Знакочередующиеся и знакопеременныеряды
Содержание
1. Признак Даламбера
2. Признак Коши
3. Интегральный признак сходимостиряда
4. Знакочередующиеся ряды. ПризнакЛейбница
5. Знакопеременные ряды. Абсолютно иусловно сходящиеся ряды
Список использованных источников
1. Признак Даламбера
Теорема 1 (признакДаламбера). Пусть дан ряд />, где все /> > 0./>Если существует предел
/>,
то при 0/>/> > 1 рядсходится.
◄Пусть существуетпредел
/>,
где 0/>/> 0, например, для
/>, найдется номер N такой, что длявсех n ≥ N будет выполняться неравенство
/> ,
В частности, будем иметь
/> ,
или
/>
Откуда /> q для всех n ≥ N.Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим
/> q,
/> q q/>,
/> q q/>,
………………………….
Члены ряда
/>+/>+/>+…
Не превосходятсоответствующих членов ряда
/>q +/>q +/>q/>+… ,
который сходятся как ряд,составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0
/>+/>+/>+…
сходится, а значит,сходится и исходный ряд />.
В случае /> > 1,начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство
/> > 1, или /> > /> > 0.
Следовательно, /> 0, и ряд /> расходится,так как не выполнен необходимый признак сходимости. ►
Замечание. Если
/>1,
Или не существует, топризнак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.
Примеры. Исследовать насходимость следующие ряды:
1. /> .
◄ Для данного рядаимеем
/>, />.
Тогда
/>/>/>.
По признаку Даламбера рядсходится. ►
2. /> .
◄ Имеем
/>, />= />;
/>/>/>.
Данный ряд расходится. ►
2. Признак Коши
Теорема 2 (признак Коши).Пусть дан ряд
/>, /> . (1)
Если существует конечныйпредел
/>,
то 1) при /> ряд сходится;2) при /> рядрасходится.
◄ 1) Пусть />. Возьмем числоq такое, что />. Так как существует предел
/>,/>
где />, то, начиная снекоторого номера N, будет выполняться неравенство />.
В самом деле, изопределенного равенства вытекает, что для любого ε, в том числе и для
ε = />, найдется такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство
/>,
откуда />/>/> или что тоже,
/>.
Отсюда получаем
/> для />.
Таким образом, все членыряда, начиная с />, меньше соответствующих членовсходящегося ряда />. По признаку сравнения ряд
/>/>
сходится, а значитсходится и ряд(1).
2)Пусть />. Тогда, начиная снекоторого номера N для всех n > N, будет выполняться неравенство />, или
/>.
Следовательно,
/>
И ряд (1) расходится. ►
Замечание. Если />, то ряд (1)может как сходиться, так и расходиться.
Примеры. Исследовать насходимость следующие ряды:
1. /> .
◄ Имеем
/>, />;
/>/>.
Ряд сходится. ►
2. />
◄ Здесь
/>, />;
/>/>
Ряд сходится. ►
3. Интегральный признак сходимостиряда
Теорема 3 (интегральныйпризнак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна ине возрастает на луче />. Тогда:
1) числовой ряд /> сходится, еслисходится несобственный интеграл
/> ; (1)
2) ряд /> расходится, еслирасходится несобственный интеграл (1)
/>
◄ Возьмем награфике функции f(x) точки с абсциссами
x1=1, x2=2, x3=3, …, xn =n
и построим двеступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так,как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x =1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна
/>.
Возьмем n-ю частичнуюсумму ряда />:
S n = f(1) + f(2) + f(3)+ … + f(n) ,
Тогда площадь Q+ выступающейфигуры будет равна
Q+= f(1) + f(2) + f(3) +… + f(n-1) = S n-1
А площадь Q- входящейфигуры равна
Q- = + f(2) + f(3) + … +f(n) = S n — f(1).
Из построения и свойствфункции f(x) следует, что
Q-
S n — f(1)
Так как S n-1 ), то
S n — f(1)
1) Пусть интеграл (1)сходится. Тогда существует предел
/>,
так как
/>/>
(в силу условия f(x) >0 для /> , тоиз неравенства (2) следует, что
S n ≤ f(1) +A = M = const,
т.е. 0 0 для n = 1, 2, ….Поэтому она имеет предел
/>,
Что означает сходимостьряда />.
2) Пусть интеграл (1)расходится. Так как по условию
f(x) > 0 для />, то
/>= />.
