Задание 1.Найти производные функций
a) />
Пусть />, />, тогда />
/>
/>
/>
b) />
Если функция имеет вид />, то её производная находится по формуле />.
Перейдем от десятичного логарифма к натуральному: />
По свойству логарифма />
Таким образом,
/>
c) />
Продифференцируем уравнение, считая yфункцией от х:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задание 2.Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции />
Областью определения функцииявляются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.
Функция нечетная, т. к. />
Функция не пересекается с осямикоординат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
/>.
/>Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.
/>/>/>/>
Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убываетв промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
/>
/>
В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0)/>ледовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) />>0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптотыграфика функции />:
1) вертикальная асимптота – прямая х=0
Т.к. />и />
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к. />и />
3) наклонных асимптот нет,
т. к. />
и/>
Задание 3. Найти экстремумы функции Z= ln(3 – x2+ 2x– y2)
Найдем частные производные первого порядка.
/>
/>
/>
М (1; 0) – стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>>0 />Следовательно, функция Z= ln(3 – x2+ 2x– y2) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a) />
Решаем методом замены переменной. Положим />,
тогда />/>/>,
/>/>/>
Таким образом, получаем
/>
Вернемся к переменной х.
/>
Проверим дифференцированием:
/>
b) />
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.: ил. – С. 850]
/>С
Проверим дифференцированием:
/>
c)/>
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
/>
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
/>
/>
/>/>
Подстановка />/>/>/>/>приводит интеграл к виду
/>
Возвращаясь к аргументу х, получаем
/>
Таким образом, />,
где С=С1+С2
Проверим дифференцированием:
/>
Задание 5. Вычислить определенный интеграл
/>
Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая />, находим
/>
Вернемся к переменной х.
/>
/>Таким образом, />
Библиографический список
Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.: ил.
Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.: ил.
Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.: ил.