Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП />,ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ />-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студенткагруппы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научныйруководитель:
докторф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим классам конечных групп
3 Сверхрадикальные формации
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваютсятолько конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
/> --- множествовсех натуральных чисел;
/> --- множествовсех простых чисел;
/> --- некотороемножество простых чисел, т. е. />;
/> ---
дополнениек /> во множестве всех простыхчисел; в частности, />;
примарноечисло — любое число вида />.
Буквами/> обозначаются простыечисла.
Пусть/> --- группа. Тогда:
/> --- порядокгруппы />;
/> ---
множествовсех простых делителей порядка группы />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/> --- коммутантгруппы />, т. е. подгруппа,порожденная коммутаторами всех элементов группы />;
/> --- подгруппаФиттинга группы />, т. е.произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/> --- наибольшаянормальная />-нильпотентная подгруппагруппы />;
/> --- подгруппаФраттини группы />, т. е.пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/> --- наибольшаянормальная />-подгруппа группы />;
/> --- />-холлова подгруппа группы />;
/> --- силовская />-подгруппа группы />;
/> --- дополнениек силовской />-подгруппе в группе />, т. е. />-холлова подгруппа группы />;
/> ---нильпотентная длина группы />;
/> --- />-длина группы />;
/> --- минимальноечисло порождающих элементов группы />;
/> --- цокольгруппы />, т. е. подгруппа,порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы />;
/> --- циклическаягруппа порядка />.
Если/> и /> --- подгруппы группы />, то :
/> --- /> является подгруппой группы/>;
/> --- /> является собственнойподгруппой группы />;
/> --- /> является нормальнойподгруппой группы />;
/> --
— ядро подгруппы /> в группе />, т. е. пересечение всехподгрупп, сопряженных с /> в />;
/> --- нормальноезамыкание подгруппы /> в группе />, т. е. подгруппа,порожденная всеми сопряженными с /> подгруппамигруппы />;
/> --- индексподгруппы /> в группе />;
/>;
/> ---нормализатор подгруппы /> в группе />;
/> ---централизатор подгруппы /> вгруппе />;
/> --- взаимныйкоммутант подгрупп /> и />;
/> --- подгруппа,порожденная подгруппами /> и />.
Минимальнаянормальная подгруппа группы /> ---неединичная нормальная подгруппа группы />,не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы />;
/> --- /> является максимальнойподгруппой группы />.
Если/> и /> --- подгруппы группы />, то:
/> --- прямоепроизведение подгрупп /> и />;
/> --- полупрямоепроизведение нормальной подгруппы /> иподгруппы />;
/> --- /> и /> изоморфны;
/> --- регулярноесплетение подгрупп /> и />.
Подгруппы/> и /> группы /> называютсяперестановочными, если />.
Группу/> называют:
/>-замкнутой, еслисиловская />-подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-нильпотентной,если />-холлова подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой,если существует нормальный ряд, факторы которого либо />-группы, либо />-группы;
/>-сверхразрешимой,если каждый ее главный фактор является либо />-группой,либо циклической группой;
нильпотентной,если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,если существует номер /> такой, что />;
сверхразрешимой,если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простымичислами.
Монолитическаягруппа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальнуюподгруппу.
/>-замкнутаягруппа — группа, обладающая нормальной холловской />-подгруппой.
/>-специальнаягруппа — группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской />-подгруппой.
/>-разложимаягруппа — группа, являющаяся одновременно />-специальнойи />-замкнутой.
ГруппаШмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которойнильпотентны.
Добавлениемк подгруппе /> группы /> называется такая подгруппа/> из />, что />.
Цепь--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Рядподгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая черезединицу.
Рядподгрупп /> называется:
субнормальным,если /> для любого />;
нормальным,если /> для любого />;
главным,если /> является минимальнойнормальной подгруппой в /> длявсех />.
Классгрупп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой /> и все ей изоморфныегруппы.
/>-группа — группа, принадлежащая классу групп />.
Формация--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если/> --- класс групп, то:
/> --- множествовсех простых делителей порядков всех групп из />;
/> --- множествовсех тех простых чисел />, для которых />;
/> --- формация,порожденная классом />;
/> --- насыщеннаяформация, порожденная классом />;
/> --- класс всехгрупп />, представимых в виде
/>
где/>, />;
/>;
/> --- класс всехминимальных не />-групп, т. е.групп не принадлежащих />, но всесобственные подгруппы которых принадлежат />;
/> --- класс всех />-групп из />;
/> --- класс всехконечных групп;
/> --- класс всехразрешимых конечных групп;
/> --- класс всех />-групп;
/> --- класс всехразрешимых />-групп;
/> --- класс всехразрешимых />-групп;
/> --- класс всехнильпотентных групп;
/> --- класс всехразрешимых групп с нильпотентной длиной />.
Если/> и /> --- классы групп, то:
/>.
Если/> --- класс групп и /> --- группа, то:
/> --- пересечениевсех нормальных подгрупп /> из /> таких, что />;
/> ---произведение всех нормальных />-подгруппгруппы />.
Если/> и /> --- формации, то:
/> ---произведение формаций;
/> --- пересечениевсех />-абнормальных максимальныхподгрупп группы />.
Если/> --- насыщенная формация,то:
/> ---существенная характеристика формации />.
/>-абнормальнойназывается максимальная подгруппа /> группы />, если />, где /> --- некоторая непустаяформация.
/>-гиперцентральнойподгруппой в /> называется разрешимаянормальная подгруппа /> группы />, если /> обладает субнормальнымрядом /> таким, что
(1)каждый фактор /> является главнымфактором группы />;
(2)если порядок фактора /> есть степеньпростого числа />, то />.