Из неравенства
S n ≥ />, n = 1, 2,… ,
Следует, что
/>,
т.е. ряд /> расходится. ►
Пример 1. Исследовать насходимость ряд
/>.
◄ Здесь />. Известно, чтонесобственный интеграл
/>
сходится при p > 1 ирасходится при p ≤ 1. Следовательно, данный ряд сходится при p > 1 ирасходится
при p ≤ 1. Вчастности, при p = 1 получим гармонический ряд
/>►
Пример 2. Исследовать насходимость ряд
/>.
◄ В данном случаефункция /> и
/>=/>=/>/>=
=/>(arctg b-arctg 1)= />,
т.е. интеграл
/>
сходится, а значит,сходится и ряд. ►
Пример 3. Исследовать насходимость ряд
/>
◄ Так как общийчлен данного ряда имеет вид />, то выбираем функцию />.
Несобственный интеграл
/>=/>=/>=
=/>= +/>
расходится,следовательно, ряд тоже расходится. ►
Замечание. Нижний пределинтегрирования в несобственном интеграле
/>
можно взять произвольным,например, равным а, где а ≥ 1 – любое число.
Пример 4. Исследоватьсходимость ряда
/>,
◄ Так как общийчлен ряда
/>
то в качестве функции /> возьмем
/>, где x ≥ 4.
Тогда
/>=/>=
=/>=/>
=/>/>.
Так как несобственныйинтеграл
/>
сходится, то сходится иисходный ряд. ►
В случае сходимости ряда /> метод,примененный при доказательстве интегрального признака сходимости, позволяетполучить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичнойсуммой.
Пусть функция f(x)удовлетворяет условиям теоремы 9, ряд
/>
сходится и его суммаравна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и несобственныйинтеграл
/>.
Пользуясь неравенством
/>,
оценим остаток Rnзаданного ряда, Имеем
/>.
Итак,
/>
Таким образом,погрешность, получаемая при замене суммы S сходящегося ряда />
его n-й частичной суммойSn, не превосходит интеграла />.
Пример 5. Установитьсходимость ряда
/>
и оценить погрешность призамене его суммы S5.
◄ Здесь
/>=/>=/>= =/>=/>
В силу интегральногопризнака ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда через S и будем считать, что
S ≈ S5. Тогда
S ≈ S5 ==/>
/>
Оценим погрешность R5.Имеем
/>/> ►
Замечание. Обозначение
/>
понимается так
/>=/>=/>/>=
=/>.
Пример 6. Оценить n-йостаток сходящегося ряда
/>
где p>1.
◄ Имеем
/> = /> = />= />. ►
4 Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница
Определение. Числовой ряд
a1 – a2 + a3 – … + (– 1)n — 1an + … ,
где все числа anположительны, называется знакочередующимся.
Пример. Ряд
/>
являетсязнакочередующимся, а ряд
/>
знакочередующимся не является.
Для знакочередующихсярядов имеет место следующий признак сходимости, который носит название признакаЛейбница.
Теорема 4 (признакЛейбница). Пусть в знакочередующемся ряде
a1 – a2 + a3 – …
числоваяпоследовательность { an } убывает,
a1 > a2> a3> … /> Тогда этот рядсходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена:
/>
◄ Возьмем четнуючастичную сумму S2n этого ряда и запишем ее в виде
S2n = (a1 – a2) + (a3 –a4) + … + (a2n-1 – a2n).
Из условия теоремыследует, что разности в скобках положительны и, значит, S2n > 0,
причем с возрастанием nчастичная сумма S2n возрастает. Эту сумму можно записать
и так:
S2n = a1 – (a2 – a3) –(a4 – a5) – … – (a2n-2 – a2n-1) – a2n.
Здесь каждая скобкаположительна, откуда следует, что
S2n
Итак, последовательность{ S2n } монотонно возрастает и ограничена. Следовательно,
она имеет предел
/>,
причем />
Для нечетной частичнойсуммы S2n+1 будем иметь
S2n+1 = S2n + a2n+1 (n= 1, 2, … ).
По доказанному
/>,
А по условию теоремы
/>
Поэтому существует предел
/>/>/>.
Таким образом, доказано,что
/>,
т.е. данный ряд сходится.Из неравенства /> следует, в частности,положительность суммы ряда. ►
Замечание. Теоремаостается справедливой в части сходимости, если условие монотонностипоследовательности { an } будет выполняться для всех номеров n, начиная снекоторого номера N.
