Выполнила:
Проверила:.
Содержание
TOC o «1-3» h z u Содержание. PAGEREF _Toc169020975 h 2
Введение. PAGEREF _Toc169020976 h 3
Основныепонятия и определения. PAGEREF _Toc169020977 h 5
ГлаваI Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений. PAGEREF _Toc169020978 h 9
§1.1 Свойствалинейного оператора. PAGEREF _Toc169020979 h 9
§1.2 Линейные однородное дифференциальные уравнениявторого порядка. PAGEREF _Toc169020980 h 11
§1.3 Интегрирование однородного линейного уравнениявторого порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера. PAGEREF _Toc169020981 h 15
1.3.1 Предварительные замечания. PAGEREF _Toc169020982 h 15
1.3.2 Случай различныхкорней характеристического уравнения. PAGEREF _Toc169020983 h 15
1.3.3 Случай кратныхкорней характеристического уравнения. PAGEREF _Toc169020984 h 20
§1.4 Система линейно независимых решений (фундамент) иопределитель Вронского. PAGEREF _Toc169020985 h 21
ГлаваII Интегрированиелинейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка PAGEREF _Toc169020986 h 27
§2.1 Структураобщего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка. PAGEREF _Toc169020987 h 27
§2.2 Методвариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения второго порядка PAGEREF _Toc169020988 h 29
§2.3 Методнеопределенных коэффициентов. PAGEREF _Toc169020989 h 32
ГлаваIII Вынужденныеколебания материальной точки. PAGEREF _Toc169020990 h 38
§3.1 Применениелинейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к исследованиюпростейших колебаний. PAGEREF _Toc169020991 h 38
§3.2 Свободныеколебания. PAGEREF _Toc169020992 h 39
§3.3 Вынужденныеколебания. PAGEREF _Toc169020993 h 45
§3.4 Явлениерезонанса. PAGEREF _Toc169020994 h 47
ГлаваIV Применение явлениярезонанса. PAGEREF _Toc169020995 h 51
§4.1 Учет ииспользование резонанса. PAGEREF_Toc169020996 h 51
§4.2 Явлениерезонанса ведущее к разрушению. Способы гашения нежелательных вынужденныхколебаний. PAGEREF _Toc169020997 h 54
§4.3 Дифференциальноеуравнение цепной линии. PAGEREF _Toc169020998 h 59
Заключение. PAGEREF _Toc169020999 h 67
Списоклитературы… PAGEREF _Toc169021000 h 68
Введение
В математике дифференциальные уравнения занимают особое место.Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих вприроде, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы,которым подчиняется то или иное явление, записывается в виде дифференциальныхуравнений.
Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической иважнейшей задачей математического анализа.
Предметом исследования моей дипломной работы являются вынужденныеколебания материальной точки, которые задаются неоднородным линейным уравнениемвторого порядка с постоянными коэффициентами. Проинтегрировав это уравнение,получим закон движения материальной точки. Рассмотрен также частный случайуравнения вынужденный колебаний, т.е. когда частота возмущающей силы совпадаетс частотой собственных колебаний — явление резонанса. Так же мною было изученоприменение явления резонанса в технике, строительстве, производстве и т.д.Рассмотрены случаи, когда явление резонанса приводило к разрушениям.
Мы живем в мире колебаний. Маятник стенных часов, фундамент быстроходнойтурбины, кузов железнодорожного вагона, струна гитары и т.д.
По современным воззрениям, все звуковые, тепловые, световые,электрические и магнитные явления, т.е. важнейшие физические процессыокружающего нас мира, сводятся к различным формам колебания материи.
Речь, средство общения людей, музыка, способная вызвать у людей сложныеэмоции, — физически определяются так же, как и другие звуковые явления,колебаниями струн, воздуха, пластин и других упругих тел.
Колебания играют важную роль в таких ведущих областях техники, какэлектричество и радио. Выработка, передача и потребление электрической энергии,телефония, радиовещание, телевидение, радиолокация – все эти важные отраслиоснованы на использовании электрических и электромагнитных колебаний.
С колебаниями мы встречаемся и в живом организме. Биение сердца,сокращение желудка, деятельность кишечника имеют колебательный характер.
Строители и механики имеют дело с колебаниями сооружений и машин.Кораблестроители – с качкой и вибрацией корабля и т. д.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадениисобственной частоты и частоты вынуждающей силы называется резонансом.