/> --- />-гиперцентр группы />, т. е. произведение всех />-гиперцентральных подгруппгруппы />.
Введение
Вопросы,посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место.Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведениянекоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарноперестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так исвойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Началоисследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф.Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно,Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускаетфакторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгруппразличных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимойгруппы).
Следующийважный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым былисследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросамифакторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данногонаправления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегельи Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумянильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля — Виландта послужилаисточником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие рядавопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cредидальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С.Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н.Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важнуюроль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том[59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению кнекоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщеннойформацией.
Напомним,что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп,замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевыхрасширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек вниманиемногих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщеннымиформациями, составили одно из доминирующих направлений современной теорииклассов групп.
Эффективностьметода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойстваконечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщеннойформации к другой.
Известно,что класс нильпотентных групп /> замкнутотносительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом былапоставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т.е. формаций />, замкнутых относительнопроизведения нормальных />-подгрупп.Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственнаяформация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса былополучено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].
Развиваяподход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации />, замкнутые относительнопроизведения />-подгрупп, обладающихнекоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активноразвивается математиками Испании, Китая, Беларуси.
Втеории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальностиявляется понятие />-субнормальностии />-достижимости. В дальнейшемтакие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.
Однойиз первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А.Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т.е. формаций /> с тем свойством, что любаягруппа />, где /> и /> -- />-субнормальные />-подгруппы, принадлежит />.
Даннаяпроблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классовконечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимыхгрупп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н.Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенныхсверхрадикальных формаций.
Известно,что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведениянормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведениянормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этимвозникает задача об описании наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительнопроизведения обобщенно субнормальных (/>-субнормальных,/>-достижимых) />-подгрупп, индексы которыхвзаимно просты.
Классифицироватьнаследственные насыщенные формации /> с темсвойством, что любая группа />, где /> и /> --- />-субнормальные />-подгруппы взаимно простыхиндексов, принадлежит />.
В1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида />, где /> и /> --- />-нильпотентные подгруппы ииндексы />, /> не делятся на некотороепростое число />, является />-нильпотентной группой.
Естественновозникает задача об описании наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительнопроизведения />-подгрупп, индексы которыхне делятся на некоторое фиксированное простое число.
Впопытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критическихгрупп формации /> ( минимальных не/>-групп), т. е. групп, непринадлежащих некоторому классу групп />,но все собственные подгруппы которых принадлежат />.Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, взависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А.Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.)Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групппри изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.
Такимобразом, задача классификации наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительнопроизведения />-подгрупп, обладающихзаданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп.На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационноеисследование.
1. Некоторые базисные леммы
Втеории конечных групп одним из основных понятий является понятиесубнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним,что подгруппа /> называется субнормальнойподгруппой группы />, если существуетцепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> подгруппа /> нормальна в />.
Естественнымобобщением понятия субнормальности является понятие />-субнормальности,которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым вмонографии [44].
Пусть/> --- непустая формация.Подгруппу /> группы /> называют />-субнормальной, если либо />, либо существуетмаксимальная цепь
/>
такая,что /> для всех />.
Несколькодругое понятие />-субнормальностивведено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальностии />-субнормальности в смыслеШеметкова.
Подгруппу/> называют />-субнормальной в смыслеКегеля или />-достижимой, еслисуществует цепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />.
Длялюбой непустой формации /> множествовсех />-достижимых подгрупппроизвольной группы /> содержитмножество всех субнормальных подгрупп группы /> имножество всех />-субнормальныхподгрупп группы />. Если же /> --- непустая нильпотентнаяформация, то множество всех />-достижимыхподгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп длялюбой группы />.
ВКоуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификациисверхрадикальных формаций.
Напомним,что формация /> называется сверхрадикальной,если она удовлетворяет следующим требованиям:
1)/> --- нормальнонаследственная формация;
2)любая группа />, где /> и /> --- />-субнормальные />-подгруппы из />, принадлежит />.
В.Н.Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было полученополное решение данной проблемы.
Вданной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственныхнасыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
Вданном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не />-групп) и обобщенносубнормальных (/>-субнормальных и />-достижимых) подгрупп,которые будут использоваться при доказательстве основных результатовдиссертации.
Напомним,что критической группой формации /> (минимальной не />-группой)называется группа, не принадлежащая />, всесобственные подгруппы которой принадлежат />.Множество всех таких групп обозначают />.Через /> обозначают множество всехразрешимых групп, а через /> ---множество всех групп, у которых />-корадикал/> разрешим.
1.1Лемма.Пусть /> --- насыщенная формация, /> --- наследственнаянасыщенная формация. Если /> и />, где />, то />.
Доказательство.Пусть />. По теореме 2.2.1, /> --- />-группа. Очевидно, что />. По лемме 2.2.2, />, где /> --- />-группа, /> --- />-группа и />. Так как /> и />, то />. Следовательно, /> --- />-группа. Пусть /> --- />-главный фактор />. Если /> --- />-группа, то /> />-централен.
Пусть/> --- />-группа. По теореме 2.2.3, />. Пусть /> и /> --- произвольная />-абнормальная максимальнаяподгруппа группы />. Тогда />. Так как />, то, по теореме 2.2.4, />. Следовательно, />. Поскольку
/>
то/>. Учитывая, что />, по теореме 2.2.5, имеем
/>
где/> --- максимальныевнутренние локальные экраны, соответственно /> и/>. Если />, то />. Отсюда и из того, что
/>
следует/>. А это значит, что /> />-централен.
Пусть/>. Так как /> --- насыщенная формация и />, то />. Следовательно, /> --- />-нормализатор группы />. В силу того, что /> покрывает />, то /> />-централен. Следовательно, />. По теореме 2.2.4, />. Лемма доказана.
