ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙУНІВЕРСИТЕТ
Кафедра економічноїкібернетики
ЗВІТ
з навчальної практикина тему:
«Диференціальні рівняннявищих порядків»
Вінниця 2009
Зміст
Вступ
Диференціальне рівняння вищогопорядку
Геометричне тлумаченнязадачі Коші
Зниження порядкудиференціальних рівнянь другого порядку
Диференціальні рівняння єоднорідними відносно функції у та її похідних /> і />
Лінійні диференціальнірівняння другого порядку
Питання для перевірки
Тестові завдання
Задачі
Відповіді на тестові завдання
Розв’язок до задач
Охорона праці
Висновки
Література
Вступ
Дляуспішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володітипевними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань дорозв’язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності їїзастосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів. Значні вимогидо володіння математикою у розв’язанні практичних задач ставлять сучасний ринокпраці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступнихетапах. Тому одним з головних завдань цього тренінгу є забезпечення умов длядосягнення кожним студентом практичної компетентності.
Прикладнаспрямованість математичної освіти суттєво підвищується завдяки впровадженнюкомп’ютерів у навчання математики, повноцінному введенню ймовірносно-статистичноїзмістової лінії.
Мета:придбаннязнань, вмiнь та навичок, необхiдних для розв’язання та обчислення диференціальнихрівнянь вищих порядків.
Завдання:
§ вивчення класичних і сучасних наближених методів розв’язання диференціальнихрівнянь та їх систем;
§ придбання умінь використання методів розв’язання задач зпочатковими умовами та крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь тадиференціальних рівнянь з частинними похідними при моделюванні систем.
Студентповинен знати:
§ класифікацію наближених методів розв’язування диференціальнихрівнянь та їх систем;
§ методи розв’язування трансцендентних, алгебраїчних ідиференціальних рівнянь та їх систем;
§ методи чисельного інтегрування і диференціювання.
Студентповинен вміти: самостійно вибирати і обґрунтовувати раціональний метод розв’язуванняпоставленої задачі.
Диференціальнерівняння вищого порядку
Диференційнірівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд:
/> /> (1)
якеназивають диференційованим рівнянням першого порядку, якщо рівняння (1)подано у вигляді:
/> (2)
тайого називають диференційованим рівнянням першого порядку, яке є розв’язкомвідносно найстаршої похідної, або явним диференціальним рівнянням, або нормальнимдиференційованим рівнянням першого порядку.
Оскількитеоретичні поняття і методи інтегрування диференціальних рівнянь вищого порядкує споріднені для рівнянь різних порядків, то надалі ми обмежемось розглядомдиференціальних рівнянь другого порядку:
/> (3)
/> (4).
Функція/>називаєтьсярозв’язком диференціального рівняння (3)чи (4) проміжну (a,b), якщо вона двічіне перервно диференційованa на цьому проміжку і будучи підставлена у рівняння, перетворюєйого у тотожність, тобто
/> x є (a,b)
або
/>
Графікфункції /> називаєтьсяпри цьомуінтегральною кривою диференціального рівняння (3) чи(4).
Зрозуміло,що інтегральна крива повинна міститися в області визначення функції F.
Наприклад,розв’язком диференційованого рівняння />є функція />на проміжку />, бо ця функціяє двічі диференційована на цьому проміжутку і />Крім того, функція /> де C1,C2 — довільні сталі, є також розв’язком цього рівняння.
Аналогічнопереконаємось, що функція /> і /> є розвязками диференціальногорівняння /> напроміжку />,бо вони двічі диференційовані на цьому проміжку
/>
Розвязкомцього рівняння є також функції /> де /> — довільні сталі.
Далібудемо розглядпти основні поняття та означення для диференціального рівняння(4).
Функція/> де /> і />довільні сталіназивається загальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку,якщо вона є розв’язком цього рівняння для розв’язком функції /> і /> і з якої за рахуноквибору значень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (завинятком може окремих).
Розвязокякий отримуємо із загального диференціального рівняння 2-го порядку, мадаючи /> і /> певнихчислових значень, називається числовим розвязком цього рівняння.
ЗадачаКоші. Практичних задач, які зводяться до диференціального рівняннядругого порядку, потрібно відшукати розвязок цього рівняння, що задовольняєпевні додаткові умови.
