Курсова роботаз математики
«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»
Введення
У зв'язку із широким розвитком чисельних методів ізростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтересдо спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, прирозробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної роліокремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можнабуло одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, прирішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для виборунадійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можнаобмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знанняспеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питаньтеоретичної й практичної фізики.
Найбільше часто вживаними функціями є так званіспеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми(поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теоріїцих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.
1. Гіпергеометричне рівняння
1.1 Визначення гіпергеометричного ряду
Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду
/>
де z – комплексна змінна, />, />, /> - параметри, які можуть прийматибудь-які речовинні або комплексні значення (/>/>0,-1,-2,…),і символ /> позначаєвеличину
/>=/>/>=1
Якщо /> й /> – нуль або ціле негативне число,ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліномвідносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного рядурівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжностіДаламбера: думаючи
/>/>zk
маємо
/>=/>/>/>,
коли k/>/>, тому гіпергеометричний рядсходиться при />>1.
Сума ряду
F(/>, />, />,z) = />, />
називається гіпергеометричною функцією.
Дане визначення гіпергеометричної функції придатнелише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, щоіснує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, />) яка при />, />, />,z). Ця функція є аналітичнимпродовженням F(/>, />, />,z) у розрізану площину йпозначається тим же символом.
Щоб виконати аналітичне продовження припустимоспочатку що R(/>)>R(/>)>0 і скористаємосяінтегральним поданням
/> (1.2)
k=0,1,2,..
Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо
F(/>, />, />,z) = />= =/>/>
причому законність зміни порядку інтегрування йпідсумовування випливає з абсолютної збіжності.
Дійсно, при R(/>)>R(/>) >0 і />
/>/>/>/>/>=
=/>F(/>, R(/>),R(/>),/>)
На підставі відомого біноминального розкладання
/>=(1-tz)-a(1.3)
0/>t/>1,/>
тому для F(/>, />, />,z) виходить подання
F(/>, />, />,z)= /> (1.4)
R(/>)>R(/>) >0 і />
Покажемо, що інтеграл у правій частині останньоїрівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного zу площині з розрізом (1, />).
Для z приналежні області />, /> (R – довільно велике, /> і /> довільно маліпозитивні числа), і 0
/>
(М – верхня границя модуля функції (1-tz)-a,безперервної в замкнутій області
/>, />, 0/>t />1)
що показує, збіжність інтеграла буде при R(/>)>R(/>) >0інтеграл
/> сходиться
Таким чином, умова />
F(/>, />, />,z)= /> (1.5)
R(/>)>R(/>) >0; />
У загальному випадку, коли параметри мають довільнізначення, аналітичне продовження F(/>, />, />,z) площина з розміром (1, />) може бутиотримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду(1.1) за допомогою теорії відрахувань.
Більше елементарний метод продовження, що не дає,однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираженнягіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення(1.6)
/> F(/>, />, />,z) = /> + />
справедливість якого може бути встановленапідстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членівкоефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде
/>/>+/> — /> = =/>{/>/>-/>/>-/>}= =/>(/>/>/>/>
Шляхом повторного застосування цієї тотожності можнапредставити функцію F(/>, />, />,z) з довільними параметрами (/>/>0,-1,-2,…)у виглядісуми
F(/>, />, />,z)= />F(/>+s, />+p, />+2p, z) (1.7)
де р – ціле позитивне число /> (/>, />, />,z) – поліном відносно z. Якщовибрати число р досить більшим, так, щоб R(/>)>-p і R(/>-/>)>-p, то аналітичнепродовження кожної з функцій F(/>+s, />+p, />+2p, z) може бути виконане поформулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію,регулярну в площині з розрізом (1, />), що при />
Гіпергеометрична функція F(/>, />, />,z) відіграє важливу роль ваналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішеннябагатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких,зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженогопересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки йтак далі.
Велика кількість спеціальних функцій може бутивиражене через функцію F(/>, />, />,z), що дозволяє розглядати теоріюцих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної всправжньому пункті.
1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції
У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивостігіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення задопомогою ряду (1.1).