1.2Лемма.Пусть /> --- непустаянаследственная формация. Если /> --- />-субнормальная подгруппа,то /> --- субнормальнаяподгруппа.
Доказательство.Пусть /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Если />, то лемма очевидна. Пусть />. Тогда /> содержится в максимальной />-нормальной подгруппе /> группы />. По индукции, /> --- субнормальнаяподгруппа из />. Так как /> и /> --- наследственнаяформация, то />. Следовательно, />, значит, />. Поскольку /> --- нормальная подгруппагруппы />, то /> --- субнормальнаяподгруппа />. Лемма доказана.
1.3Лемма. Пусть/> --- наследственнаянасыщенная формация, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы /> такая, что />. Тогда />.
Доказательство.Пусть />. Очевидно,
/>
Таккак />, то по индукции />. Следовательно,
/>
Отсюда,согласно лемме 2.2.6,
/>
Пусть/>. Тогда /> --- цоколь группы />. По лемме 3.1.2, /> --- субнормальнаяподгруппа группы />. По теореме2.2.7, />. Следовательно, /> --- нормальная подгруппагруппы />. Тогда
/>
Потеореме 2.2.8, />. Отсюда следует,что />. Так как /> и /> --- наследственнаяформация, то />. Получаем />, т. е. />. Лемма доказана.
Вследующих леммах приводятся основные свойства />-субнормальныхподгрупп.
1.4Лемма. Пусть/> --- непустаянаследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)если /> --- подгруппа группы /> и />, то /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппагруппы />;
2)если /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппагруппы />, то /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа /> для любой подгруппы /> группы />;
3)если /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа /> и /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппагруппы />, то /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппагруппы />;
4)если /> и /> --- />-субнормальные (/>-достижимые) подгруппыгруппы />, то /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппагруппы />;
5)если все композиционные факторы группы /> принадлежатформации />, то каждая субнормальнаяподгруппа группы /> />-субнормальна в />;
6)если /> --- />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппагруппы />, то /> />-субнормальна (/>-достижима) в /> для любых />.
Доказательство.1) Пусть /> --- подгруппа группы /> и />. Так как /> и /> --- наследственнаяформация, то подгруппа /> является />-субнормальной подгруппойгруппы />. Отсюда, согласноопределению />-субнормальной подгруппы,существует максимальная цепь
/>
такая,что /> для всех />. Отсюда, с учетом леммы2.2.6 получаем, что в группе /> существуетмаксимальная цепь
/>
такая,что /> для всех />.
Аэто значит, что /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />.
Пусть/> --- подгруппа группы />, содержащая />, тогда /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. А так как любая />-субнормальная подгруппагруппы /> является />-достижимой в />, то /> --- />-достижимая подгруппагруппы />.
2)Пусть /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Тогда, по определению,существует максимальная цепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> />.
Пусть/> --- некоторая подгруппа из/>. Рассмотрим цепь подгрупп
/>
Таккак /> и формация /> наследственна, то из /> следует, что
/>
Теперь,ввиду изоморфизма,
/>
имеем/>. Значит, />. Так как />, то />. Итак, />. Отсюда, по определению, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />.
Пусть/> --- />-достижимая подгруппагруппы />. Тогда, по определению,существует цепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />.
Пусть/> --- некоторая подгруппа из/>. Рассмотрим цепь подгрупп:
/>
Еслиподгруппа /> нормальна в />, то подгруппа /> нормальна в />. Пусть />. Так как формация /> наследственна, то из /> следует, что
/>
Теперь,ввиду изоморфизма,
/>
имеем/>. Значит, />. Так как />, то />. Итак, для каждого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />. Отсюда, по определению, /> --- />-достижимая подгруппагруппы />.
Утверждение3) следует непосредственно из определения />-субнормальной(/>-достижимой) подгруппы.
Утверждение4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5)Пусть все композиционные факторы группы /> принадлежатформации />, и пусть /> --- субнормальнаяподгруппа группы />. Тогда в группе /> существует цепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> подгруппа /> нормальна в />.
Согласноусловию, />, отсюда следует, что />. А это значит, чтоподгруппа /> />-субнормальна в группе />.
Утверждение6) следует непосредственно из определения />-субнормальной(/>-достижимой) подгруппы.Лемма доказана.
1.5Лемма.Пусть /> --- непустая формация, /> и /> --- подгруппы группы />, причем /> нормальна в />. Тогда:
1)если /> />-субнормальна (/>-достижима) в />, то /> />-субнормальна (/>-достижима) в /> и /> />-субнормальна (/>-достижима) в />;
2)если />, то /> />-субнормальна (/>-достижима) в /> тогда и только тогда,когда /> />-субнормальна (/>-достижима) в />.
Доказательство.Пусть /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Тогда, по определению,существует максимальная цепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> />.
Рассмотримследующую цепь подгрупп
/>
Таккак />, то ввиду леммы 2.2.6, />. Отсюда следует, что
/>
Итак,для каждого /> />. Отсюда, по определению, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />.
Ввидулеммы 2.2.6,
/>
Поэтомудля любого /> />. Значит, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />.
Пусть/> --- />-достижимая подгруппагруппы />. Тогда, по опрeделению,существует цепь подгрупп
/>
такая,что для любого /> либо /> нормальна в />, либо />. Рассмотрим следующую цепьподгрупп
/>
Еслиподгруппа /> нормальна в />, то подгруппа /> нормальна в />. Пусть />. Тогда ввиду леммы 2.2.6, />. Отсюда следует, что />. Итак, для каждого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />. Отсюда, по определению, /> --- />-достижимая подгруппагруппы />.