Резонанс возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт сосвободными колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счетэтой работы энергия колеблющегося тела увеличивается и амплитуда колебанийвозрастает.
Явление резонанса может играть как полезную, так и вредную роль.
На применении резонанса основано действие язычкового частотометра.Заметив, какая пластина вошла в резонанс, мы определим частоту системы.Маленький ребенок может раскачать язык большого колокола, если будетдействовать на веревку в такт со свободными колебаниями языка.
С резонансом можно встретиться и тогда, когда это совсем нежелательно.Так, например, в 1750 году близ города Анжера во Франции через цепной мостдлиной 102 м шел в ногу отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотойсвободных колебаний моста. Из-за этого размахи колебаний моста резкоувеличились, и цепи оборвались. Мост обрушился в реку. В 1830 году по той жепричине обрушился подвесной мост около Манчестера в Англии, когда по немумаршировал военный отряд. В 1906 году из-за резонанса разрушился и такназываемый Египетский мост в Петербурге, по которому проходил кавалерийскийэскадрон. Теперь для предотвращения подобных случаев войсковым частямприказывают “сбить ногу” и идти не строевым, а вольным шагом.
Чтобы избежать резонанса при переезде поезда через мост, он проходит еголибо на медленном ходу, либо на максимальной скорости (чтобы частота ударовколес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).
При отборе материала для дипломной работы я старалась изложить основныеидеи и методы, применяемые для изучения линейных неоднородных дифференциальныхуравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типаявляются предметом внимательного изучения ученых, так как к ним приводитсябольшое количество задач механики и других наук. Они особенно просты по своейприроде и вместе с тем важны по своим приложениям. Они имеют значение в важномвопросе о малых колебаниях, так как было показано выше, что линейныенеоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами описывают процесс колебаний, так как мы живем в «миреколебаний».
Основные понятия и определения
В настоящейдипломной работе применены следующие термины с соответствующими определениями.
Дифференциальные уравнения – этоуравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной.Основная задача теории дифференциальных уравнений – изучение функций,являющихся решением таких уравнений. Решением дифференциального уравненияназывается функция, которая при подстановке в уравнение обращает его втождество.
Дифференциальные уравнения можноразделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестныефункции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения вчастных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух ибольшего числа переменных.
Наивысший порядок производной,входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.
Процесс отыскания решениядифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решениядифференциального уравнения – интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первогопорядка в общем случае можно записать в виде
(1)
Уравнение связывает независимуюпеременную x, искомую функцию y и ее производную
(2)
и называют дифференциальным уравнениепервого порядка, разрешенным относительно производной.
Уравнение (2) устанавливает связьмежду координатами точки и угловымкоэффициентом касательной кинтегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,дифференциальное уравнение дает совокупностьнаправлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкованиедифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первогопорядка, разрешимое относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
(3)
где и - известные функции.Уравнение (3) удобно тем, что переменные xи y в нем равноправны, т.е. любую изних можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записидифференциального уравнения можно перейти к другому.
Чтобы решение дифференциальногоуравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторымдополнительным условиям.
Условие, что при функция y должна быть равна заданному числу называется начальным условием. Начальное условиезаписывается в виде
или (4)
Общим решением дифференциального уравнения первогопорядка называется функция
1. Функция является решениемдифференциального уравнения при каждом фиксированном значении c.
2. Каково бы ни было начальное условие(4), можно найти такое значение постоянной удовлетворяет данномуначальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первогопорядка называется любая функция при конкретномзначении постоянной
Задача отыскания решениядифференциального уравнения первого порядка (3), удовлетворяющего заданномуначальному условию (4), называется задачейКоши.
Теорема (существования и единственностизадачи Коши). Если в уравнении (2) функция и ее частнаяпроизводная непрерывны в некоторойобласти D, содержащей точку этого уравнения,удовлетворяющее начальному условию (4).
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения порядкавыше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков.Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае запишется в виде
(5)
или, если это возможно, в виде,разрешенном относительно старшей производной:
(6)
Решением дифференциального уравнения(6) называется всякая функция вида
Общим решением дифференциального уравненияназывается функция вида и - не зависящее от x произвольные постоянные,удовлетворяющая условиям:
1. является решениемдифференциального уравнения для каждого фиксированного значения и
2. Каковы бы ни были начальныеусловия
(7)
существуют единственные значенияпостоянных и такие, что функция является решениемуравнения (6) и удовлетворяет начальным условиям (7).