1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються приперестановці параметрів />і /> маємо співвідношення симетрії
F(/>, />, />,z)= F(/>,/>,/>,z), (2.1)
2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо
/> F(/>, />, />,z)=/>=/>=
=/>=/>F(/>+1, />+1, />+1,z)
Таким чином, /> F(/>, />, />,z)= /> F(/>+1, />+1, />+1,z) (2.2)
3. Повторне застосування цієї формули приводить дорівностей
/> F(/>, />, />,z)= /> F(/>+m, />+m, />+m,z) (2.3)
m=1,2,...
Покладемо надалі для скорочення запису
F(/>, />, />,z)= F,
F(/>/>1, />, />,z)= F(/>/>1),
F(/>, />/>1, />,z)= F(/>/>1),
F(/>, />, />/>1,z)= F(/>/>1).
Функції F(/>/>1), F(/>/>1), F(/>/>1) називаються суміжними з F.
4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функціїзв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійнимифункціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обранірівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
(/>-/>-/>)F+/>(1-z)F(/>+1)-(/> — />)F(/>-1)=0,
(/>-/>-1)F+/>F(/>+1)-(/> — 1)F(/>-1)=0,
/>(1-z)F-/>F(/>-1)+(/> — />)F(/>+1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
(/>-/>-/>)F+/>(1-z)F(/>+1)-(/> — />)F(/>-1)=
=(/>-/>-/>)/>+/>(1-z)/>-(/> —
/>)/>=
=/>{(/>-/>-/>)/>+/>/>-(/> — />)/>-
/>/>}zk=
=/>{(/>-/>-/>)(/>+k-1)+(/>+k)(/>+k-1)-(/>-/>)(/>-1)
(/>-k-1)k} zk=0,
тому що
z/>
=/>=/>
/>=/>(/>+1)...( />+k-1)
/>=(/>+1)...( />+k-1)( />+k)
/>=(/>-1) />(/>+1)...( />+k-2)
/>=/>(/>+1)…(/>+k-2)
/>=(/>+1)…(/>+k-2)(/>+k-1)
/>=(/>-1)/>(/>+1).......( />+k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
(/>-/>-/>)F+/>F (/>+1)-(/> — 1)F(/>-1)=
=/>{ (/>-/>-1) />+/>/>-(/> — 1)/>=
=/>/>{/>-/>-1 +/>+ k-(/>+k-1)}zk=0,
/>(1-z)F-/>F (/>-1)+(/> — />)zF(/>+1)=
=/>{ /> />-/>/>-/>/>+(/> — />)/>}zk
=/>/>{/>(/>+ k -1)(/>+ k-1)- />(/>+ k -1)k-/>(/>-1)(/>+ k-1)
+(/>-/>)/>k}zk=0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба триінших рівності:
(/>-/>-/>)F+/>(1-z)F(/>+1)-(/> — />)F(/>-1)=0, (2.7)
(/>-/>-1)F+/>F (/>-1)-(/> — 1)F(/>-1)=0, (2.8)
/>(1-z)F-/>F (/>-1)+(/> — />)zF(/>+1)=0. (2.9)
(/>-/>-/>)F+/>(1-z)F(/>+1)-(/> — />)F(/>-1)=
=/>{(/>-/>-/>)/>+/>/>-/>/>-(/> —
/>)/>} zk =
=/>/>{(/>-/>-/>)(/>+k-1)+/>(/>+ k -1)(/>+k)-/>(/>+k-1)k -(/>-/>)(/>-
1)}zk=0,
(/>-/>-1)F+/>F (/>-1)-(/> — 1)F(/>-1)=
=/>{(/>-/>-1) />+/>/>-(/> — 1) />} zk =
=/>/>{/>-/>-1+/>( />+ k )- />(/>+k-1)}zk=0,
/>(1-z)F-/>F (/>-1)+(/> — />)zF(/>+1)=
=/>{/>/>-/>/>-/>/>+(/> — />)/>} zk
=/>/>{/>(/>+k-1)( />+k-1)-/>k(/>+k-1)- /> (/>+k-1)(/>-1)+k
(/>-/>)}zk=0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) — (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції.Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо
(/>-/>)F-/>F (/>+1)+/>F(/>+1)=0 (2.10)
(/>-/>)(1-z)F+(/>-/>)F (/>-1)-( />-/>)F(/>-1)=0 (2.11)
і так далі
(/>-/>)F-/>F (/>+1)+/>F(/>+1)=
=/>{(/>-/>)/>+/>/>+/>/>} zk=
=/>/>{/>-/>-/>(/>+k)+ /> ( />+k)} zk =0.