Ввидулеммы 2.2.6, />. Поэтому длялюбого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />. Значит, /> --- />-достижимая подгруппагруппы />.
Утверждение2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечныхгрупп
Вработе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственныхнасыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп /> и />, у которых любая силовскаяподгруппа />-субнормальна в />. В этой же работе былополучено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитиюданного направления были посвящены работы [4, 16].
Вданном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих вкласс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
Втеории классов групп важную роль играет класс всех />-групп(/> --- некоторое множествопростых чисел), который обозначается через />.Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида /> с помощью операцийпересечения и произведения классов.
Напомним,что произведением классов групп /> и /> называется класс групп />, который состоит из всех групп/>, таких, что в /> найдется нормальная />-подгруппа /> с условием />.
Пусть/> --- множество всехнатуральных чисел. Обозначим через /> некотороеподмножество из />. Пусть />, /> --- некоторые множествапростых чисел, а />, /> --- классы всех />-групп и />-групп соответственно. Вдальнейшем рассматриваем формации вида:
/>
Напомним,что группа /> называется />-замкнутой ( />-нильпотентной), если еесиловская />-подгруппа (силовское />-дополнение) нормальна в />. Группа /> называется />-разложимой, если онаодновременно />-замкнута и />-нильпотентна.
Через/> обозначим дополнение к /> во множестве всех простыхчисел, если />, то вместо /> будем просто писать />. Тогда /> --- класс всех />-нильпотентных групп, /> --- класс всех />-замкнутых групп, /> --- класс всех />-разложимых групп, /> --- класс всехнильпотентных групп, где /> пробегаетвсе простые числа.
Группа/> называется />-нильпотентной ( />-разложимой), если она />-нильпотентна (/>-разложима) для любогопростого числа /> из />. Классы всех />-нильпотентных (/>-разложимых) групп можнозаписать в виде
/>
Группа/> называется />-замкнутой, если она имеетнормальную />-холлову подгруппу. Тогда /> --- класс всех />-замкнутых групп.
2.1Лемма.Пусть /> --- наследственнаяформация. Если /> --- />-субнормальная />-подгруппа группы />, то композиционные факторыгруппы /> содержатся средикомпозиционных факторов групп из />.
Доказательство.Если />, то лемма верна. Пусть />. Тогда /> содержится в />-нормальной максимальнойподгруппе /> группы />. По индукции, />. Так как />, то />. Отсюда, и из />, получаем />. Лемма доказана.
2.2Лемма.Пусть /> --- наследственнаяформация, /> --- класс всех групп.Тогда формация /> совпадает с формацией/>.
Доказательстволеммы осуществляется непосредственной проверкой.
2.3Теорема[10-A, 13-A]. Пусть /> ---наследственная формация. Тогда всякая формация />,представимая в виде />, содержит любуюгруппу />, у которой /> и силовские подгруппы изподгрупп /> и /> />-субнормальны в />.
Доказательство.Пусть /> --- формация указанноговида и /> --- такая группа, что />, где /> и любая силовскаяподгруппа из /> и /> />-субнормальна в />. Индукцией по порядку /> докажем, что />. Рассмотрим сначаласлучай, когда /> --- класс всехгрупп.
Пусть/> --- минимальная нормальнаяподгруппа из />. Ясно, что любая силовскаяподгруппа из /> и /> имеет вид />, />, где /> и /> --- силовские подгруппы из/> и /> соответственно. Согласнолемме 3.1.5, /> и /> --- />-субнормальные подгруппыфактор-группы />. По индукции, />. Так как /> --- формация, то отсюдаследует, что /> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу />.Очевидно, что />. Так как /> --- насыщенная формация,то нетрудно показать, что />.
Пусть/> --- силовская подгруппа из/>. Покажем, что />.
Пусть/> --- абелева группа. Таккак /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />, то, согласно теореме2.2.8, />.
Пусть/> --- неабелева группа. Вэтом случае /> есть прямое произведениеизоморфных неабелевых простых групп и />.
Рассмотримподгруппу />. Согласно лемме 3.1.5, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Пусть />. Так как /> и /> --- собственная />-субнормальная подгруппагруппы />, то равенство /> невозможно. Итак, />.
Таккак /> и /> --- насыщенная формация,то />. Отсюда следует, что
/>
Аэто значит, что />. Если />, то />. Последнее равенствоневозможно, так как /> согласно лемме3.1.4 — собственная />-субнормальнаяподгруппа />.
Итак,/> --- собственная подгруппа />. Если />, то
/>
Таккак /> и /> --- наследственнаяформация, то />. Но тогда нетруднозаметить, что />.
Таккак />, то согласно лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальная подгруппа.Так как /> и /> --- наследственнаяформация, то любая силовская подгруппа /> />-субнормальна в />. Согласно лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. По индукции, />. Отсюда следует, что /> для любой />.
Аналогичнымобразом доказывается, что /> длялюбой />, где /> --- любая силовскаяподгруппа из />. Из того, что />, следует />.
Рассмотримдва случая: /> и />.
Пусть/>. Покажем, что />.
Если/> --- абелева, то /> --- примарная />-группа, где />. Отсюда следует, что />.
Если/> --- неабелева, то /> есть прямое произведениеизоморфных неабелевых простых групп.
Таккак /> --- нормальная подгруппаиз />, то
/>
Таккак />, то очевидно, что />. Так как />, то /> для любой />. Следовательно, />.
Пустьтеперь />. Если /> --- неабелева, то />. Тогда />. Отсюда следует, что />. А это значит, что />. Отсюда следует, что />, где /> --- любое простое число из/>.
Рассмотримподгруппу />, где /> --- любая силовскаяподгруппа из />.
