--PAGE_BREAK--Ответ: .
Задача 18. Даны числа ; . Найдите:
а); б) .
Решение
а) , тогда
б) , тогда
Ответ: а) ; б) .
Задача 19. Зная, что корнем уравнения является число , найдите все корни данного уравнения.
Решение
Поскольку все коэффициенты данного уравнения – действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число также является корнем данного уравнения.
Пусть – неизвестный корень уравнения , тогда , где
, получаем .
Разделим обе части последнего равенства на , получим .
Следовательно, .
Ответ: ; .
Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Решение
Пусть – искомое комплексное число, где x и y – действительные числа. Тогда число , сопряженное числу , равно .
По условию задачи имеем: , т.е. .
Преобразовав это уравнение, получим: .
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:
Возможны два случая:
1) . Тогда система равносильна системе: , которая
имеет следующие решения: ; .
2) . Тогда система равносильна системе , которая имеет два решения: и .
Итак, искомых чисел четыре: ; ; , из них два числа и – действительные, а два других и – комплексно сопряженные.
Ответ: ; ; .
Задача 21. Известно, что , . Найдите:
а) ; б) .
Решение
а) ,
б) .
Ответ: а) ; б) .
Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут сопряженными?
Решение
Комплексные числа и будут ком-
плексно сопряженными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 23. Докажите тождество .
Решение
Пусть , , . Тогда , ,, ,,.
Отсюда легко следует доказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, что если число является чисто мнимым, то .
Решение
По условию , где b – действительное число, тогда , , .
Тождество доказано.
Задача 25. Пусть . Докажите, что .
Решение
Поскольку , то
Тождество доказано.
Задача 26. Решите уравнение .
Решение
Пусть . Тогда данное уравнение запишется в виде , откуда . Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему:
Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде или . Отсюда находим или . Таким образом, числа , , являются решениями данного уравнения.
При y=0 для нахождения x получаем уравнение . Отсюда следует, что x=0, и тем самым .
Ответ: ; ; .
Задача 27. Решить систему уравнений:
Решение
Полагая , имеем
следовательно, и .
После преобразований данная система принимает вид
Решение полученной системы является пары и . Таким образом, исходная система имеет два решения и .
Ответ: ; .
Задача 28. Докажите, что если , то .
Решение
Предположим, что существует такое комплексное число , , для которого выполнено неравенство . Тогда , или .
Поскольку
то и – действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: .
Следовательно, .
Полученное противоречие доказывает утверждение.
Задача 29. Решите уравнение .
Решение
По формулам корней квадратного уравнения имеем: .
Извлекая корень квадратный из числа , получаем .
Следовательно, ;
.
Ответ: ; .
Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа .
Решение
Пусть , где .
По формуле
Таким образом .
Ответ: .
Задача 31. Решите уравнение: .
Решение
Имеем , ,
.
Получаем
Извлечем квадратный корень из комплексного числа по формулам:
; ;
Так как , Тогда
Итак, , тогда
Где и
Можно сделать проверку по теореме Виета:
и .
Ответ: ; .
Задача 32.
Пусть , . При каких действительных значениях a и b выполняется условие ?
Решение
Находим
.
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
Ответ: .
2. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. 1).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 1
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число называется комплексной координатой точки (a; b).
Поскольку при указанном соответствии действительные числа изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа , называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа равен длине вектора .
Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Покажем их.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис.2
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны и соответственно.
Решение
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
.
Учитывая, что комплексная координата вектора равна , получим .
Ответ: .
Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
а) , б) , в) , г) , д) ,
е) , ж) , з) , и) , к) .
Решение
а) . Из равенств и , получаем: .
Множество точек – прямая (рис. 3).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 3.
б) . , . Следовательно, .
Множество точек – верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую (рис. 4).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 4.
в) . Из равенств и , получаем: .
Множество точек – прямая (рис. 5).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 5.
г) , , и . Следовательно, .
Множество точек – левая относительно прямой полуплоскость, включая прямую (рис. 6).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 6.
д) . , поэтому .
Множество точек – прямая . (рис. 7).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 7.
е) Если , то условия и означают, что и . Множество точек – часть плоскости, ограниченная снизу прямой , справа , исключая указанные прямые (рис. 8).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 8.
