Высшая математика для менеджеров

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие “Высшая математика для менеджеров” включает такие разделывысшей математики, изучение которых дает математический аппарат, наиболееактивно применяемый для решения прикладных экономических и управленческихзадач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.
Знание аналитической геометрии необходимо современному менеджеру, чтобыграмотно толковать экономическую информацию, представляемую в виде различныхграфиков — это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительскогобюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.;выводить интерполяционные формулы по методу наименьших квадратов; находитьнаилучший план производства при заданных ресурсах.
В разделе “Линейная алгебра” основное внимание уделяется матрицам,определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономическихисследованиях широко используются различные матричные модели — межотраслевогобаланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда заработной платы и т.д.Линейные модели, сводящиеся к системам алгебраических линейных уравнений илинеравенств, c достаточно высокой точностью соответствуют описываемым имиявлениям; с их помощью решаются многие управленческие задачи.
Математический анализ дает ряд фундаментальных понятий, которымиоперирует экономист, — это функция, предел, производная, интеграл,дифференциальное уравнение. Например, второй замечательный предел применяетсяпри решении задач о росте банковского вклада по закону сложных процентов;использование понятия производной приводит к такой специальной дисциплине, какпредельный анализ в экономике и т.д.
В начале каждого параграфа приводятся краткие сведения из теории, носящиесправочный характер. Основное внимание уделяется практическому освоениюстудентами изучаемого материала. Для достижения этой цели приводится большоечисло упражнений. Их выполнение будет способствовать выработке навыковрационального решения типовых примеров и задач, а также задач экономического ипроизводственного содержания, развивающих навыки применения изученногоматематического инструментария. Задания для самостоятельных индивидуальныхработ предлагаются в книге: Корсакова Л.Г. Математика для экономистов впримерах и задачах: Учеб. пособие/ Калинингр. ун-т. — Калининград, 1994.
В конце пособия приводится список литературы, в который вошли всеисточники, использованные в той или иной мере при его написании.
Автор выражает глубокую благодарность рецензентам — профессорам Афинскогоуниверситета экономики и бизнеса Танасу Скурасу и Анике Харламбиду, а такжедоценту кафедры вычислительной математики Л.В. Зинину, коллегам поматематическому факультету за ценные замечания и помощь при подготовке пособия.

I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
 
1. Векторы
Упорядоченную совокупность ( x1, x2,…, xn) n вещественных чисел называютn-мерным вектором, а числа xi( i = />) -компонентами,иликоординатами, вектора.
Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей длялегковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, топроизводственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100,10, 50, 150), имеющего пять компонент. Векторы обозначают жирными строчнымибуквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например,a или `a. Два вектора называютсяравными, если они имеют одинаковое числокомпонент и их соответствующие компоненты равны.
Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ¹ ¹ (2, 3, 5, 0, 1).
Произведением вектора x = (x1, x2,… ,xn) надействительное число l называется вектор l x = (l x1, l x2,…, l xn).
Суммой векторовx = (x1, x2,… ,xn) и y = (y1,y2,… ,yn) называется вектор x + y = (x1 +y1, x2 + y2,…, xn + yn).
N-мерноевекторное пространство Rnопределяется какмножество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения надействительные числа и сложение.
Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространствоблаг (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благоили услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте.Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количествакаждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров x= (x1, x2, ..., xn), где через xiобозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать,что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может бытькуплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможныенаборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x1,x2,…, xn) ê xi³ 0, i = />}.
Система e1, e2,…, emn-мерных векторов называетсялинейно зависимой, если найдутся такиечисла l1, l2,…, lm, изкоторых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство l1e1+ l2e2+… +lmem= 0; в противном случае данная система векторов называетсялинейнонезависимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все l1 = l2 =… = lm = 0.Геометрический смысл линейной зависимости векторов вR3,интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.
Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и толькотогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо идостаточно, чтобы они были коллинеарны.
Теорема 3.Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно,чтобы они были компланарны.
Тройка некомпланарных векторов a, b, c называетсяправой,если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c вуказанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случаеa, b, c -левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторовназываются одинаково ориентированными.
Тройка e1, e2,e3некомпланарных векторов вR3 называетсябазисом,а сами векторыe1, e2,e3 — базисными. Любой вектор a может быть единственным образомразложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
а = x1 e1 + x2e2+ x3 e3,                                                                  (1.1)
числа x1, x2, x3 вразложении (1.1) называются координатами вектора a в базисе e1,e2,e3 иобозначаютсяa(x1, x2, x3). Есливекторы e1, e2,e3попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базисназывается ортонормированным, а координаты x1, x2,x3 — прямоугольными. Базисные векторы ортонормированногобазиса будем обозначать i, j, k.
Будем предполагать, что в пространстве R3 выбранаправая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Векторным произведением вектораа на векторb называется векторc, который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектораc численно равна площади параллелограмма, построенногона векторахa иb, т. е. êc ê = êa êêb êsin (a^b).
2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке,образуют правую тройку.
Для векторного произведения c вводится обозначениеc = [ab]или c = a´b.
Если векторыa иb коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab]= 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.
Если векторыa и b заданы в базисе i, j, kкоординатами a(a1, a2, a3), b(b1,b2, b3), то
[ab]= />=`i (a2b3 — a3b2)- `j (a1b3 — a3b1)+ `k (a1b2 — a2b1).
Если векторное произведение двух векторов а и b скалярноумножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторовназывается смешанным произведением и обозначается символом a bc.
Если векторы a, b иc в базисе i, j, k заданы своимикоординатами a(a1, a2, a3), b(b1,b2, b3),c(c1, c2, c3),то
abc = />.
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование — этоскаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного натрех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение естьчисло положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c -левая, то a b ca b c, следовательно V = êa b cê.
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаютсязаданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор,сонаправленный вектору а, обозначается символом ао.Символомr=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВили êа ê, êАВ ê обозначаютсямодули векторова и АВ.
Пример 1.1.Зная векторыa иb, на которых построен параллелограмм, выразитьчерез них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной кстороне a.
Решение. Обозначим AB=a, AC=b, CD=h,где CD^a,D-основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону a. Поправилу сложения векторов имеем: b + h = AD, h = AD — b. ПосколькуAD çça, то AD= l a.
Найдем значение l, используя ортогональность векторов a иh:ah=0или a(la-b)=0,откуда l = ab /a2. Следовательно,h = (ab /a2)a — b.

А                                                 B/>/>/>/>/>
b         h                                 a
C                                         D
Рис. 1
 
Пример 1.2.Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n,гдеm и n — единичные векторы и угол междуm и n равен120о.
Решение.Имеем: cos j = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n)= 2m2 — 4n2 +2mn = = 2 — 4+2cos120o= — 2 + 2(-0.5) = -3; a = />; a2= (2m+4n) (2m+4n) = = 4m2 +16mn+16n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = />.b = />; b2== (m-n)(m-n) = m2 -2mn+n2= 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = />. Окончательноимеем: cos j =/>= -1/2, Þ j = 120o.
Пример 1.3. Знаявекторы AB(-3,-2,6) иBC(-2,4,4), вычислите длину высоты ADтреугольника ABC.
Решение.Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим: S = 1/2 BC AD. ТогдаAD=2S/BC, BC= /> =/> = 6, S = 1/2 çAB ´ACç. AC=AB+BC, значит, векторAC имееткоординаты AC(-5,2,10). AB´AC = /> = i(-20 -12) — j (30 -30) + k (- 6 — 10) = = -16(2`i +`k ). çAB´ACç = /> = 16/>; S = 8/>, откудаAD = /> =/>.
Пример 1.4.Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единичный вектор c,ортогональный векторамa иb и направленный так, чтобы упорядоченнаятройка векторовa, b, c была правой.
Решение. Обозначимкоординаты вектора c относительно данного правого ортонормированногобазиса через x, y, z.
Поскольку c ^ a, c ^b, тоca = 0, cb = 0. По условию задачитребуется, чтобы c = 1 и a b c >0.
Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0,x2 +y2 + z2 = 0.
Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x.Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125,откуда x = ± />.Используя условиеa b c >0, получим неравенство
/> > 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.
С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде:625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = />, y = -/>, z =-/>.
 
2. Линии на плоскости
При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большимколичеством графиков. Укажем некоторые из них.
Кривая безразличия — кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковоепотребительское значение, или полезность, для потребителя.
Кривая потребительского бюджета — кривая, показывающая различные комбинации количествдвух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежногодохода.
Кривая производственных возможностей — кривая, показывающая различные комбинации двухтоваров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости иполного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов инеизменной технологией.
Кривая инвестиционного спроса — кривая, показывающая динамику процентной ставки иобъем инвестиций при разных процентных ставках.
Кривая Филлипса — кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнембезработицы и уровнем инфляции.
Кривая Лаффера — кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговымипоступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговыепоступления достигают максимума.
Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистовумение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковымиявляются прямые линии и кривые второго порядка — окружность, эллипс, гипербола,парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить наплоскости область, ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачиформулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах.Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому приходится искать наибольшееили наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданнойсистемой неравенств.
В аналитической геометриилиния на плоскости определяется какмножество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этомна функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнениеимело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множестворешений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которыхфункция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия,определяемая уравнением F(x,y)=0, называетсяалгебраической.Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые.Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяетэллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:
10. Общее уравнение прямой:
Ax + By + C = 0.                   (2.1)
Векторn(А, В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равнынулю.
20. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y — yo = k (x — xo),                   (2.2)
где k — угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a — величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo,yo ) — некоторая точка, принадлежащая прямой.
Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересеченияпрямой с осью Оy.
30. Уравнение прямой в отрезках:
x/a + y/b = 1,       (2.3)
где a и b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
40. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки — A(x1,y1) и B(x2, y2 ):
/>.   (2.4)
50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1,y1) параллельно данному векторуa(m, n):
/>.      (2.5)
60. Нормальное уравнение прямой:
rnо — р = 0,                   (2.6)
где r — радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой,nо— единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от началакоординат к прямой; р — расстояние от начала координат до прямой.
Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:
x cos a + y sin a — р = 0,
где a — величина угла, образованного прямой с осью Оx.
Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1, y1)имеет вид:
y-y1= l(x-x1 ),
где l — параметр пучка. Если пучок задается двумяпересекающимися прямыми A1 x + B1 y + C1= 0, A2x + B2 y + C2 = 0, то его уравнение имеет вид:
l (A1 x + B1y + C1) + m (A2 x + B2 y + C2)=0,
где l и m — параметры пучка, необращающиеся в 0 одновременно.
Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1задается формулой:
tg j = />.
Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое и достаточное условиеперпендикулярности прямых.
Для того, чтобы два уравнения
A1 x + B1y + C1= 0,     (2.7)
A2 x + B2 y+ C2 = 0,     (2.8)
задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициентыбыли пропорциональны:
A1/A2= B1/B2 = C1/C2.
Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A1/A2= B1/B2 и B1/B2 ¹C1/C2;прямые пересекаются, если A1/A2 ¹ B1/B2.
Расстояние d от точки Mо(xо, yо) допрямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой.Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êrоnо — р ê, где rо — радиус-вектор точки Mоили, в координатной форме, d = êxо cosa + yо sina — р ê.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
a11x2+ 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y+a = 0.
Предполагается, что среди коэффициентов a11, a12, a22есть отличные от нуля.
Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:
(x — a)2 + (y — b)2= R2.   (2.9)
 
