XXXXI региональная научно-практическаяконференция школьников и учащейся молодежи
Исследовательскаяработа по теме:
“Геометрическиепостроения на местности с помощью циркуля и короткой градуированной веревки”
Секция: «математика»
Работа ученицы 8 класса
МОУ “Сорочинская СОШ”
Калачинского муниципального района Омской области
Искаревой Евгении
Руководитель:
Космачева Ольга Михайловна
учитель математики II категории
Калачинск,2009 год
Оглавление
Введение
Задачи без использованияградуированной веревки
Задача 1. Проложить прямую
Задача 2. Продолжить прямую
Задача 3. Найти точку пересечениядвух прямых
Задача 4. Построение перпендикуляра кпрямой
Задачи с использованием короткойградуированной веревки
Задача 5. Симметрия относительноточки (построение отрезка равного данному)
Задача 6. Построение прямойпараллельной данной
Задача 7. Нахождение середины отрезка
Задача 8. Построение биссектрисы угла
Задача 9. Деление отрезка в данномотношении
Задача 10. Построения под заданнымуглом
Задача 11.Построение треугольника подвум сторонам и высоте к третьей стороне
Заключение
Литература
/>/>Введение
В школе мы довольноподробно изучаем геометрические построения с помощью циркуля и линейки, решаямного различных задач.
Геометрическиепостроения – это решение некоторых геометрических задач при помощивспомогательных инструментов. А как решить такие же задачи на местности?
Ведь невозможновообразить себе такой огромный циркуль, который мог бы очертить окружностьшкольного стадиона или линейку для разметки дорожек парка.
На практике картографамдля составления карт, геодезистам для того, чтобы размечать участки наместности, например, для закладки фундамента дома, приходится использоватьспециальные методы.
Цель нашегоисследования –изучить некоторые методы решения геометрических задач на местности, используятолько циркуль (неотградуированное измерительное устройство – веревку) икороткую градуированную веревку, а также применить знания по геометрии крешению практических задач на местности.
Задачи:
рассмотреть актуальныезадачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиваниемпрямых, делением отрезков и углов, построение параллельных и перпендикулярныхпрямых и т.д.;
углубить имеющиеся знанияпо геометрии.
Гипотеза: мы />предполагаем, что сможем решить некоторые геометрическиезадачи на построение, используя не классический набор инструментов (циркуль илинейку), а набор из циркуля и короткой градуированной веревки.
Задачи о построении на местности
Геометриязародилась в глубокой древности, она изучает форму и взаимное расположениефигур в пространстве, которое нас окружает. В Древней Греции слова математика игеометрия были синонимами. Любые математические задачи, будь то доказательствосвойств чисел или нахождение корней уравнений, решались геометрическимиспособами. Естественно, в такой ситуации важную роль приобрели задачи напостроение. К построениям предъявлялись высокие требования точности, простоты,экономности. Самой совершенной линией на плоскости является окружность, а самойпростой — прямая (ведь русское слово «простая» и означает «прямая», и «простить»значит «разрешить стоять прямо, не склонив головы»). Наиболее ценными считалисьпостроения, использующие только эти две линии. Поскольку прямую можно провестипри помощи линейки (без делений), а окружность построить циркулем, то речь идето задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Циркуль позволяет нетолько построить окружность с указанным центром и радиусом, но отложитьотрезок, равный данному, и выяснить, какой из имеющихся отрезков длиннее. Спомощью линейки можно провести прямую через две данные точки. (Линейка сделениями, которой мы пользуемся, не годится для измерений длин отрезков, онадает приближенный результат — этого античные математики не могли допустить.)
Геометрические задачи напостроение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчасмогут показаться не очень интересными и нужными, даже надуманными. И в самомделе, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейкипостроить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, илидаже просто построить прямую, параллельную данной? Современные техническиеустройства выполнят эти построения быстрее и точнее, чем любой человек, а такжесделать и точные построения, которые невозможны, если использовать только циркульи линейку.
/>Ивсе же без задач на построение геометрия перестанет быть геометрией. Нельзяпо-настоящему почувствовать геометрию, подружиться с ней, если " пройтимимо " этих кажущихся сейчас немного странными задач на построение.
