ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙУНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА
О.Л.ГОРБАЧУК, Л.І.КОМАРНИЦЬКА, Ю.П.МАТУРІН
МАТРИЦІ ТА СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК
Дрогобич — 2007
УДК 512.64(09)
К 63
Матриці та системи лінійних рівнянь:Навчально-методичний посібник / Горбачук О.Л., Комарницька Л.І., Матурін Ю.П. –Дрогобич: Редакційно-видавничий відділ ДДПУ, 2007. – 50 с.
Посібник написано відповідно допрограми навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” для підготовки фахівцівосвітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальностей “Математика”, “Математика та основиекономіки”, “Математика та фізика”, затвердженоїВченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені ІванаФранка.Посібник містить викладтеоретичного матеріалу з даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправидля самостійної роботи.
Розрахований на студентів-математиків, які вивчають курсалгебри в педагогічних та класичних університетах, на вчителів математики та старшокласників,які цікавляться математикою.
Бібліографія 5 назв.
Рекомендовано до друку Вченоюрадою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка
(протокол № 8 від 29 червня 2007 р.)
Відповідальнийза випуск: доцент Галь Ю.М.
Редактор: Невмержицька Ірина Михайлівна
Рецензенти:
Пташник Б.Й., доктор фізико-математичнихнаук, професор, член-кореспондент НАН України, завідувач відділу математичноїфізики Інституту прикладних проблем механіки та математики імені Я.С.ПідстригачаНАН України;
Зарічний М.М.,доктор фізико-математичних наук, професор, деканмеханіко-математичного факультету Львівського національного університету іменіІвана Франка.
© Горбачук О.Л.,
Комарницька Л.І.,
Матурін Ю.П.
ЗМІСТ
Вступ ……………………………………………………………………….4
1. Матриці та дії над ними .........................................................................5
Означення матриць ………………………………………………5
Види матриць ……………………………………………………..5
Означення дій над матрицями…………………………………..8
1.4. Властивості додавання матриць
та множення матриць начисла …………………………………10
1.5. Символ суми……………………………………………………...11
1.6. Властивості множення матриць ………………………………..12
1.7. Властивості транспонування …………………………………...14
1.8. Обернена матриця у випадкуквадратних матриць
другого порядку…………………………………………………. 15
1.9. Приклади матриць, елементамияких є вектори……………….18
1.10. Числовий n-вимірний простір…………………………………… 20
1.11. Подібні матриці………………………………………………….21
1.12. Вправи…………………………………………………………… 21
2. Системи лінійних рівнянь……………………………………………23
2.1. Система двох лінійних рівнянь здвома невідомими………… 23
2.2. Системи лінійних рівнянь: основніозначення……………… 25
2.3. Елементарні перетвореннясистеми лінійних рівнянь………… 27
2.4. Східчасті системи……………………………………………… 30
2.5. Зведення системи лінійних рівняньдо східчастого вигляду
(МетодГаусса)…………………………………………………… 33
2.6. Вправи ……………………………………………………………36
3. Жорданова форма матриць та матричнірівняння…………37
3.1. Слід квадратної матриці…………………………………………37
3.2. Жорданова форма квадратнихматриць. Основна теорема…. 38
3.3. Зведення до жорданової форминижніх трикутних матриць другого порядку…………………………………………………39
3.4. Власні значення і власнівектори квадратної матриці другого порядку………………………………………………………… 41
3.5. Зведення квадратної матрицідругого порядку до нижньої трикутної форми…………………………………………………42
3.6. Загальний випадок………………………………………………43
3.7. Однозначність визначенняжорданової форми з точністю до порядку слідування діагональних блоків………………………44
3.8. Спектр квадратної матрицідругого порядку………………….47
3.9. Рівняння
3.10. Вправи……………………………………………………………49
Список літератури……………………………………………………. 50
Вступ
Метою даного навчального посібника єознайомлення читача з елементами теоріїматриць та систем лінійних рівнянь. Цей матеріал є доступним не лише длястудентів-першокурсників, але й для старшокласників.