Эллипсомназывается геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данныхточек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная2a.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:
x2/a2 +y2/a2 = 1.            (2.10)
Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осейкоординат. Параметры a и b называютсяполуосями эллипса.
Пусть a>b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на осиОx на расстоянии c= /> от началакоординат. Отношение c/a = e эксцентриситетомэллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальныерадиусы-векторы) определяются формулами:
r1= a — ex, r2 = a +ex.
Если же a , e = c/b, r1 = b + ex, r2 = b- ex.
Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале координатрадиуса a.
Гиперболойназывается геометрическое место точек, разность расстояний которых от двухданных точек F1 и F2 (фокусов) равна по абсолютнойвеличине данному числу 2a.
Каноническое уравнение гиперболы:
x2/a2 — y2/b2 = 1.   (2.11)
Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осейкоординат. Она пересекает ось Оx в точках A (a,0) и A (-a,0) — вершинахгиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественнойполуосью, b -мнимой полуосью. Параметр c=/> есть расстояние от фокусадо начала координат. Отношение c/a = e >1 называетсяэксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± b/a xназываютсяасимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболыдо ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:
r1= êex — a ê, r2 = êex + a ê.
Гипербола, у которой a = b, называетсяравносторонней, ееуравнение x2 — y2 = a 2, а уравнение асимптотy = ± x. Гиперболы x2/a2 — y2/b2= 1 и y2/b2 — x2/a2 = 1 называются сопряженными.
Параболойназывается геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки(фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1) y2 = 2рx — парабола симметрична относительно оси Оx.
2) x2 = 2рy — парабола симметрична относительно оси Оy.
В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на осисимметрии, находится в начале координат.
Парабола y 2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = — р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.
Парабола x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = — р/2;фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.
Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две илинесколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)0. Иными словами, линия F(x, y)=0 отделяетчасть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)
Прямая Ax+By+C = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости. На практикедля выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольнуюточку (разумеется, не лежащую на прямой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знакимеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение иво всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскостиAx+By+C имеет противоположный знак.
Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.
Например, решим неравенство x2-4x+y2+6y-12 > 0.Его можно переписать в виде (x-2)2 + (y+3)2 — 25 > 0.
Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 — 25 = 0 задаетокружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбиваетплоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из нихимеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутреннейобласти, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точкиC в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и вовсех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство x2-4x+y2+6y-12
Пример 1.5.Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных кпрямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o.
Решение. Будемискать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A,то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k1 x+b1и y= kx+b определяется формулой tgj = />. Так как угловойкоэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен — 2/3, а угол j = 45o, то имеем уравнение для определения k:
(2/3 +k)/(1 — 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 — 2/3k) = -1.
Имеем два значения k: k1 = 1/5, k2 = -5. Находясоответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x — 5y + 2 = 0 и 5x + y — 16 = 0.
Пример 1.6.При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3tx-8y+1 = 0и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?
Решение. Прямые,заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и yпропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение,находим t: t1 = 2, t2 = -2/3.
Пример 1.7.Найти уравнение общей хорды двух окружностей: x2 +y2 =10и x2+y2-10x-10y+30=0.
Решение. Найдемточки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:
/>
Решая первое уравнение, находим значения x1 = 3, x2= 1. Из второго уравнения — соответствующие значения y: y1 =1, y2 = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точкиА(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x- 4 = 0.
Пример 1.8.Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям(x-3)2 + (y-3)2 y?
Решение. Первоенеравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е.окружность с центром в точке (3,3) и радиуса />.Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой x = y, причем, таккак неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а всеточки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющиеобоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.
Пример 1.9.Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс x2/a2+ y2/b2 = 1.
Решение. ПустьМ(с, с) — вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторонаквадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, еекоординаты удовлетворяют уравнению эллипса c2/a2 + c2/b2= 1, откуда c = ab/ />; значит, сторонаквадрата — 2ab/ />.
Пример 1.10.Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из ееточек М(12, 3/>), составить уравнениегиперболы.
Решение. Запишемканоническое уравнение гиперболы: x2/a2 — y2/b2= 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. Поскольку М — точкагиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a2 — 27/b2 = 1. Учитывая, что a = 2b, найдем b: b2=9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы — x2/36- y2/9 = 1.
Пример 1.11.Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу спараметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.
Решение. Каноническоеуравнение параболы с параметром р имеет вид y2 = 2рx, вершинаее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно осиабсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30o, тоуравнение прямой имеет вид: y = /> x.
Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравненийy2=2рx, y = /> x,откуда x = 6р, y = 2 />р. Значит,расстояние между точками A(0,0) и B(6р,2/>р)равно 4/>р.
Пример 1.12.Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данныеприведены в таблице.Тип поезда Количество вагонов в составе плацкартных купейных мягких Пассажирский 5 6 3 Скорый 8 4 1 Резерв вагонов 80 72 21
Записать в математической форме условия, не позволяющие превыситьналичный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневноотправляемых со станции. Построить на плоскости Oxy область допустимыхвариантов формирования поездов.
Решение. Обозначимчерез x количество пассажирских поездов, а через y — количествоскорых. Получим систему линейных неравенств: 5x + 8y £ 80, 6x + 4y £ 72, 3x + y £ 21, x ³ 0, y ³ 0.
Построим соответствующие прямые:
5x + 8y =80, 6x +4y = 72, 3x + y = 21, x = 0, y = 0,
записав их уравнения в виде уравнений прямых в отрезках: x/16 + y/10 = 1,x/12 + y/18 = 1, x/7 + y/21 = 1, x = 0, y = 0.
Заштрихуем полуплоскости, удовлетворяющие данным неравенствам, и получимобласть допустимых значений:
/>                                       y
                                       
/>                                      21
/>                                      18
/>                                      10/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>                                        0        7 12   16   x
Рис. 2
Итак, количество скорых поездов не превышает 10, а пассажирских должнобыть не более 7.
Пример 1.13.Имеются два пункта производства (A и B) некоторого вида продукции и три пункта (I,II, III) его потребления. В пункте А производится 250 единиц продукции, а впункте В — 350 единиц. В пункте I требуется 150 единиц, в пункте II -240 единици в пункте III — 210 единиц. Стоимость перевозки одной единицы продукции изпункта производства в пункт потребления дается следующей таблицей.
Таблица 1Пункт Пункт потребления производства I II III A 4 3 5 B 5 6 4
Требуется составить план перевозки продукции, при котором сумма расходов наперевозку будет наименьшей.
Решение. Обозначимколичество продукции, перевозимой из пункта А в пункт I через x, а изпункта А в пункт II — через y. Так как полная потребность в пункте Iравна 150 единицам, то из пункта В надо завезти (150 — x) единиц. Точно так жеиз пункта В в пункт II надо завезти (240 — y) единиц. Далее: производительностьпункта А равна 250 единицам, а мы уже распределили (x + y) единиц. Значит, впункт III идет из пункта А (250 — x -y) единиц. Чтобы полностью обеспечитьпотребность пункта III, осталось завезти 210 — (250 — x -y) = x + y — 40 единициз пункта В. Итак, план перевозок задается следующей таблицей.
Таблица 2Пункт Пункт потребления производства I II III A x y 250 — x — y B 150 — x 240 — y x + y — 40
Чтобы найти полную стоимость перевозки, надо умножить каждый элемент этойтаблицы на соответствующий элемент предыдущей таблицы и сложить полученныепроизведения. Получим выражение:
S(x,y) =4x + 3y + 5 (250 — x — y) + 5 (150 — x) + + 6 (240 -y) + 4 (x + y — 40) = — 2x- 4y +3280.
По условию задачи требуется найти минимум этого выражения. Но величины xи y не могут принимать произвольных значений. Ведь количествоперевозимой продукции не может быть отрицательным. Поэтому все числа таблицы 2неотрицательны:
x ³ 0, y ³ 0, 250 — x — y ³ 0, 150 -x ³ 0, 240 — y ³ 0, x + y — 40 ³ 0.  (2.12)
Итак, нам надо найти минимум функции S(x,y) в области, задаваемойсистемой неравенств (2.12). Эта область изображена на рис.3 — она являетсямногоугольником, ограниченным прямыми:
x= 0, y = 0, 250 — x — y = 0, 150 — x = 0, 240 — y = 0, x + y — 40 = 0.
            y
/>/>                 F (0,240)         E (10,240)
                                                            D (150,100)
(0,40)/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

               О   B (40,0)             C (150,0)              x
Рис. 3.
Находим координаты вершин многоугольника: A (0,40), B(40,0), C (150,0), D (150,100), E(10,240), F (0,240). Очевидно, что функция S(x,y) принимаетнаименьшее значение в одной из вершин многоугольника CDEFKL.
В самом деле, выясним, где располагаются точки, в которых значения этойфункции одинаковы (так называемые линии уровня функции S (x,y) = -2x — 4y +3280). Если значение функции S (x,y) равно c, гдес — вещественная константа, то — 2x — 4y + 3280 = c. Но это уравнение прямойлинии. Значит, для функции S линиями уровня являются прямые линии, которыепараллельны друг другу при различных значениях c. Если линия уровняпересекает многоугольник, то соответствующее значение c не является нинаибольшим, ни наименьшим. Ведь немного изменивc, мы получим прямую,которая также пересекает многоугольник. Если же линия уровня проходит черезодну из вершин, причем весь многоугольник остается по одну сторону от этойлинии, то соответствующее значение c является наибольшим или наименьшим.
Итак, функция S (x,y) = -2x — 4y + 3280 принимает наименьшее значение намногоугольнике в одной из его вершин. Поскольку мы уже знаем эти вершины, топодставим соответствующие значения координат и найдем, что
S (0,40) = 3120,            S (40,0) = 3200,            S (1,500) = 2980,
S (150,100) = 2580,      S (10,240) = 2300,        S (0,240) = 2320.
Наименьшим из этих значений является 2300. Это значение функция принимаетв точке E (10, 240). Значит, x = 10, y = 240. Подставляя эти значенияв план перевозок (см. таблицу 2), получаем:
Таблица 3Пункт Пункт потребления производства I II III A 10 240 B 140 210

Таким образом, из пункта А в пункт I надо перевезти 10 единиц продукции,из пункта А в пункт II — 240 единиц и т. д. Стоимость намеченного плана равна2300.
Рассмотренная задача относится к большому классу задач, возникающих нетолько в экономике, но и в других областях человеческой деятельности. Задачитакого типа называются задачамилинейного программирования.
Пример 1.14.
Рассмотрим формулу простых процентов: S = P + I = P ( 1 + ni ).
В этой формуле I — это проценты за весь срок, P — первоначальная сумма, S- сумма, образованная к концу срока ссуды, i — ставка процентов в видедесятичной дроби. Начисленные проценты за один период ( месяц, квартал, год )составят величину, равную Pi, за n периодов — Pni. Процессроста суммы долга по формуле простых процентов легко представить графически.Перепишем S в виде S = P + Pni, откуда легко увидеть линейную зависимость междуS и n, т. е. это уравнение прямой с угловым коэффициентом. Поскольку n — это независимая переменная, то, совместив ось On с горизонтальной осью, как этообычно и делается, а ось OS — c вертикальной осью, построим график функции S.
3. Плоскость и прямая в пространстве
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0   (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представленауравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальнымвектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно неравны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:
A1 x + B1y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y+ C2 z + D2 = 0;       (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1)и M2(x2, y2, z2), тогда прямая,через них проходящая, задается уравнениями:
/>=/>;          (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ейпринадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямаяопределяется уравнениями:
/>.    (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Векторa называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметруt:
x = x1 +mt, y = y1+ nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительнонеизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекцияхили кприведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b.           (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя zиз каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
/>.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другимспособом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n= [n1, n2], где n1(A1,B1, C1) и n2(A2, B2,C2) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один иззнаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю,то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
/>
равносильна системе x = x1, />; такая прямаяперпендикулярна к оси Ох.
Система /> равносильнасистеме x = x1,y = y1; прямая параллельна осиOz.
Пример 1.15.Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основаниемперпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. Поусловию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости,тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точкиА(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11.Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16.Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей сплоскостью 2x+y-/>z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость,проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно необращаются в нуль. Пусть В не равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла междудвумя плоскостями
/> = cos 60о, где m = A/B.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m — 3 = 0, находим его корниm1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y =0 и -3x+y = 0.
Пример 1.17.Составьте канонические уравнения прямой: 5x + y + z = 0, 2x + 3y — 2z + 5 = 0.
Решение. Каноническиеуравнения прямой имеют вид:
/>
где m, n, р — координаты направляющего векторапрямой, x1, y1, z1 — координатыкакой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечениядвух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну изкоординат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают каксистему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z =0, 3y — 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1,z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1).Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходныхплоскостей n1(5,1,1) иn2(2,3,-2). Тогда n= [n1,n2] = /> = (-2-3)i — (-10-2)j+ (15-2)k = -5i+12j+13k.
Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 = = (z — 1)/13.
Пример 1.18.В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти двеперпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнениепучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) +v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнениепучка следующим образом:
(2u +v)x +(- u + v)y + (5u +2v)z — 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М,подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v )×1 -3u + v =0, или v = — u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = — u вуравнение пучка:
u(2x-y +5z- 3) — u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u¹0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ),то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащаяпучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональностиплоскостей:
(2u+ v)×1 + (v — u)×(-2) + (5u+2v)×3 = 0, или v = — 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z — 3) — 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
 