Если/>, то, как и выше, получаем,что />.
Если/>, то, как и выше, получаем,что />. Отсюда следует, что />, где /> --- любое простое число из/>. Согласно лемме 2.2.9,любая силовская подгруппа /> группы /> есть />, где /> --- силовские подгруппы из/> и /> соответственно. Отсюдаследует, что любое простое число /> из /> принадлежит />. Следовательно, />. А это значит, что />.
Пусть/> --- абелева группа, то />. Но тогда />.
Ввиду/>, получаем, что /> для любой />. А это значит, что />.
Пустьтеперь /> --- произвольнаянаследственная формация и />. Полемме 3.2.1, композиционные факторы группы /> содержатсясреди композиционных факторов групп из />.Это значит, что /> принадлежит />.
Пусть/>. Так как />, то ввиду леммы 3.2.2,силовские подгруппы из /> и /> />-субнормальны в />. По доказанному, />. Так как />, то, по лемме 3.2.2, />. Теорема доказана.
2.4Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть /> --- наследственнаяформация. Тогда всякая формация вида /> являетсясверхрадикальной.
Доказательство.Пусть />, где /> и /> --- />-субнормальные />-подгруппы группы />. Так как /> --- наследственнаяформация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из /> (из />) />-субнормальна в /> (соответственно в />). Отсюда, согласно лемме3.1.4, любая силовская подгруппа из /> и из /> />-субнормальна в />. Теперь требуемыйрезультат следует из теоремы 3.2.3.
2.5Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида /> является сверхрадикальной.
2.6Следствие. Пусть /> ---формация всех />-нильпотентныхгрупп. Тогда /> содержит любую группу />, где /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />, принадлежащие />.
2.7Следствие. Пусть /> ---формация всех />-замкнутых групп.Тогда /> содержит любую группу />, где /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />, принадлежащие />.
2.8Следствие. Пусть /> ---формация всех />-разложимыхгрупп. Тогда /> содержит любую группу />, где /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />, принадлежащие />.
2.9Следствие [10-A, 13-A]. Пусть />. Тогда формация /> содержит любую группу />, у которой /> и силовские подгруппы изподгрупп /> и /> />-субнормальны в />.
2.10Следствие [10-A, 13-A]. Пусть /> ---формация всех />-нильпо- тентныхгрупп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-субнормальны в />.
2.11Следствие [10-A, 13-A]. Пусть /> ---формация всех />-замкнутых групп.Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-субнормальны в />.
2.12Следствие [10-A, 13-A]. Пусть /> ---формация всех />-разложимыхгрупп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-субнормальны в />.
2.13Лемма.Пусть /> --- непустаянаследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы /> принадлежат />. Тогда следующиеутверждения эквивалентны:
1)/> --- />-субнормальная подгруппагруппы />;
2)/> --- />-достижимая подгруппагруппы />.
Доказательство.Пусть /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Тогда, по определению, /> --- />-достижимая подгруппагруппы />.
Пусть/> --- />-достижимая подгруппагруппы />. Тогда существует цепь
/>
вкоторой для любого /> либо /> нормальна в />, либо />.
Пусть/>. Уплотним участок от /> до /> цепи /> до максимальной />-цепи.
Ввидуутверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы />,содержащие />, />-субнормальны в />. Пусть теперь /> нормальна в />. Можно считать, что /> --- максимальнаянормальная подгруппа /> (в противномслучае уплотняем участок от /> до /> до композиционной />-цепи). Ввиду условия леммы/>, т. е. />. Пришли к рассматриваемомувыше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа /> />-субнормальна в />. Лемма доказана.
2.14Лемма.Пусть /> --- наследственнаянасыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)любая группа />, где /> и любые силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-субнормальны в />, принадлежит />;
2)любая группа />, где /> и любые силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-достижимы в />, принадлежит />.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядкугруппы />.
Пусть/> --- минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Очевидно, что />. Пусть /> --- произвольная />-силовская подгруппа из />. Ясно, что /> --- />-силовская подгруппа из />. По лемме 3.1.5, /> --- />-достижимая подгруппагруппы />. Аналогичным образомдоказыватся, что любая силовская подгруппа из /> />-достижима в />. Так как />, то по индукции, />. Предположим, что /> и /> --- две различныеминимальные нормальные подгруппы группы />.Выше показано, что />, />. Так как /> --- формация, то />. Итак, /> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу />.
Покажем,что />. Предположим противное.Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что />. Так как /> --- наследственнаяформация, то />. Итак, />.
Рассмотримследующие два случая.
1)Пусть /> --- абелева, тогда /> --- примарная группа. Таккак /> --- насыщенная формация и />, то />. Как и выше, с учетоминдукции можно показать, что />.Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что />.
2)Пусть /> --- неабелева группа. Вэтом случае
/>
естьпрямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и />.
Рассмотримподгруппу />. Согласно лемме 3.1.5, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Пусть />. Так как /> и /> --- собственная />-субнормальная подгруппагруппы />, то равенство /> невозможно. Итак, />.
Таккак /> и /> --- насыщенная формация,то />. Отсюда следует, что
/>
Аэто значит, что />. Если />, то />. Последнее равенствоневозможно, так как />, согласно лемме3.1.4, собственная />-субнормальнаяподгруппа />.
Итак,/> --- собственная подгруппа />. Если />, то
/>
Таккак /> и /> --- наследственнаяформация, то />. Но тогда нетруднозаметить, что />.
Согласноиндукции, группа /> принадлежитформации />. Согласно лемме 3.2.13,любая />-достижимая подгруппаявляется />-субнормальной подгруппой.Согласно условию получаем, что группа /> принадлежит/>.