(/>-/>)(1-z)F+(/>-/>)F (/>-1)-(/>-/>)F(/>-1)=
=/>{(/>-/>)/>-(/>-/>)/>+(/>-/>)/>-(/>-
/>)/>} zk=
=/>/>{(/>-/>)(/>+k-1)(/>+k-1)-(/>-/>)(/>+k-1)k+(/>-/>)(/>-1)(/>+k-1)-
(/>-/>)(/>+k-1)(/>-1)}zk=0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існуютьаналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F(/>, />, />,z) з який –або парою родинних функцій виду F(/>+1, />+m, />+n,z), де l,m,n – довільні цілічисла.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типує
F(/>, />, />,z)-F(/>, />, />-1,z)= /> F(/>+1, />+1, />+1,z) (2.12)
F(/>, />+1, />,z)- F(/>, />, />,z)= /> F(/>+1, />+1, />+1,z) (2.13)
F(/>, />+1, />+1,z)- F(/>, />, />,z)= /> F(/>+1, />+1, />+2,z)(2.14)
F(/>-1, />+1, />,z)- F(/>, />, />,z)= /> F(/>, />+1, />+1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в нихряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень длясуміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F(/>, />, />,z) єінтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) />+[ />-(/>+/>+1)] />-/>/>u=0 (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним івключає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються вдодатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми,розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманогорівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0,/>, />.
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівняньтреба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішеннявиду
u=zs/>/>zk (2.17)
де s – належне обране число, /> 0, статечної ряд сходиться при />
u=/>/>zk+s
/>=/>/>(k+s)zk+s-1
/>/>=/>/>(k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) />(/>zk+s/>+[ />-(/>+/>+1)z] />(/>zk+s/>-/>/>/>/>zk+s=0,
z(1-z)/>(/>zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[/>-(/>+/>+1)z]/>(/>zk+s-1(k+s))-/>/>/>/>
zk+s=
=/>(/>zk+s-1(k+s)(k+s-1))-/>(/>zk+s(k+s)(k+s-1))+/>(/>zk+s-1/>(k+s))-
-/>/>zk+s(/>+/>+1)(k+s))- />/> zk+s/>/>=
=/>/>zk+s-1(k+s)(k+s-1+/>)-/>/>zk+s(s+k+/>)(s+k+/>)=0,
звідки для визначення показника s і /> виходить системарівнянь
/>/>s(s-1-)=0,
/>(s+k)(s+k-1+/>) — />(s+k-1+/>)(s+k-1+/>)=0,
k=1,2,...,
перше з яких дає s=0 або s=1-/>
Припустимо, що />/>0,-1,-2,…і виберемо s=0
Тоді для обчислення коефіцієнтів /> одержимо рекурентнеспіввідношення
/>=/>/>k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти />=1, треба
/>=/>k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
/>=/>(/>+1)…(/>+k-1),
/>=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16)при />/>0,-1,-2,…буде
u=/>= F(/>, />, />,z)= />/>zk, />
Аналогічно, вибираючи s=1-/>одержуємо в припущенні, що />/>2,3,4,…
/>=/>/>k=1,2,…,
звідки, якщо взяти />=1 знаходимо
/>=/>
k=0,1,2,...,
Таким чином, при />/>2,3,4,…рівняння (2.16) має другеприватне рішення
u=/>= />/>/>=/>F(1-/>+/>,1-/>+/>,2-/>,z), (2.19)
/>
Якщо /> не є цілим числом (/>/>0,/>1, />2,…), те обоє рішення (2.18-2.19)існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішеннярівняння (2.17) може бути представлене у формі
u=A F(/>, />, />,z)+B/>F(1-/>+/>,1-/>+ />,2- />,z), (2.20)
де А и В довільні постійні />
2. Подання різних функцій через гіпергеометричну
Гіпергеометрична функція F(/>, />, />,z) приводиться до полінома, коли />=0,-1,-2,…або />=0,-1,-2.Наприклад,
F(/>, 0, />,z)= />/>zk=/>=1,
тому що
/>=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.