Всякое решение уравнения (6),получающееся из общего решения при конкретныхзначениях постоянных и частнымрешением.
Как и в случае уравнения первогопорядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения,удовлетворяющего заданным начальным условиям (7), называется задачей Коши.
Теорема (существования и единственностизадачи Коши). Если в уравнении (6) функция и ее частныепроизводные и непрерывны в некоторойобласти D изменения переменных x, y и существуетединственное решение уравнения (6),удовлетворяющее начальным условиям (7).
Аналогичные понятия и определенияимеют место и для дифференциального уравнения порядка, которое вобщем виде записывается как
Нам часто будут встречаться функциивещественного переменного t, называемого временем. Производнаяпо t называется скоростью и обозначаетсячаще всего точкой наверху: t называется ускорением иобозначается:
ГлаваI
Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений §1.1 Свойства линейного оператора
Линейное уравнение порядка имеет следующийобщий вид:
(1.1.1)
Если в рассматриваемом интервалеизменения x функция тождественно равнанулю, то уравнение (1.1.1) принимает вид
(1.1.2)
и называется однородным. Если неоднородным.
Будем предполагать, что функции - непрерывны наинтервале при любом будет только очевидноенулевое решение y= 0.
Для упрощения дальнейшего изложенияобозначим левую часть линейного уравнения (1.1.1) через
(1.1.3)
Таким образом есть результатвыполнения над функцией y операций,указанных в правой части формулы (1.1.3), а именно: вычисление производных отфункции y вплоть допорядка n включительно,умножение на заданные функции L:
и будем называть его линейнымдифференциальным оператором . В частности, линейный дифференциальныйоператор второго порядка имеет вид
Пример 1. Рассмотрим оператор
Вычислим и
Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основнымисвойствами (линейность оператора L):
1) постоянный множитель можно выноситьзнак оператора
2) оператор от суммы двух функций равенсумме операторов от этих функций
В справедливости этих свойств легкоубедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем
Из этих основных свойств оператора L следует, что
т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинацииоператоров от этих функций.
Используя оператор L, можно записать неоднородное иоднородное линейные уравнения (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в виде
(1.1.4)
и
(1.1.5)
Если функция является решениемуравнения (1.1.4) или (1.1.5) в некотором интервале L от этой функции равно или нулю при всех x из
или
§1.2 Линейные однородноедифференциальные уравнения второго порядка
Рассмотрим линейноеоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
(1.2.1)
и установим некоторые свойства егорешений.
Теорема 1. Если функции и являются частнымирешениями уравнения (1.2.1), то решением этого уравнения является также функция
(1.2.2)
где и - произвольныепостоянные.
Подставим функцию и ее производные влевую часть линейного однородного уравнения (1.2.1). Получаем:
так как функции и - решения уравнения(1.2.1) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.
Такимобразом, функция (1.2.2) также является решением уравнения (1.2.1).
Изтеоремы 1, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения(1.2.1), то решениями его будут также функции и
Функция (1.2.2) содержитдве произвольные постоянные и является решением уравнения (1.2.1). Может ли онаявляться общим решением уравнения (1.2.1)? Для ответа на вопрос введем понятиелинейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции и называются линейнонезависимыми на интервале
(1.2.3)
где
Если хотя бы одно изчисел или отлично от нуля ивыполняется равенство (1.2.3), то функции и называются линейнозависимыми на
Очевидно, что функции и линейно зависимы тогдаи только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех выполняется равенство
Например, функции и линейно зависимы: и - линейно независимы: и являются линейнонезависимыми: равенство выполняется для всех лишь при (или
Средством изучениялинейной зависимости системы функций является определитель Вронского иливронскиан.
Для двух дифференцируемыхфункций и вронскиан имеет вид
Имеют место следующиетеоремы.
Теорема 2. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на
Так как функции и линейно зависимы, то вравенстве (1.2.3) значение и отлично от нуля. Пусть
Теорема 3. Если функции и - линейно независимыерешения уравнения (1.2.1) на
Из теорем 2 и 3 следует,что вронскиан не равен нулю ни в однойточке интервала тогда и только тогда,когда частные решения линейно независимы.
Совокупность любых двухлинейно независимых на интервале частных решений и линейного однородногодифференциального уравнения второго порядка определяет фундаментальную системурешений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено каккомбинация
Теперь можно сказать, прикаких условиях функция (1.2.2) будет общим решением уравнения (1.2.1).