Непосредственноиз определения />-субнормальностии />-достижимости из 2) следует1). Лемма доказана.
Непосредственноиз данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.
2.15Теорема.Пусть /> --- наследственнаяформация. Тогда всякая формация />,представимая в виде />, содержит любуюгруппу />, у которой /> и силовские подгруппы изподгрупп /> и /> />-достижимы в />.
2.16Следствие. Пусть />. Тогдаформация /> содержит любую группу />, у которой /> и силовские подгруппы изподгрупп /> и /> />-достижимы в />.
2.17Следствие. Пусть /> ---формация всех />-нильпотентныхгрупп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-достижимы в />.
2.18Следствие. Пусть /> ---формация всех />-замкнутых групп.Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-достижимы в />.
2.19Следствие. Пусть /> ---формация всех />-разложимыхгрупп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовскиеподгруппы из подгрупп /> и /> />-достижимы в />.
3. Сверхрадикальные формации
Втеории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблемаШеметкова об описании сверхрадикальных формаций.
В.Н.Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова вклассе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеютследующее строение: />, где /> --- некоторые множествапростых чисел, а /> --- множествовсех разрешимых />-групп.
Вданном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальныхформаций, критические группы которых разрешимы.
Приведемпримеры сверхрадикальных формаций.
3.1Пример.Формация всех />-групп />, где /> --- некоторое множествопростых чисел является сверхрадикальной формацией.
Действительно.Пусть />, где /> и /> --- />-группы, /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />. Так как формация /> замкнута относительнорасширений, то, очевидно, что /> --- />-группа.
3.2Пример.Формации />, /> --- сверхрадикальныеформации.
Действительно,если /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />, то /> --- субнормальнаяподгруппа из />. Очевидно, что любаягруппа />, где /> и /> --- нильпотентныесубнормальные подгруппы из />,нильпотентна.
Если/> --- разрешимая />-субнормальная подгруппа из/>, то /> разрешима. Следовательно, /> --- сверхрадикальнаяформация.
Аналогичнымобразом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутаяотносительно расширений, формация является сверхрадикальной.
Следующаялемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациямиФиттинга.
Напомним,что формациями Фиттинга /> называютсяформации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп ипроизведения нормальных />-подгрупп.
3.3Лемма.Пусть /> --- наследственнаясверхрадикальная формация, тогда /> ---формация Фиттинга.
Доказательство.Пусть />, где /> и /> --- нормальные />-подгруппы группы />. Так как
/>
то/>. Аналогичным образом, />. Согласно лемме 3.1.4, /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />. Так как /> --- сверхрадикальнаяформация, то />. Итак, /> --- формация Фиттинга.Лемма доказана.
3.4Лемма. Пусть/> --- непустаянаследственная формация. Если /> содержитлюбую группу />, где для любого /> из /> силовские />-подгруппы /> и /> принадлежат /> и />-субнормальные подгруппы в />, то /> --- сверхрадикальнаяформация.
Доказательство.Пусть /> --- непустаянаследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что /> --- сверхрадикальнаяформация. Пусть />, где /> и /> --- />-субнормальные />-подгруппы группы />. Пусть /> --- произвольное простоечисло из />, а /> и /> --- силовские />-подгруппы из /> и /> соответственно. Так как /> и /> принадлежат /> и /> --- наследственнаяформация, то /> и /> принадлежат /> и, /> и /> />-субнормальны в /> и /> соответственно. Так как /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />, то согласно лемме 3.1.4, /> и /> />-субнормальны в группе />. Согласно условию леммы, /> принадлежит />. А это значит, что /> --- сверхрадикальнаяформация. Лемма доказана.
3.5Лемма. Пусть/> --- наследственнаянасыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)/> --- сверхрадикальнаяформация;
2)/> --- содержит любую группу />, где /> и для любого простогочисла /> из /> силовские />-подгруппы /> и /> />-субнормальны в />.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть/> --- сверхрадикальнаяформация и пусть />, где /> и для любого простогочисла /> из /> /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />. Так как /> --- насыщенная формация и />, то /> и /> принадлежат />. Так как /> --- разрешимая формация и /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />, то отсюда нетруднопоказать, что /> --- разрешимаягруппа. А это значит, что /> и /> разрешимы.
Согласнотеореме Ф. Холла [63], />, где />. Так как /> --- сверхрадикальнаяформация, то /> принадлежит />. Так как /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />, то согласно теореме2.2.10, /> --- />-субнормальная подгруппагруппы />. Так как /> принадлежит /> и /> --- сверхрадикальнаяформация, то подгруппа /> принадлежит />. Продолжая в аналогичномпорядке получаем, что /> принадлежит />. Аналогичным образом можемдоказать, что /> принадлежит />. Так как /> --- сверхрадикальнаяформация, то />.
Тотфакт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.
Вследующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификациисверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критическиегруппы которых разрешимы.
3.6Теорема[20-A]. Пусть /> ---наследственная насыщенная формация такая, что />.Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)/> --- сверхрадикальнаяформация;
2)/>, где /> --- некоторые множествапростых чисел.
Доказательство.Пусть /> --- сверхрадикальнаяформация. Вначале докажем, что любая минимальная не />-группаявляется либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть/> --- произвольнаяминимальная не />-группа. Согласноусловию теоремы, /> разрешима. Если />, то нетрудно заметить, что/> --- группа простогопорядка />, где />.
Рассмотримслучай, когда />. Согласнотеореме 2.2.5, />, где /> --- единственнаяминимальная нормальная подгруппа из />, /> --- />-группа, />, /> --- максимальныйвнутренний локальный экран формации />.Очевидно, что />.
