Курсова робота:Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
Зміст
Розділ 1
1. Упорядковані множини
2. Ґрати
3. Дистрибутивні ґрати
4. Топологічні простори
Розділ 2
1. Верхні напівґрати
2. Стоуновий простір
Висновок
Список літератури
Розділ 1
1. Упорядковані множини
Визначення: Упорядкованою множиною /> називається непуста множина, наякої визначене бінарне відношення />, що задовольняє для всіх /> наступнимумовам:
1. Рефлективність: />.
2. Антисиметричність: якщо /> й />, те />.
3. Транзитивність: якщо /> й />, те />.
Якщо /> й />, то говорять, що /> менше /> або /> більше />, і пишуть /> або />.
Приклади впорядкованих множин:
Множина цілих позитивнихчисел, а /> означає,що /> ділить/>.
Множина всіх дійсних функцій /> на відрізку /> й
/> означає, що /> для />.
Визначення: Ланцюгом називаєтьсявпорядкована множина, на якої для /> має місце /> або />.
Використовуючи відношенняпорядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядкованнямножини />.Зобразимо кожний елемент множини /> у вигляді невеликого кружка,розташовуючи /> вище />, якщо />. З'єднаємо /> й /> відрізком. Отриманафігура називається діаграмою впорядкованої множини />.
Приклади діаграмупорядкованих множин:
/>
2. Ґрати
Визначення: Верхньою гранню підмножини /> в упорядкованій множині /> називаєтьсяелемент /> із/> , більшийабо рівний усіх /> з />.
Визначення: Точна верхня грань підмножини /> впорядкованої множини /> – це така іі верхнягрань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом /> і читається«супремум X».
Відповідно до аксіомиантисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вонаєдина.
Поняття нижньої грані йточної грані (яка позначається /> й читається «інфинум»). Також,відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижнягрань /> існує,то вона єдина.
Визначення: Ґратами /> називається впорядкована множина />, у якомубудь-які два елементи /> й /> мають точну нижню грань,позначувану />,і точну верхню грань, позначувану />.
Приклади ґрат:
1. Будь-який ланцюг єґратами, тому що /> збігається з меншим, а /> з більшим зелементів />.
2.
/>
Найбільший елемент, тобтоелемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають/>, анайменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованоїмножини, позначають />.
На ґратах можна розглядатидві бінарні операції:
/> - додавання й
/> - добуток
Ці операції мають наступнівластивості:
1. />, /> ідемпотентність
2. />, /> комутативність
3. />,
/> асоціативність
4. />,
/> закони поглинання
Теорема. Нехай /> - множина із двома бінарнимиопераціями />,що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення /> (або />) є порядком на />, а виникаючавпорядкована множина виявляється ґратами, причому:
/>
/>
Доказ.
Рефлективність відносини /> випливає ізвластивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):
/>
/>
Якщо /> й />, тобто /> й />, те в силу властивості (2),одержимо />.Це означає, що відношення /> антисиметричне.
Якщо /> й />, то застосовуючи властивість (3),одержимо: />,що доводить транзитивність відносини />.
Застосовуючи властивості (3),(1), (2), одержимо:
/>,
/>.
Отже, /> і />
Якщо /> й />, то використовуючи властивості(1) – (3), маємо:
/>, тобто />
По визначенню верхньої граніпереконаємося, що
/>
Із властивостей (2), (4)випливає, що /> й />
Якщо /> й />, то по властивостях (3), (4)одержимо:
/>
Звідси по властивостях (2) і(4) треба, що
/>, тобто
Таким чином, />. :
Нехай /> ґрати, тоді їїнайбільший елемент /> характеризуються одним ізвластивостей:
1./>/>
2./>/>.
Аналогічно характеризуєтьсянайменший елемент />:
1./>/>
2./>/>.
3. Дистрибутивні ґрати
Визначення: Ґрати /> називаються дистрибутивної,якщо для /> виконується:
1. />
2. />
У будь-яких ґратах тотожності(1) і (2) рівносильні. Доказ цього факту втримується в книзі [1], стор. 24.
Теорема: Ґрати /> з 0 і 1 є дистрибутивною тоді йтільки тоді, коли вона не містить у
/>
Доказ цього факту можназнайти в книзі [2].