Серед розглядуваних питаньнайважливішими є властивості дій над матрицями, рівносильні перетворення системлінійних рівнянь, жорданова форма матриць та матричні рівняння. Останні питання маютьпоглибити знання студентів в галузі теорії матриць, користуючись при цьомутільки елементарними засобами.
Кожний із розділів закінчуєтьсявправами, які ілюструють й доповнюють теоретичний матеріал.
Теорія матриць відіграє важливуроль не тільки у всіх галузях математики, але й у фізиці. Тому її вивчення повинно бути дужеретельним. Матриці з числовими елементами є природнім узагальненням чисел ішироко використовуються в алгебрі, як приклади алгебраїчних структур. Так,наприклад, кватерніони Гамільтона можна представляти у вигляді певнихквадратних матриць 4-го порядку з дійсними елементами. Якщо ж дозволитиелементам матриць пробігати множину елементів певного кільця, то можна отриматиприклади нових кілець. Таким способом отримуються кільця із заданимивластивостями.
Розв’язування систем лінійнихрівнянь методом Гаусса фактично зводиться до певних перетворень над їхрозширеними матрицями, а тому ця тема є органічним продовженням першого розділуданого посібника.
Вивчення теми про жорданову формуматриць дозволить досить просто розв’язувати деякі типи матричних рівнянь.
Джерела із списку літературидопоможуть зацікавленим студентам продовжити вивчення тем, викладених упосібнику.
Розділ 1. Матриці та дії над ними
1.1. Означення матриць
Матрицеюназивається прямокутна таблиця, що заповнена певними математичнимиоб’єктами, які називаються елементами матриці. Тут будемо розглядати лише такіматриці, елементами яких є числа. Елементи матриці будемо позначати однієюбуквою з двома індексами, де перший індекс вказує номер рядка елемента матриці,а другий – номер його стовпця.
Такимчином, матриця записується у формі:
або
Якщоматриця має k рядків і nстовпців, то про таку матрицю кажуть, що вона має розмір k× n.
Якщокількість рядків і кількість стовпців матриці рівні, то така матрицяназивається квадратною, а кількістьїї рядків (стовпців) називається її порядком.
Матрицютакож позначають великими латинськими літерами або за допомогою відповіднихмалих літер з двома індексами:
А = = В = =
Дві матриціоднакових розмірів називають рівними,якщо їх відповідні елементи рівні.
Наприклад,матриці
A= В =
не є рівними ( А ≠В ), оскільки
1.2. Види матриць
Матриця,що складається з одного рядка [стовпця], називається матрицею-рядком [матрицею-стовпцем].
Матрицю-рядоктакож називають рядком, а матрицю-стовпець– стовпцем. Використовуються такожнаступні терміни: вектор-рядок, вектор-стовпець. Вектор, що складається з nелементів, називається n-вимірним.
МатрицяО довільних розмірів, всі елементиякої дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею:
О =
Рядок[стовпець], всі елементи якого є нулі, називається нульовим рядком [стовпцем] або нуль-вектором.
Одиничноюматрицею називається квадратна матриця Еn-гопорядку наступного вигляду:
Е = = [ij],
деij= – символ Кронекера.Квадратна матриця Dназивається діагональною, якщо вонамає наступний вигляд:D=
тобто dij= 0, якщо і ¹j. Таку матрицю також позначаютьнаступним чином:
D=diag.Наприклад, Зрозуміло, що одинична матриця єдіагональною.
Квадратна матриця А називається нижньоютрикутною, якщо вона має вигляд: А =,
тобто аij=0, якщо і
Квадратна матриця А називається верхньою трикутною, якщо вона має вигляд:
А = ,
тобто аij= 0, якщо і> j.
Матриця, яка є абонуль-матрицею,або матрицею виду
,
де 0, 0, ..., 0називаютьверхньоютрапецієподібноюматрицею.