Покажем,что /> является примарнойциклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку /> --- разрешимая группа, тов /> существуют максимальныеподгруппы /> и /> такие, что />. Так как />, то очевидно, что /> и /> --- />-нормальные максимальные />-подгруппы группы />. Но тогда />. Так как /> --- сверхрадикальнаяформация, то />. Противоречие. Итак, /> имеет единственный классмаксимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, /> ---циклическая />-подгруппа. Поскольку /> --- насыщенная формация и />, имеем />.
Покажем,что />. Предположим противное.Пусть />, где />. Пусть /> и /> --- циклические группысоответственно порядков /> и />. Обозначим через /> регулярное сплетение />. Пусть /> --- база сплетения, т. е. />. Так как некотораяподгруппа группы /> изоморфна />, то />. Очевидно, подгруппы />, /> принадлежат формации />.
Пусть/>, где />. Обозначим через /> базу сплетения />. Тогда />.
Таккак />, то />, значит, что подгруппы /> и /> />-субнормальны в />. Легко видеть, что />, />.
Таккак /> --- сверхрадикальнаяформация, то />. Но />, и поэтому />.
Полученноепротиворечие показывает, что />. Итак, /> --- группа Шмидта. Теперьиз леммы 3.1.1 следует, что /> ---группа Шмидта.
Пусть/> --- максимальныйвнутренний локальный экран формации />. Покажем,что формация /> имеет полный локальныйэкран /> такой, что />, для любого /> из />. Действительно, пусть /> --- такая формация, укоторой есть локальный экран />.Покажем, что />.
Сучетом того, что /> для любогопростого /> из />, получим />.
Покажемобратное включение. Пусть /> ---группа наименьшего порядка из />. Таккак /> --- наследственнаяформация, то формация /> также являетсянаследственной, значит, />. Таккак /> --- насыщенная формация,то нетрудно показать, что />.
Вышепоказано, что /> --- либо группапростого порядка, либо группа Шмидта. Пусть /> ---группа простого порядка и />.Нетрудно показать, что />. Так как />, имеем />. Отсюда следует, что />. Противоречие.
Пустьтеперь /> --- группа Шмидта.Поскольку />, то из свойств группы Шмидтаследует />, где /> и />. Так как />, то />. Из того, что />, следует />. Так как /> и /> --- наследственнаяформация, то />. Теперь из того, что />, где /> --- единственнаяминимальная нормальная подгруппа группы /> и/>, следует что />. Получили противоречие.Итак, />, значит, />.
Таккак /> --- локальный экранформации />, имеем
/>
следовательно,/> --- формация из 2).
Пусть/>. Тогда из следствия 3.2.5следует, что /> --- сверхрадикальнаяформация. Теорема доказана.
Покажем,что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации /> можно отбросить, в случае,когда /> --- разрешимая формация.
3.7Лемма.Пусть /> --- разрешимая нормальнонаследственная формация. Если /> и />, то />.
Доказательство.Пусть /> и />. Если />, то утверждение леммыочевидно. Пусть />. Пусть /> --- нормальнаямаксимальная подгруппа группы />. Если />, то />.
Пусть/>. Ясно, что />. Так как /> и /> --- нормальнонаследственная формация, то />.Индукцией по порядку группы /> получаем,что />. Лемма доказана.
Если/> --- произвольный классгрупп, то через /> обозначимнаибольший по включению наследственный подкласс класса />. Более точно
/>
3.8Лемма.Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.
Доказательство.Пусть /> --- разрешимаясверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любаяразрешимая минимальная не />-группаявляется группой Шмидта, либо группой простого порядка.
Покажем,что />, где /> --- максимальнаянаследственная подформация из />.Допустим, что множество /> непустои выберем в нем группу /> наименьшегопорядка. В силу леммы 2.2.11, формация /> являетсянасыщенной. Поэтому />. Очевидно, чтогруппа /> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу /> и />. Так как />, то в /> найдется минимальная не />-группа />. Из нормальнойнаследственности формации /> следует,что />. Ясно, что /> является также минимальнойне />-группой.
Поусловию, /> --- группа Шмидта. В этомслучае />, где /> --- нормальная силовская />-подгруппа, а /> --- циклическая />-подгруппа группы />, /> и /> --- различные простыечисла.
Если/>, то
/>
Получилипротиворечие с выбором />. Остаетсяпринять, что />. Отсюда и из /> получаем, что />, а значит, /> --- />-группа. Рассмотрим />. Тогда группу /> можно представить в виде
/>
где/> --- элементарная абелева />-группа, а />. Так как /> не входит в />, то по лемме 2.2.12 />, где /> --- максимальныйвнутренний локальный экран формации />. Таккак /> и />, то /> является />-группой. Отсюда следует,что />. Из нормальнойнаследственности формации />, потеореме 2.2.13, следует, что /> являетсянормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, />. Получили противоречие.Таким образом, />. Лемма доказана.
Напомним,что формация /> называется формациейШеметкова, если любая минимальная не />-группаявляется либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.
3.9Теорема[16-A]. Пусть /> ---наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)/> --- формация Шеметкова;
2)формация /> содержит любую группу />, где /> и /> --- />-достижимые />-подгруппы из /> и />;
3)/> --- сверхрадикальнаяформация и />;
4)формация /> такая, что для любойгруппы /> и для любых ееперестановочных />-субнормальныхподгрупп /> и /> подгруппа /> />-субнормальна в /> и />;
5)формация /> такая, что для любойгруппы /> и для любых ееперестановочных />-достижимыхподгрупп /> и /> подгруппа /> />-достижима в /> и />;
6)/>, где /> --- некоторые множествапростых чисел и />.
Доказательствоследует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.