В геометрии,как правило, точными считаются построения, выполненные с помощью циркуля илинейки. Эта традиция восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрияЕвклида (Евклид — древнегреческий ученый, 3-й век до н. э.) была основана нагеометрических построениях, выполненных циркулем линейкой (без делений). Такойлинейкой можно лишь проводить прямые линии (произвольные, через точку, черездве точки). Нельзя откладывать отрезки данной длины, пользоваться обоими краямилинейки. Циркулем можно строить окружности, сравнивать или откладывать данные отрезкина прямой.
Знание геометрии и умениеприменять эти знания на практике полезно в любой профессии. Традиционнопостроения на местности производят геодезисты для съемки плана земельногоучастка и строители для закладки фундаментов. Однако такие знания бываютдовольно часто нужны и в других областях деятельности.
Можно подумать, чторабота на местности ничем существенно не отличается от работы циркулем илинейкой на обыкновенной бумаге. Но это не так. На местности расстояния междуточками довольно велики и нет таких линеек и циркулей, которые могли бы помочьнам. Да и вообще чертить на земле какие-либо линии затруднительно. Такимобразом, построения на местности, основываясь на геометрических законах, имеютсвою специфику:
— во-первых, все прямыене проводятся на земле, а прокладываются, т. е. отмечается на них, например,колышками, достаточно густая сеть точек. Обычно прокладку прямых на местностиназывают провешиванием прямых.
— Во-вторых, циркуля унас фактически нет. Все, что остается от циркуля — это возможность откладыватьокружности, используя только два колышка и натянутую нить между ними. Самирасстояния будут измеряться только короткой градуированной веревкой, что тожеусложняет задачу.
Как правило, участкиместности представляют собой не идеально ровную поверхность, как тетрадныйлист, на земле есть возвышения и углубления. Чтобы они не искажали геометрическиеобразы прокладываемых линий, на местности строят не наклонные отрезки, а ихпроекции на горизонтальную плоскость – горизонтальные проложения. Их можно определить,зная угол наклон – угол, образованный линией местности и ее проекцией на горизонтальнуюплоскость. Эти углы измеряются специальными приборами эклиметрами.
Поскольку мы не ставимзадачу изучения основ геодезии, то и не будем пользоваться никакими приборами — ни рулеткой, ни астролябией, ни экером, ни теодолитом. Работать так, конечно,трудно, но всё же, попытаемся решить предложенные ниже задачи только с помощьюколышек, (неотградуированного измерительного устройства) – веревки и короткойградуированной веревки. Рассмотрим отдельно задачи, которые можно решить с помощьюлишь циркуля (неотградуированного измерительного устройства – веревки) и задачирешаемые с помощью циркуля и короткой градуирован ной веревки. Очевидно, что вобоих случаях вспомогательные инструменты у нас разные, следовательно ирешаемые задачи с имеющимся набором вспомогательных инструментов будутотличаться.
/>Задачи без использования градуированнойверевки
Задача 1.Проложить прямую
На местности колышками обозначеныдве удалённые друг от друга точки А и В. Как проложить через них прямую и, в частности,как можно устанавливать колышки на прямой между данными точками?
Решение: при решении данной задачи я будупользоваться следующей аксиомой геометрии «Через любые две точки проходитпрямая, и притом только одна». В этой задаче в качестве точек А и В выступаютдва колышка, через которые нужно провести прямую. (Задача имеет решение при условии,что длина данной веревки больше половины отрезка АВ).
Один конец нашейнеотградуированной веревки привяжем к колышку обозначающего точку А, к другомуконцу привяжем колышек. Из точки А проводим полуокружность в направлении точкиВ. Аналогично, из точки В проведем полуокружность в направлении точки А. Таккак веревка используется определенной длины, то данные полуокружности будетодного радиуса. При пересечении этих полуокружностей получатся две точки С и Д(обозначим их колышками).
/>
Повторяя все вышесказанное с точками С и Д мы получаем две точки М и N лежащие на прямой АВ.
/>
Таким образом можнопостроить множество точек между точками А и В.