Найчастішеними є умови Коші:
/> /> (5)
Задачазнаходження розвязку диференціального рівняння (4), який задовольняє умови (5),називається задачею Коші для цього рівняння. Цю задачу Коші записуватимемокоротко:
Геометрично,задача Коші для диференціального рівняння (4) полягає у знаходженніінтегральної кривої />цього рівняння. Яке проходитьчерез точку />іяка дотикається у цій точці до вектора, що утворює кут />y, з додатним напрямком осі />
Геометричнетлумачення задачі Коші
Зрозуміло,що точки /> повиннілежати області визначення функції />, тобто області визначення диференціальногорівняння (4).
Можнапоказати, що правильне таке твердження: якщо функція /> та її частинні похідні /> і /> є неперервні вдеякому околі точки />, то існує єдиний розв’язок /> задачіКоші (4) – (5), який визначений у певному околі точки />.
Геометричноце означає, що при виконанні умов сформульованої теореми, через точну />проходить єдинаінтегральна крива /> диференціального рівняння (4),яка замикається у цій точці до вектора, який утворює з додатним напрямом осі /> кут />/>.
З теоремиіснування та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанніумов теореми в деякому околі точки /> існує загальний розв’язок />цьогорівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначившизначення сталих />і /> із системи рівнянь:
/> (6)
Відзначемо,що система рівняння (6) завжди є розв’язком, бо існує розв’язок задачі Коші (4)– (5)
Напрактиці для диференціального рівняння другого порятку можуть бути задані іншіумови замість умов Коші. Ними можуть бути крайові умови: /> /> і геометричназадача полягає у знаходженні інтигральної кривої диференціального рівняння (4),яка проходить через дві точки />,/>.
Примітка.Якщодиференціального рівняння (3) має один розвязок відносно />, то воно рівносильнедиференційномурівняню />, де />
Якщож диференціальне рівняння (3) має декілька розв’язком відносно />, то воно рівносильнесукупності диференціальних рівнянь.
/> де /> />
Зниженняпорядку диференціальних другого порядку
Основнимметодом інтегрування (знаходження загального розвязку або загального інтеграла)диференціальних рівнянь вищого порядку є зниження їх порядку і зведення доінтегрування диференціальних рівнянь першого порятку. Розглянемо деякі можливівидатки зниження порядку диференціальних рівнянь другого порядку.
1. Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто маєвигляд:
/> (7).
Уцьому випадку робимо заміну /> /> і отримуємо диференціальнерівняння першого порядку стосовно невідомої функції Z:
/>
Якщознайдемо загальний розв’язок />, рівнянь (8) то далі інтегруєморівняння />;якщо ж знайдемо загальний інтеграл />то для знаходження розв’язківдиференціального рівняння (7) отримуємо наявне диференціальних рівнянь першогопорятку />
2. Диференціальне рівняння не містить явно аргументах х, тобто маєвигляд
/> (9)
У розв’язаномувипадку приймаємо за невідому функцію /> а й аргументи вважаємо у.Тоді маємо:
/>
Підставимовирази для у’,y” у рівняння (9), отримаємо відносно функцію />диференціальнихрівнянь першого порядку:
/> (10)
Якщознайдемо загальний розв’язок />рівняння (10), то дані інтнгруємявне диференціальне рівняння першого порядку /> яке є з розв’язком функції змінними;якщо ж знайдено загальний інтеграл /> рівняння (17.10), то даніінтегруємо наявне диференційне рівняння /> першого порядку.
Диференціальнерівняння (3) є однорідним відносно функції у та її похідних /> і />
тобто
/>
Уцьому випадку виконуємо заміну/>де z = z (x). Знаходимо /> Підготовимовирази для /> та /> у рівняння (3) івикористовуємо його однорідність:
/>
Урезультаті приходимо до диференціальних рівнянь першого порятку стосовнофункції
/> (11)
яке зточністюдо розвязку /> рівносильне рівняню (3)
Якщознайдемо загальний розвязок />рівняння (11), то речі інтегруємо розв’язанедифененційне рівняння першого порядку />, яке є з відокремлюванимизмінними; якщо ж знайдемо загальний інтеграл />то приходимо до інтегруваннянаявного диференціального рівняння першого порядку:
/>
Призниженні порядку вихідного рівняння міг бути втрачений його розв’язок у=0. Алевін не втрачений, отримуємо із загального розв’язку при />
Лінійнідиференціальні рівняння другого порядку
Диференціальнірівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція,/>є лінійновідносно />тобтоякщо воно має вигляд
/> (12)
Будемовважати, що розв’язком/>і вільний член q(x) xє(a,b) i />.