Теорема 4. (структураобщего решения). Если два частных решения и линейного однородногодифференциального уравнения (1.2.1) образуют на интервале фундаментальнуюсистему, то общим решением этого уравнения является функция
(1.2.4)
где и - произвольныепостоянные.
Согласно теореме 1,функция (1.2.4) является решением уравнения (1.2.1). Остается доказать, что эторешение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение,удовлетворяющее заданным начальным условиям
(1.2.5)
где
Подставив начальныеусловия (1.2.5) в решение (1.2.2), получим систему уравнений
где и
Так как решения и образуютфундаментальную систему решений на и
Решение является частнымрешением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (1.2.1),удовлетворяющим начальным условиям (1.2.5).
Теорема доказана.§1.3 Интегрирование однородноголинейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера1.3.1 Предварительные замечания
Рассмотрим линейное уравнение n-ого порядка
(1.3.1)
где коэффициенты суть вещественныечисла, а правая часть непрерывна в некотороминтервале
Так как интегрированиенеоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующегооднородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решенияоднородного уравнения
(1.3.2)
Для нахождения общегорешения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Таккак коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны привсех значениях x, то согласно теоремеПикара и все решения уравнения (1.3.2) определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будемуказывать ни интервал существования частных решений, ни область общего решения.
Эйлер доказал, что дляоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можнопостроить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций,и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях.1.3.2 Случайразличных корней характеристического уравнения
Частным случаем линейныходнородных дифференциальных уравнений являются линейные однородныедифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть дано линейноеоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
(1.3.3)
где и - вещественные числа.Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (1.3.3) в виде
(1.3.4)
где - подлежащееопределению число (вещественное или комплексное). Согласно определению решенияфункции (1.3.4) будет решением уравнения (1.3.3), если выбрано так, чтофункция (1.3.4) обращает это уравнение в тождество
(1.3.5)
Вычисляя
(1.3.6)
будем иметь
так что
(1.3.7)
или
где
Из (1.3.7) следует, чтоинтересующее нас тождество (1.3.5) будет выполнятся тогда и только тогда, когда является корнемуравнения
(1.3.8)
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а егокорни – характеристическими числами уравнения (1.3.3).
Заметим, чтохарактеристическое уравнение (1.3.8) может быть составлено по данномудифференциальному уравнению (1.3.3) заменой и на и 1, т.е. степень совпадает с порядкомпроизводной, если условиться считать, что производная нулевого порядка отфункции есть сама функция
Структура фундаментальнойсистемы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (1.3.3) зависит отвида корней характеристического уравнения (1.3.8).
Рассмотрим сначаласлучаи, когда эти корни различные и вещественные. Обозначим их через и числа и
(1.3.9)
Эти решения, очевидно, линейнонезависимы, так как их отношение
не равно тождественно постояннойвеличине. В линейной независимости решений (1.3.9) можно убедиться также припомощи определителя Вронского. Имеем
Следовательно, частныерешения (1.3.9) образуют фундаментальную систему решений. А тогда общимрешением уравнения (1.3.3) будет
Пример 1. Рассмотрим уравнение
Характеристическимуравнением будет
Его корни (вещественные иразличные). Поэтому фундаментальная система решений имеет вид
а общим решением будет
Пример 2. Пусть дано уравнение
Имеем
Общим решением будет
Предположим теперь, чтокорни характеристического уравнения комплексные.Так как коэффициенты этого уравнения вещественные, то эти комплексные корниявляются сопряженными, так что ониимеют вид
Подставляя корень в формулу (1.3.4),получим комплексное решение
(1.3.10)
Но
поэтому решение (1.3.10) можнозаписать так
(1.3.11)
Отделяя в комплексномрешении (1.3.11) вещественную и мнимую части, получим два вещественных частныхрешения
(1.3.12)
Эти решения независимы,так как
Аналогично убеждаемся,что сопряженному корню соответствуютвещественные частные решения
(1.3.13)
Решения (1.3.13),очевидно, линейно зависимы с решениями (1.3.12).
Таким образом, паресопряженных комплексных корней соответствуют двавещественных линейно независимых частных решения (1.3.12).
Решения (1.3.12) образуютфундаментальную систему решенийуравнения (1.3.3). Поэтому
или