4. Матрицы и определители
 
4.1 Матрицы.Операции над матрицами
Прямоугольной матрицей размера m´n называетсясовокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей mстрок и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде
A = />        (4.1)
или сокращенно в виде A = (ai j) (i =/>; j = />). Числа ai j,составляющие данную матрицу, называются ееэлементами; первый индексуказывает на номер строки, второй — на номер столбца. Две матрицы A = (aij) и B = (bi j) одинакового размера называютсяравными,если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B,если ai j = bi j.
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственновектор-строкой иливектор-столбцом. Вектор-столбцы ивектор-строки называют просто векторами.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называютсянулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковымииндексами называютэлементамиглавной диагонали. Если число строкматрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратнойпорядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главнойдиагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:
/>.
Если все элементы ai i диагональной матрицы равны 1, томатрица называетсяединичной и обозначается буквой Е:
E = />.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы,стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.Транспонированиемназывается такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняютсяместами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Тнаверху.
Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
AT =/>,
которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности,при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Произведениемматрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются изсоответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l ai j).
Суммой двухматриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называетсяматрица C = (ci j) того же размера, элементы которой определяются поформуле ci j = ai j + bi j.
ПроизведениеАВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении,что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведениемдвух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i =/>, j=/>, k=/>, заданных в определенномпорядке АВ, называется матрица С = (ci k), элементы которойопределяются по следующему правилу:
ci k =ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +… + aim bm k = />ais bs k.         (4.2)
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующимобразом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведенийэлементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицыВ.
Пример 2.1. Найтипроизведение матриц А= /> и В = />.
Решение. Имеем:матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогдапроизведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8,         с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5,        с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,
с22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6,         с13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9,        с23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.
AB =/>, а произведение BA несуществует.
Пример 2.2. Втаблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно намолокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причемдоставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит50 ден. ед., в магазин М2 — 70, а в М3 — 130 ден. ед.Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.Молокозавод Магазин
М1
М2
М3 1 20 35 10 2 15 27 8
Решение. Обозначимчерез А матрицу, данную нам в условии, а через В — матрицу, характеризующуюстоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,
А =/>, В = (50, 70, 130).
Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:
АВT= />/>.
Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй — 3680 ден.ед.
Пример 2.3.Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи.Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23).Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4.В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. ВекторС = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а векторP = (5, 3, 2, 2) — стоимость перевозки метра ткани каждого вида.Изделие Расход ткани
Т1
Т2
Т3
Т4 Зимнее пальто 5 1 3 Демисезонное пальто 3 2 2 Плащ 4 3
1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?
2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.
3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.
4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.
Решение. Обозначимчерез А матрицу, данную нам в условии, т. е.,
A = />,
тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполненияплана, нужно вектор X умножить на матрицу А:
X А =(10,15, 23) /> = /> = = (95, 40, 92, 129).
Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем,перемножив матрицу А и векторCT:
А CT= />/>=/>.
Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится поформуле:
X А CT = (10,15,23)/>=/>.
Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимоститкани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина
X АPT = (95, 40, 92, 129)/>.
Итак, X АCT + X АPT= 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).
 
4.2 Определители
Перестановкойчисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенномпорядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок,которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!.. Например, из трех чисел1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213.Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию(беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то естьесли большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в нейсоответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредствомкоторой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же nчисел, называетсяподстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумястроками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места врассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутсяодно под другим. Например, символ /> обозначаетподстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 ® 2, 2 ® 1, 4 ® 3. Подстановка называетсячетной (илинечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно(нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде />, т.е. с натуральнымрасположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
/>.            (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятыхпо одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е.произведений вида:
/>,    (4.4)
где индексы q1,q2,...,qnсоставляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число такихпроизведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!..Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q — число инверсий вперестановке вторых индексов элементов.
Определителемn -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая суммаn! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ êA ê= /> или det A= /> (детерминант, илиопределитель, матрицы А).

Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определительравен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяетзнак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некотороечисло k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммыдвух слагаемых ai j = bj + cj (j=/>), то определитель равенсумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданномопределителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj,в другом — из элементов cj.
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строкприбавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то жечисло.
Замечание.Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором Mij элемента ai j определителя d n-го порядка называется определительпорядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащихданный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называетсяего минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j.Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j.Таким образом, Ai j = (-1)i + j Mi j.
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, чтоопределитель порядка n может быть выражен через определители более низкихпорядков, дает следующая теорема.
Теорема(разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной егостроки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет месторазложение d по элементам i-й строки
d= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +… + ain Ai n  (i = />)
или j- го столбца
d= a1 j A1 j + a2 j A2 j +… + an j An j  (j = />).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равнынулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическоедополнение.
Пример 2.4. Невычисляя определителя />, показать, чтоон равен нулю.
Решение. Вычтемиз второй строки первую, получим определитель />,равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получитсяопределитель />, в котором двестроки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.
Пример 2.5. Вычислитьопределитель D = />, разложив его поэлементам второго столбца.
Решение. Разложимопределитель по элементам второго столбца:
D = a12A12 + a22A22+a32A32=
= />.
Пример2.6. Вычислить определитель
A = />,
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны
нулю.
Решение. Разложимопределитель А по первой строке:
A = a11A11 = />.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке,тогда получим:
A = />.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22…ann.
Пример 2.7.Вычислить определитель />.
Решение. Еслик каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, тополучится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главнойдиагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: />, равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведениюэлементов главной диагонали, т.е. n!.. Способ, с помощью которого вычисленданный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
 
4.3 Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделитьпроизвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечениивыделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка.Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно,что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m иn. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере одинминор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров даннойматрицы, отличных от нуля, называетсярангом матрицы. Если ранг матрицыА равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуляминор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равеннулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение
0 £ r(A) £ min (m, n).
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методомэлементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следуетпереходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Еслиуже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуютвычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащиеего в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Элементарныминазываются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца),умноженной на некоторое число.
Две матрицы называютсяэквивалентными, если одна из них получаетсяиз другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их рангиравны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Каноническойматрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряднесколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементыравны нулю, например, />.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицуможно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц наее главной диагонали.
Пример 2.8.Найти методом окаймления миноров ранг матрицы />.
Решение. Начинаемс миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор(элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце.Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M2 =/>, отличный от нуля.Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всегодва (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: /> = 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказалисьравными нулю. Ранг матрицы А равен двум.
Пример 2.9.Найти ранг матрицы А= /> ипривести ее к каноническому виду.
Решение. Извторой строки вычтем первую и переставим эти строки: />.Теперь из второй и третьейстрок вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: />; из третьей строки вычтемпервую; получим матрицу В = />,которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечногомножества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, аследовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитаяпервый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим внуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строкне изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа,из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго,и получим каноническую матрицу: />.
 
4.4 Обратная матрица
Рассмотрим квадратную матрицу
A = />.
Обозначим D =det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной, илинеособенной,если ее определитель отличен от нуля, ивырожденной, илиособенной,если D = 0.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы Атого же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е — единичная матрицатого же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица Аимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен отнуля.
Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так чтоВ = А-1.Обратная матрица вычисляется по формуле
А-1 = 1/D />,   (4.5)
где Аi j — алгебраические дополнения элементов ai j.
Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядкаочень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу спомощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу Апутем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрицеЕ. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичнойматрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП надматрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметимеще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ееранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найтиобратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строкиили только столбцы.
Пример 2.10.Для матрицы А = /> найти обратную.
Решение. Находимсначала детерминант матрицы А D = det А = /> = 27 ¹ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можемнайти по формуле: А-1 = 1/D />, где Аi j(i,j=1,2,3) — алгебраические дополнения элементов аi j исходнойматрицы. Имеем: />             />
/>                />
/>               />
/>              />
/> откуда А-1 = />.
Пример 2.11.Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= />.
Решение. Приписываемк исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: />. С помощью элементарныхпреобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершаяодновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяемместами первый и второй столбцы: />~/>. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму — первый, умноженныйна -2: />. Из первого столбца вычтемудвоенный второй, а из третьего — умноженный на 6 второй; />. Прибавим третий столбец кпервому и второму: />. Умножимпоследний столбец на -1: />.Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной кданной матрице А. Итак, А-1 = />.
5. Системы линейных уравнений
 
5.1 Критерий совместности
Система линейных уравнений имеет вид:
a11 x1+ a12 x2   +… + a1n xn = b1,
a21 x1+ a22 x2  +… + a2n xn = b2,              (5.1)
...   ...   ...  ...
am1 x1+ am1 x2 +… + amnxn = bm.
Здесь аi j и bi (i = />;j = />) — заданные, а xj — неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можнопереписать систему (5.1) в виде:
AX = B,     (5.2)
где A = (аi j) — матрица, состоящая из коэффициентов принеизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1,x2,..., xn)T, B = (b1, b2,...,bm)T — векторы-столбцы, составленные соответственно изнеизвестных xj и из свободных членов bi.
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,...,cn) называется решением системы (5.1), если в результатеподстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,...,xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество;другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)Tтакой, что AC º B.
Система (5.1) называетсясовместной, или разрешимой, еслиона имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной,или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
`A = />,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободныхчленов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и толькотогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е. r(A) = r(`A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = Æ (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение(в этом случае система называетсяопределенной);
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной).В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n.При этом число уравнений — не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиямиостальных. Если 0
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решатьсистемы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, — так называемыесистемы крамеровского типа:
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +… + a2nxn= b2,                   (5.3)
...   ...   ...   ...   ...   ...
an1 x1 + an1 x2 +… + ann xn = bn.
Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса,или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричнымметодом.
Пример 2.12.Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:
5x1 -  x2 + 2x3 + x4 = 7,
2x1 + x2 + 4x3 — 2x4 = 1,
x1 — 3x2 — 6x3 + 5x4 = 0.
Решение. Выписываемрасширенную матрицу системы:
`A = />.
Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минорвторого порядка в левом верхнем углу /> = 7 ¹ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:
M¢3 = /> = 0, M²3 = /> = 0.
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Длявычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющийминор
/>= /> = -35 ¹ 0,
значит, ранг расширенной матрицы r(`A) = 3. Посколькуr(A) ¹ r(`A), то система несовместна.
 
5.2 Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения системлинейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательногоисключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредствомпоследовательных исключений неизвестных данная система превращается вступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. Припрактическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнееприводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицуэтой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяютзнаком эквивалентности.
Пример 2.13.Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y — 3z = 2,
3x — 2y + z = — 1,
2x + y — 2z = 0.
Решение. Выпишемрасширенную матрицу данной системы
/>
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственнона 3 и 2:
/> ~ />;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
/>.
В результате всех этих преобразований данная система приводится ктреугольному виду:
x + y — 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
— 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение вовторое уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = — 0,7.
 
5.3 Формулы Крамера
Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главныйопределитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А
D = det (ai j)
и n вспомогательных определителей D i (i=/>), которые получаются изопределителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы Крамера имеют вид:
D × xi = D i (i = />).       (5.4)
Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ навопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличенот нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
x i =D i / D.
Если главный определитель системы D и всевспомогательные определители D i = 0 (i= />), то система имеетбесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, тосистема несовместна.
Пример 2.14.Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 +  x2 + x3 +   x4 = 5,
x1 + 2x2 -  x3 +  4x4 = -2,
2x1 — 3x2 -  x3 -   5x4 = -2,
3x1 +  x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главныйопределитель этой системы
D = /> = -142 ¹ 0,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательныеопределители D i (i=/>),получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца,состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:
D 1 =/> = — 142, D 2 = /> = — 284,
D 3 =/> = — 426, D 4 = /> = 142.
Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы — вектор С=(1, 2, 3, -1)T.
5.4 Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы(5.3) совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственноерешение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1Bназывают матричным способом решения системы, или решением по методуобратной матрицы.
Пример 2.15.Решить матричным способом систему уравнений
x1 — x2 + x3 = 6,
2x1 + x2 + x3 = 3,
x1 + x2 +2x3 = 5.
Решение. Обозначим
A = />, X = (x1, x2,x3)T, B = (6, 3, 5)T.
Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.Поскольку D = det />=5 ¹ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:
А-1 = 1/D />.
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева наматрицу A: X = A-1B. Вданном случае
A-1 = />
и, следовательно,
/>= />/>.
Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 — 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) =-2,
x3 = 1/5 (1×6 — 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T.
 