Якщо /> то маємовідповідне лінійне однорідне рівняння
/> (13)
Якщо />, то рівняння(12) називають лінійним не однорідним диференціальним рівняння другого порядку.
Питаннядля перевірки
1. Що називається диференціальним рівнянням вищого порядку ?
2. Задача Коші.
3. Основні методи інтегрування.
4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
Тестовізавдання
1.Диференційні рівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд:
1. />
2. />
3. />
2.Функція(вписати відповідь) де /> і />довільні сталі називаєтьсязагальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку, якщо вона єрозв’язком цього рівняння для розв’язком функції /> і /> і з якої за рахунок виборузначень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (завинятком може окремих).
3. Співвідношення/> якимпевно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку,називається (вписати відповідь) цього рівняння.
4.Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд:
1. />
2. />
3. />
5.Розв’язок який отримуємо із загального диференціального рівняння 2-гопорядку, падаючи /> і /> певних числових значень,називається числовим (вписати відповідь) цього рівняння.
6.Графік функції /> називається при цьому(вписативідповідь)диференціального рівняння (3) чи (4).
7. Диференціальнірівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція,/>є лінійновідносно />тобтоякщо воно має вигляд
1. />
2. />
3. />
8.Співвідношення … яким певно додається загальний розв’язокдиференціального рівняння 2-го порядку, називається загальним інтегралом цьогорівняння:
1. />
2. />
3. />
9. З теоремиіснування та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанніумов теореми в деякому околі точки /> існує загальний розв’язок />цьогорівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначивши значеннясталих />і /> із системирівнянь:
1. />
2. />
3./>
Задачі
Задача1. Знайти розв’язок диференційoваного рівняння /> що задовольняє умови /> />
Розв’язання.Загальний розв’язок цього рівняння легко знайти шляхомінтегрування заданої рівності, бо тоді розв’язком функції />, друга похіднаяких дорівнює 6х:
/>
загальнийрозв’язок рівняння.
Задача2.Знайти розв’язок рівняння />, який звдовольняє умови: /> />.
Розв’язання. Оскільки урівнянні явно не входить аргумент х, то знижуємо його порядокпідстановкою />з якої випливає, що
/>
Підставитивирази для /> і/>, у данерівняння, отримаємо диференціальне рівняння першого порядку
/>
якерівносильне сукупності рівнянь:
/>
Інтегруємодруге рівняння, яке є з відокремлюваними змінними:
/>
/>
/>.
Привідокремлені зміних втраченими могли бути розвязки /> і />. Ці розв’язки не євтраченими, бо перший з них співпадає з першим рівнянням сукупності, а другийотримуємо з сімї
/> при />
Отже,множина всіх розв’язкв дискретного рівняння у змінних y iz записуєтьсясукупністю розв’язком:
/>
Враховуючи,що /> зодержаних розв’язків з яких отримуємо дві сукупності диференційних рівнянь:
/>
Оджемножина розв’язків вихідного диференціального рівняння складається з двох цілейінтегральних кривих /> і />.
Розв’язок,який задовольняє початкові умови у(1)=1, у’(1)= -1 входить у другу сімю, якавиражається загальним інтегралом />. З цього загального інтегралавилучаємо розвязок, що задовольняє задані початкові умови. Для цього маємосистему рівнянь для визначення/>і />:
/>
Такимчином, шуканий розв’язок задачі Коші має вигляд:
/>
Задача3.Проінтегрувати рівняння />знаючи, що />є розв’язкомвідповідного однорідного рівняння.
Розв’язання.Приймемо /> і обчислемопохожі />/>Підставимовирази для />урівняння:
/>
Післяелементарних перетворень отримуємо рівняння:
/>
або
/>
Виконуємозаміну z’=u і маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку
/>
Інтегруємовідповідне однорідне рівняння:
/>
Загальнийрозв’язок лінійного неоднорідного рівняння стосовно функції u шукаємо у вигляді
/>
Підготовимоцю функцію в неоднорідне рівняння і знайдемоС(х):
/>
Отже,загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння стосовно функції uзаписується у вигляді
/>
Врахувавши,що />,одержуємо загальний розв’язок
/>
вихідногорівняння.