ж) Если , то , и условие означает, что , т.е. . Множество точек – прямая (рис. 9).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 9.
з) Если , то при условие, что сумма отлична от нуля, имеем , поэтому . Следовательно, , откуда получаем уравнение:
, или .
Преобразуем его
.
Таким образом, множество точек – это окружность с центром в точке Oрадиуса , у которой «выколота» точка (рис. 10).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 10.
и) ; по условию , следовательно, .
Множество точек – окружность с центром в начале координат радиуса 1.
к) По условию , поэтому , т.е. , , , . Последнее условие означает, что либо , либо . В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа неотрицательна.
Приходим к выводу: искомое множество точек – положительная полуось Ox с началом в точке .
Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек , удовлетворяющих условию:
а) ; б) ; в) ; г) ; д)
Решение
а) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и точкой . Поэтому заданному условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке (рис. 11).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 11.
б) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами и соответственно (рис. 12).
SHAPE \* MERGEFORMAT продолжение
--PAGE_BREAK--
Рис. 12.
в) . Из определения главного аргумента комплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол с положительным направлением оси Ох.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 13.
г) . Пусть . Тогда данное соотношение перепишется в виде или .
Отсюда находим: , т.е. .
Таким образом, , и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых . Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки и , восстановленный из его середины.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 14.
д) Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке , и второго квадранта (рис. 15).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 15.
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками и равно .
Решение
Так как , а это и
есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками и .
Задача 38. Докажите, что если точка не совпадает с точкой , то равенство задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.
Решение
Все точки , удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству , следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых .
Решение
Представим выражение в виде разности двух комплексных чисел: . Тогда становится ясно, что равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2.
Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности , тогда неравенству соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.
Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 16.
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: .
Решение
Равенство является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств , , следует равенство , а значит, , т.е. .
Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 17.
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .
Решение
. Следовательно, . Таким образом, , , то
, , .
Этим числам соответствуют три точки: A (), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 18.
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .
Решение
, значит, и .
Получили две точки: B () и C () (рис. 19).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 19.
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если , где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства: , , , , . Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 20.
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и . Если положить , то получаем следующие неравенства:
.
Преобразуем его
,
, ,
Получаем .
Искомая область – круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 21.
Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Положим .
Тогда , .
Неравенство при равносильно неравенству или . Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 22
Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: .
Решение
Представим число как . Тогда
;
.
По условию, , откуда
; ;
.
Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(–0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис.23.
Задача 47. Из всех чисел , удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение.
Решение
I способ.
Пусть . Тогда .
Уравнение задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина принимает наименьшее значение.
Действительно, для точек P и Q значение равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 24.
Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением . Решим систему
Так как , то перейдем к системе
Уравнение имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа и .
II способ. Пусть . Тогда (см. I способ);
.
Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции при условии . Поскольку функция принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции φ можно рассматривать минимум функции
.
Преобразуем последнее выражение к виду
,
так как , то ,
откуда .
Произведем замену и найдем значение t, для которых достигается минимум функции или , или после замены – те значения p, при которых минимально выражение .
Исследуем функцию с помощью производной. Имеем ; , если , т.е. если , а . Последнее равенство выполняется при .
Нетрудно убедиться в том, что если , то , т.е. убывает, а если , то , т.е. возрастает. При функция принимает наименьшее значение.
Значению соответствует , при . Отсюда, учитывая соотношение , находим , или , и получаем окончательный ответ.
Ответ: и .
Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности, если бы на отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.
Задача 48. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Представим в виде и преобразуем заданную дробь:
.
Мнимая часть дроби равна .
Неравенство равносильно системе
Неравенство перепишем в виде . Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 25.
продолжение
--PAGE_BREAK-- SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 25.
Задача 49. Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию: , найдите число с наименьшим модулем.
Решение
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел и w величина равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами и w. Точки, соответствующие числам , для которых выполняется равенство , равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую . Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу – числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
Ответ: .
Задача 50. Пусть M – множество точек комплексной плоскости таких, что ; K – множество точек комплексной плоскости вида , где . Найдите расстояние между фигурами M и K.