F(/>, -2, />,z)= />/>zk=/>z0+/>z+/>z2=
=1-2/>z+/>z2,
тому що
/>=1, />=-2,
/>=(-2)(-1)=2, />=(-2)(-1)0=0, />=(-2)(-1)01=0
і так далі.
Перетворення
F(/>, />, />,z)=(1-z/>F(/>-/>,/>-/>, />,z)
/>-/>=0/>/>=/>
показує, що гіпергеометрична функція при />-/>=0,-1,-2,…або />-/>=0,-1,-2,…виражаєтьсячерез алгебраїчні функції. Зокрема,
F(/>, />, />,z)= (1-z/>, /> (3.1)
Надаючи параметрам />, /> спеціальні значення, знаходимо
(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)
(1-z/>= F(/>, 1, 1,z (3.2)
(1-z)n= F(-n, />, />,z)
n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції,скористаємося розкладанням
ln(1-z)= — />/>=-z/>/>/>
звідки треба
ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) /> (3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотнихкругових функцій:
arctg z=zF(/>,1, />,-z2) /> (3.4)
arcsin z=zF(/>,/>, />,z2) />
arctg z=/>(-1)k/>=z/>/>=z/>/>=
=z/>/>=z />/>=z/>/>=zF(/>,1, />,-z2),
тому що />=1*2*…*k=k!
arcsinz=z+/>/>=z[1+/>/>]=
=z[1+/>/>]=z[1+/>/>]=z[1+/>/>]=
=z[1+/>/>]=z[1+/>/>=zF(/>,/>,/>,z2)...
3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F(/>,/>,/>,z), важливу роль утеорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F(/>, />,z).
Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
/>
де z – комплексне змінне, />і /> — параметри, які можуть прийматибудь-які речовинні або комплексні значення, крім />=0,-1,-2,…і символ /> позначає величину
/>=/>/>=1
сходиться при будь-яких кінцевих z.
Тому що, якщо позначити через /> загальний член ряду, те
/>=/>/>0, коли k/>/>.
Вироджена гіпергеометрична функція F(/>, />,z) визначається як сумарозглянутого ряду
F(/>, />,z)= />, />/>0,-1,-2,…,/> (4.1)
З даного визначення випливає, що F(/>, />,z) функція комплексногозмінного z.
Якщо покласти
f(/>, />,z)= /> F(/>, />,z)= />, (4.2)
те f(/>, />,z) при фіксованому z буде цілоюфункцією від /> і />. Дійсно, члени ряду (6.2) єцілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області />
Думаючи
/>, маємо для досить більших k
/>=/>/>/>
Звідси треба, що при заданому z функція F(/>, />,z)
представляє цілую функцію /> й мероморфну функцію /> із простимиполюсами в крапках />=0,-1,-2,…
Функція F(/>,/>,z) досить часто зустрічається ваналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальнихфункцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшуєпобудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.
Зв'язок функції F(/>,/>,z) з гіпергеометричною функцієюдається співвідношенням
/>F(/>,/>,z)=lim F(/>,/>,/>,/>) (4.3)
З визначення виродженої гіпергеометричної функціїбезпосередньо випливають рівності
/> F(/>,/>,z)= /> F(/>+1,/>+1,z) (4.4)
/> F(/>,/>,z)= /> F(/>+m,/>+m,z) m=1,2,… (4.5)
і рекурентні співвідношення
(/>-/>-1)F+/>F (/>+1)-(/>-1)F(/>-1)=0 (4.6)
/>F-/>F(/>-1)-zF(/>+1)=0 (4.7)
(/>-1+z)F+(/>-/>)F(/>-1)-( />-1)F(/>-1)=0 (4.8)
/>(/>+z)F-/>/>F(/>+1)-( /> — />)zF(/>+1)=0 (4.9)
(/>-/>)F(/>-1)+(2/>-/>+z)F-/>F(/>+1)=0 (4.10)
/>(/>-1)F(/>-1)- />(/>-1+z)F+(/>-/>)zF(/>+1)=0 (4.11)
єднальну функцію F/>F(/>,/>,z) із двома будь-якими суміжнимифункціями
F(/>/>1) /> F(/>/>1,/>,z) і F(/>/>1) /> F(/>,/>/>1,z)
Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановкиряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простихалгебраїчних операцій.