Приклади:
1). нуль-матриця;
2). ―вектор-стовпець;
3). ― діагональнаматриця;
4). ― одиничнаматриця;
5). ― нижня трикутнаматриця;
6). ― верхнітрапецієподібні матриці.
Східчастоюназивають матрицю А, яка маєнаступні властивості:
1).Якщо і-ий рядок нульовий, то (ί+1)-ий рядок також нульовий;
2).Якщо перші ненульові елементи ί-гоі (ί+1)-го рядків є в стовпцях Кі і Кі+1 відповідно, то Кі
Приклад.
― східчастаматриця, де
1.3. Означення дій над матрицями
Сумоюдвох матриць однакових розмірів А і В називають матрицю С, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В,тобто
С=А+В=
(або для всіхi, j).
Добуткомматриці А на число λ називаютьтаку матрицю В, кожний елемент якоїдорівнює добутку числа λ і відповідного елемента матриці А, тобто:
В=λ А = λ = =
(або длявсіх
Матрицю (-1) А позначатимемочерез –А і називатимемо її матрицею,протилежною до матриці А.
Під різницею матриць А і В(А – В) будемо розуміти сумуА + (-В). Зрозуміло, що А – А =О, А + О = О +А = А для всякої матриці А і нуль-матриці О тих же розмірів.
Транспонованоюдо матриці А розмірів k nназиваєтьсятака матриця В розмірів n k, що
для всіх і,j. Тобто матриця В має за рядки відповідні стовпці матриці А.
Транспоновануматрицю позначають через АT, а елементи її через (=а).
Приклад:
А = T=
Для введення добутку двох матриць визначимо спочатку добуток рядка істовпця однакової довжини (рядок – лівий множник, стовпець – правий множник, бопорядок співмножників тут важливий !):
=
У результаті одержимо квадратну матрицю першого порядку, яку можнаототожнити з її єдиним елементом Добуток АВ матриць А і В визначаємо тількитоді, коли кількість стовпців матриці Адорівнює кількості рядків матриці В.
Нехай матриця А має розмір В – n.
Добуткомматриць А і В називається матриця С =АВ, що має розмір kr,а її елемент дорівнює добутку і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В:
cij= =
i=1, ..., k; j=1,..., r.
Приклади:
1). =
2).
3). =
4).
Нехай А – квадратна матриця n-го порядку, Е – одинична матриця n-го порядку, а О– квадратна нуль-матриця n-го порядку. Тоді легко перевірити, що:
АЕ= ЕА = А,
АО= ОА = О.
Слід зауважити, що добуток двох ненульових матриць може бути нульовоюматрицею (нуль-матрицею).
Справді,
Квадратна матриця В n-гопорядку називається оберненою доквадратної матриці А n-гопорядку, якщо
АВ= ВА = Е.
Обернену матрицю до матриці Апозначають через
Приклад.
Нехай А = В = – обернена матриця доматриці А.
1.4. Властивостідодавання матриць та множення матриць на числа
Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступнівластивості:
1. А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);
2. А + О= О + А = А;
3. А +(-А) = (-А) + А = О;
4. А+ В= В + А (комутативність);
5. А;
6. А + В) = А + В;
7. ( + А = А + А;
8. А) = (А
(для довільних матриць А, В, Соднакових розмірів і для довільних чисел
Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічноі залишаються для самостійного доведення читачу.
1. А + (В + С) = +
= =
=
(тут ми використалиасоціативність додавання чисел).
7.
=
(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел).
1.5.Символи суми
Суму позначають черезі називається індексом підсумовування і йогопозначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:
1).
Очевидними також є й інші властивості символу суми:
2). (адитивність);
3). (однорідність);
де – будь-яке число (якене залежить від і).
Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні дляпідсумовування доданків з двома індексами.
тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці(матриці):
Тут і, jназиваються першим і другим індексами підсумовування відповідно.