5.5 Системы линейных уравнений общего вида
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности — a) r= n; б) r
а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причемопределитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеетединственное решение, получаемое по формулам Крамера;
б) если r
Перенесем лишние неизвестные x r+1, xr+2,..., xn,которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейныхуравнений примет вид:
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1r xr = b1 — a1,r+1 xr+1-… — a1nxn,
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2r xr = b2 — a2,r+1 xr+1-… — a2nxn,
   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...  ...   ...
ar1 x1 + ar2 x2+… + arr xr = br — ar,r+1xr+1 -… — arnxn.
Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr,так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придаваясвободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формуламКрамера соответствующие числовые значения для x1, x2,...,xr. Таким образом, при r
Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0,т. е. она имеет вид:
a 11 x1 + a12 x2+… + a1n xn = 0,
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = 0,                   (5.5)
...   ...   ...   ...   ...   ...
am1 x1 + am1 x2+… + amn xn = 0.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так какдобавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем,видно и непосредственно — система (5.5) заведомо обладает нулевым, илитривиальным, решением x1 = x2 =… = xn = 0.Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.
Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5);при r
Всякий ненулевой вектор — столбец X= (x1, x2,...,xn)T называется собственным вектором линейногопреобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число l, что будет выполняться равенство
AX = lX.
Число l называется собственным значением линейногопреобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица Aимеет порядок n.
В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивныематрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и толькотогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.
Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A — lE)X= 0, где E- единичная матрица n-го порядкаили в координатной форме:
(a11 -l)x1+ a12x2 +… + a1nxn =0,
a21x1 + (a22 -l)x2 +… + a2nxn = 0,
...  ...  ...  ...  ...  ...  ... …                            (5.6)
an1x1 + an2x2 +…+ (ann-l)xn = 0.
Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевыерешения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.
/> = />.
Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A,многочлен /> называется характеристическиммногочленом матрицы A, а его корни — характеристическими числами, илисобственными значениями, матрицы A.
Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A — lE)X= 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6)нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.
Пример 2.16.Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 — 2x3 -  x4 +  x5=1,
3x1 -  x2 + x3 + 4x4 + 3x5=4,
x1 + 5x2 — 9x3 — 8x4 +  x5=0.
Решение. Будемнаходить ранги матриц A и `A методом элементарныхпреобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
/>~ /> ~ />.
Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная системаравносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 — 2x3 -  x4 + x5= 1,
— 4x2 + 7x3 + 7x4    = 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписатьсистему в виде:
x1 + x2 =  2x3 +  x4 — x5+ 1,
— 4x2 = — 7x3 — 7x4 + 1,
откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1= 1/4 x3 -3/4 x4 — x5 + 5/4 — общеерешение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободнымнеизвестным x3, x4, x5конкретныечисловые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 =x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = — 1/4.Вектор C(5/4, — 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.
Пример 2.17.Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значенияпараметра а.
2x1 -  x2 +  x3 +   x4= 1,
x1 + 2x2 -  x3 +  4x4= 2,
x1 + 7x2 — 4x3 + 11x4= a.
Решение.
Данной системе соответствует матрица`А=/>. Имеем `А ~ /> ~ />, следовательно, исходнаясистема равносильна такой:
x1 + 2x2 — x3 + 4x4 = 2,
5x2 — 3x3 + 7x4 = a-2,
0 = a-5.
Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этомслучае имеет вид:
x2= 3/5 + 3/5x3 — 7/5x4, x1 = 4/5 — 1/5x3 — 6/5x4.
Пример 2.18.Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:
a1 = (1, 1, 4, 2),
a2 = (1, -1, -2,4),
a3 = (0, 2, 6, -2),
a4 = (-3, -1, 3,4),
a5 = (-1, 0, — 4,-7).
Решение. Системавекторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1,x2, x3, x4, x5, из которых хотябы одно отлично от нуля (см. п. 1. разд. I), чтовыполняется векторное равенство:
x1a1 + x2a2 + x3a3+ x4a4 + x5a5 =0.
В координатной записи оно равносильно системе уравнений:
x1 + x2 -     3x4 -  x5 = 0,
x1 -  x2 + 2x3 -  x4     = 0,
4x1 — 2x2 + 6x3 +3x4 — 4x5= 0,
2x1 + 4x2 — 2x3 + 4x4 — 7x5= 0.
Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методомисключения неизвестных:
/>~/>~ />~
~ />~ />~ />.
Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит,однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r x1, x2, x4отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписатьсистему в виде:
x1 + x2 — 3x4 = x5,
-2x2 + 2x4 = -2x3 — x5,
— 3x4 = — x5.
Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3,x1 = 7/6 x5 -x3.
Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3и x5не равны нулю одновременно, то иглавные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение
x1a1 + x2a2 + x3a3+ x4a4 + x5 a5 =0
имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 =6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6и мы получим соотношение
6a1+ 6a2 + a3 + 2a4 +6a5 = 0,
т.е. данная система векторов линейно независима.
Пример 2.19.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = />.
Решение. Вычислимопределитель матрицы A — lE:
/> = det/>= det />
/>/>.
Итак, />= (l — 2)2 × (l+2)2. Корнихарактеристического уравнения />=0 — эточисла l1 = 2 и l2 = -2.Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождениясобственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейныходнородных уравнений
x1 — x2            = 0,               x1 — x2            = 0,
x1 — x2            = 0,      Þ        3x2 -7x3 — 3x4 =0,
3x1 -    7x3 — 3x4 = 0,                      5x3+ x4 = 0.
4x1 — x2 + 3x3 — x4 = 0,
Следовательно, собственному значению l = 2 отвечаютсобственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a — любоеотличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем:
A — lE = A +2E = />~ />,
и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системеуравнений
x1+3x2      = 0,
x2       = 0,
x3+x4= 0.
Поэтому собственному значению l = -2 отвечаютсобственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b — любоеотличное от нуля действительное число.
 
5.6 Использование систем линейных уравнений прирешении экономических задач
Пример 2.20.Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способараскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способераскроя, указано в таблице:Тип Способ раскроя заготовки 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5
Записать в математической форме условия выполнения задания.
Решение. Обозначимчерез x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственнопервым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листовбудет получено 3x заготовок типа А, при втором — 2y, при третьем — z.
Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +zдолжна равняться 360, т.е.
3x +2y + z=360.
Аналогично получаем уравнения
x + 6y +2z = 300
4x + y + 5z = 675,
которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнитьзадание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает вматематической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В.Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицусистемы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольномувиду.
/>~ />~ />~ ~/> ~ />~ />.
Следовательно, исходная система равносильна следующей:
x + 6y +2z = 300,
2y +9z = 570,
-67z = — 4020.
Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение zво второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90.Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.
Пример 2.21. Трисудна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов.Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны дляпоследующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можноразгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимоучесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов.Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20ден. ед.
Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, еслизатраты на нее должны составить 58850 ден. ед.
Решение. Поусловию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можноразгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовыесклады. Обозначим через x i jколичество груза (в тоннах)i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1,2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузкичугуна можно записать в виде
x 11 + x 12= 6000,                   (5.7)
где x11, x 12 — части чугуна, разгружаемогосоответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться идля железной руды:
x2 1 + x22= 4000.           (5.8)
Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, апоэтому неизвестное x31 = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимаетвид
x32 =3000.                    (5.9)
Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:
x11 + x21= 8000.                    (5.10)
Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можновыразить записью:
4,3x11 + 7,8 x12 + 5,25 x21 + 6,4x22 + 3,25x32 =58850.      (5.11)
Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузкисудов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) — (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:
4,3x11 + 7,8x12 +5,25x21 +6,4x22 = 49100,
и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x11, x12, x21, x22, расширеннаяматрица которой имеет вид:
`A = />.
Преобразуем ее к треугольному виду:
`A ~ /> ~ /> ~ ~ /> ~ />.
Наша система равносильна следующей:
x11 + x12 = 6000,
— x12 + x21 = 2000,
x21 + x22 = 4000,
-2,35 x22 = — 4700,
откуда x22 = 2000, x21 = 2000, x12 =0, x11 = 6000.
Пример 2.22.Напредприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Биз некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может бытьпроизведено из единицы сырья каждым из технологических способов.
Записать в математической форме условия выбора технологий припроизводстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.Изделие Выход из единицы сырья I II III IV А 2 1 7 4 Б 6 12 2 3
Решение. Обозначимчерез x1, x2, x3, x4 количествосырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнитьплановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:
x1 +  x2 +  x3 + x4 = 94,
2x1 +  x2 + 7x3 + 4x4 = 574,
6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.
Решаем ее методом Гаусса:
/> ~/> ~ />.
Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равнотрем, одно неизвестное x4 — свободное. Исходная система равносильнаследующей:
x1 + x2 +  x3 = 94 — x4,
— x2 + 5x3 = 386 — 2x4,
26x3 = 2080- 9x4.
Из последнего уравнения находим x3 = 80 — 9/26 x4,подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 +7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = — 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленноемножество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономическогосодержания величины x1 и x4 не могут бытьотрицательными, тогда из соотношения x1 = — 12/13 x4 получим:x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) являетсярешением данной системы.
Пример 2.23. Математическаямодель межотраслевого баланса.
Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым(Гарвардский университет, США), имеет вид:
/>,        (5.12)
или, в матричной форме,
AX + Y = X,         (5.13)
где А = (ai j) — матрица коэффициентов прямых затрат, Х — вектор валовых выпусков, Y — вектор конечного продукта.
Перепишем систему (5.13) в виде
(E — A) X = Y,       (5.14)
где E — единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14)относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданномвекторе конечного продукта находится по формуле
X = (E — A)-1 Y.             (5.15)
Здесь (E — A)-1 — матрица коэффициентов полных затрат. Элемент bi j матрицы (E — A)-1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i,который необходим для получения в процессе материального производства единицыконечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможностьрассматривать валовые выпуски xiв виде функцийпланируемых значений yj конечных продуктов отраслей:
/>.
Пример 2.24.Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты — выпуск” X = AX +Y. Найтивектор конечной продукции Y при заданном X, где
A = />;
Решение. Имеем:Y = (E — A) X, где E — единичная матрица третьего порядка.
E — A = />,
значит,
Y= /> />.
Пример 2.25.Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будетли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовойпродукции X при заданном Y, где
A=/>.
Решение. Длярешения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значенияэтой матрицы. Составим характеристическое уравнение:
/>,
или
(0,125 -l)2 — 0,140625 = 0 Þ 0,125 — l = ± 0,375.
Следовательно, l1 = 0,5; l2 = — 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологическихкоэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеемформулу X = (E — A)-1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы
E — A=/>.
Обозначим B = E-A, тогда />.
Следовательно,
X = />/>.

III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
 
6. Предел функции
 
6.1 Предел последовательности и функции. Теоремы определах
Постоянное число а называется пределом последовательности{xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, укоторых n>N, удовлетворяют неравенству
êxn — a ê
Записывают это следующим образом: /> илиxn ® a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- e
которое означает, что точки xn, начиная с некоторогономера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестностьточки а.
Последовательность, имеющая предел, называетсясходящейся, в противномслучае -расходящейся.
Понятие предела функции является обобщением понятия пределапоследовательности, так как предел последовательности можно рассматривать какпредел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть a — предельная точкаобласти определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестностькоторой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка aможет принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называетсяпределом функции f(x) приx®a, если для всякой последовательности {xn}значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие импоследовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне,или “на языке последовательностей”.
Определение 2.Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а,т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0
Это определение называют определением предела функции по Коши, или“на языке e — d“.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде
/> f(x) = A.        (6.3)
В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченновозрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своемупределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечныйпредел, и записывать это в виде:
/>f(x) = ¥            (/>f(x)= — ¥).
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своимпределом нуль, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечнобольшой величиной.
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1.Если существуют пределы /> f(x)=A,/> g(x)=B, то
/> (f(x)+(g(x)) = A + B,        (6.4)
/> f(x) g(x) = AB,                (6.5)
/> f(x)/g(x) = A/B  (B ¹ 0).   (6.6)
 
Замечание.Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ — ¥ являются неопределенными, например, отношение двухбесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такоговида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2.
 