Далі під словом “ґрати”розуміється довільні дистрибутивні ґрати з 0 і 1 (причому />).
Визначення: Непуста множина /> називається ідеалом уґратах />,якщо виконуються умови:
1. />
2. />
Визначення: Ідеал /> у ґратах /> називається простим, якщо
/> або />.
Ідеал, породжений множиною Н(тобтонайменший ідеал, що містить H), буде позначатися (Н].Якщо Н = {a}, то замість ({a}] будемо писати (a] іназивати (a] головним ідеалом.
Позначимо через I(L)множина всіх ідеалів ґрати L. I(L) будемо називати ґратами ідеалів.
Визначення: Ґрати />/> й />/> називаються ізоморфними (позначення:/>), якщоіснує взаємно однозначне відображення />, називане ізоморфізмом,множини /> намножину />,таке, що
/>,
/>.
4. Топологічні простори
Визначення: Топологічний простір – це непустамножина /> здеякою системою /> виділених його підмножин, щозадовольняє аксіомам:
Порожня множина й сам простір/> належитьсистемі />: />.
Перетинання будь-якогокінцевого числа множин з /> належить />, тобто />.
Об'єднання будь-якогосімейства множин з /> належить />, тобто />.
Таким чином, топологічнийпростір – це пари , />>, де /> - така множина підмножин в />, що /> й /> замкнуто щодокінцевих перетинань і довільних об'єднань. Множини з /> називають відкритими, а їхньогодоповнення в /> замкнутими.
Визначення: Простір називається компактним, якщо вбудь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення: Підмножина простору називається компактним,якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення: Топологічний простір називається /> - простором,якщо для будь-яких двох різних його крапок існує відкрита множина, що міститьрівно одну із цих крапок.
Розділ 2
1. Верхні напівґрати
Визначення: множина називається верхніми напівґратами,якщо sup{a,b} існує для будь-яких елементів a і b.
Визначення: Непуста множина I верхніх напівґрат Lназивається ідеалом, якщо для будь-яких /> включення /> має місце тоді й тількитоді, коли />.
Визначення: Верхні напівґрати /> називаються дистрибутивної,якщо нерівність />≤ /> /> (/>, />, /> L) спричиняє існування елементів />, таких, що />, />, і /> = />.(мал.1).Помітимо, що елементи /> й /> не обов'язково єдині.
/>
Деякі найпростіші властивостідистрибутивних верхніх напівґрат дає:
Лема 1:
(*). Якщо ,/>> — довільні напівґрати, то верхні напівґрати /> дистрибутивна тоді й тільки тоді,коли ґрати /> дистрибутивна.
(**). Якщо верхнінапівґрати /> дистрибутивна,то для будь-яких /> існує елемент />, такий, що /> й />. Отже, множина/> єґратами.
(***). Верхні напівґрати /> дистрибутивнатоді й тільки тоді, коли множина /> є дистрибутивними ґратами.
Доказ.
(*). /> ,/>> — дистрибутивна й />, те дляелементів />,/>,справедлива рівність />:
/>
виходить, напівґрати ,/>> — дистрибутивна.
/>/>,/>> — дистрибутивна. Нехай ґрати/> містятьдіамант або пентагон (мал.2).
/>
1) Нехай ґрати /> містять пентагон, />. Потрібнознайти такі елементи /> й />, щоб виконувалася рівність />. Але множинаелементів менших b абоc складається з елементів {0,b,c} іїхня нижня границя не дасть a. Одержали протиріччя з тим, що ,/>> — дистрибутивна. Виходить, наше припущення невірно й ґрати /> не містять пентагона.
2) Нехай ґрати /> містять діамант, />. Аналогічно,множина елементів менших b абоc складається з елементів {0,b,c},їхня нижня границя не дасть a. Виходить, ґрати /> не містять діаманта.
Можна зробити висновок, щоґрати /> дистрибутивна.
(**). Маємо />, тому />, де />(по визначеннюдистрибутивних напівґрат). Крім того, /> є нижньою границею елементів /> і />.
Розглянемо ідеали, що містятьелемент /> і/> - /> і />. Тоді /> Ø, томущо />, нижняграниця елементів a і b, утримується там.
Покажемо, що I(L) –ґрати, тобто існують точні нижня й верхня грані для будь-яких A і B.