/>
/>
Задача 2.Продолжить прямую
На местности колышкамиобозначены две удалённые друг от друга точки А и В. Как продолжить даннуюпрямую в направлении точки А или точки В?
Решение: для решенияданной задачи воспользуемся задачей 1 и построим хотя бы одну точку С лежащуюмежду точками А и В, и принадлежащую прямой АВ.
/>
Через точки В и Спроводим две полуокружности до получения двух точек пересечения М и К.
/>
Затем проведем те жепостроения, только с точками М и К. Таким образом получатся еще две точки А1и В1, такие что, А1 лежит между точками А и В, а точка В1,как продолжение прямой АВ в направлении точки В.
/>
Таким образом, можнополучить множество точек прямой АВ.
/>
/>Задача 3. Найти точку пересечениядвух прямых
На местности колышками обозначеныдве точки (А и В) одной прямой и две точки (С и D) другой прямой. Как найти точку пересечения этих прямых?
Решение: даннаязадача сводитсяк построению двух различных прямых. Пользуясь задачей 1,2 построим множество точек прямой АВ и множество точек прямой СD. Наша задача найти точку пересеченияполучившихся прямых АВ и CD.
/>
Натянем веревку наближайшие четыре колышка, как показано на рисунке, точка пересечения веревки ибудет точкой пересечения прямых АВ и CD. В нашем случае это точка О.
/>
/>Задача 4. Построение перпендикуляра кпрямой
На местности обозначенаданная прямая точками А и В. Как построить произвольный перпендикуляр к даннойпрямой?
Решение: для решенияданной задачи воспользуемся задачей 1 и построим точки С и D.
/>
Далее задача сводится кпостроению множества точек прямой СD, которая и будет являться перпендикуляром к прямой АВ.
/>
/>Задачи с использованием короткойградуированной веревки
/>Задача 5. Симметрия относительноточки (построение отрезка равного данному)
На местности обозначеныточки А и В. Как найти точку С, симметричную точке Аотносительно точки В?
Решение: построимнекоторое число точек прямой АВ (задача 1) и с помощью короткой градуированной веревкинайдем длину отрезка АВ (измерив расстояние между всеми построенными точкамиотрезка АВ).
Продолжим прямую АВ заточку В (задача 2) и отложим на ней точку С на расстоянии АВот точки В. Для этого понадобится построить несколько точек прямой АВ внаправлении точки В и отложив необходимое расстояние получим искомую точку С.
/>
/>Задача 6. Построение прямойпараллельной данной
На местности обозначены триданные точки: А, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку Апроложите прямую, параллельную прямой ВС.
Решение: продолжим прямуюАВ за точку В (задача 2) и отложим на ней точку D на расстоянии АВ от точки В(задача5). Продолжим прямую СD за точкуС и отложим на ней точку Е на расстоянии СD от точки С. Тогда отрезок АЕбудет параллелен отрезку ВС, являющемуся средней линией треугольника АDЕ, так как средняя линия треугольника параллельна однойиз его сторон и равна половине этой стороны.
/>
/>Задача 7. Нахождение середины отрезка
Найдите середину отрезка АВ,заданного на местности двумя точками А и В.
Решение: возьмём какую-либоточку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую CВ за точку С (задача 2) и отложим на ней точку Dна расстоянии 2ВС от точки С(задача 5). Продолжим прямую АD за точку А (задача 2) и отложим на ней точку Е нарасстоянии АD от точкиА (задача 5). Искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС.Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG — средней линии треугольника CDE (здесь G — серединаотрезка CD). Так как, кроме того, BC = CG, то CF — средняялиния треугольника ABG,откуда AF= FB.
/>
/>
Задача 8.Построение биссектрисы угла
На местности обозначенытри точки A, Mи N, не лежащие на одной прямой.Проложите биссектрису угла MAN.
Решение: выберемна стороне данного угла точки В и С, а на другой — точки D и Е так, чтобы выполнялисьравенства
AB= BC= AD= DE. (Воспользоваться задачей 5).
Найдём точку Опересечения прямых ВЕ и CD. (Воспользоваться задачей 3). Тогда прямая АО будет искомойбиссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике ACEбиссектриса AF является одновременно и медианой, азначит, проходит через точку О пересечения медиан EB и CD.
