--PAGE_BREAK--
2.2 Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] R, Y- любое множество,
а [а; b] х Y = {(х, у): х [а; b], уY}. Предположим, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].
Определение 2.7Функцию
(2.1)
определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем
называть собственным интегралом, зависящим от параметра.
Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:
У = [с; d] R, и введя обозначение
П [а b] х [с; d] = {(х, у): х [а; b], у [с; d]}.
Теорема 2.7Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда
функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].
Доказательство.Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое [с; d] и
любое > 0 и покажем, что найдётся > 0 такое, что если у [с; d] и
, то будет выполняться неравенство
Прямоугольник П — компактное множество в , поэтому по теореме
Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному >0 можно указать такое > 0, что если
то будет выполняться неравенство
Положим х' = х"= х, у' = у, у" =. Тогда
Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от ) непрерывность функции I(у) на
отрезке [а; b].■
Теорема 2.8Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда
функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
(2.2)
Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство
же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повтор-
ному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует
, который может быть сведен к повторному в любом порядке. ■
Теорема 2.9Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
(2.3)
Доказательство.Так как непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у [с; d] можем написать равенство
(2.4)
Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-
Лейбница.
Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства
(2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:
(2.5)
По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по
теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на
отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:
что и требовалось. ■
Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у [с; d],
функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и [с; d] выполняется
а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл
(2.6)
Теорема 2.10Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у),
b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством
(2.6), непрерывна на [с; d].
Доказательство.Пусть y [с; d]. Покажем, что Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.
(2.7)
Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый
из них в отдельности.
Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида
2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому
Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что
П. Но тогда
А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то при
, поэтому
Совершенно аналогично доказывается, что и
Таким образом,
что и требовалось доказать. ■
Теорема 2.11Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и
имеет на нём непрерывную частную производную , а функции а(у) и
b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле
(2.8)
Доказательство.Поскольку дифференцируемость на промежутке есть
дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке , и что представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое
правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную.
Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы
интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.
Поэтому
(2.9)
Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что .)
По определению производной
Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству
определённого интеграла найдётся с = с(у), , такое, что
. Но тогда
так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу
дифференцируемости функции b(у). Итак,
.(2.10)
Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7)
дифференцируемо и что
. (2.11)
Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке , значит, и функция I(у) дифференцируема в точке и
. (2.12)
Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)),
получим представление (2.8) в точке .■
Замечание 2.3Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.
декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя.
Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример 2.8Рассмотрим
Решение. Подынтегральная функция на прямой у = х терпит разрыв.
Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.
1. Пусть у≤ 0. ;
2.Пусть о
3.Пусть у ≥ 1.
Нетрудно убедиться, что функция ‚ I(у) имеет одинаковые пределы
слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. ■
Пример 2.9 Рассмотрим
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую
на отрезке [0; 1] функцию.
поэтому
Однако попытка проинтегрировать по параметру под знаком интеграла приведёт к иному результату.
■
Пример 2.10Рассмотрим
Решение.Легко видеть, что интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.11 на любом отрезке [с; d]. Найдём производную I’(y), используяформулу 2.8.
2
.3 Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть Y — произвольное множество, f: [а; +∞) х Y → R. Предположим, что для каждого у сходится
. Тогда на множестве
Y определена функция
(
2
.1
3
)
которую будем называть несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.
Равномерна
я
сходимость
Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.
Определение 2.8Будем говорить, что интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве
Y
, если его остаток равномерно стремится к нулю на этом множестве, то есть, если такое, что выполняется неравенство
(2.14)
Теорема 2.12(критерий Коши) для того, чтобы интеграл (2.13) сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно выполнение следующего условия (условие Коши): , зависящее
только от , такое, что будет выполняться неравенство
(2.15)
Доказательство.Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое > 0, подберем так, чтобы для
любых А> А и у выполнялось неравенство .
Возьмём любые и любое у. Тогда
и необходимость доказана.
Наоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного у. Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у интеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у
существует Поэтому, положив в (2.15) и устремив А" к +∞, получим для любого у
что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13). ■
Теорема 2.13(Вейерштрасс) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых
А(> а) и у функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].
Пусть g: [а; +∞) →R, для всех х [а; +∞), у выполняется
неравенство и сходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.
продолжение
--PAGE_BREAK--