Пример. Знакочередующийсяряд
/>
сходится, так как
/> и />
Теорема 4 позволяетоценить n-й остаток
/>
Рассматриваемого ряда,который также является знакочередующимся рядом. По абсолютной величине остатокбудет не больше абсолютной величины первого своего члена, />. Так как />, то
/>
т.е абсолютнаяпогрешность, получающаяся при замене суммы знакочередующегося ряда его n-й частичнойсуммой, не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда />.
Пример. Вычислитьприближенно сумму ряда
/> ,
Ограничившись четырьмячленами, и оценить погрешность.
◄ Сходимость рядаочевидна. Положим приближенно
/>
Тогда
/>.
Абсолютная погрешность непревосходит />.►
5. Знакопеременные ряды
Абсолютно и условносходящиеся ряды
Числовой ряд
/>,
членами которого являютсядействительные числа любого знака, называется знакопеременным. Знакопеременнымибудут, например, ряды
/> ,
(плюс, два минуса, плюс,два минуса и т.д.).
Наряду сознакопеременным рядом
/>
рассмотрим ряд,составленный из абсолютных величин его членов, т.е.
/> ,
и докажем следующуютеорему.
Теорема 5. Если сходитсяряд
/>,
то сходится и ряд
/>
◄ Из двойногонеравенства /> получаем
/> для n = 1, 2, … .
Пусть ряд
/>
сходится. Тогда ряд
/>
также будет сходиться, апо признаку сравнения будет сходящимся и ряд
/>.
Но ряд /> есть разность двухсходящихся рядов
/>/>/>,
поэтому он также будетсходящимся. ►
Следствие. Если ряд
/>
сходится, то справедливонеравенство
/>/>.
◄ Для любогонатурального числа k имеет место неравенство
/>/>,
т.е.
/>/>/>,
Переходя к пределу при />, получим
/>/>/>,
Или
/>/>. ►
При исследовании ряда
/>
на сходимость можноприменять все достаточные признаки сходимости, установленные длязнакоположительных рядов.
Замечание. Из сходимостиряда
/>
сходимости ряда
/>
вообще говоря, неследует, т.е. доказанная теорема дает лишь достаточное условие сходимостизнакопеременного ряда.
Пример 1. Ряд
/>
сходится по признакуЛейбница, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
/>
– это гармонический ряд,который расходится.
Определение.Знакопеременный числовой ряд
/>
называется абсолютносходящимся, если сходится ряд
/>.
Ряд
/>
называется условносходящимся, если он сходится, а ряд
/>
расходится.
Пример 2. Числовой ряд
/>
(плюс, два минуса, плюс,два минуса и т.д.) является абсолютно сходящимся, так как ряд, составленный изабсолютных величин его членов,
/> ,
сходится. Ряд из примера1 является условно сходящимся.
Отметим следующиесвойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
Теорема 6. Абсолютносходящийся ряд при любой перестановке его членов остается абсолютно сходящимся,и его сумма не изменяется.
Замечание. Утверждениетеоремы справедливо для любого сходящегося знакопостоянного ряда.
Условно сходящиеся рядыэтим свойством не обладают.
Теорема 7. Если рядсходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число A,
можно так переставитьчлены этого ряда, что преобразованный ряд будет иметь своей суммой число A.
Более того, членыусловно сходящегося ряда можно представить так, что полученный послепереустановки ряда будет расходящимся.
Пример. Рассмотримусловно сходящийся ряд
/> ,
сумму которого обозначимчерез S. Переставим члены ряда так, чтобы за каждым положительным членомследовали два очередных отрицательных. Тогда получим ряд
/>
Покажем, что онсходится и его сумма равна />. Рассмотрим подпоследовательностьего частичных
сумм />:
/>/>,
/>/>/>/>
=/>,
/>/>/>/>
=/>, … .
Нетрудно убедится втом, что она сходится к />. А из того, что
/>/>
/>/>
получаем, что /> существует ион равен />.
Таким образом, приуказанной перестановке членов ряда, мы получим сходящийся ряд, сумма которого вдва раза меньше суммы исходного ряда
Список использованных источников
1. «Курс математического анализа»,автор – Никольский С.М., г. Москва, изд. «Наука», 1990г.
2. «Высшая математика», автор –Щипачев А.В., г. Москва, изд. «Высшая школа», 1996г.