МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждениеобразования
«Гомельскийгосударственный университет
имениФранциска Скорины»
Математическийфакультет
Кафедрадифференциальных уравнений
Допущена кзащите
Зав.кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломнаяработа
Исполнитель:студентка группы М-51
_____________________ПЛИКУС Т.Е.
Научныйруководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент,к.ф-м.н.
_____________________РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003
/>Реферат
Дипломная работа состоитиз 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова исловосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл,кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение,характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования:квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривымитретьего и первого порядков.
Предмет исследования:построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами ввиде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состоянийравновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы:качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментомисследований является понятие частного интеграла.
/>Содержание
Введение
1 Построение квадратичных двумерных стационарныхсистем
1.1 Построение квадратичной двумернойстационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумернойстационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условиясуществования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы наплоскости 2.1Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) вконечной плоскости
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
2.3 Построение качественной картины поведениятраектории в круге Пуанкаре
Заключение Список использованныхисточников
Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)
Введение
Известно, чтоаналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае женелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено черезэлементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, чтонепосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появиласьнеобходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучатьсвойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такойтеорией, наряду с аналитической, и является качественная теориядифференциальных уравнений.
Впервые задачакачественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальныхуравнений
/> (0.1)
с полной отчетливостьюбыла поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследованияА. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с.191-211] и уточнены Дж. Д.Биркгофом [4, с. 175-179].
Одной из задачкачественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведениятраекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае,когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитическиефункции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравненияобъясняется их непосредственным практическим применением в различных областяхфизики и техники.
/> (0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181-196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характерповедения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в видепрямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено дляуравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучаликвадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлисьалгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим системудифференциальных уравнений
/> (0.3)
В настоящей работепроводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что онаимеет два частных интеграла вида:
x3+a1x2y+b1xy2+g1y3+a2x2+b2xy+g2y2+b3x+g3y+d=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, чтокоэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двухглав.
В первой главе проводитсяпостроение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами ввиде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интеграловвыражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны междусобой тремя соотношениями.
Во второй главепроводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследованиесостояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости прификсированных значениях коэффициентов системы.
1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1.1Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом ввиде кривой третьего порядка
Рассмотрим системудифференциальных уравнений
/> (1.1)
Согласно [10, с.1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:
/>/>, (1.2)
где Fk(x,y) – однородныеполиномы от x и y степени k, товыполняется равенство:
/>/>. (1.3)
Пусть частный интеграл(1.2) имеет вид:
F(x,y)ºx3+a1x2y+b1xy2+g1y3+a2x2+b2xy+g2y2+b3x+g3y+d=0 (1.4)
Для интеграла (1.4)системы (1.1) имеет место соотношение (1.3), где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:
(3x2+2a1xy+b1y2+2a2x+b2y+b3)(ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+(a1x2+
2b1xy+3g1y2+b2x+2g2y+g3)(cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)=(x3+a1x2y+b1xy2+ (1.5)
g1y3+a2x2+b2xy+g2y2+b3x+g3y+d)(fx+gy+k).
Приравнивая в (1.5)коэффициенты при одинаковых степенях выражений
xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентамикривой (1.4) и системы (1.1):
3a1+a1a2-f=0, (1.61)
(2a1+2b2-f)a1+2a2b1-g+6b1=0, (1.62)
2a1c1+(2b1+2c2-g)b1+(6b2-f)g1=0, (1.63)
(4b1+c2-g)a1+(a1+4b2-f)b1+3a2g1+3c1=0, (1.64)
c1b1+(3c2-g)g1=0; (1.65)
ca1+(2a1-f)a2+a2b2-k+3a=0, (1.71)
(2a+d-k)a1+2cb1+(4b1-g)a2+(a1+2b2-f)b2+2a2g2+3b=0, (1.72)
2ba1+(a+2d-k)b1+3cg1+2c1a2+(2b1+c2-g)b2+(4b2-f)g2=0, (1.73)
bb1+(3d-k)g1+c1b2+(2c2-g)g2=0; (1.74)
(2a-k)a2+cb2+(a1-f)b3+a2g3=0, (1.81)
2ba2+(a+d-k)b2+2cg2+(2b1-g)b3+(2b2-f)g3=0, (1.82)
bb2+(2d-k)g2+c1b3+(c2-g)g3=0; (1.83)
(a-k)b3+cg3-df=0, (1.91)
bb3+(d-k)g3-dg=0, (1.92)
dk=0. (1.93)
Будем предполагать, чтокоэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходитчерез начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93) в этом случае k=0.
Будем рассматриватьчастный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2=c1=0, а коэффициенты a1, b1, g1 интегральной кривой (1.4) обращаютсяв нуль.