/>
/>Задача 9. Деление отрезка в данном отношении
Отрезок, заданный на местностидвумя точками А и В, требуется разделить в отношении, в котором находятсядлины двух отрезков Р1Q1 иР2Q2, заданных на местности точками Р1,Q1 иР2,Q2,. Как это сделать?
Решение: построение точкиХ, делящей отрезок АВ в отношении Р1Q1 иР2Q2, произведём аналогично построению середины отрезка АВ, описанномув решении задачи 7. Отличие будет состоять в том, что мы проведем какой-нибудьлуч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезкиАC и СD, равные отрезкам Р1Q1 и Р2Q2. Затемпроведем прямую BD и прямуюпроходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.
/>
/>
Задача 10.Построения под заданным углом
На местности обозначены точкиА и В. Найдите точки C, D и E, для которых выполнены равенства /> BAC=45°,/>BAD=6O,° />BAE=3O°.
Решение: проложим перпендикулярк прямой АВ (задача 4), пересекающий в какой–то точке луч АВ(задача 3). Будем считать для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В.На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложить точки С иF (задача 2), удалённые от точки Вна расстояние АВ (задача 5). Тогда угол ВАС равен 45° (из равнобедренного прямоугольного треугольникаАВС). На прямой AF отложимточку G на расстоянии АВ от точки А,а затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии CG от точкиВ. Тогда угол ВАD равен6О°, так как по теореме Пифагора для прямоугольноготреугольников АВС, ACG и ABDимеют место равенства
/> />
/>
Для построения точки Етеперь остаётся проложить биссектрису угла BAD.
/>
Задача 11.Построение треугольника по двум сторонам и высоте к третьей стороне
Постройте треугольник подвум сторонам и высоте к третьей стороне.
Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3. Требуется построить такой треугольник АВС, укоторого две стороны АВ и АС равны соответственно данным отрезкам M1N1 и M2N2, а высота АН равна отрезку M3N3.
/>
Решение: построим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза равна отрезку M1N1, а катет АН равен данному отрезку M3N3.
Затем проводим окружностьрадиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этойокружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получимискомый треугольник АВС.
/>
Заключение
В настоящей работерассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическимипостроениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов,построение перпендикуляров, параллельных прямых и т.д. Рассмотрены задачи иданы их решения.
Приведенные задачи имеютзначительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии имогут использоваться для практических работ. Ценно то, что для их решения нетребуется знаний больших, чем в объеме 8 классов. Решение геометрических задачна построение ограниченным набором инструментов используемых в данной работе роднитих с классическими задачами на построение с помощью циркуля и линейки изучаемыев школьном курсе геометрии.
Таким образом,поставленная цель: изучение некоторых методов решения геометрических задач наместности с помощью циркуля и короткой градуированной веревки, а такжеприменение знаний по геометрии к решению практических задач на местности намидостигнута.
Задачи поставленные вначале работы – выполнены, гипотеза подтвердилась и мы нашли решение некоторыхгеометрических задач на построение используя только циркуль и короткуюградуированную веревку.
Нами были решены основныезадачи на построение, на основе которых решаются и другие задачи на построение.
Кроме того, рассмотревзадачи на построение с помощью циркуля и линейки и сравнив их с задачами напостроение с помощью циркуля и короткой градуированной веревки, мы можемпредположить, что данные множества задач совпадают.
Решение: данная работаможет служить учителям прекрасным пособием для проведения факультативныхзанятий по математики и учащимся для более глубокого изучения геометрии.
Литература
1. Боженкова Л.И.Алгоритмический подход к решению задач на построение (VII-VIIIклассы) – Омск: Изд-во областного ИУУ, 1989.
2. Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / [Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. идр.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2008.
3. Час занимательнойматематики / под ред. Л.Я. Фальке. М.: Илекса; Народное образование;Ставрополь: Сервисшкола, 2003.
4. Шарыгин И.Ф.,Егражиева Л.Н. Наглядная геометрия. М.: МИРОС, КПЦ “Марта”, 1992.