/>(f(x))a= (/> f(x))a, где a = const,       (6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянномпоказателе, в частности, />;
/> bf(x) =bA, где b= const, /> f(x)=A;           (6.8)
/> logc f(x) = logc/> f(x), где c= const.         (6.9)
 
Теорема 3. />/> = 1, />/> =1, a = const, a >0,
/>/> = 1,      (6.10)
/>(1 + a)1/ a = e,       (6.11)
гдеe » 2.7 — основание натурального логарифма. Формулы(6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
/>/> = logce,          (6.12)
/>(aa — 1)/a = ln a,                (6.13)
/>((1 + a)m — 1)/a = m,          (6.14)
в частности,
/> />= 1.
Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогичноесли x®a и при этом x и /> называются соответственно пределомсправа и пределом слева функции f(x)в точке а.Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо идостаточно, чтобы />=/>.
Функция f(x) называетсянепрерывной в точке x0,если
/>.      (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
/>,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывнав данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = xoфункция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x.Областью определения этой функции является множествоR, кроме x = 0.Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ееокрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки изD(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)=f(0) не определено, поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo,если
/>,
и непрерывной слева в точке xo, если
/>.
Непрерывность функции в точке xo равносильна еенепрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo,например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел />, а во-вторых, чтобы этотпредел был равен f(xo). Следовательно, если хотя бы одно из этихдвух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если /> существует и неравен f(xo), то говорят, что функция f(x) в точке xoимеетразрыв первого рода, или скачок.
2. Если /> равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке xoфункция имеет разрыв второго рода.
Например, функция y = ctg x при x® +0 имеет предел,равный +¥, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода.Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеетразрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называетсянепрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные снепрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся:рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распадрадиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я.И. Перельмана, дающий интерпретацию числа eв задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = />. В сбербанках процентныеденьги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединениесовершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентовучаствует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентныеденьги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то кэтому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во чтопревратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основномукапиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода — в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делатькаждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя годполучится:
100 × (1 +1/10)10 » 259 (ден.ед.),
100 × (1+1/100)100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000)1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенныйкапитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равномуприблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых,увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталукаждую секунду, потому что
/>= e.
Пример 3.1.Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, чтопоследовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Намнадо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для негонайдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство½ xn -1 ½
Возьмем любое e >0. Так как ½ xn-1 ½=½(n+1)/n — 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решитьнеравенство 1/n1/e и, следовательно,за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что /> xn= 1.
Пример 3.2.Найти предел последовательности, заданной общим членом xn = />.
Решение. Применимтеорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числительи знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можемнепосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначалапреобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первогослагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяятеорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:
xn =/>.
Пример 3.3.xn = />. Найти /> xn.
Решение. />=/>.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равенстепени от предела основания.
Пример 3.4.Найти /> (/>).
Решение. Применятьтеорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ — ¥. Преобразуем формулу общего члена:
/> = />.
Пример 3.5.Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что /> несуществует.
Решение. Воспользуемсяопределением 1 предела функции через последовательность. Возьмемпоследовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е. /> xn =0. Покажем,что величина f(xn)= />дляразных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть xn = 1/n.Очевидно, что />1/n =0, тогда /> /> = /> 2n = +¥. Выберем теперь в качестве xn последовательность собщим членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю. /> /> = /> 2-n= /> 1/2n = 0.Поэтому />21/x несуществует.
Пример 3.6.Доказать, что /> sin x несуществует.
Решение. Пустьx1, x2,..., xn,… — последовательность, длякоторой />xn = ¥. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn} при различных xn ®¥ ?
Если xn= pn, то sin xn= sin pn = 0 при всех n и />sin xn=0. Если же xn=2pn+p/2, то sin xn=sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно /> sinxn =1. Таким образом, /> sin xне существует.
Пример 3.7.Найти /> />.
Решение. Имеем:/> = 5/>. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5/>.
Пример 3.8.Вычислить />/>.
Решение. Обозначимy=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:
sin 3x = sin 3(p-y) = sin(3p-3y) = sin 3y.
sin 4x = sin 4(p-y) = sin(4p-4y)= — sin 4y.
/>/>=- />.
Пример 3.9.Найти />/>.
Решение. Обозначимarcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. />=/>.
Пример 3.10.Найти 1) />/>; 2) />/>; 3) /> />.
Решение.
1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим пределзнаменателя: />/>.
Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределечастного, получаем: />/>=/>.
2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет местонеопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственнонеприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию.Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:
/>=/>.
Так как />(x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем
/> /> = />/> = />.
3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтомутеорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель изнаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему определе частного:
/>=/>.
Пример 3.11.Найти />/>.
Решение. Здесьчислитель и знаменатель стремятся к нулю:/>,x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида />.
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполныйквадрат суммы выражения />,получим
/>.
Пример 3.12.Найти />/>.
Решение. />=/>.
6.2 Применение пределов в экономических расчетах
Сложные проценты
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е.проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год,полугодие, квартал и т. д.). Время — дискретная переменная. В некоторых случаях- в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникаетнеобходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложныхпроцентов:
S = P(1 + i)n.        (6.16)
Здесь P — первоначальная сумма, i — ставка процентов (в виде десятичнойдроби), S — сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся погеометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, котораяслужила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. Вфинансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определениюнаращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некотороевремя n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случаеговорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S — Pназываютсядисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называютсовременной, или приведенной, величиной S. Имеем:
P = /> Þ /> P = />/> =0.
Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величинапоследнего будет крайне незначительна.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессынаращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежуткивремени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращениеимеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственныхи хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обоснованииинвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (илинепрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономическиеявления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виденепрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщимформулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз вгоду:
S =P (1 +i/m) mn.
Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле,здесь m — число периодов начисления в году, i — годовая илиноминальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени междумоментами начисления процентов. В пределе при m ®¥ имеем:
`S = /> P(1 + i/m)mn = P/> ((1 +i/m)m) n.
Поскольку />(1 + i/m)m = ei, то `S = P ein.
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентнойставки -силу роста, которая характеризует относительный приростнаращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывнойкапитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей отпервоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того,чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов,обозначим первую через d, тогда `S = Pe/>.
Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥. Множительнаращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.
Потоки платежей. Финансовая рента
Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операциичасто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенныхво времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и самряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежеймогут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами.Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалымежду двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовойрентой. Ренты делятся на годовые и р-срочные, где рхарактеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. Вфинансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей,которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать какнепрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.
Пример 3.13.Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн.рублей, проценты начисляются в конце года, ставка — 5% годовых. В этом случаепервый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 6 ´ 1,053 так как соответствующая сумма былана счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 6 ´ 1,052, так как был на счете 2 года.Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока рентывзносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 6 ´ 1,053; 10 6 ´ 1,052; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Наращенная к концу срока рентывеличина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведемсоответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S — наращенная сумма ренты, R — размер члена ренты, i — ставка процентов(десятичная дробь), n — срок ренты (число лет). Члены ренты будут приноситьпроценты в течение n — 1, n — 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членовренты составит
R (1 + i)n- 1, R (1 + i)n — 2,..., R (1 + i), R.
Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собойгеометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем суммучленов прогрессии. Получим: S = R´((1 + i)n — 1)/((1 + i) — 1) = = R´((1 + i)n — 1)/ i. Обозначим S n; i =((1 + i)n — 1)/ i и будем называть его коэффициентомнаращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то S = R´((1 + i/m)mn — 1)/((1 + i/m)m — 1), где i — номинальная ставка процентов.
Величина a n; i =(1 — (1 + i) — n)/ iназывается коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения рентыпри n ®¥ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:
/> a n; i = /> (1- (1 + i) — n)/ i =1/i.
Пример3.14. Подвечной рентой понимается последовательностьплатежей, число членов которой не ограничено — она выплачивается в течениебесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией — напрактике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионныхфондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можнополагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легкодоказать по формуле: R´((1 + i)n — 1)/ i ® ¥ при n ® ¥.
Коэффициент приведения для вечной ренты a n; i ® 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только отвеличины члена ренты и принятой ставки процентов.

7. Производная
 
7.1 Производная, правила и формулы дифференцирования
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производнойфункции y = f(x) в точке хo называется предел
/> = />.
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемойв точке xo; при этом она оказывается обязательно инепрерывной в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или — ¥), то при условии, что функция в точке хo непрерывна,будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечнуюпроизводную.
Производная обозначается символами
y ¢,  f ¢(xo),  />,  />.
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрическийсмысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициенткасательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физическийсмысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скоростьдвижущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент to.
Если с — постоянное число, и u = u(x), v = v(x) — некоторыедифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с)' = 0, (cu)' =cu';
2) (u+v)' = u'+v';
3) (uv)' = u'v+v'u;
4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;
5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) -сложная функция, илисуперпозиция, составленная издифференцируемых функций j и f, то />, или
/>;
6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функцияx = g(y), причем /> ¹ 0, то />.
На основе определения производной и правил дифференцирования можносоставить список табличных производных основных элементарных функций.
1. (um)'= m um-1 u' (m Î R).
2. (au)' = au lna× u'.
3. (eu)' = eu u'.
4. (loga u)' = u'/(u ln a).
5. (ln u)' = u'/u.
6. (sin u)' = cos u× u'.
7. (cos u)' = — sin u× u'.
8. (tg u)' = 1/ cos2u× u'.
9. (ctg u)' = — u' / sin2u.
10. (arcsin u)' = u' //>.
11. (arccos u)' = — u' //>.
12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).
13. (arcctg u)' = — u'/(1 + u2).
Вычислим производную степенно-показательного выражения y=uv,(u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в даннойточке производные u',v'.
Прологарифмировав равенство y=uv, получим ln y = v ln u.
Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенствас помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будемиметь:
y'/y =vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).
Итак,
(uv)'=uv (vu'/u+v' ln u), u > 0.
Например, если y = x sin x, то y' = x sin x (sinx/x + cos x× ln x).
Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этойточке конечную производную y', то /> =y'+a, где a®0 при Dх® 0; отсюда D y = y' Dх + a x.
Главная часть приращения функции, линейная относительно Dх, называетсядифференциалом функции и обозначается dy: dy= y' Dх. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx =x'Dх = 1×Dх =Dх, поэтому dy=y'dx, т. е. символдля обозначения производной /> можнорассматривать как дробь.
Приращение функции D y есть приращение ординаты кривой, а дифференциалdy есть приращение ординаты касательной.
Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этойпроизводной называется производной второго порядка функции f(x), или второйпроизводной, и обозначается />.
Аналогично определяются и обозначаются:
производная третьего порядка — />,
производная четвертого порядка - />
и вообще производная n-го порядка — />.
Пример 3.15.Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)×sin x.
Решение. Поправилу 3, y'=(3x3-2x+1)'×sin x + (3x3-2x+1)×(sin x)' = = (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cosx.
Пример 3.16.Найти y', y = tg x +/>.
Решение. Используяправила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + />)' = (tgx)' + (/>)' = />+ /> = />/>.
Пример 3.17.Найти производную сложной функции y=/>, u=x4+1.
Решение. Поправилу дифференцирования сложной функции, получим: y'x =y'uu'x =(/>)'u(x4+1)'x =(2u +/>. Таккак u=x4 +1, то (2 x4 +2+/>.
Пример 3.18.Найти производную функции y=/>.
Решение. Представимфункцию y= /> в виде суперпозиции двухфункций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y'uu'x = (eu)'u(x2)'x = eu×2x. Подставляя x2 вместо u,получим y=2x/>.
Пример 3.19.Найти производную функции y=ln sin x.
Решение. Обозначимu=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' =(ln u)'u(sin x)'x= />.
Пример 3.20.Найти производную функции y=/>.
Решение. Случайсложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпываетсяпоследовательным применением правила 5:
/>/>.
Пример 3.21.Вычислить производную y=ln />.
Решение. Логарифмируяи используя свойства логарифмов, получим:
y=5/3ln(x2+4)+7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
/>.
 
7.2 Предельный анализ в экономике. Эластичностьфункции
В экономических исследованиях для обозначения производных частопользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственнаяфункция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x,то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) естьфункция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затратот объема продукции x, то g'(x) называют предельнымииздержками.
Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихсявеличин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребленияи т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановыерасчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в формесуммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислениисредних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым болеедетальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснениииздержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, чтоиздержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, отпредполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработкухудших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.
Если зависимость между двумя показателями v и x заданааналитически: v = f(x) — тосредняя величина представляет собойотношение v/x, апредельная — производную />.
Нахождение производительности труда. Пусть известна функция u = u(t), выражающая количествопроизведенной продукции u за время работы t. Вычислим количествопроизведенной продукции за время Dt = t1 — t0: Du = u(t1) — u(t0) = u(t0+Dt) — u(t0).Средней производительностью труданазывается отношение количества произведенной продукции к затраченному времени,т.е. z ср.= Du/Dt.
Производительностью труда рабочего z(t0) в момент t0 называетсяпредел, к которому стремится z ср. при Dt®0: />.Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной:z(t0) = u'(t0).
Издержки производства K однородной продукции есть функция количествапродукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, чтоколичество продукции увеличивается на Dх. Количеству продукции x+ Dх соответствуют издержки производства K(x + Dх). Следовательно, приращению количества продукции Dх соответствует приращение издержекпроизводства продукции DK = K(x + Dх) — K(x).
Среднее приращение издержек производства есть DK/Dх. Это приращение издержек производства на единицуприращения количества продукции.
Предел /> называетсяпредельными издержками производства.
Если обозначить через u(x) выручку от продажи x едиництовара, то /> и называетсяпредельнойвыручкой.
С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующееприращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста(относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий процентуприроста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичностифункции (иногда ее называютотносительной производной). Итак, пусть данафункция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢(x).Эластичностьюфункции y = f(x) относительно переменной x называют предел
/>.
Его обозначают Ex (y) = x/y f ¢ (x) = />.
Эластичность относительно x есть приближенный процентный приростфункции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимойпеременной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности,потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовойэластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительнаячуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят кзначительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такиепродукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным.Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению ценна них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменениюв количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластиченили просто неэластичен. Терминсовершенно неэластичный спрос означаеткрайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменениюколичества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных остройформой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда присамом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своихвозможностей — тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.
 