Уравнения (1.61)– (1.93) при этих предположениях будут иметь вид:
3a1-f=0,(1.101)
g+6b1=0;(1.102)
(2a1-f)a2+3a=0, (1.111)
(4b1-g)a2+(a1+2b2-f)b2+3b=0, (1.112)
(2b1+c2-g)b2+(4b2-f)g2=0, (1.113)
(2c2-g)g2=0; (1.114)
2aa2+cb2+(a1-f)b3=0, (1.121)
2ba2+(a+d)b2+2cg2+(2b1-g)b3+(2b2-f)g3=0, (1.122)
bb2+2dg2+(c2-g)g3=0; (1.123)
ab3+cg3-df=0, (1.131)
bb3+dg3-dg=0. (1.132)
Из условий (1.101)и (1.102) получаем, что
f = 2a1, g = 6b1.
Из условия (1.114)имеем
(2c2-g)g2=0.
Пусть g2/>, тогда
2c2-g=0 и g=2c2,
с другой стороны g = 6b1, значит
c2=3b1.
Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2=3b1, из соотношений (1.111) –(1.113), (1.121), (1.123) и (1.131)найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) вследующем виде:
a2 = /> , b2 = />/>,
g2 = /> , b3= /> ,
g3 = /> ,(1.15)
d = />.
Равенства (1.122)и (1.132) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия,связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2:
(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22)a+(8a1b22-18a12b2+9a13)b+
24(a1b12-b12b2)c+(16a1b1b2-15a12b1)d]=0, (1.16)
(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22)a2+6(3a1b12-4b12b2)ac+(3a12b1-
-4a1b1b2)bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0.(1.17)
Итак, установленаследующая теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частныйинтеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), приусловии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c1=a2= 0, c2= 3b1.
1.2Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом ввиде кривой первого порядка
Рассмотрим система (1.1),которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:
mx+ny+p=0. (1.18)
В системе (1.1), согласнопредыдущего параграфа
a2=c1=0, c2=3b1. (1.19)
Для интеграла (1.18)системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:
m(ax+by+a1x2+2b1xy)+n(cx+dy+2b2xy+3b1y2)=
=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)
Приравнивая в (1.20)коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы(1.1):
(a1-a)m= 0, (1.211)
(2b1-b)m+(2b2-a)n=0, (1.212)
(3b1-b)n=0; (1.213)
(a-g)m+cn-pa=0, (1.221)
bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222)
pg= 0. (1.223)
Предположим, что криваяне проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223)получаем, что g=0.
Условия (1.221),(1.222) запишутся в виде:
am+cn-pa=0,(1.231)
bm+dn-bp= 0. (1.232)
Из условий (1.211)и (1.213) имеем:
(a1-a)m= 0,
(3b1-b)n=0.
Пусть m¹0, тогда a1-a=0 и
a=a1, (1.24)
а при n¹0, получаем, что 3b1-b=0 и
b=3b1. (1.25)
Учитывая (1.24) и (1.25)из условия (1.212) находим выражение коэффициента m:
m=/>, (1.26)
а соотношение (1.231)даст значение коэффициента p:
p=/>. (1.27)
Из равенства (1.232),с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициентысистемы (1.1):
[3(a1b1-2b1b2)a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d]n=0. (1.28)
Итак, установленаследующая теорема:
Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частныйинтеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), приусловии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1=a2=0, c2= 3b1. 1.3 Необходимые и достаточныеусловия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
В разделах 1, 2 мыполучили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривыхтретьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связанысоотношениями:
(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22)a+(8a1b22-18a12b2+9a13)b+
24(a1b12-b12b2)c+(16a1b1b2-15a12b1)d]=0,
(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22)a2+6(3a1b12-4b12b2)ac+(3a12b1-
-4a1b1b2)bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0,
[3(a1b1-2b1b2)a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d]n=0.
Причем b1¹0, a1¹0, 2b1a-ba1¹0.
Рассмотрим частныйслучай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты
a1=/>, b1=1, b2=0.
Следовательно, нашисоотношения запишутся в виде:
/>a-/>b-3c+/>d=0, (1.30)
-/>a+/>b+6c-/>d=0, (1.31)
-/>a2+/>d2+/>ac+/>bc-/>bd-2cd=0.(1.32)
Выразим из условия (1.30)коэффициент c
c=/>a-/>b+/>d, (1.33)
подставим (1.33) вравенство (1.31), найдем коэффициент d
d=/>(-21a+/>b). (1.34)
Из условия (1.32),учитывая (1.33) и (1.34) находим
b=/>a.
Получаем, чтокоэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:
b=/>a,
c=-/>a, (1.35)
d=-/> a,
a1=/>, b1=1, a2=0, c1=0,b2=0, c2=3b1=3.
Равенства (1.15), (1.26)и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующиевыражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):
a2=12a, b2= -/>a,
g2=a, b3=/>a2,
g3= -/>a2,d=/>a3,(1.36)
m= -/>n, p= -/>an.
Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частныхинтеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36),при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам(1.35).