(/>-/>-1)F+/>F (/>+1)-(/>-1)F(/>-1)=
=/>{(/>-/>-1) />+/>/>-(/>-1) />}zk=
=/>/>{/>-/>-1+/>(/>+k)- />(/>+k-1)} zk=
= />/>{/>-/>-1+/>+k- />-k+1)} zk=0
/>F-/>F(/>-1)-zF(/>+1)=
=/>{/>/>-/>/>-/>} zk=
=/>/>{/>(/>+k-1)-/>( />-1)-k/>} zk=
= />/>{/>/>+/>k-/>-/>/>-/>-k/>} zk=0.
Повторне застосування рекурентних формул приводить долінійних співвідношень, що зв'язують функцію F(/>,/>,z) з родинними функціями F(/>+m,/>+n,z), де m,n-задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:
F(/>,/>,z) = F(/>+1,/>,z)- />F(/>+1,/>+1,z) (4.12)
F(/>,/>,z)= />F(/>,/>+1,z) + />F(/>+1,/>+1,z) (4.13)
4. Диференціальне рівняння для виродженоїгіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду
Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція єприватним рішенням диференціального рівняння
z />+(/>-z) />-/>u=0 (5.1)
де />/>0,-1,-2,…
u=F(/>,/>,z)=/>/>zk
/>=/>/>zk-1
/>/>=/>/>zk-2
Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і пологаu= />= F(/>,/>,z), маємо
l(/>) = />/>zk-2+(/>-z) />/>zk-1-/>/>/> zk=
=[/>/>-/>]+/>/>[k/>+/>/>-k-/>]/>0.
Щоб одержати друге лінійне незалежне рішеннярозглянутого рівняння, припустимо, що />, і виконаємо підстановку /> .
Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того жвиду
z />+(/>-z) />-/>/>=0
с новими значеннями параметрів />=1+/>, />=2-/>. Звідси треба, що при />/>2,3,…функція також єрішенням рівняння (5.1).
Якщо />/>0, />1, />2,…обоє рішення (/>) мають сенс і лінійнонезалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бутипредставлений у вигляді
u= F(/>,/>,z)+B/>F(1+/>-/>,2-/>,z) (при />=1 u= />) (5.2)
/>/>0, />1, />2,…/>
Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі,придатної для будь-яких значень (крім />=0,-1,-2,…), краще увести виродженугіпергеометричну функцію другого роду
G/>,/>,z)=/>F(/>,/>,z)+ />/> F(1+/>-/>,2-/>,z)(5.3)
/>/>0, />1, />2,…/>
Формула (5.3) визначає функцію G/>,/>,z) для будь-яких />, відмінних відцілого числа. Покажемо, що при />/>n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3)прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функціївідповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тодіодержимо (5.4)
G/>,/>,z)=/>[/>/>/>-/>/>/>]=
=/>(/>)
Ми маємо
/> =/>/>/>=/>/>/>
n=0,1,2,…/>
/>=/>/>/>=/>/>/>=
=/>/>/>,
тому вираження в правій частині (5.4) при />/>n+1 приймає невизначенийвид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя.Відповідно до цього результату покладемо
G(/>,/>,z)= /> G/>,/>,z)= (-1)n+1[/>] (5.5)
n=0,1,2,…/>
Виконавши обчислення, знаходимо:
/>=/>/>[/>],
/>=/>/>[/>]+
+/>/>,
звідки для G(/>,n+1,z) виходить явне вираження уформі ряду (5.6)
G(/>,n+1,z)= />/>/>[/>]+
+/>/>,
n=0,1,2,…,/>/>0,-1,-2,…,/>
Тут /> — логарифмічна похідна Г-Функція,і для випадку n=0 порожня сума />приймається рівної 0.
Якщо />=-m (m=0,1,2,…), те граничнийперехід />/>n+1 (n=0,1,2…)уформулі (5.3) приводить до вираження
G(-m,n+1,z)= /> F(-m,n+1,z), (5.7)
m=0,1,2,…, n=0,1,2,...
