Дипломна робота
Дослідження проблемитригонометричних рівнянь
ВВЕДЕННЯ
У стародавності тригонометрія виникла у зв'язку зпотребами астрономії, будівельної справи, тобто носила чисто геометричнийхарактер і представляла головним чином >. Згодому неї почали вкраплятися деякі аналітичні моменти. У першій половині 18-гостоліття відбувся різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла новийнапрямок і змістилася убік математичного аналізу. Саме в цей частригонометричні залежності стали розглядатися як функції.
Тригонометричні рівняння одна із самих складних тем ушкільному курсі математики. Тригонометричні рівняння виникають при рішеннізадач по планіметрії, стереометрії, астрономії, фізики й в інших областях.Тригонометричні рівняння й нерівності рік у рік зустрічаються серед завданьцентралізованого тестування.
Найважливіша відмінність тригонометричних рівнянь відалгебраїчних полягає в тому, що в алгебраїчних рівняннях кінцеве число корінь,а в тригонометричних нескінченне, що сильно ускладнює відбір корінь. Ще одноюспецифікою тригонометричних рівнянь є не одиничність форми запису відповіді.
Дана дипломна робота присвячена методам рішеннятригонометричних рівнянь і нерівностей.
Дипломна робота складається з 6 розділів.
У першому розділі наведені основні теоретичнівідомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотнихтригонометричних функцій; таблиця значень тригонометричних функцій для деякихаргументів; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричніфункції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, щоособливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основнихтригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формуливираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції.
У другому розділі викладені основні методи рішеннятригонометричних рівнянь. Розглянуто рішення елементарних тригонометричнихрівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричнихрівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можназаписати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити,чи є ці рішення однаковими або різними, що може >при рішенні тестів, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівняньі докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричнихрівнянь.
У третьому розділі розглядаються нестандартнітригонометричні рівняння, рішення яких засноване на функціональному підході.
У четвертому розділі розглядаються тригонометричнінерівності. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричнихнерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описанопроцес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарнінерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів.
У п'ятому розділі представлені найбільш складнізавдання: коли необхідно не тільки вирішити тригонометричне рівняння, але й зізнайдених корінь відібрати корінь, що задовольняють якій-небудь умові. У даномурозділі наведені рішення типових завдань на відбір корінь. Наведено необхіднітеоретичних відомості для відбору корінь: розбивка множини цілих чисел нанепересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах (діафантових).
У шостому розділі представлені задачі для самостійногорішення, оформлені у вигляді тесту. В 20 завданнях тесту наведені найбільшскладні завдання, які можуть зустрітися на централізованому тестуванні.
ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Елементарні тригонометричні рівняння
Елементарні тригонометричні рівняння — це рівняннявиду
/>
де /> - одна із тригонометричнихфункцій
/>, />, />, />.
Елементарні тригонометричні рівняння мають нескінченнобагато корінь. Наприклад, рівнянню
/>
задовольняють наступні значення
/>, />, />, />
і т.д. Загальна формула по який перебувають всікоріння рівняння
/>, де />, така:
/>
Тут /> може приймати будь-які цілізначення, кожному з них відповідає певний корінь рівняння; у цій формулі (таксамо як і в інших формулах, по яких вирішуються елементарні тригонометричнірівняння) /> називаютьпараметром. Записують звичайно />, підкреслюючи тим самим, що параметр/> прийматибудь-які цілі значення.
Рішення рівняння
/>
де />, перебувають по формулі
/>
Рівняння /> вирішується застосовуючи формулу
/>
а рівняння /> -по формулі
/>
Особливо відзначимо деякі окремі випадки елементарнихтригонометричних рівнянь, коли рішення може бути записане без застосуваннязагальних формул:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
При рішенні тригонометричних рівнянь важливу роль граєперіод тригонометричних функцій. Тому приведемо дві корисні теореми:
Теорема Якщо /> --- основний період функції />, то число /> є основнимперіодом функції />.
Періоди функцій /> і /> називаються порівнянними, якщоіснують натуральні числа /> й />, що />.
Теорема Якщо періодичні функції /> й />, мають порівнянні /> й />, те вони маютьзагальний період
/>
що є періодом функцій
/>, />, />
У теоремі говориться про те, що /> є періодом функції
/>, />, />
і не обов'язково є основним періодом. Наприклад,основний період функцій
/> і /> - />
а основний період їхнього добутку — />.