2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙСИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ2.1Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) вконечной плоскости
Пусть мы имеем систему(1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35), т.е. систему:
/> (2.1)
Интегральные кривые(1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:
x3+12ax2-/>axy+ay2+/>a2x-/>a2y+/>a3=0,(2.2)
-/>nx+ny-/>an=0. (2.3)
Найдем состоянияравновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключивпеременную x, получим следующее уравнение дляопределения ординат состояний равновесия:
8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y0=0, y1=/>a, y2=/>a, y3=/>a. (2.5)
Абсциссы точек покояимеют вид:
x0=0, x1= -/>a, x2= -/>a, x3= -/>a. (2.6)
Согласно (2.5) и (2.6)заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия — />, />, />, />.
Исследуем поведениетраекторий в окрестностях состояний равновесия />, />, />, />.
1. Исследуем точку />.
Составимхарактеристическое уравнение в точке />[10, с. 1760-1765]
/>
Отсюда />
/> (2.7)
/>
/>
Следовательно,характеристическое уравнение примет вид:
/>=/>=0.
/>,
Характеристическимичислами для точки/> системы (2.1) будут
/>.
Корни /> - действительные, различных знаков независимо от параметра a.Следовательно, точка /> - седло.
2. Исследуем точку />.
Составимхарактеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам(2.7) характеристическое уравнение примет вид:
/>
/>,
/>,
то есть
/>,/>.
Корни /> - действительные и одного знака, зависящиеот параметра a. Если a - устойчивый узел, если a>0, то точка />-неустойчивыйузел.
3. Исследуем точку />.
Применяя равенства (2.7),составим характеристическое уравнение в точке B:
/>
/>
/>,/>.
Корни /> - действительные и одного знака.Следовательно, точка /> — седло при любом параметре a .
4. Исследуем точку /> .
Учитывая выражения (2.7),составим характеристическое уравнение в точке:
/>
/>,
Характеристическимичислами для точки /> системы (2.1) будут
/> ,
Корни /> - действительные и одногознака.Следовательно точка /> - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a
2.2Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным дляисследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведениитраекторий при удалении в бесконечность, то есть исследованиебесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемсяпреобразованием Пуанкаре [7]:
/>,(2.8)
которое позволяет изучитьособые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
/>
/>
Значит преобразование(2.8) переводит систему (1.1) в систему:
/> (2.9)
Введем новое время />. Система (2.9) примет вид:
/> (2.10)
Изучимбесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
/> (2.11)
Приравнивая второеуравнение системы (2.11) к нулю, получаем
/>
Таким образом, состояниемравновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,/>).
Исследуем характер точек N1, N2.
1. Исследуем точку N1(0,0).
Составимхарактеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:
/> (2.12)
Согласно выражениям(2.12), получаем характеристическое уравнение:
/>
Получим, что
/> />
Корни /> — действительные и одного знака.Следовательно, точка N1(0,0) — устойчивый узел.
2. Исследуем точку N2(0,/>).
Учитывая выражение(2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:
/>
/>
соответственнохарактеристическими числами будут являться
/>
Корни /> — действительные и различных знаков.Следовательно, точка N2(0,/>)-седло.
Исследуембесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
/>
Это преобразованиесистему (2.1) переводит в систему:
/> (2.14)
Введем новое время />, тогда система (2.14) примет следующий вид:
/> (2.15)
При z=0, получаем:
/> (2.16)
Приравнивая второеуравнение системы (2.16) к нулю, получаем
/>
Для исследованиясостояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).
Составимхарактеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:
/>
/>
соответственнохарактеристическими числами будут являться
/>
Корни /> — действительные и одного знака.Следовательно, точка N3(0,0) – устойчивый узел.
Теперь дадимраспределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1. a О А В С ∞ N1 N2 N3 (-∞;0) с У+ с У- У+ с У+ (0;+∞) с У- с У+ У+ с У+
Примечание: через с, у+,у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивыйузел.
Положение кривых (1.4),(1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a
/>
а) (a>0)
/>
б) (a
Рис.1
2.3 Построение качественной картиныповедения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состоянияравновесия A, B, C расположены наинтегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этихточек не возникает.
Начало координатрасположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1).Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюдазаключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрисседла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла Вполностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0)однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осяхкоординат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а
В результате получаем,что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0определяется рисунком 2а приложения, а при а
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работепостроена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частныхинтеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициентыкривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественноеисследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три изкоторых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследованабесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов,выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведениятраекторий системы в целом.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов,появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокусаили центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.-458 с.
2 Баутин Н.Н., ЛеонтовичЕ.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем наплоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
3 БендиксонИ. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.-643 с.
4 БиркгофДж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
5 ВоробьевА.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.-Т.4,№9.-720 с.
6 ЕругинН.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющихзаданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
7 ПуанкареА. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
8 СеребряковаН.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теорииколебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
9 ФилипцовВ.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальныхуравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
10 ЧеркасЛ.А. Об алгебраических решениях уравнения /> , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.
11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальныхуравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.
ПРИЛОЖЕНИЕ Поведениетраекторий системы (2.1)/> />
/> />
а)(а>0)/> />
/> />
б)(а Рис. 2