З (5.3) безпосередньо треба, що Виродженагіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональномуспіввідношенню
G(/>,/>,z)= />G(/>-/>+1,2-/>,z), /> (5.8)
На підставі цієї формули можна визначити функцію G(/>,/>,z) при />, рівному нулюабо цілому негативному числу, за допомогою рівності
G(/>,1-n,z)= /> G(/>,/>,z)= zn G(/>+n,n+1,z) (5.9)
n=1,2,…,/>
Таким чином, функція має сенс при будь-яких значенняхїї параметрів. З донного визначення випливає, що G(/>,/>,z) регулярна функція від z уплощині з розрізом (-/>,0) і ціла функція /> й />.
Покажемо, що функція G(/>,/>,z) є рішенням диференціальногорівняння (5.1).
При />/>0, />1, />2,…доказ треба безпосередньо з(5.3). Для цілих /> необхідний результат може бутиобґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.
Якщо />/>0, />1, />2,…інтеграли F(/>,/>,z) і G(/>,/>,z) лінійно незалежніміж собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.
З (5.1) треба W{F,G}=C/>ez. Порівнюючи обидвічастини цієї рівності при z/>0, знаходимо
C=/>
W{ F(/>,/>,z),G(/>,/>,z)}= — />/>ez (5.10)
/>/>0, -1, -2,…,/>
Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку можебути представлений у формі
u = AF(/>,/>,z)+BG(/>,/>,z) (5.11)
/>,/>/>0, -1, -2,…,/>
Функція G(/>,/>,z) володіє рядом властивостей,аналогічних властивостям функції F(/>,/>,z). Так, наприклад, мають місцеформули диференціювання:
/> G(/>,/>,z)= — />G(/>+1,/>+1,z)
/> G(/>,/>,z)= (-1)m/>G(/>+m,/>+m,z) (5.12)
m=1,2,...
рекурентні співвідношення:
G-/>G(/>+1)-G(/>-1)=0, (5.13)
(/>-/>)G+G(/>-1) -zG(/>+1)=0, (5.14)
(/>-1+z)G — G(/>-1)+( />-/>+1)G(/>-1)=0, (5.15)
(/>+z)G+/>(/>-/>-1)G(/>+1)-zG(/>+1)=0, (5.16)
G(/>-1)+(2/>-/>+z)G + />( />-/>+1)G(/>+1)=0, (5.17)
(/>-/>-1)G(/>-1)- (/>-1+z)G + zG(/>+1)=0, (5.18)
G/>G(/>,/>,z), G(/>/>1) /> G(/>/>1,/>,z), G(/>/>1) /> G(/>,/>/>1,z)
і так далі.
Справедливість цих формул випливає з визначенняфункції G і відповідних властивостей функції F.
5. Подання різних функцій через виродженігіпергеометричні функції
Як ми вже відзначали, багато елементарних іспеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені черезфункцію F(/>,/>,z).
Ми маємо, наприклад,
1) F(/>,/>,z)= />=/>
тому що
/>
F(1,2,z)= />=/>,
тому що
/>/>
3) F(-2,1,z)= />
Висновок
Курсова робота присвячена дослідженнюгіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:
Гіпергеометричні функції застосовуються в різнихрозділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь іпри розгляді інших спеціальних функцій.
За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються нетільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарніфункції.
У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного рядуй гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивостігіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональніспіввідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, виродженуфункція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричноїфункції і його інтеграли, подання різних функцій через виродженігіпергеометричні функції.
Література
1. Балк М.Б. Математичнийаналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000
2. Гурвиц А.І., Теоріяфункцій. – К., 2004
3. Евграфов М.О. Аналітичніфункції. – К., 2003
4. Лебедєв І.І. Спеціальніфункції і їхні додатки. – К., 2000
5. Маркушевич. М.М. Введення втеорію аналітичних функцій. – К., 1999
6. Смирнов В.И. Курс вищоїматематики тім 3,4. – К., 2005
7. Уиттекер І, Ватсон У. Курссучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000
8. Фихтенгольд К. Курсдиференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004
9. Фильчаков М. Довідник повищій математиці. – К., 2000