Введення допоміжного аргументу
Стандартним шляхом перетворення виражень виду
/> є
наступний прийом: нехай /> - кут, що задається рівностями
/>
/>
Для будь-яких /> і /> такий кут існує. У такий спосіб
/>
Якщо
/>, /> або />, />, /> в інших випадках />
Схема рішення тригонометричних рівнянь
Основна схема, який ми будемо керуватися при рішеннітригонометричних рівнянь наступна:
рішення заданого рівняння зводиться до рішенняелементарних рівнянь. Засоби рішення -і- перетворення, розкладання на множники,заміна невідомих. Провідний принцип -і- не втрачати корінь. Це означає, що припереході до наступного рівняння (рівнянням) ми не побоюємося появи зайвих(сторонніх) корнів, а піклуємося лише про те, щоб кожне наступне рівняння нашої«ланцюжка» (або сукупність рівнянь у випадку розгалуження) булонаслідком попередні. Одним з можливих методів відбору корнів є перевірка.Відразу помітимо, що у випадку тригонометричних рівнянь труднощі, пов'язані звідбором корнів, з перевіркою, як правило, різко зростають у порівнянні залгебраїчними рівняннями. Адже перевіряти доводиться серії, що складаються знескінченного числа членів.
Особливо варто сказати про заміну невідомих прирішенні тригонометричних рівнянь. У більшості випадків після потрібної замінивиходить алгебраїчне рівняння. Більше того, не так уже й рідкі рівняння, які,хоча і є тригонометричними по зовнішньому вигляді, по суті такими не є,оскільки вже після першого кроку -і- заміни змінних -і- перетворюються валгебраїчні, а повернення до тригонометрії відбувається лише на етапі рішенняелементарних тригонометричних рівнянь.
Ще раз нагадаємо: заміну невідомого варто робити зпершою нагодою, що вийшла після заміни рівняння необхідно вирішити до кінця,включаючи етап відбору корнів, а потім вернеться до первісного невідомого.
Одна з особливостей тригонометричних рівнянь полягає втім, що відповідь у багатьох випадках може бути записаний різними способами.Навіть для рішення рівняння /> відповідь може бути записаний утакий спосіб:
1) у вигляді двох серій
/>, />, />
2) у стандартній формі що представляє собою об'єднаннязазначених вище серій
/>, />
3) оскільки
/>
те відповідь можна записати у вигляд
/>, />
(Надалі наявність параметра />, />, /> або /> в записі відповіді автоматичноозначає, що цей параметр приймає всілякі цілочисленні значення. Виключеннябудуть обмовлятися.)
Очевидно, що трьома перерахованими випадками невичерпуються всі можливості для запису відповіді розглянутого рівняння (їхнескінченно багато).
Наприклад, при /> справедливо рівність
/>
Отже, у двох перших випадках, якщо />, ми можемо замінити
/> на />
Звичайно відповідь записується на підставі пункту 2.Корисно запам'ятати наступну рекомендацію: якщо на рішенні рівняння /> робота незакінчується, необхідно ще провести дослідження, відбір корнів, те найбільшзручна форма запису, зазначена в пункті 1. (Аналогічну рекомендацію варто датий для рівняння />.)
Розглянемо приклад.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Найбільш очевидним є наступний шлях. Дане рівняннярозпадається на два
/> і />
Вирішуючи кожне з них і поєднуючи отримані відповіді,знайдемо
/>
Інший шлях. Оскільки
/>,
те, заміняючи /> й /> по формулах зниження ступеня.Після невеликих перетворень одержимо
/> Звідки />
На перший погляд ніяких особливих переваг у другоїформули в порівнянні з першої немає. Однак, якщо візьмемо, наприклад,
/>
те виявиться, що
/>
тобто рівняння
/>
має рішення
/>
у той час як перший спосіб нас приводить до відповіді
/>
Побачити" і довести рівність
/> не так просто.
Відповідь. />
Перетворення й об'єднання груп загальних рішеньтригонометричних рівнянь
Будемо розглядати арифметичну прогресію, щонескінченно простирається в обидва боки. Члени цієї прогресії можна розбити надві групи членів, що розташовуються вправо й уліво від деякого члена,називаного центральним або нульовим членом прогресії.
Фіксуючи один зі членів нескінченної прогресіїнульовим номером, ми повинні будемо вести подвійну нумерацію для всіх членів,що залишилися: позитивну для членів, розташованих вправо, і негативну длячленів, розташованих уліво від нульового.
У загальному випадку, якщо різниця прогресії />, нульовий член/>, формуладля кожного (/>-го) члена нескінченноїарифметичної прогресії представляє вид:
/>
Перетворення формули для будь-якого члена нескінченноїарифметичної прогресії
1. Якщо до нульового члена /> додати або відняти різницяпрогресії />,то від цього прогресія не зміниться, а тільки переміститься нульовий член,тобто зміниться нумерація членів.
2. Якщо коефіцієнт при змінній величині /> помножити на />, то від цьоговідбудеться лише перестановка правої й лівої груп членів.
3. Якщо /> послідовних членів нескінченноїпрогресії
/>
наприклад
/>, />, />, ..., />
зробити центральними членами /> прогресій з однаковою різницею,рівної />:
/>
те прогресія (??) й ряд прогресій (??) виражають собоюті самі числа.