Покажемо, що /> збігаєтьсяз перетинанням ідеалів A іB. По-перше, /> - ідеал. Дійсно, /> і /> й /> По-друге, нехай ідеал /> і />. Тоді />, тобто /> - точна нижнягрань ідеалів A іB, тобто />.
Тепер покажемо, що /> збігається зперетинанням всіх ідеалів />, що містять A і B. Позначимо/>. Оскільки/> для /> /> для /> />, те Cідеал. По визначенню C він буде найменшим ідеалом, що містить A іB.
(***). /> Нехай /> – верхні дистрибутивнінапівґрати. Покажемо, що
/>.
Нехай />, тобто /> (мал.3), для деяких />
/>
Зрозуміло, що />. По дистрибутивності,існують /> такі,що />. Т.к. A– ідеал, те/>,тому що />.Аналогічно, />.Т.е. />.Точно також, />. Якщо />, то легко показати, що />.
Довели, що /> - ідеал. Очевидно, вінє верхньою гранню ідеалів A іB. Якщо C містить A іB, то C буде містити елементи /> для будь-яких />, тобто /> Тому />, оскільки /> є верхньоюгранню ідеалів A і B і втримується в будь-який верхній грані.
Тепер покажемо, щовиконується рівність:
/>.
/>. Нехай />, де />,/>. /> , те/>, звідки /> й отже />. Аналогічно, />, виходить, />
/>. Нехай />, де /> /> /> />/>.
Звідси треба дистрибутивністьґрати />.
/> /> – дистрибутивні ґрати, />. Теперрозглянемо ідеали, утворені цими елементами:
/>
(/>, буде нижньою границею для />). Тому />, що йдоводить дистрибутивність напівґрат />. :
2. Стоуновий простір
Визначення: Підмножина /> верхніх напівґрат /> називається коідеалом,якщо /> знерівності /> треба/> й /> існує нижняграниця />множини/>, така, що/>.
Визначення: Ідеал /> напівґрати /> називаються простим,якщо /> ймножина /> єкоідеалом.
Надалі нам буде потрібно лемаЦорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.
Лема Цорна. Нехай A – множина й X – непуста підмножинамножини P(A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C – ланцюг в >, те />. Тоді X маємаксимальний елемент.
Лема 2: Нехай /> – довільний ідеал і /> – непустийкоідеал дистрибутивних верхніх напівґрат />. Якщо />, то в напівґратах /> існує простий ідеал /> такий, що /> й />.
Доказ.
Нехай X – множина всіхідеалів в L, що містять I і не пересічних з D. Покажемо,що X задовольняє лемі Цорна.
Нехай C – довільнийланцюг в X і /> Якщо />, те /> для деяких /> Нехай для визначеності />. Тоді /> й />, тому що /> - ідеал. Тому />. Обернено,нехай />,тоді />, дляякогось /> Одержуємо/>, звідки />.
Довели, що M– ідеал,мабуть, що містить I і не пересічний з D, тобто />. По лемі Цорна X маємаксимальний елемент, тобто максимальним ідеалом P серед утримуючих Iі не пересічних зD.
Покажемо, що P –простій. Для цього досить довести, що L\P є коідеалом. Нехай />L\P і />. Оскільки />, те/>, інакше впротивному випадку /> по визначенню ідеалу. Отже, />. Якщо />, то /> й /> пересічних з Dу силу максимальності P. Одержуємо /> й /> для деяких елементів />. Існує елемент/> такий, що/> й />, по визначеннюкоідеала, отже /> й /> для деяких /> Помітимо, що /> й /> не лежать в P,тому що в противному випадку />.
Далі, />, тому /> для деяких /> і />. Як і колись />. Крім того />, тому /> - нижня граньелементів a і b, що не лежить в P. :
Надалі, через /> будемо позначатидистрибутивні верхні напівґрати з нулем, через />множину всіх простих ідеалівнапівґрати />.
Множини виду /> представляють елементинапівґрат /> уч.в. множині /> (тобто />). Зробимо всі такі множинивідкритими в деякій топології.
Позначимо через /> топологічнийпростір, певний на множині />. Простір SpecL будемоназивати стоуновим простором напівґрат L.