3.10Теорема [3-A,5-A]. Пусть /> --- наследственнаянасыщенная формация такая, что />. Тогдаследующие утверждения эквивалентны:
1)формация /> содержит любую группу />, где /> и /> --- />-субнормальны в G и />;
2)/>, где /> --- некоторые множествапростых чисел.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть/> --- формация,удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальнойформацией. Пусть /> --- любая группатакая, что />, где /> и /> --- />-субнормальные подгруппыгруппы />, принадлежащие />. Пусть /> и /> произвольные />-силовские подгруппы из /> и /> соответственно. Так как />, /> и /> --- наследственнаяформация, то /> и /> />-субнормальнысоответственно в /> и />. Так как /> и /> />-субнормальны в />, то по лемме 3.1.4, /> и /> />-субнормальны в группе />. Отсюда следует, что />. Следовательно, /> --- сверхрадикальнаяформация.
Теперь,согласно теореме 3.3.6, получаем, что />.
Обратноеутверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.
Излеммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всехнаследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всехнаследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведенияподгрупп /> и />, силовские подгруппыкоторых обобщенно субнормальны в />.
Какследует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всехнаследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопросостается открытым.
Заключение
Вглаве 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенносубнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатовглав2 и 3.
Вглаве 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительнопроизведения подгрупп /> и />, у которых любая силовскаяподгруппа />-субнормальна в />, теорема 2.3 [10-A,13-A].
Вглаве 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций,критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].
Основныенаучные результаты работы
Вданной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительнопроизведения />-подгрупп, обладающихзаданными свойствами.
1.Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительнопроизведения подгрупп /> и />, у которых любая силовскаяподгруппа />-субнормальна в /> [10-A, 13-A].
2.Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций,критические группы которых разрешимы [20-A].
3.В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенныхформаций />, замкнутых относительнопроизведения обобщенно субнормальных />-подгруппвзаимно простых индексов [18-A].
4.Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация />, замкнутая относительнопроизведения обобщенно субнормальных />-подгрупп,индексы которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].
5.Получено описание наследственных насыщенных />-формацийШеметкова [14-A, 21-A].
6.Получено описание наследственных насыщенных />-формацийШеметкова [14-A, 21-A].
7.В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формацийФиттинга />, замкнутых относительнопроизведения />-подгрупп, индексы которыхне делятся на некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].
Полученныерезультаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп,в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также приизучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенносубнормальных и критических подгрупп.
Решенныев диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче обописании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описаниинаследственных насыщенных формаций />,замкнутых относительно произведений обобщенно субнормальных />-подгрупп, индексы которыхвзаимно просты.
Результатыдиссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсовдля студентов математических специальностей в высших учебных заведениях,написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. Омаксимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев //Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос.ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып.5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. Орешетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н.Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-тматематики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С.27--54.
3. Васильев, А.Ф. Овлиянии примарных />-субнормальныхподгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств.сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф.Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С.31--39.
4. Васильева, Т.И. Оконечных группах с />-достижимымисиловскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. Олокальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С.Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. Опроизведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, №3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. Онекоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников //Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. Одвух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994.-- Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск,1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В.Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В.Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, №1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С.Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечныегруппы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. Опроизведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С.Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр.БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск:Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.Конечные группы с перестановочными />-субнормальными(/>-достижимыми) подгруппами /С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им.Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. Оконечных группах с />-достижимымисиловскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им.Ф. Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. Оминимальных не />-группах / В.Н.Семенчук // ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечныегруппы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н.Семенчук // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.Конечные группы с системой минимальных не />-подгрупп/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математикиАН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н.Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.Характеризация локальных формаций /> позаданным свойствам минимальных не />-групп /В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгрупповогостроения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука итехника, 1984. — С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.Описание разрешимых минимальных не />-группдля произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки.-- 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. Оразрешимых минимальных не />-группах/ В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3.-- С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Рольминимальных не />-групп в теорииформаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С.110--115.
26. Семенчук, В.Н.Конечные группы с />-абнормальнымиили />-субнормальными подгруппами/ В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н.Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.Разрешимые />-радикальные формации /В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Ободной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996.-- № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. Оразрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не />-групп/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н.Классификация локальных наследственных формаций критические группы которыхбипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины.-- 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н.Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАНБеларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.Конечные группы, факторизуемые />-достижимымиподгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-таим. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Ободном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебраформаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. Оминимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем.заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.Факторизации />-нильпотентнымисомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С.97--102.
39. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С.135--137.
40. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С.39--41.
41. Чунихин, С.А. Огруппах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938.-- Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. Осуществовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара потеории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А.Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А.Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А.Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, №8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. Опроизведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А.Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989.-- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы,все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31,№ 3. — С. 366--372.
49.Ballester-Bolinches, A. On the lattice of />-subnormalsubgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra.-- 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches,A. On />-critical groups / A.Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174. — P. 948--958.
51.Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A.Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52.Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M.Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A. Fittingformations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. — 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O. The />-normalizers of a finitesoluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р. 175--202.
55. Carter, R. Extremeclasses of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J.Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimalnicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol.91. — P. 198--205.
57. Doerk, K. Finitesoluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter,1992. — 891 p.
58. Fisman, E. Onproduct of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W. ZurTheorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80, № 4.-- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theoryof Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: KluwerAcademic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W.X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba //J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. A note onsoluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3. — P.98--105.
63. Hall, P. On theSylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937.-- Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T. OnFitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P.177--182.
65. Huppert, B.Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math.Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Note on(LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951. — Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin, L.S.Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H.Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P.90--93.
69. Kegel, O.H.Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echtenthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A.Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno// Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N.Finite groups with permutable />-subnormaland />-accessible subgroups /V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference inUkraine. Abstracts, August 4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson, J.G.Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G.Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H. EineVerallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uberden Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uberdas Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958.-- Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.