Приклад Ряд
/>
може бути замінений наступними трьома рядами
/>, />, />
4. Якщо /> нескінченних прогресій зоднаковою різницею /> мають центральними членами числа,що утворять арифметичну прогресію з різницею />, то ці /> рядів можуть бути замінені одноюпрогресією з різницею />, і із центральним членом, рівнимкожному із центральних членів даних прогресій, тобто якщо
/>
те ці /> прогресій поєднуються в одну
/>
Приклад
/>, />, />, />
обидві поєднуються в одну групу
/>, тому що />
Для перетворення груп, що мають загальні рішення, угрупи, загальних рішень не дані групи, що мають, розкладають на групи іззагальним періодом, а потім об'єднати групи, що вийшли, виключивши повторювані.
Розкладання на множники
Метод розкладання полягає в наступному: якщо
/>
те всяке рішення рівняння
/>
є рішення сукупності рівнянь
/>(??)
Зворотне твердження, загалом кажучи невірно: не всякерішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що рішення окремихрівнянь (??) можуть не входити в область визначення функції />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Використовуючи основну тригонометричнутотожність, рівняння представимо у вигляді
/>
Відповідь./>; />
Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Застосуємо формулу (??), одержимо рівносильнерівняння
/>
Відповідь. />
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. У цьому випадку, перш ніж застосовуватиформули суми тригонометричних функцій, варто використовувати формулу приведення
/>
У підсумку одержимо рівносильне рівняння
/>
Відповідь. />, />.
Рішення рівнянь добутку тригонометричних функцій усуму
При рішенні ряду рівнянь застосовуються формули.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Застосувавши формулу (??), одержиморівносильне рівняння:
/>
Відповідь. />, />
Приклад Вирішити рівняння
/>.
Рішення. Застосувавши формулу (??), одержиморівносильне рівняння:
/>.
Відповідь. />
Рішення рівнянь із застосуванням формул зниженняступеня
При рішенні широкого кола тригонометричних рівняньключову роль грають формули.
Приклад Вирішити рівнянн
/>
Рішення. Застосовуючи формулу, одержимо рівносильнерівняння.
/>
/>
/>
/>.
Відповідь. />; />.
Рішення рівнянь із формул потрійного аргументу
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Застосуємо формулу (??), одержимо рівняння
/>
Відповідь. />; />.
Приклад Вирішити рівняння
/>.
Рішення
Застосуємо формули зниження ступеня одержимо
/>
Застосовуючи (??) одержуємо
/>
Відповідь. />; />
Рівність однойменних тригонометричних функцій
/>
/>
/>
Приклад Вирішити рівняння
/>.
Рішення
/>
Відповідь. />, />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Перетворимо рівняння
/>
Відповідь. />.
Приклад Відомо, що /> й /> задовольняють рівнянню
/>
Знайти суму />.
Рішення. З рівняння треба, що
/>
/>
Відповідь. />
Помноження на деяку тригонометричну функцію
Розглянемо суми виду
/>
/>
Дані суми можна перетворити в добуток, до множив ірозділивши їх на
/>, тоді одержимо
/>
Зазначений прийом може бути використаний при рішеннідеяких тригонометричних рівнянь, однак варто мати на увазі, що в результатіможлива поява сторонніх корінь. Приведемо узагальнення даних формул:
/>
/>
/>
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Видно, що множина /> є рішенням вихідного рівняння.Тому множення лівої й правої частини рівняння на /> не приведе до появи зайвихкорінь.
Маємо />
Відповідь. />; />
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. До множимо ліву й праву частини рівняння на
/>
й застосувавши формули перетворення добуткутригонометричних функцій у суму, отримаємо
/>
Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь
/> і />, звідки /> й />
Тому що корінь рівняння
/>
не є коріннями рівняння, то з отриманих множин рішеньварто виключити
/>
Значить у множині
/> потрібно виключити />.
Відповідь. /> і />, />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Перетворимо вираження
/>
/>
Рівняння запишеться у вигляді
/>
Приймаючи />, одержуємо />. />, />
Отже
Відповідь. />
Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних
Зведених до квадратних
Якщо рівняння має вигляд
/>
те заміна /> приводить його до квадратного,оскільки
/> ((??) ) і (??).
Якщо замість доданка /> буде/>, то потрібна заміна буде
/>
Рівняння
/>
зводиться до квадратного рівняння
/>
поданням /> як />. Легко перевірити, що /> при яких />, не єкоріннями рівняння, і, зробивши заміну />, рівняння зводиться доквадратного.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Перенесемо /> в ліву частину, замінимо її на
/>, /> і /> виразимо через /> і />
Після спрощень одержимо
/>
Розділимо по членне на />, зробимо заміну />:
/>
Вертаючись до />, знайдемо
/>
Рівняння, однорідні відносно />, />
Розглянемо рівняння виду
/> (8)
де />, />, />, ..., />, /> --- дійсні числа. У кожномускладати^ся лівої частини рівняння (??) ступеня одночленів рівні />, тобто сума ступенівсинуса й косинуса та сама й дорівнює />. Таке рівняння називаєтьсяоднорідним відносно /> й />, а число /> називається показникомоднорідності.
