Введение
Логарифмы былипридуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идеявыражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит МихаилуШтифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идеялогарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременнои независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) ишвейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г.под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмовНепера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов даннаиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем уБюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое времядержал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладелоколо1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл своилогарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственныечисла» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого-«соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое изспециально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы нарусском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. ФМагницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работыпетербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматриватьлогарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл вупотребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицылогарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практическогоупотребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичныелогарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
В те далекие времена,когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестныевеличины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, атакже горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ,вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачахМеждуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов всаду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделеимущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайныезнания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до насисточники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемамирешения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в однойглиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжалисвои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!»,«Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смыслеисключением является «Арифметика» греческого математика ДиофантаАлександрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений ссистематическим изложением их решений.
Однако первымруководством по решению задач, получившим широкую известность, стал трудбагдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово«аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китабаль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении ипротивопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всемслово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправнойточкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмическиеуравнения и неравенства
1. Логарифмическиеуравнения
Уравнение, содержащеенеизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическимуравнением.
Простейшимлогарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)
/>
Утверждение 1.Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любомдействительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1.Решить уравнения:
a)log2x = 3, b) log3x = -1, c) />
Решение.Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b)x = 3-1 или x = 1/3; c) />или x =1.
Приведем основныесвойства логарифма.
/>Р1.Основное логарифмическое тождество:
/>
где a > 0, a≠ 1 и b > 0.
/>Р2.Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этихсомножителей:
logaN1·N2 = loga N1+ loga N2 (a > 0, a ≠1, N1 > 0, N2 > 0).
/>
Замечание.Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 приметвид
logaN1·N2 = loga |N1|+ loga |N2| (a > 0, a ≠1, N1·N2 > 0).
/>
Р3.Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого иделителя
/> (a> 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2> 0).
/>
Замечание.Если />, (чторавносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3примет вид
/> (a> 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).
/>
P4.Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени налогарифм этого числа:
logaNk = k loga N (a> 0, a ≠ 1, N > 0).
/>
Замечание.Если k — четное число (k = 2s), то
logaN2s = 2s loga |N| (a> 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
/>
P5.Формула перехода к другому основанию:
/> (a> 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N >0),
в частности, если N= b, получим />
/> (a> 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)
Используя свойства P4 иP5, легко получить следующие свойства
/> (a> 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)
/> (a> 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)
/> (a> 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)
и, если в (5) c — четное число (c = 2n), имеет место
/> (b> 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)
Перечислим и основныесвойства логарифмической функции f(x) = loga x:
1. Областьопределения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Областьзначений логарифмической функции — множество действительных чисел.
3. Приa > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x1x2 loga x1 ax2), а при 0 a x1x2 loga x1 > logax2).
4. loga 1 = 0 иloga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Еслиa > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) иположительна при x (1;+∞), а если 0 a x (0;1) и отрицательнапри x (1;+∞).
6. Еслиa > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1)- выпукла вниз.
Следующие утверждения(см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
/>Утверждение2.Уравнение loga f(x) = loga g(x)(a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно,выбирается та система, неравенство которой решается проще)
/>
f(x) = g(x),
/>
f(x) = g(x),
f(x) > 0,
g(x) > 0.
/>
Утверждение 3.Уравнение logh(x)f(x) = logh(x)g(x) равносильно одной из систем
/>
f(x) = g(x),
/>
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
h(x) ≠ 1,
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, чтов процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования,которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут бытьпотеряны решения. Например, уравнения
f(x)= g(x) и logaf(x) = loga g(x)
или
loga[f(x)·g(x)] = b иloga f(x) + logag(x) = b
вообще говоря, неравносильны(ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, прирешении логарифмических уравнений полезно использовать равносильныепреобразования. В противном случае, проверка полученных решений являетсясоставной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования,которые могут привести к потере корней.
2. Использованиеопределения логарифма
Пример 1.Решить уравнения
a) log2(5 + 3log2(x — 3)) = 3,
c) log(x — 2)9 = 2,
b) />
d) log2x + 1(2x2 — 8x + 15) = 2.
/>
Решение.a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a> 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a,чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b= ac и, следовательно,
5+ 3log2(x — 3) = 23
или
3log2(x — 3) = 8 — 5, log2(x — 3) = 1.
Опять используяопределение, получим
x — 3 = 21, x = 5.
Проверка полученногокорня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:
log2(5+ 3log2(5 — 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5+ 3) = log28 = 3.
Получим истинноеравенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходногоуравнения.
b) Аналогично примеру a),получим уравнение
/>
откуда следует линейноеуравнение x — 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаемпроверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично примеру a),получим уравнение
(x — 2)2= 9.
Возведя в квадрат,получим квадратное уравнение x2 — 4x — 5 = 0 срешениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверкиостается лишь x = 5.
d) Используяопределение логарифма, получим уравнение
(2x2 — 8x + 15) = (2x + 1)2
или, после элементарныхпреобразований,
x2+ 6x-7 = 0,
откуда x1= -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
3.Использование свойств логарифма
Пример 3.Решить уравнения
a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 — 4x + 1) — log4(x2 — 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1 /> />
Решение.a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+) котороеопределяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)
/>
x > 0,
x+3 > 0,
x+24 > 0.