7.3 Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) внекотором интервале, если при x1 f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает(убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x)
Точка xоназывается точкой локальногомаксимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точкиxо, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(xо) (f(x) ³ f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, азначения функции в этих точках — ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремумафункции f(x), то либо f ¢(xо) = 0, либо f ¢(xо) не существует. Такие точки называют критическими,причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следуетискать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо — критическая точка. Еслиf ¢ (x) при переходе через точку xоменяет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеетмаксимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическуюточку производная не меняет знак, то в точке xо экстремуманет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ¢ (x) в окрестности точки xоивторую производную /> в самой точке xо.Если f ¢(xо) = 0, />>0(/>xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же />=0, то нужно либопользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего илинаибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Пример 3.22. Найтиэкстремумы функции f(x) = 2x3 — 15x2+ 36x — 14.
Решение. Таккак f ¢ (x) = 6x2 — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3), токритические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумымогут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1= 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеетмаксимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знакминус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычисливзначения функции в точках x1 = 2 и x2 = 3, найдемэкстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Пример 3.23. Нужнопостроить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторонона была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене.Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторонплощадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение. Обозначимстороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy.Пусть y — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условиюдолжно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a — 2x и S = x(a — 2x),где 0 £ x £ a/2 (длина и ширинаплощадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a — 4x, a — 4x = 0 при x = a/4, откуда y = a — 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной припереходе через эту точку. При x 0, апри x >a/4 S ¢
Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2)равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Такимобразом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условияхзадачи является y = 2x.
Пример 3.24. Требуетсяизготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м3. Каковы должны быть размеры бака(радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение. Площадьполной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаемобъем цилиндра V = pR2Н Þ Н = V/pR2 =16p/pR2 = 16/R2. Значит, S(R) = 2p(R2+16/R).Находим производную этой функции: S ¢(R) = 2p(2R- 16/R2) = 4p (R- 8/R2).S ¢(R) = 0 при R3 = 8, следовательно, R = 2, Н= 16/4 = 4.
 
7.4 Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.
Если />= 0, то />, когда последний существует.
2. Неопределенность вида ¥/¥. Второе правило Лопиталя.
Если />= ¥, то />, когда последний существует.
3. Неопределенности вида 0× ¥, ¥ — ¥, 1¥и 00сводятся к неопределенностям 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований.
Пример 3.25.Найти предел функции y =/> при x ® 0.
Решение. Имеемнеопределенность вида ¥-¥. Сначала преобразуем ее кнеопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общемузнаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя.Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь:
/>= />= />=/>= =/>=/>.
Пример 3.26.Найти />.
Решение. Раскрываянеопределенность вида ¥/¥ по правилу Лопиталя,получаем:
/> = />= />=0.
Пример 3.27.Вычислить />.
Решение. Имеемнеопределенность вида 1¥. Обозначим искомый пределчерез A. A = />.
Тогда ln A = />= />= />= 2, Þ A = e2.
 
7.5 Частные производные. Метод наименьших квадратов
Пусть D(x, y) — некоторое множество точек плоскости Oxy. Есликаждой упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенноечисло z Î Z Ì R, то говорят,что z естьфункция двух независимых переменных x и y.Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами,D — областью определения, или существования, функции, а множествоZ всех значений функции — областью ее значений. Функциональнуюзависимость z от x и y записывают в виде z = f(x, y), z =z(x, y), z = F(x, y) и т.д. Например, объем цилиндра V = pR2Н есть функция от радиуса R его основания и от высоты Н,т.е. V = f(R, Н), которая дает возможность, зная значения независимыхпеременных R и Н, установить соответствующее значение для V.
В экономических исследованиях часто используется производственная функцияКобба-Дугласа />, где z — величина общественного продукта, x — затраты труда, y — объемпроизводственных фондов (обычно z и y измеряются в стоимостныхединицах, x — в человеко-часах); A, a, b — постоянные. Функция Кобба-Дугласа является функцией двух независимыхпеременных: z = f(x, y). Частное значение функции z = f(x, y) при x = xo,y=yo обозначается zo= f(xo, yo).Геометрически область определения функции D представляет собой конечную илибесконечную часть плоскости, ограниченную линиями, которые могут принадлежатьили не принадлежать этой области. В первом случае область D называется замкнутойи обозначается D, во втором случае — открытой. Наподобие того, какфункция y = f(x) геометрически иллюстрируется своим графиком, можногеометрически истолковать и уравнение z = f(x, y). Возьмем в пространстве R3прямоугольную систему координат и изобразим на плоскости Oxy область D.В каждой точке M(x, y)ÎD восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy иотложим на нем значение z = f(x, y). Геометрическое место полученных такимобразом точек и явится своего рода пространственным графиком нашей функции. Этобудет, вообще говоря, некоторая поверхность, поэтому уравнение z = f(x, y)называется уравнением поверхности. Пара значений x и yопределяет на плоскости Oxy точку M(x, y), а z = f(x, y) — аппликатусоответствующей точки P(x, y, z) на поверхности. Поэтому говорят, что zесть функция точки M(x, y) и пишут z = f(M).
Функция f(M) имеетпредел A, />,если разность f(M) — A есть бесконечно малая, когда r = MoM ® 0 при любом способе приближения M к Mo (например,по любой линии).
Функция f(x, y) называется непрерывной в точке Mo, если/>.
В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большегочисла независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит отприбыли П на реализованную продукцию, величин основных (a) и оборотных (b)фондов, R = П/(a+b), т.е. R является функцией трех независимых переменных R =f(П, a, b). Областью определения функции трех переменных является множествоточек пространства R3, но непосредственной геометрическойинтерпретации для функций с числом аргументов больше двух не существует, однакодля них вводятся по аналогии все определения (частные производные, предел,непрерывность и т.д.), сформулированнные для f(x,y).
Аналогично определяется функция n независимых переменных z = f(x1,x2,..., xn).
Областью определения такой функции будет множество D Ì Rn. Примером функций многихпеременных в экономике являются производственные функции. При рассмотрениилюбого производственного комплекса как открытой системы (входами которой служатзатраты ресурсов — людских и материальных, а выходами — продукция) производственнаяфункция выражает устойчивое количественное соотношение между входами и выходами.Производственная функция обычно задается уравнением z = f(x1, x2,...,xn), где все компоненты выпуска объединены (по стоимости или внатуре) в одну скалярную величину z, а разнородные производственныересурсы обозначены как xi.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называетсяпроизводная, взятая по этой переменной при условии, что все остальныепеременные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частнойпроизводной по переменной x называется производная этой функции по xпри постоянном y. Обозначается частная производная по x следующимобразом: />/>.
Аналогичночастной производной функции z = f(x, y) по аргументуy называется производная этой функции по y при постоянном x.Обозначения:
/>.
Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от еечастных производных первого порядка. Если первая производная была взята,например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами />.
Пусть функция z = f(x, y) определена в области D и точка Mo(xo,yo) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(x,y) в точке Mo(xo, yo) имеетмаксимум (минимум),если ее можно окружить такой окрестностью
(xo — d, xo + d; yo — e, yo+ e),
чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x,y)£ f(xo,yo) ( f(x,y) ³ f(xo,yo)).
Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум)только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все еечастные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы однаиз них. Такие точки называютсякритическими. Названные условия являютсянеобходимыми условиями экстремума, но еще не достаточными (они могутвыполняться и в точках, где нет экстремума). Чтобы критическая точка былаточкой экстремума, должны выполняться достаточные условия. Сформулируемдостаточные условия экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка Mo(xo,yo) — критическая точка функции z = f(x, y), т.е. />, и функция z = f(x, y)имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности точки Mo(xo,yo). Обозначим /> />. Тогда:
1) если D > 0, то функция z имеетэкстремум в точке Mo: максимум при A 0;
2) если D
3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 3.28.Исследовать функцию z = y4 — 2xy2 + x2 + 2y +y2 на экстремум.
Решение. Находимчастные производные: />= — 2y2+ 2x, />= 4y3 — 4xy +2+2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений: />.
Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, “подозрительная наэкстремум”. Находим вторые частные производные: />,следовательно, A=2, B=4, С=10, D = 4, т.е. D > 0, функция имеет экстремум в точке Mo — минимум (A>0). Вычислим z min = (-1)4 — 2×1×(-1)2 +1 — 2 +1= -1.
В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическимиформулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистическихданных или результатов опытов. Одним из распространенных приемов построениятаких формул является метод наименьших квадратов. Изложим идею этогоспособа, ограничиваясь случаями линейной и квадратичной зависимости. Пустьтребуется установить зависимость между двумя величинами x и y,например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции.Произведем обследование n видов продукции и представим результатыисследования в виде таблицы:x
x1
x2 ...
xn y
y1
y2 ...
yn
Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимостимежду x и y. Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки,взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогдаможно предположить, что между x и y существует линейнаязависимость`y= ax+b, где a и b — коэффициенты,подлежащие определению,`y — теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно графическинайти b и a=tg a, однако это будут весьма неточные результаты. Длянахождения a, b применяют метод наименьших квадратов.
Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b -`y=0. Точки, построенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежатна этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x и`y заданные величины xiи yi, то окажется, что левая часть уравнения равнакакой-то малой величине ei=`yi -yi; а именно: для первой точки ax1 +b — y1 = e1, длявторой — ax2 + b — y2 = e2, для последней — axn + b — yn = en.Величины e1, e2,..., en, неравные нулю, называютсяпогрешностями. Геометрически это разность междуординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой.Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b.Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешностибыли возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоитв том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратовпогрешностей u = /> быламинимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и самипогрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим ввыражение для u вместо eiихзначения.
u = (ax1+ b — y1)2 + (ax2 + b — y2)2+… + (axn+ b — yn)2, или u = u(a,b),
где xi, yiизвестныевеличины, a и b — неизвестные, подлежащие определению. Выберем aи b так, чтобы u(a,b) имело наименьшее значение. Необходимыеусловия экстремума />, />. Имеем: />= 2(ax1 + b — y1)x1+… +2(ax1 + b — y1)xn,/>= 2(ax1 + b — y1)+… + + 2(ax1 + b — y1).Получаемсистему:
/>.
Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов.Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическуюформулу `y = ax + b. Пусть теперь точки на графикерасполагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и yможно предположить квадратичную зависимость:`y=ax2 +bx + c, тогда /> />. Тогда u = /> = /> />. Здесь u = u(a, b, c) — функция трех независимых переменных a, b, c. Необходимые условияэкстремума />, />, /> в этом случае примутследующий вид:
/>.
Получили нормальные уравнения способа наименьших квадратов дляквадратичной зависимости `y = ax2 + bx + c, коэффициенты которой находим,решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называетсявыравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы -выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться такжеи другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающиеобратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогдаговорят о выравнивании по гиперболе и т.д.
Метод наименьших квадратов оказывается весьма эффективным приисследовании качества промышленной продукции в зависимости от определяющих егофакторов на основе статистических данных текущего контроля качества продукции,в задачах моделирования потребительского спроса.
Пример 3.29.Темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республикиприведены в таблице.x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 100 156 170 184 194 295 220 229
Предполагая, что зависимость y от x линейная: y = ax + b,найти a и b.
Решение. Вычислимкоэффициенты нормальной системы уравнений: />.
Следовательно, имеем систему/>, решаякоторую, получим: a » 15,93; b » 110,57. Итак,получили уравнение искомой прямой: y = 15,93x + 110,57.
8. Интегралы
 