Очевидно, що сума Sвсіх елементів даної таблицідорівнює
S=
де
Тому
(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).
З другого боку,
(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).
Таким чином, має місценаступна властивість символу подвійноїсуми:
4).
Взагалі кажучи, символсуми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бутизрозумілим з контексту.
Тепер нам легко будеоперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку матриць і розмірів і
1.6. Властивостімноження матриць
1. Множення матриць не єкомутативним, тобто існують такі матриці Аі В, для яких АВ ≠ ВА.
Наприклад,
2. (АВ)С = А(ВС)для довільних матриць А, В, С,для яких існують добутки АВ і ВС (асоціативність).
Справді, нехай А має розмір Покладемо АВ = Uі ВС = V. Зрозуміло, що U має розмір а UС = АV. Доведемо це.
Елемент добутку UС дорівнює
але
UС(використана властивість 3 символу суми).
Знайдемо тепер елементдобутку АV.
(використана властивість 3символу суми).
Використавшивластивість 4 подвійних сум, матимемо, що UС= АV.
3. якщо і мають однаковий розмір та існує ;
, якщо А і Вмають однаковий розмір та існує АС
(дистрибутивність).
Доведемопершу рівність за вказаних умов. Нехай Амає розмір а Ві С — А(В + С) дорівнює
Елементи добутків АВ, АСдорівнюють відповідно,
.
Тому елемент матриці АВ + АС дорівнює
(тут була використана властивість 2 символу суми –адитивність).
Отже,відповідні елементи матриць А (В + С),АВ + АС рівні. Тому перша рівність доведена. Друга рівність доводитьсяаналогічно.
4. АЕ= ЕА = А,
де А — квадратна матриця, а Е — одинична матриця того ж порядку n.
Справді, елементдобутку АЕ дорівнює
а елемент добутку ЕА дорівнює
5. Якщо квадратна матриця А має обернену матрицю, то оберненаматриця єдина.
Справді, нехай В і С– обернені до А матриці. Тоді
АВ = ВА= Е і АС = СА = Е.
Тоді
С= СЕ = С (АВ) = (СА) В= ЕВ = В
(тут використані властивості4, 2 множення матриць).
6. Якщо квадратні матриці А і Вмають обернені, то
і
(перевірити самостійно !)
1.7.Властивості транспонування
1.
для довільної матриці А (ідемпотентність);
2.
де А і В – довільні матриці однакових розмірів (адитивність);
3.
для довільної матриці А ідовільного числа λ (однорідність);
4.
для довільних матриць А і В, для яких існує добуток АВ;
5.
Доведемо цівластивості.
1. Очевидно.
2. Справді,
=
3. Справді,
4. Нехай U= АВ. Тоді
тобто = .
5. Доведемо першу з рівностей.Використаємо попередню і першу властивості:
Матриця А, для якої симетричною.
Таким чином, матриця завжди симетрична.
Приклад:
– симетрична матриця.
1.8. Обернена матриця увипадку квадратнихматриць другого порядку
Приклад.
Розглянемоматрицю
отримаємо дві системи:
і
Оскількитобто Очевидно, що такарівність і друга рівність системи виконуватися одночасно неможуть. Отже маємо протиріччя. Таким чином, матриця А оберненоїматриці не має.Приклад.
Нехай матриця Амає обернену матрицю і знайдемо її.
Існування матриці, оберненої до А, рівносильне існуванню спільного розв’язку двох матричних рівнянь і
Припустимо, що такий розв’язок справдііснує, тоді з отримаємо системи:
Зрозуміло, що тоді
Отже, зіснування розв’язку випливає, що він дорівнює
Легкопереконатися, що справді
Таким чином існує і дорівнює
Для кожної квадратної матриці другогопорядку існує простий спосіб з’ясування того факту, чи існує для неї оберненаматриця. Для цього введемо поняття визначника квадратної матриці другого порядку.
Визначникомматриці