Ясно, що якщо />, те рівняння прийме вид:
/>
рішеннями якого є значення />, при яких />, тобто числа />, />. Другерівняння, записане в дужках також є однорідним, але ступеня на 1 нижче.
Якщо ж />, то ці числа не є коріннямирівняння (??).
При /> одержимо: />, /> і ліва частина рівняння(1) приймає значення />.
Отже, при />, /> і />, тому можна розділити обидвічастини рівняння на />. У результаті одержуємо рівняння:
/>
яке, підстановкою /> легко зводиться до алгебраїчного:
/>
Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При /> маємо рівняння/>.
Якщо />, то це рівняння рівносильнерівнянню
/>, />, звідки />, />
Приклад Вирішите рівняння
/>
Рішення. Це рівняння однорідне першого ступеня />. Розділимообидві його частини на /> одержимо:
/>, />, />, />
Відповідь. />.
Приклад При /> одержимо однорідне рівняння виду
/>
Рішення
Якщо />, тоді розділимо обидві частинирівняння на />,одержимо рівняння />, що підстановкою /> легко приводиться доквадратного: />. Якщо />, то рівняння має дійсні коріння />, />. Вихіднерівняння буде мати дві групи рішень: />, /> />, />.
Якщо />, то рівняння не має рішень.
Приклад Вирішите рівняння />.
Рішення
Це рівняння однорідне другого ступеня. Розділимообидві честі рівняння на />, одержимо/>
Нехай />, тоді
/>, />, />. />, />, />;
/>, />, />
Відповідь. />
До рівняння виду (??) зводиться рівняння
/>
Для цього досить скористатися тотожністю
/>
Зокрема, рівняння
/>
зводиться до однорідного, якщо замінити /> на
/>
тоді одержимо рівносильне рівняння
/>
/>
Приклад Вирішите рівняння
/>
Рішення. Перетворимо рівняння до однорідного
/>
/>
Розділимо обидві частини рівняння на />, одержимо рівняння:
/>
Нехай />, тоді приходимо до квадратногорівняння
/>, />, />, />, />.
/>
/>
Відповідь. />.
Приклад Вирішите рівняння
/>
Рішення
Зведемо обидві частини рівняння у квадрат, з оглядуна, що вони мають позитивні значення:
/>, />
/>
/>
Нехай />, тоді одержимо
/>, />, /> />
Відповідь. />
Рівняння, розв'язувані за допомогою тотожностей
/>
Корисно знати наступні формули
/>(??)
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Використовуючи (??), одержуємо
/>
/>
Відповідь. />
Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього висновку:
/>
отже,
/>
Аналогічно, />.
Приклад Вирішити рівняння />.
Рішення. Перетворимо вираження
/>:
/>.
Рівняння запишеться у вигляді
/>
Приймаючи />, одержуємо
/>. />, />. Отже
Відповідь. />.
Універсальна тригонометрична підстановка
Тригонометричне рівняння виду
/>
де /> --- раціональна функція задопомогою формул (??) — (??), а так само за допомогою формул (??)-- (??) можназвести до раціонального рівняння щодо аргументів />, />, />, />, після чого рівняння може бутизведене до алгебраїчного раціонального рівняння відносно
/>
за допомогою формул універсальної тригонометричноїпідстановки
/> (??)
/> (??)
Слід зазначити, що застосування формул (??) можеприводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки /> не визначений у крапках />, тому в такихвипадках потрібно перевіряти, чи є кути />, коріннями вихідного рівняння.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. За умовою задачі />. Застосувавши формули (??) йзробивши заміну />, одержимо
/>
звідки /> й, отже, />.
Рівняння виду
/>
Рівняння виду
/>
де /> --- багаточлен, вирішуються задопомогою замін невідомих
/> (??)
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Зробивши заміну (??) й з огляду на, що
/>, одержимо
/>
звідки />, />. /> - сторонній корінь, тому що
/>
Коріннями рівняння
/> є />.
НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
Використання обмеженості функцій
У практиці тестування не так вуж рідко зустрічаютьсярівняння, рішення яких ґрунтується на обмеженості функцій /> і />. Наприклад:
Приклад Вирішити рівняння />.
Рішення. Оскільки
/>, />
те ліва частина не перевершує /> й дорівнює />, якщо
/>
Для знаходження значень />, що задовольняють обом рівнянням,надійдемо в такий спосіб. Вирішимо одне з них, потім серед знайдених значеньвідберемо ті, які задовольняють і іншому
Почнемо із другого:
/>, />
Тоді />, />.