Лема 3: Для будь-якого ідеалу I напівґрати L покладемо:
/>
Тоді множини виду /> вичерпують всівідкриті множини в стоуновом просторі SpecL.
Доказ.
Потрібно перевірити виконанняаксіом топологічного простору.
1) Розглянемо ідеал,утворений 0. Тоді
/>,
але 0 лежить у будь-якомуідеалі, а значить />.
2) Візьмемо довільні ідеали /> й /> напівґрати /> й розглянемо
/>/>
Нехай />. Тоді існують елементи a/>і/> Звідси треба,що />, де L\P– коідеал. По визначенню коідеала існує елемент d/> такий, що/> й />, виходить,/>. Так як. />, отже, />. Одержуємо, що/>.
Зворотне включення очевидно.
2) Нехай /> - довільне сімействоідеалів. Через /> позначимо множину всіх точнихверхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства />. Покажемо, що /> - ідеал. Нехай/>, тоді />, де /> для деякогоідеалу />.Тоді /> лежитьв ідеалі />,отже, /> і />, тобто />. Оберненоочевидно.
Довели, що /> - ідеал. Теперрозглянемо довільне об'єднання.
/> ■
Лема 4: Підмножини виду /> простору /> можна охарактеризувати яккомпактні відкриті множини.
Доказ.
/> Дійсно, якщо сімейство /> відкритихмножин покриває множина />, тобто /> />, те /> Звідси треба, що />для деякої кінцевоїпідмножини />,тому /> />. Таким чином,множина /> компактно.
/> Нехай відкрита множина r(I)компактно, тоді /> й можна виділити кінцеве підпокриття /> длядеяких />.
Покажемо, що Iпороджується елементом />.
Припустимо, що це не так, і відеалі I найдеться елемент b не лежачий в. /> Тоді [b) –коідеал, не пересічний с./>По лемі 2 найдеться простий ідеалP утримуючий /> і не пересічний з [b).Одержуємо, />,тому що /> (тобто/>), але />, тому що />/>, протиріччя. Отже,компактною відкритою множиною r(I) буде тільки у випадку, якщо /> - головнийідеал.
Пропозиція 5: Простір /> є /> — простором.
Доказ.
Розглянемо два різних простихідеали /> й Q.Хоча б один не втримується в іншому. Допустимо для визначеності, що />. Тоді r(P) міститьQ, але не містить P, тобто SpecL є /> — простором. :
Теорема 6: Стоуновий простір /> визначає напівґрати /> з точністю доізоморфізму.
Доказ.
Потрібно показати, що двоєнапівґрат /> і/> ізоморфнітоді й тільки тоді, коли простори /> й /> гомеоморфни.
/> Очевидно, якщо ґрати ізоморфні,то простору, утворені цими напівґратами будуть збігатися.
/> Нехай /> і /> гомеоморфни (/>) і />. Тоді a визначаєкомпактна відкрита множина r(a)/>. Множині r(a) відповідаєкомпактна відкрита множина />, з однозначно певним елементом /> по лемі 4. Утакий спосіб одержуємо відображення />: />, при якому />. Покажемо, що /> - ізоморфізмґрат. Якщо a,b – різні елементи з />, те/>, отже, />, тому /> й /> - ін'єкція.
Для довільного /> відкритій множині /> відповідає /> й очевидно/>, що показуєсюрективність />.
Нехай a,b – довільніелементи з />.Помітимо, що />. Відкритій множині /> при гомеоморфізмі /> відповідаєвідкрита множина />, а /> відповідає />. Отже, />=/>. Оскільки />=/>, те/>, тобто />
Висновок
алгебра множинагрань грата топологічний
Дистрибутивні ґрати є одним зосновних алгебраїчних об'єктів. У даній роботі розглянута частково впорядкованамножинаP(L) простих ідеалів. Вона дає нам багато інформації продистрибутивні ґрати L, але вона не може її повністю охарактеризувати.Тому, для того, щоб множина P(L) характеризувало ґрати L, необхіднонаділити іі більше складною структурою. Стоун [1937] задав на множині P(L)топологію. У цій роботі метод розглянутий у трохи більш загальному виді.
Література
1. Биргкоф Г. Теорія ґрат. – К., 2003.
2. Гретцер Г. Загальна теорія ґрат. – К., 2005
3. Чермних В.В. Півкільця. – К., 1997.