Используя свойство P2 иутверждение 1, получим
log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)
/>
log3x(x + 3) = log3(x + 24),
x > 0,
/>
x(x + 3) = x + 24,
x > 0,
/>
x2 + 2x — 24 = 0,
x > 0,
/>
/>
x1 = -6,
x2 = 4, />
x > 0,
x = 4. /> /> /> /> /> /> />
b) Используя свойство P3,получим следствие исходного уравнения
/>
откуда, используяопределение логарифма, получим
/>
или
x2 — 4x + 1 = 1/2(x2 — 6x +5),
откуда получаемуравнение
x2 — 2x — 3 = 0
с решениями x1= -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
c) ОДЗуравнения: x (0;+). Используя свойство P5, получимуравнение
/>
/>
log2x(1+ log32) = 1,
откуда />или /> или log2x= log63. Следовательно, />
Логарифмическиенеравенства
Неравенство, содержащеенеизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическимнеравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используютсяследующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываютсясвойства монотонности логарифмической функции.
/>Утверждение1.Если a > 1, то неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно системе неравенств
/>
f(x) > g(x),
g(x) > 0.
/>
Утверждение 2.Если 0 a a f(x)> loga g(x) равносильно системе неравенств
/>
f(x) g(x),
f(x) > 0.
/>
Утверждение 3.Неравенство logh(x)f(x) >logh(x)g(x) равносильносовокупности систем неравенств
/>
/>
h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
/>
0 h(x)
0 f(x) g(x).
Подчеркнем, что внеравенстве loga f(x) > logag(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥,
Пример 1.Решить неравенства
a) log3(x2 — x) ≥ log3(x + 8); />
b) /> />
c) /> />
Решение.a) Используя утверждение 1, получим
log3(x2 — x) ≥ log3(x + 8) />
x2 — x ≥ x + 8,
/>
x2 — 2x — 8 ≥ 0, />
x+8 > 0,
x > -8,
/>
/>
x ≤ -2, />
x ≥ 4,
x /> (-8;-2]/>[4;+∞). />
x > -8, />
b) Основание логарифмачисло между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим
/>
/>
/>
/>
c) Запишем 0 = log21и, используя утверждение 1, получим
/>
Запишем />и, используя утверждение2, получим
/>
Показательные уравнения и неравенства1. ПоказательныеуравненияПоказательным называетсяуравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени припостоянных основаниях.Простейшим показательнымуравнением является уравнение вида/>Это уравнение равносильноалгебраическому уравнению/>Пример 1. Решитьуравнение/>.Представим правую частьуравнения в виде степени с основанием 2: />. Перейдем теперь кравносильному алгебраическому уравнению: />
Если после введения новойпеременной /> показательноеуравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другомууравнению от переменной y,то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают xчерезy, используя решениепростейшего показательного уравнения. 2. Показательныенеравенства
Показательныминазываются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательныхнеравенств используются следующие утверждения:
/>A.1.Если a > 1, неравенство
af(x) > ag(x)
равносильно неравенству
f(x)> g(x).
Аналогично,af(x) ag(x); f(x) g(x).
/>
A.2.Если 0 a
af(x) > ag(x)
равносильно неравенству
f(x)g(x).
Аналогично,af(x) ag(x); f(x) > g(x).
/>
A.3.Неравенство
[h(x)]f(x) > [h(x)]g(x)
(/>1)
равносильносовокупности систем неравенств
/>
/>
h(x) > 1,
f(x) > g(x),
/>
0 h(x)
f(x) g(x).
Замечание…Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
/>
h(x) = 1,
x D(f); D(g),
где D(f)(D(g)) означает область определения функции f (g).
/>A.4.Если b ≥ 0, неравенство
af(x)b
не имеет решений(следует из свойств показательной функции).
/>A.5.Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x)> b является x />D(f).
/>A.6.Если a > 1, b > 0, неравенство
af(x)> b
равносильно неравенству
f(x)> logab.
Аналогично, af(x) b; f(x) ab.
A.7.Если 0 a b > 0, неравенство
af(x) > b
равносильно неравенству
f(x)ab.
Аналогично, af(x) b; f(x) > logab.
Упражнение 1.Решить неравенства:
a) /> />
b) (0.3)|2x-3| x+4|, />
c) /> /> /> />
Решение.a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильноенеравенство
/>
которое решаетсяметодом интервалов,
/>
/>
b) Так как 0
|2x-3| > |3x+4|,
которое решается,используя свойства модуля (|a| > |b| (a-b)(a+b)> 0):
|2x-3| > |3x+4|/> ((2x-3)-(3x+4))((2x-3)+(3x+4)) > 0 />(-x-7)(5x+1)> 0
Решив последнеенеравенство методом интервалов, получим x/> (-7;-1/5).
c) Используяутверждение A.3, получим
/>
/>
/>
4x2+2x+1 > 1,
x2-x > 0,
/>
4x2+2x+1
4x2+2x+1 > 0,
x2-x
/>
/>
/>
x > 0,
x
/>
x > 1,
x
/> />
x/> (-12;0),
x />R,
x/>(0;1). />
/>
x /> (-/>; -12) (1;+/>),
x />
/>x (-/>;- 12) />(1;+/>).
Заключение
Математика, как и любаядругая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взглядылюдей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смыслеисключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решенияуравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть подрукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способоврешения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневнойжизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства ипрактически во всех новейших технологиях.
Списоклитературы
1. КурошА.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975
2. ШтейнЕ.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
3. М.Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.
4. ЦыпкинА. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». –М.: Наука, 1980
5. Г.Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров».– М.: Наука, 1970