Зрозуміло, що лише для парних /> буде />.
Відповідь. />.
Інша ідея реалізується при рішенні наступногорівняння:
Приклад Вирішити рівняння
/>.
Рішення. Скористаємося властивістю показової функції
/>, />
Склавши по членне ці нерівності будемо мати
/>
Отже ліва частина даного рівняння дорівнює /> тоді й тількитоді, коли виконуються дві рівності
/>
т. е. /> може приймати значення />, />, />, а /> може приймати значення />, />.
Відповідь. />, />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення />, />. Отже,
/>
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння
/> (??)
Рішення. Позначимо />, тоді з визначення зворотноїтригонометричної функції /> маємо /> й />.
Тому що />, те з рівняння (??) требанерівність />,тобто />.Оскільки /> й/>, те /> й />. Однак /> і тому />.
Якщо /> й />, то />. Тому що раніше було встановлено,що />, те />.
Відповідь. />, />.
Приклад Вирішити рівняння
/>(??)
Рішення. Областю припустимих значень рівняння (??) є />.
Спочатку покажемо, що функція
/> при будь-яких /> може приймати тількипозитивні значення.
Представимо функцію /> в такий спосіб
/>
Оскільки
/>
те має місце />, тобто />.
Отже, для доказу нерівності />, необхідно показати, що
/>
Із цією метою зведемо в куб обидві частини даноїнерівності, тоді
/>
/>
/>
Отримана чисельна нерівність свідчить про те, що />. Якщо прицьому ще врахувати, що />, то ліва частина рівняння (??)ненегативна.
Розглянемо тепер праву частину рівняння (??).
Тому що />, те
/>.
Однак відомо, що
/>
Звідси треба, що
/>
тобто права частина рівняння (??) не перевершує />. Раніше булодоведено, що ліва частина рівняння (??) ненегативна, тому рівність у (??) можебути тільки в тому випадку, коли обидві його частини рівні />, а це можливо лише при />.
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Позначимо
/> й />.
Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, одержуємо
/>
Звідси треба, що
/>
C іншої сторони має місце
/>
Отже, рівняння не має корінь.
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді
/>
Відповідь. />.
Функціональні методи рішення тригонометричних ікомбінованих рівнянь
Не всяке рівняння /> в результаті перетворень можебути зведене до рівняння того або іншого стандартного виду, для якого існуєпевний метод рішення. У таких випадках виявляється корисним використовуватитакі властивості функцій /> і />, як монотонність, обмеженість,парність, періодичність і ін. Так, якщо одна з функцій убуває, а друга зростаєна проміжку />,то при наявності в рівняння /> кореня на цьому проміжку, цейкорінь єдиний, і тоді його, наприклад, можна знайти підбором. Якщо ж функція /> обмеженазверху, причому />, а функція /> обмежена знизу, причому/>, торівняння /> рівносильнесистемі рівнянь
/>
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння до виду
/>
і вирішимо його як квадратне відносно />. Тоді одержимо
/>
Вирішимо перше рівняння сукупності. Урахувавшиобмеженість функції />, доходимо висновку, що рівнянняможе мати корінь тільки на відрізку />. На цьому проміжку функція /> зростає, афункція /> убуває.Отже, якщо це рівняння має корінь, то він єдиний. Підбором знаходимо />.
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Нехай
/>, /> і />
тоді вихідне рівняння можна записати у виглядіфункціонального рівняння
/>
Оскільки
/>
функція непарна, те
/>.
У такому випадку одержуємо рівняння
/>
Тому що />, /> і />
монотонна на
/>
те рівняння
/> рівносильне рівнянню
/>, тобто />, що має єдиний корінь />.
Відповідь. />
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. На підставі теореми про похідну складнуфункцію ясно, що функція /> убутна (функція /> убутна, /> зростаюча, /> убутна).Звідси зрозуміло, що функція /> певна на />, що убуває. Тому дане рівняннямає не більше одного кореня. Тому що />, те
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння />.
Рішення. Розглянемо рівняння на трьох проміжках.
а) Нехай />. Тоді на цій множині вихіднерівняння рівносильне рівнянню />. Яке на проміжку /> рішень не має, тому що />, />, а />. На проміжку /> вихіднерівняння так само не має корінь, тому що />, а />.
б) Нехай />. Тоді на цій множині вихіднерівняння рівносильне рівнянню
/>
коріннями якого на проміжку /> є числа />, />, />, />.
в) Нехай />. Тоді на цій множині вихіднерівняння рівносильне рівнянню
/>
Яке на проміжку /> рішень не має, тому що />, а />. На проміжку /> рівняння таксамо рішень не має, тому що
/>, />, а />
Відповідь. />, />, />, />.
