4121
/> 0,4 0,36098
/> -0,05 -0,0335
/> 0,50 0,4637
/> 0,5 0,46365
/> 0,00 0,0000
Отже,
/>.
Нехай деякафункція f(x) задана в вузлахінтерполяції:
(i=1,2,3.,n) навідрізку [а,b] таблицею значень: />.
Потрібно знайтизначення інтегралу />.
Спершу складемоінтерполяційний багаточлен Лагранжа:
/>
Длярівновіддалених вузлів інтерполяційний багаточлен має вигляд:
/>
де q=(x-x0) /h –крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним багаточленомЛагранжа:
/>
Поміняємо знакпідсумовування і інтеграл і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:
/>
Оскільки dp=dx/h,то, замінивши межі інтеграції, маємо:
/>
Длярівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина кроквизначається як h=(b-a)/n. Представивши цей вираз для h у формулу (4) івиносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:
/>
Покладемо, що
/>
де i=0,1,2.,n;Числа /> називаютькоефіцієнтами Ньютона-Kотеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а єфункцією тільки по n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Остаточна формулавиглядає так:
/>
Формула трьохвосьмих:
Якщо в формуліНьютона-Котеса взяти n = 3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним багаточленомтретього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h,x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратурну формулу:
/> де
/>
Ця квадратурнаформула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючицю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.
ЗавданняОбчислити інтеграл методомпрямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютнута відносну похибку обчислення :
А) заданийінтеграл обчислити наближено та точно.
B) заданийінтеграл обчислити наближено.
Варіант 1
1. />
2. />
3. />
Варіант 2
1. />
2. />
3. />
Варіант 3
1. />
2. />
3. />
Варіант 4
1. />
2. />
3. />
Варіант 5
1. />
2. />
3. />
Варіант 6
1. />
2. />
3. />
Варіант 7
1. />
2. />
3. />
Варіант 8
1. />
2. />
3. />
Варіант 9
1. />
2. />
3. />
Варіант 10
1. />
2. />
3. />
Рекомендованалітература:
1. ЦегеликГ.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка,2004. – 408 с.
2. КоссакО., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів:Бак, 2003. – 168 с.
3. АнджейчакІ.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики.Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівськаполітехніка», 2000. – 100 с.
4. ДудикевичА.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язуваннянелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім…І.Франка, 2007. – 78 с.
5. ПаранчукЯ.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення впакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р.Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.