8.1 Основные методы интегрирования
Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразнойдля функции f(x),или интегралом от f(x), если для всякого x Î X справедливо равенство:
F¢ (x) = f(x).                                        (8.1)
Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием.Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называетсямножество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -
ò f(x) dx.
Если F(x) — какая-нибудь первобразная для функции f(x), то
ò f(x)dx = F(x) + C,                                    (8.2)
где С — произвольная постоянная.
Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенногоинтеграла и список табличных интегралов:
1) d ò f(x)=f(x)dx,
2) ò df(x)=f(x)+C,
3) ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const),
4) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x)dx+ ò g(x)dx.
Список табличных интегралов
1. ò xmdx = xm+1/(m + 1) +C (m ¹ -1).
2./>= ln êx ê +C.
3. ò ax dx= ax/ln a + C (a>0, a¹1).
4. ò ex dx= ex + C.
5. ò sin x dx =cos x + C.
6. ò cos x dx = — sin x + C.
7./> = arctgx + C.
8./> =arcsin x + C.
9./> = tg x + C.
10./> = — ctg x + C.
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной,или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то
ò f(g(x)) g¢ (x) dx = òf(z) dz,                          (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановкуz=g(x).
Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
ò f(g(x)) g¢ (x) dx = òf(g(x)) dg(x).
Например:
1) />;
2)/>.
Пусть u = f(x) и v = g(x) — функции, имеющие непрерывные производные.Тогда, по правилу дифференцирования произведения,
d(uv)= udv+ vdu или udv = d(uv) -vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтомуимеет место формула:
ò udv = uv — ò vdu.         (8.4)
Эта формула выражает правилоинтегрирования по частям.Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выраженияvdu=vu'dx.
Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx.Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x — ò sin x dx = x sin x + cos x + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную областьприменения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
ò xk lnmxdx, ò xk sin bx dx, ò xk cos bx dx, ò xk eax dx
и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть наотрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на nчастей точками a = x0 f(xi)D xi, где D xi = xi — xi-1. Суммавида />f(xi)D xi называется интегральной суммой, а ее предел при l = max D xi ®0, если онсуществует и конечен, называетсяопределенным интегралом функции f(x) отa до b и обозначается:
/> />/>f(xi)D xi.        (8.5)
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a,b], числа a и b носят названиенижнего и верхнегопредела интеграла.
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1) />/>/>;
2) />;
3) /> — />;
4) />/>, (k = const, kÎR);
5) />;
6) />/>;
7) />f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).
Последнее свойство называетсятеоремой о среднем значении.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенныйинтеграл
ò f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенныйинтеграл с неопределенным:
/> F(b) — F(a).     (8.6)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл /> представляет собой площадькриволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x =b и отрезком оси Ox.
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных)функций называютсянесобственными. Несобственные интегралы I рода - этоинтегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:
/>.    (8.7)
Если этот предел существует и конечен, то /> называетсясходящимся несобственным интегралом от f(x)на интервале [а,+¥), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+¥). В противном случае про интеграл /> говорят,что он не существует, или расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-¥, b] и (-¥, +¥):
/>.
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x)непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, вкоторой f(x) имеет бесконечный разрыв, тонесобственным интегралом II родаот f(x)в пределах от a до b называется сумма:
/>,
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
/> = />.                      (8.8)
Пример 3.30.Вычислить ò dx/(x+2).
Решение. Обозначимt=x+2, тогда dx=dt, ò dx/(x+2) = ò dt/t = lnïtï+C = = lnïx+2ï+C.
Пример 3.31.Найти ò tg x dx.
Решение. ò tg x dx = ò sin x/cos x dx = — ò d(cosx)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ò tg x dx = — ò dt/t = — lnïtï+C = — lnïcos xï+C.
Пример 3.32.Найти ò dx/sin x.
Решение.
/>
Пример 3.33.Найти />.
Решение. /> = /> />
Пример 3.34.Найти ò arctg x dx.
Решение. Обозначимu=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x — ò x dx/(x2+1) = x arctg x + 1/2 ln(x2+1)+C; так как ò x dx/(x2+1) = 1/2 ò d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1)+C.
Пример 3.35.Вычислить ò ln x dx.
Решение. Применяяформулу интегрирования по частям, получим: u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x.Тогда ò ln x dx = x lnx — ò x 1/xdx = = x lnx — ò dx = x lnx — x + C.
Пример 3.36.Вычислить ò ex sin x dx.
Решение. Обозначимu = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v=ò sin x dx= — cos x Þ ò ex sin x dx = — ex cos x + ò ex cos x dx. Интеграл ò ex cos x dx также интегрируем по частям: u= ex, dv = cos x dx Þ du=exdx, v=sinx. Имеем: ò ex cos x dx = ex sin x — ò ex sin x dx. Получили соотношение ò ex sin x dx = — ex cos x + exsin x — ò ex sin x dx, откуда 2 ò ex sin x dx = — ex cos x + exsin x + С.
Пример 3.37.Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.
Решение. Таккак dx/x = d(ln x), то J= ò cos(ln x)d(ln x).Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ò cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.
Пример 3.38.Вычислить J = />.
Решение. Учитывая,что /> = d(ln x), производимподстановку ln x = t. Тогда J = />.
Пример 3.39.Вычислить интеграл J = />.
Решение. Имеем:/>. Поэтому />= =/> =/>.
Пример 3.40.Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу />?
Решение. Нет,нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, тополучим неверный результат. Действительно, />=/>.
Но подынтегральная функция f(x) = /> >0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть делазаключается в том, что подынтегральная функция f(x) = /> имеет бесконечный разрыв вточке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесьформула Ньютона-Лейбница неприменима.
Пример 3.41.Вычислить интеграл />.
Решение. Подынтегральнаяфункция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно,имеет первообразную F(x)= />.
По определению имеем: />= />.
По формуле Ньютона-Лейбница,
/>= F(b) — F(0) = /> +/>= />;
/>= />= />.
 
8.2Использование интегралов в экономических расчетах
Пример 3.42.Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня,если производительность труда характеризуется функцией
f(t) =3/(3t +1) + 4.
Решение. Еслинепрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего взависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим запромежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой
V =/>.
В нашем случае
V =/> = ln 10 + 12 — ln 7 — 8 =ln 10/7 + 4.
Пример 3.43. Определитьзапас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаровхарактеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
Решение. Имеем:
V =/>.
Пример 3.44. Пустьсила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d t = f(t), тогда наращенная сумма находится как
S = P exр /> d t dt,
а современная величина платежа P = S exр(-/> d t dt).
Если, в чаcтности, d t является линейной функцией времени: d t = d o + at, где d o — величина силы роста для t = 0, a — годовой прирост, то
/>d t dt = /> (d o + at)dt = d o n + an2/2;
множитель наращения exр(d o n + an2/2).Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d t = d o at, где d o — начальное значение процентной ставки, a — годовойкоэффициент роста, тогда
/>d t dt = />d o at dt =d oat /lna/>= d o(an -1)/lna;
множитель наращения exр(d o(an -1)/ lna).
Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставкаежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения вэтом случае составит exр (0,08 (1,25-1) / ln1,2) » » exр 0,653953 » 1,921397.
Пример 3.45. Вышепри анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая суммаренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно винвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени,следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторойфункцией R t = f (t), то общая сумма поступлений за время nравна />.
В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до nсумма составит:
S = />.
Современная величина такого потока равна
A = />.
Пусть функция потока платежей является линейной: Rt = Ro+ at, где Ro — начальная величина платежа, выплачиваемого за единицувремени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A,пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:
A = />= />+ />.
Обозначим A1= />, A2 = />.
Имеем: A1 = /> = — Ro/d/>ê/>= — Ro/d(/>-eo) = — Ro/d(/>-1) = =Ro(/>-1)/d. A2= />. Вычислим неопределенныйинтеграл /> по частям: u = t, dv = />dt Þ du = dt, v = /> =- />/d, тогда />= — t/>/d + 1/d />= — t/>/d (t+1/d) +C. Следовательно, A2 = -a t/>/d (t+1/d)ê/>= ((1- />)/d — n/>)a/d.
Итак, исходный интеграл
A = A1+A2 = Ro(/>-1)/d + ((1- />)/d — n/>)a/d.

9. Дифференциальные уравнения
При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если
y¢ = f(x),
или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой
y = ò f(x)dx
и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однакона практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найтифункцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида
F(x, y, y¢, y¢¢,..., y(n))= 0.       (9.1)
Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x,неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно,называются дифференциальными уравнениями.
В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной являетсяфункция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) тогоили иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальноеуравнение, называется порядком этогодифференциального уравнения.
Например:
                            y¢ — x2y+ x3 = 0 — уравнение первого порядка,
                            y¢¢ + 4y¢ + cos x = 0 — уравнение второго порядка,
                            x y(5) + yy¢¢¢ = 1 — уравнение пятого порядка и т. д.
Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению,называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальноеуравнение — это значит найти все его решения. Если для искомой функции yнам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциальногоуравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общийинтеграл.
Общее решениедифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольныхпостоянных с1, с2,..., cn и имеет вид
y = j(x,с1, с2,..., cn).
Если соотношение, связывающее x, y и n произвольныхпостоянных, получено в виде, не разрешенном относительно y -
Ф(x, y, с1,с2,..., cn) = 0,
то будем называть такое соотношениеобщим интегралом уравнения(9.1).
В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждаяконкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и независящая от произвольных постоянных, называется частным решением, иличастным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когдапостоянным с1, с2,..., cn придают конкретныечисловые значения.
График каждого частного решения называется интегральной кривой.Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собойсемейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семействозависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n-гопорядка — от n произвольных постоянных.
В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение дляуравнения n-го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:
y(xo)= yo, y¢(xo) = yo¢,..., y(n-1)(xo) = yo(n-1),
по которым определяются n постоянных с1, с2,..., cn.Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид
F(x, y, y¢) = 0,
или вид, разрешенный относительно y¢:
y¢ = f(x, y).
Пример 3.46.Найти общее решение уравнения y¢ = 3x.
Решение. Интегрируя,находим
y = ò 3x dx, y = 3x2/2 + C,
где С — произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения,будем получать частные решения, например,
y = 3x2/2 (С= 0),
y = 3x2/2 + 5 (С = 5)
и т.д.
Пример 3.47.Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условииначисления 100 rсложных процентов в год. Пусть Yo обозначаетначальную денежную сумму, а Yx — денежную сумму по истечении xлет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели
Yx+1 =(1+r)Yx,
где x = 0, 1, 2, 3,… Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечениикаждого полугодия), то мы имели бы
Yx+1/2= (1 + r/2)Yx,
где x = 0, 1/2, 1, 3/2,… Вообще, если проценты начисляются nраз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,...,тогда
Yx+1/n= (1 + r/n)Yx,
то есть
/>.
Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:
/>.
Неограниченно увеличивая n (при n®¥, h®0) мы в пределе приходим кпроцессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:
/>,
то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальнымуравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Yx — неизвестнаяфункция, x — независимая переменная, r — постоянная. Для решенияданного уравнения перепишем его следующим образом:
/>
откуда Yx =e r x+C, или Yx =Pe r x, где через P обозначено eC.
Учитывая начальное условие Y(0) = Yo, найдем P: Yo =Peo, следовательно, Yo = P. Решение имеет вид:
Yx =Yoe r x.
Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономическиемодели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка,описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.
Пример 3.48.Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной еговеличине:
/>,
и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционалендоходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходахприводит к возрастанию национального долга D:
dD/dt =qY.
Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемымифункциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид Y = Yoи D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитываяначальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второеуравнение, получаем dD/dt = qYo e k t. Общее решениеэтого уравнения имеет вид D = (q/ k) Yo e k t +С, где С =const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условияв полученное решение, мы получаем Do = (q/ k)Yo + С.Итак, окончательно,
D= Do+(q/ k)Yo (e k t -1),
то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k,что и национальный доход.
Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка являетсяуравнение
y(n)= f(x).
Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.
Пример 3.49. Решитьуравнение y¢¢¢ = cos x.
Решение. Интегрируя,находим
y¢¢ = ò cos x dx = sin x + C1,
y¢ = ò (sin x + C1)dx = — cos x + C1x+ С2,
y = ò (- cos x + C1x+C2)dx = — sin x + C1x2/2 +C2x+C3.
Итак, общее решение
y = — sinx + C1x2/2 +C2x+C3.
В математической экономике большое применение находят линейныедифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений.Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид:
рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +… + рn- 1(x)y¢(x) + рn(x)y(x) = f(x),  (9.2)
где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) — данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2)называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общеерешение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) иобщего решения соответствующего однородного уравнения:

рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +… + рn- 1(x)y¢(x) + рn(x)y(x) = 0.        (9.3)
Если коэффициенты рo(x), р1(x),..., рn(x)постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:
рoy(n)(x)+ р1y(n- 1)(x) +… + рn — 1y¢(x) + рny(x) = f(x)     (9.4)
и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постояннымикоэффициентами.
Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:
рoy(n)(x)+ р1y(n- 1)(x) +… + рn — 1y¢(x) + рny(x) = 0.       (9.5)
Без ограничения общности можно положить рo = 1 и записатьуравнение (9.5) в виде
y(n)(x) + р1y(n-1)(x) +… + рn — 1y¢(x) + рny(x)= 0.             (9.6)
Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e kx,где k — постоянная. Имеем: y¢ = ke kx,y¢¢ = k2e kx,..., y(n)= kne kx. Подставляя полученныевыражения в (9.6), будем иметь:
 
e kx (kn+ р1kn-1 +… + рn-1k + рn) = 0.
Т.к. e kx ¹ 0, то
kn+ р1kn-1 +… + рn-1k + рn = 0.    (9.7)
Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Ононазывается характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6).Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени, следовательно,оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Еслиk1, k2,..., kn — действительные и различныекорни уравнения (9.7), то />-частные решения уравнения (9.7), а общее имеет вид
y = />.
Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнениевторого порядка с постоянными коэффициентами:
y¢¢ + рy¢ +qy = 0.                   (9.8)
Его характеристическое уравнение имеет вид
k2 + рk + q=0                (9.9)
и в зависимости от значения дискриминанта D = р2 — 4q возможнытри случая.
1. Если D>0, то корни k1 и k2уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:
y= c1 exр(k1x) + c2 exр(k2x).
2. Если D = 0, т.е. корни k1и k2действительные и равные, то общее решение находится по формуле:
y = (c1+ c2x) exр (k1x).
3. Если Di — мнимая единица. Тогда общее решение таково:
y = (c1cos bx+c2 sin bx) exр (ax).
Пример 3.50. Решитьуравнение y¢¢ — y = 0.
Решение. Характеристическоеуравнение имеет вид k2 — 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2= -1 действительны и различны. Общее решение:
y = c1ex + c2e -x.
Пример 3.51.Найти общее решение уравнения y¢¢- 4y¢ + 4y = 0.
Решение. Характеристическоеуравнение запишется в виде: k2 -4k +4 = 0 или (k — 2)2 =0, т.е. имеет равные корни k1= k2 =2, значит, общеерешение данного уравнения находится по формуле:
y = e2x(c1+c2x).
Пример 3.52.Найти общее решение уравнения y¢¢+9y = 0.
Решение. Имеемследующее уравнение для нахождения k: k2+9 = 0, откуда k = ±3i, Þ a = 0, b = 3, значит, общее решение имеет вид:
y= c1 cos 3x + c2 sin 3x.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят применение приизучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасамитоваров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. опаутинообразной модели в параграфе 10). Если спрос и предложение являютсялинейными функциями цены, то есть
D = a +aP, S =b+bP,
а l есть постоянная, определяющая скорость реакции (тоесть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения ценыописывается дифференциальным уравнением:
/>+ l (b — a) P = l (a — b).
В качестве частного решения можно взять постоянную
P =`P = (a — b)/(b — a),
имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -`P удовлетворяет тогда однородному уравнению
/>+ l (b — a) р = 0.                               (9.10)
Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, вкотором неизвестная обозначена через k, будет следующее:
k2 +l (b — a) = 0.
В обычном случае (a0, l>0) член l (b — a) положителен. Введем обозначение w =/>. Тогда корнихарактеристического уравнения будут k 1,2 = ± i w. Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеетвид:
р = C cos(wt-e),
где C и e представляют собой произвольные постоянные, которыеопределяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно,присоединив `P, получим закон изменения цены во времени:
P = `P+ C cos (wt-e).
 
10. Разностные уравнения
На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследованиинапример величины банковского вклада. Эта величина является переменной Yx,представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону прицелочисленных значениях аргумента x. Пусть сумма Yo положенав банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начислениепроцентов производится один раз в год и x обозначает число лет с моментапомещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении xлет через Yx. Мы получаем
Yx= (1+r)Yx-1.
Если начальная сумма составляет Yo, мы приходим к задачеотыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальномуусловию Yx = Yo при x = 0. Полученное разностноеуравнение содержит Yx и значение этой переменной на один год раньше,т.е. Yx-1; в данном случае аргумент x явно не входит вразностное уравнение.
Вообще говоря,обыкновенное разностное уравнение устанавливаетсвязь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда равноотстоящихзначений аргумента x, но можно без ограничения общности считать, чтоискомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом,равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x,то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1, x+2,… и в обратномнаправлении: x, x-1, x-2,… Соответствующие значения функции будем обозначатьYx,Yx+1,Yx+2,… или Yx, Yx-1,Yx-2,… Определим так называемые разности различныхпорядков функции Yx с помощью следующих формул:
Разностипервого порядка
D Yx = Yx+1 — Yx,
D Yx+1 =Yx+2 — Yx+1,
DYx+2 = Yx+3 — Yx+2,
 ... ...  ...  ...  ...
Разностивторого порядка
D2Yx=DYx+1 — D Yx,
D2Yx+1= D Yx+2 — DYx+1,
D2Yx+2= D Yx+3 — DYx+2,
  ... ...  ...  ...  ...
Разноститретьего порядка
D3Yx=D2Yx+1 — D2Yx,
D3Yx+1=D2Yx+2 — D2Yx+1,
  ...  ...  ...  ...  ...
Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одногонезависимого аргумента x, его функцииYx и разностей различныхпорядков этой функции DYx, D2Yx, D3Yx,… Такое уравнение можно записать вобщем виде следующим образом:
j(x, Yx, DYx, D2YxD3Yx, DnYx) = 0,                    (10.1)
которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.
Порядком разностногоуравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение.Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностяминеизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента,то есть выразить DYx, D2Yx, D3Yx,… через Yx, Yx+1,Yx+2,… Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:
y(x, Yx, Yx+1,...,Yx+n)= 0,       (10.2)
x(x, Yx, Yx-1,...,Yx-n)= 0.                   (10.3)
Общее дискретное решение Yx обыкновенного разностногоуравнения n-го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...),содержащую ровно n произвольных постоянных:
Yx= Y(x, C1, C2,..., Cn).
Паутинообразная модель. Пусть рынок какого-либо отдельного товарахарактеризуется следующими функциями спроса и предложения:
D = D(P), S= S(P).
Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынкебыл распродан, или
D(P) =S(P).
Цена равновесия `P задается этим уравнением (которое может иметьмножество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через `X, — следующим уравнением:
`X = D (`P) = S(`P).
Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса илипредложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменноезапаздывание или отставание предложения на один интервал:
Dt= D (Pt) и St = S (Pt-1).
Это может случиться, если для производства рассматриваемого товаратребуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие моделитаково: при заданном Pt-1 предшествующего периода объем предложенияна рынке в текущем периоде будет S (Pt-1), и величина Ptдолжна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара.Иными словами, Pt и объем покупок-продаж Xt характеризуютсяуравнением:
Xt =D (Pt) = S (Pt-1).
Итак, зная исходную цену Po, с помощью этих уравнений мы можемполучить значения P1 и X1. Затем, используя имеющуюсяцену P1, из соответствующих уравнений получим значения P2и X2 и т.д. В общем изменение Pt характеризуетсяразностным уравнением первого порядка (одноинтер­вальное отставание):
D (Pt)= S (Pt-1).
Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, гдеD и S — соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (созначениями `P и `X) соответствует точке их пересеченияQ. Цена в начальный момент времени равна Po. Соответствующая точка Qoна кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенныйобъем товара раскупается при цене P1, заданной точкой Q1 накривой D с той же ординатой (X1), что и Qo. Во второйпериод времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q1к точке на кривой S, дающей X2, а затем по горизонтали — к точке Q2на кривой D. Последняя точка характеризует P2. Продолжениеэтого процесса и даетграфик паутины, показанный на рис. 5. Цены иобъемы (покупок — продаж) в последовательные периоды времени являютсясоответственно координатами точек Q1, Q2, Q3,…на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремитсяк Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q.Следовательно, и значения цены Pt стремятся к `P, располагаясь поочередно по обе стороны от`P. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок — продаж (Xt).
Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса ипредложения: D = a +aP, S = b +bP. Значенияравновесия `P и `X будут заданы уравнениями
`X = a +a`P = b +b`P,
то есть
`P = (a — b)/(b — a), `X = (ba — ab)/(b — a).           (10.4)
Дискретная динамическая модель задается уравнением
Xt = a +aPt = b +bPt-1.          (10.5)
Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим Pt= `P, Xt = `X для всехзначений t:
`X = a +a`P = b +b`P.          (10.6)
Получаем те же значения `P и `X, что и в (10.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовалицены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (10.5) онисохранятся и в последующих периодах.
Вычтем уравнение (10.6) из (10.5) и положим рt = Pt-`P, xt = Xt -`X. Тогда
xt = aрt= bрt-1.   (10.7)
Уравнения (10.7) аналогичны (10.5), за исключением того, что ониописывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковыесуществуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первогопорядка. Положим c = b/a и подставим его в уравнение (10.7), так что разностноеуравнение относительно рt будет
рt = c рt-1.           (10.8)
При данном значении рo в момент t = 0 из (10.8) получаемрешение:
рt= рo c t,
или
Pt= `P + (Po — `P) c t.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностраннойлитературы, 1963.
2. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М.:Просвещение, 1995.
3. Белинский В. А., Калихман В. А., Майстров Л. Е., Митькин А. М.Высшая математика с основами математической статистики. М.: Высшая школа, 1965.
4. Высшая математика: Общий курс / Под ред. А. И. Яблонского. Минск: Вышейш.школа, 1993.
5. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио,1972.
6. Макконелл К., Брю С. Экономикс: принципы, проблемы, политика.М.: Республика, 1992. Т. 1-2.
7. Математика и кибернетика в экономике: Словарь — справочник / Под ред.Н. П. Федоренко. М.: Экономика, 1975.
8. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука,1987.
9. Рублев А. Н. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1968.
10. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. пособие/ А. В. Кузнецов, Д. С. Кузнецова, Е. И. Шилкина и др. — Минск: Вышейш. шк.,1994.
11. Сборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость/ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин; Под ред. Л. Д.Кудрявцева. — М.: Наука, 1984.
12. Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Линейная алгебра и аналитическаягеометрия. Минск: Вышейш. школа, 1968.
13.Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. М.: Наука,1968. Т. 1-2.
14. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.:Дело, Business Речь, 1992.
15. Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. А. Н.Тихонова. М.: Высш. шк., 1994.
16. Mathematische Proрadeutik furWirtshaftswissenschaftler / W. Wetzel, Н. Skarabis, P. Naeve, Н.Buening. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1981.
17. Mathematik fur Wirtshafts-Kaufleute / E. Forster,Н. Korth. Munchen: Wilhelm НeyneVerlag, 1976.

ОГЛАВЛЕНИЕПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................. 3 I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ................................................................ 5 1. Векторы ..................................................................................................... 5 2. Линии на плоскости .................................................................................. 7 3. Плоскость и прямая в пространстве ........................................................ 17 II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА .................................................................................. 21 4. Матрицы и определители ......................................................................... 21 4.1. Матрицы. Операции над матрицами .............................................. 21 4.2. Определители ................................................................................... 24 4.3. Ранг матрицы ................................................................................... 28 4.4. Обратная матрица ............................................................................ 30 5. Системы линейных уравнений ................................................................. 33 5.1. Критерий совместности .................................................................. 33 5.2. Метод Гаусса ................................................................................... 35 5.3. Формулы Крамера ........................................................................... 36 5.4. Матричный метод ............................................................................ 38 5.5. Системы линейных уравнений общего вида .................................. 39 5.6. Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач .............................................................................  44 III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .................................................................. 50 6. Предел функции ........................................................................................ 50 6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах ...... 50 6.2. Применение пределов в экономических расчетах ......................... 57 7. Производная .............................................................................................. 60 7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования ............... 60 7.2. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции ............ 64 7.3. Экстремум функции ........................................................................ 66 7.4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя ....................... 67 7.5. Частные производные. Метод наименьших квадратов ................. 68 8. Интегралы ................................................................................................. 76 8.1. Основные методы интегрирования ................................................. 76 8.2. Использование интегралов в экономических расчетах ................. 81 9. Дифференциальные уравнения ................................................................ 83 10. Разностные уравнения ............................................................................ 90 Список рекомендуемой литературы ................................................................... 95
[