Метод симетрії
Метод симетрії зручно застосовувати, коли уформулюванні завдання присутня вимога одиничності рішення рівняння, нерівності,системи й т.п. або точна вказівка числа рішень. При цьому варто виявитияку-небудь симетрію заданих виражень.
Потрібно також ураховувати різноманіття різнихможливих видів симетрії.
Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів уміркуваннях із симетрією.
Звичайно симетрія дозволяє встановити лише необхідніумови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.
Приклад Знайти всі значення параметра />, при яких рівняння
/> має єдине рішення.
Рішення. Помітимо, що /> й /> --- парні функції, тому лівачастина рівняння є парна функція.
Значить якщо /> --- рішення рівняння, тобто /> також рішеннярівняння. Якщо /> --- єдине рішення рівняння, те,необхідно, />.
Відберемо можливі значення />, зажадавши, щоб /> було коренем рівняння.
/>
Відразу ж відзначимо, що інші значення /> не можуть задовольнятиумові задачі.
Але поки не відомо, чи всі відібрані /> в дійсностізадовольняють умові задачі.
Достатність
1) />, рівняння прийме вид /> .
2) />, рівняння прийме вид:
/>
Очевидно, що />, для всіх /> і />
Отже, останнє рівняння рівносильне системі:
/>
Тим самим, ми довели, що при />, рівняння має єдине рішення.
Відповідь. />.
тригонометричнийрівняння комбінований графічний
Рішення з дослідженням функції
Приклад [??] Доведіть, що всі рішення рівняння
/>
і- цілі числа.
Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює />. Тому спочаткудосліджуємо це рівняння на відрізку
/>
Перетворимо рівняння до виду
/>
За допомогою мікрокалькулятора одержуємо
/>
Знаходимо
/>
Якщо />, то з попередніх рівностейодержуємо
/>
Вирішивши отримане рівняння, одержимо
/>
Виконані обчислення представляють можливістьприпустити, що коріннями рівняння, що належать відрізку
/>, є />, /> і />
Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Такимчином, доведено, що коріннями рівняння є тільки цілі числа
/>, />
Приклад Вирішите рівняння />
Рішення. Знайдемо основний період рівняння. У функції /> основнийперіод дорівнює />. Основний період функції /> дорівнює />. Найменшезагальне кратне чисел /> і /> дорівнює />. Тому основний період рівняннядорівнює />.Нехай />.
Очевидно, /> є рішенням рівняння. На інтервалі/>. Функція /> негативна.Тому інших корінь рівняння варто шукати тільки на інтервалах
/> і />
За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемонаближені значення корінь рівняння. Для цього становимо таблицю значень функції
/>
на інтервалах
/> і />; тобто на інтервалах /> і />
/>
/>
/>
/> 0 202,5 0,85355342 3 -0,00080306 207 0,6893642 6 -0,00119426 210 0,57635189 9 -0,00261932 213 0,4614465 12 -0,00448897 216 0,34549155 15 -0,00667995 219 0,22934931 18 -0,00903692 222 0,1138931 21 -0,01137519 225 0,00000002 24 -0,01312438 228 -0,11145712 27 -0,01512438 231 -0,21961736 30 -0,01604446 234 -0,32363903 33 -0,01597149 237 -0,42270819 36 -0,01462203 240 -0,5160445 39 -0,01170562 243 -0,60290965 42 -0,00692866 246 -0,65261345 45 0,00000002 249 -0,75452006 48 0,00936458 252 -0,81805397 51 0,02143757 255 -0,87270535 54 0,03647455 258 -0,91803444 57 0,0547098 261 -0,95367586 60 0,07635185 264 -0,97934187 63 0,10157893 267 -0,99482505 66 0,1305352 270 -1 67,5 0,14644661
З таблиці легко вбачаються наступні гіпотези:коріннями рівняння, що належать відрізку />, є числа: />; />; />. Безпосередня перевіркапідтверджує цю гіпотезу.
Відповідь. />; />; />.
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ
Рішення тригонометричних нерівностей за допомогоюодиничної окружності
При рішенні тригонометричних нерівностей виду
/>
де /> --- одна із тригонометричнихфункцій, зручно використовувати тригонометричну окружність для того, щобнайбільше наочно представити рішення нерівності й записати відповідь. Основнимметодом рішення тригонометричних нерівностей є відомість їх до найпростішихнерівностей типу />. Розберемо на прикладі, яквирішувати такі нерівності.
Приклад Вирішите нерівність />.
Рішення. Намалюємо тригонометричну окружність івідзначимо на ній крапки, для яких ордината перевершує />
/>
Для
/>
рішенням даної нерівності будуть
/>.
Ясно також, що якщо деяке число /> буде відрізнятися відякого-небудь числа із зазначеного інтервалу на />, те /> також буде не менше />. Отже, докінців знайденого відрізка рішення потрібно просто додати />. Остаточно, одержуємо,що рішеннями вихідної нерівності будуть усе
/>
Відповідь. />
Для рішення нерівностей з тангенсом і котангенсомкорисне поняття про лінію тангенсів і котангенсів. Такими є прямі /> й /> відповідно (намалюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричної окружності.