Задача4. Розв’яжіть рівняння />/>
Задача5.Розв’язати рівняння />
Відповідіна тестові завдання
1. />
2. />
3.загальним інтегралом
4. />
5.числовим розв’язком
6.інтегральною кривою
7. />
8. />
9. />
Розв’язокдо задач
Розв’язаннядо задачі 4.Дане рівняння не містить невідомої функції/>, тому приймаємо, що /> і отримуємодиференціальних рівнянь першого порятку
/>
Інтнгруємоодержане рівняння з відокремлюваними змінними:
/>
Даліінтегруємо рівняння
/>
Прийнявши/> отримаємозагальний розв’язок рівняння у вигляді
/>
Розв’язаннядо задачі 5. Дане рівняння є однорідне відносно у, у’, у”, бо
/>
Приймемо,що /> одержуємо:
/>
Вихіднерівняння з точністю до /> зводити до рівняння
/>
Одержалидля знаходження z лінійне неоднорідне диференційне рівняння першого порядку
/>
Спочаткуінтегруємо відповідне однорідне рівняння
/>
Загальнийрозв’язок неоднорідного рівняння шукаємо методом варіації сталої, тобто увигляді
/>
Підготовимоцю функцію в неоднорідне рівняння і знайдемо функцію С(х):
/>
Загальнийрозв’язок лінійного неоднорідного рівняння розв’язком функції z має вигляд
/>
Оскільки/>, то даліінтегруємо диференціюємо рівняння
/>
Післяпотенціювання отримуємо загальний розв’язок вихідного рівняння:
/>
Охоронапраці. Вентиляція виробничих приміщень
Однимз ефективних засобів нормалізації повітря у приміщенні є вентиляція.
Вентиляція- повітрообмін, завдяки якому забруднене повітря виводиться з приміщення, азамість нього вводиться свіже зовнішнє або очищене повітря.
Задачівентиляції — забезпечення чистоти повітря та заданих мікрокліматич-них умов.
Вентиляціякласифiкується:
1) позасособу переміщення повітря розрізнюють системи природньої, штучної(механічної) та змішаної вентиляції.
2) понапрямку руху повітря — підрозділяються на приточну (повітря подається уприміщення), витяжну (забруднений повітря удаляється з приміщення) та приточно- витяжну.
Взалежності від місця дії вентиляція може бути загальнообмінною (використовуєтьсяколи шкідливі речовини рівномірно розміщуються у робочої зоні), місцевою (-шкідливі речовин виділяються на декількох робочих місцях), локалізованою (-шкідливі речовин виділяються на робочих місцях, розташованих одне біля іншого)та комбiнованою.
Загальнообміннавентиляція забезпечує створення необхідного мікроклімату та чистоти повітряногосередовища у всьому об’ємі робочої зони. При місце-вій вентиляції шкідливіречовини виводяться (або розстворюються шляхом подачі чистого повітря) безпосередньовід місць їх створення.
Попризначенню вентиляція може бути робочою (використовується при нормальномурежимі роботи технологічних процесів) та аварійною (викорис-товується увипадку, якщо стався викид шкідливих речовин у наслідку аварії).
Вимогидо вентиляції:
1)кiлькiсть приточного повітря у одиницю часу повинне відповідати кiлькостівитяжного повітря.
2)правильне розташування приточних та витяжних завіс. Свіже повітря подається, деконцентрація шкідливих речовин менше, а удаляється, де концентрація більше.
3)вентиляція не повинна створювати перегрівання або охолодження працюю-чих.
4)вентиляція має бути пожежовибухонебезпечною.
Висновки
Ознайомившисьз матеріалом ми можемо навчитися володіти певними прийомами математичної діяльностіта навичками їх застосування до розв’язання практичних задач.
Виконавшиголовні завдання цього трейнінгу ми можемо досягти компетентності в практичні діяльності.
Миоволоділи уміннями та навичками, необхідними для розв’язання та обчисленнядиференціальних рівнянь вищих порядків.
Мививчили класичні і сучасні методи розв’язання алгебраїчних, трансцендентних,диференціальних рівнянь та їх систем.
Ми навчилисьвикористовувати методи розв’язання задач з початковими умовами та крайових задачдля звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похіднимипри моделюванні систем.
Література
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г.,Аналитическая геометрия. Наука. М. 1978.-302 с.
2. ПанковО.А., Панкова Т.Е. Вища математика.ВІРЕУ. 1998.-120с.
3.Булига К.Б., Барановська Л.В. Практикум з теорії ймовірностей та
математичноїстатистики. – К.: Видавництво Європейського університету, 2000
4.Чубатюк В.М. Вища математика. Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностейнавчальних закладів III та IV рівнів акредитації.- К.: ВД «Професіонал»,2006.-432 с.
5.Барковський В.В., Барковська Н.В., Математика для економістів. Вища математика.-К.: Н.А.У., 1999.- 428с.