/>
Легко помітити, що якщо побудувати промінь із початкомна початку координат, що становить кут /> з позитивним напрямком осіабсцис, то довжина відрізка від крапки /> до крапки перетинання цьогопроменя з лінією тангенсів у точності дорівнює тангенсу кута, що становить цейпромінь із віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й для котангенса.
Приклад Вирішите нерівність
/>
Рішення
Позначимо />, тоді нерівність прийме виднайпростішого: />. Розглянемо інтервал /> довжиною,рівної найменшому позитивному періоду (НПП) тангенса. На цьому відрізку задопомогою лінії тангенсів установлюємо, що />. Згадуємо тепер, що необхіднододати />,оскільки НПП функції /> />. Отже,
/>
Вертаючись до змінного />, одержуємо, що
/>
Відповідь. />
Нерівності зі зворотними тригонометричними функціямизручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій.Покажемо, як це робиться на прикладі.
Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом
Помітимо, що якщо /> --- періодична функція, то длярішення нерівності /> /> необхідно знайти його рішення навідрізку, довжина якого дорівнює періоду функції />. Всі рішення вихідної нерівностібудуть складатися зі знайдених значень />, а також всіх />, що відрізняються відзнайдених на будь-яке ціле число періодів функції />.
Розглянемо рішення нерівності /> (/>).
Оскільки />, те при /> нерівність рішень не має. Якщо />, то множинарішень нерівності /> --- множина всіх дійсних чисел.
Нехай />. Функція синус має найменшийпозитивний період />, тому нерівність /> можна вирішити спочаткуна відрізку довжиною />, наприклад, на відрізку
/>
Будуємо графіки функцій
/> і /> (/>)
/>
На відрізку /> функція синус зростає, і рівняння/>, де />, має одинкорінь />.На відрізку /> функціясинус убуває, і рівняння /> має корінь />. На числовому проміжку /> графік функції/> розташованавище графіка функції />. Тому для всіх /> із проміжку />) нерівність /> виконується,якщо />. Усилу періодичності функції синус всі рішення нерівності /> задаються нерівностямивиду:
/>
Аналогічно вирішуються нерівності />, />, і т.п.
Приклад Вирішимо нерівність />.
Рішення. Розглянемо графік функції />
/>
і виберемо із проміжку /> на осі /> значення аргументу />, яким відповідаютькрапки графіка, що лежать вище осі />. Таким проміжком є інтервал />. З огляду наперіодичність функції /> всі рішення нерівності /> можна записатитак:
/>
Відповідь. />
Приклад Вирішите нерівність />.
Рішення. Намалюємо графік функції />. Знайдемо крапкуперетинання цього графіка з горизонтальної прямої />.
/>
Це крапка з абсцисою />. За графіком видно, що для всіх /> графік функціїлежить нижче прямій />. Отже, ці /> й становлять:
Відповідь. />
ВІДБІР КОРНІВ
Проблема відбору корнів, відсівання зайвих корнів прирішенні тригонометричних рівнянь досить специфічна й звичайно виявляєтьсябільше складної, чим це мало місце для рівнянь алгебраїчних. Приведемо рішеннярівнянь, що ілюструють типові випадки появи сторонніх корнів і методи> з ними.
Приклад Знайти найближчий до числа /> корінь рівняння
/>
Рішення
/>
/>
/>
/>
Підставляючи послідовно у формул
/>
замість змінної /> виписані вище серії рішеньрівнянь, відшукаємо для кожної з них />, а потім зрівняємо отриманімінімальні /> міжсобою
a) />
Ясно, що /> досягається при />, тобто />
б)/>
/>.
в)/>.
г)/>.
/>.
Виберемо мінімальне із чисел />, />. Відразу ясно, що /> й що />. Залишилося зрівняти /> й />. Припустимо,що
/>
/>
/>
/>
/>
Остання нерівність — вірне, а всі зроблені переходи--- рівносильні. Тому вірно вихідна нерівність. Обґрунтуємо рівносиль переходів(*) і (**) (рівносиль інших переходів треба із загальних властивостей числових нерівностей).У випадку перетворення (*), досить помітити, що числа /> й /> розташований на ділянці /> монотонногозростання функції />. У випадку переходу (**) формула /> справедлива,тому що
/>
Відповідь. />
Приклад Знайти корінь рівняння: />.
Рішення цього рівняння розпадається на два етапи: 1)рішення рівняння, що виходить із даного піднесенням у квадрат обох його частин;2) відбір тих корінь, які задовольняють умові />. При цьому піклується про умову /> немаєнеобхідності. Всі значення />, що задовольняють зведеному уквадрат рівнянню, цій умові задовольняють.
Перший крок нас приводить до рівняння />, звідки
/>
Тепер треба визначити, при яких /> буде
/>
Для цього досить для /> розглянути значення />, />, />, тобто >, оскільки далі значення косинуса почнуть повторюватися,що вийшли кути будуть відрізнятися від уже розглянутих на величину, кратну />
Відповідь. />, />
Отже, основна схема відбору корнів полягає внаступному. Перебуває найменший загальний період всіх тригонометричних функційвхідних у рівняння. На цьому періоді відбираються коріння, а потім, щозалишилися коріння, періодично тривають.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Рівняння рівносильне змішаній системі
/>
/>
Але /> - не годиться.
Відповідь. />.
Розкриваючи знак модуля одержуємо більше громохкерішення. А відповідь у цьому випадку приймає вид:
Відповідь. />
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ
Тест по темі >
• Об'єднання яких множин />, />, />, /> є рішенням рівняння
/>
/>, />,
/>, />.
a) />, /> б) />, /> в) />, /> г) />, />
• Вирішите рівняння/>
a)/>б)/>в) /> г) />
• Вирішите рівняння />
a) />
б) />
в) />
г) />
• Вирішите рівняння />
a) />
б) />
в) />
г) />
Вирішите рівняння />
a) />
б) />
в) />
г) />
• Серед множин />, /> знайдіть рішення рівняння
/>
і вкажіть ті, які не є підмножинами один одного.
/>, />, />,
/>, />.
а) /> б) /> в) /> г) />
• Серед множин />, /> знайдіть рішення рівняння
/>
/>
/>
/>
/>
а) /> б) /> в) /> г)/>
• Вирішите рівняння
/>
а) /> б) />
в) /> г) />
• Вирішите рівняння
/>
а) />
б) />
в) />
г) />
• Вирішите рівняння
/>.
а) /> б) />
в) /> г) />
• Сума корінь рівняння /> на відрізку /> дорівнює:
а) /> б) /> в) /> г) />
• Вирішите рівняння
/>
У відповіді записати кількість корінь рівняння, щоналежать відрізку
/>
а) /> б) /> в) /> г) />
• Вирішити рівняння />
а) /> б) />
в) /> г) />
• Вирішите рівняння />.
a) /> б) />
в) /> г) />
• Вирішите рівняння />
a) />
б) />
в) />
г) />
Знайдіть найбільший негативний корінь рівняння
/>
a) /> б) />
в) /> г) />
• Вирішите рівняння /> на множині />
a) />
б) />
в) />
г) />
• Вирішите рівняння />
a) /> б) />
в) /> г) />
• Вирішити рівняння />
а) /> б) /> в) /> г) />
• Вирішите рівняння />
a) />
б) /> або />
в) /> або /> й />
г) /> або /> й />
Відповіді 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13вабо г 14а 15в 16в 17в 18а або б 19г 20в
ВИСНОВОК
У даній роботі були розглянуті методи рішеннятригонометричних рівнянь і нерівностей, як найпростіших, так і рівня олімпіади.Були розглянуті основні методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей,причому, як специфічні -і- характерні тільки для тригонометричних рівнянь інерівностей,-і- так і загальні функціональні методи рішення рівнянь інерівностей, стосовно до тригонометричних рівнянь.
У дипломній роботі наведені основні теоретичнівідомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотнихтригонометричних функцій; вираження тригонометричних функцій через іншітригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричнихвиражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основнихтригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формуливираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції. Розглянуторішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники,методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, щорішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цихрішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними,розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладнорозглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей,як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішеннянеелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й ужедобре відомий школярам метод інтервалів. Наведено рішення типових завдань навідбір корнів. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корнів:розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілихчислах.
Результати даної дипломної роботи можуть бутивикористані як навчальний матеріал при підготовці курсових і дипломних робіт,при складанні факультативів для школярів, так само робота може застосовуватисяпри підготовці учнів до вступних іспитів зовнішнього оцінювання.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
[1] Вигодський Я.Я., Довідник по елементарній математиці. – К., 2003
[2] Ігудисман О., Математика на усному іспиті. – К., 2001.
[3] Азаров А.І., Рівняння., — К., 2005
[4] Литвиненко В.Н., Практикум по елементарній математиці. – К., 2000
[5] Шаригін І.Ф., Факультативний курс по математиці: рішення задач. – К.,2000
[6] Бардушкин В., Тригонометричні рівняння. Відбір корнів. – К., 2005
[7] Василевський А.Б., Завдання для позакласної роботи з математики. – К.,2005
[8]Сапунів П. І., Перетворення й об'єднання груп загальних рішеньтригонометричних рівнянь. – К., 2003
[9]Самусенко А.В., Математика:Типові помилки абітурієнтів. – К., 1991.