Решение
I способ.
Пусть ; тогда , откуда
. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке O1 (0; ) и радиусом 0,5.
По условию, , т.е. . Полагая , имеем и .
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (–; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26) является длина отрезка PN линии центров, т.е. .
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 26.
Ответ: 1.
Замечание. Геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1 соответственно (рис. 27), что , . Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняется неравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P1N1 > PN.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 27.
II способ.
Запишем неравенства . Таким образом, . Это значит, что расстояние от точек фигуры M до точки O1 (0; ) постоянно и равно 0,5. фигура M – окружность с центром в точке O1 и радиусом 0,5. Условие означает, что множество K получено поворотом точек множества M на угол вокруг начала координат, т.е. представляет собой окружность с центром в точке O2 (–; 0) и радиусом 0,5. Дальнейшие рассуждения такие же, как при решении I способом.
Задача 51. Найдите наибольший модуль комплексного числа , удовлетворяющего условию .
Решение
Так как , а . Это круг с центром в точке A (3; 4) и радиусом .
Поскольку OA= 5, , имеем . Среди точек круга существует точка , для которой . Это точка пересечения границы круга и продолжения отрезка OA.
Ответ: 6.
Задача 52. Решите систему уравнений
Решение
Так как , то . Это множество – серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A (0; 2), B (0; 4) – точки, соответствующие числам и . Уравнение этого перпендикуляра есть . Из второго уравнения системы имеем . Пусть , тогда . Так как для каждой из искомых точек, то ; . корнями этого уравнения являются числа 2 и – 4. системе уравнений удовлетворяют 2 числа: и .
Ответ: ; .
Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .
Решение
Пусть , тогда и, значит,
, . Исходное неравенство перепишется так: . Последнее неравенство можно заменить системой двух условий: и , или и .
Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая ) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 28.
Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие . В каких пределах изменяется .
Решение
Множество точек, заданное условием , определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством .
Пусть , тогда , , . Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение при условии . Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях система
имеет хотя бы одно решение?
Последняя система равносильна следующей:
или
Эта система имеет решения тогда, когда имеет решение квадратное неравенство . Так как коэффициент при положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем
.
при .
Ответ: .
2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел
Пусть вектор задается на комплексной плоскости числом .
Обозначим через φ угол между положительной полуосью Ox и вектором (угол φ считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 29
Обозначим длину вектора через r. Тогда . Обозначим также
.
Тогда
.
Запись отличного от нуля комплексного числа z в виде
(2)
называется тригонометрической формой комплексного числа z. Число r называется модулем комплексного числа z, а число φ называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg z.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа – (формула Эйлера) – показательная форма записи комплексного числа:
.
У комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если φ0 – какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле
.
Для комплексного числа аргумент и тригонометрическая форма не определяются.
Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа является любое решение системы уравнений:
(3)
Значение φ аргумента комплексного числа z, удовлетворяющее неравенствам , называется главным и обозначается arg z.
Аргументы Arg z и arg z связаны равенством
, (4)
где
Формула (5), является следствием системы (3), поэтому все аргументы комплексного числа удовлетворяют равенству (5), но не все решения φ уравнения (5) являются аргументами числа z.
Главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа находиться по формулам:
Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид:
. (6)
. (7)
При возведении в натуральную степень комплексного числа используется формула Муавра:
. (8)
При извлечении корня из комплексного числа используется формула:
, (9)
где k=0, 1, 2, …, n-1.
Задача 54. Вычислите , где .
Решение
Представим решение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа: .
Если , то .
Тогда , . Поэтому , тогда и , где .
Ответ: , при .
Задача 55. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
Решение
Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:
а) В комплексном числе : .
Тогда
,
Поэтому
б) , где ,
в) , где ,
г) , где ,
д) , где ,
е) .
ж) , а , то .
Поэтому
Ответ: ; 4; ; ; ; ; .
Задача 56. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа
.
Решение
Пусть , .
Тогда , , .
Поскольку и , , то , а
.
Следовательно, , поэтому
, где .
Ответ: , где .
Задача 57. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: .
Решение.
Представим числа и в тригонометрической форме.
1) , где тогда
Находим значение главного аргумента :
Подставим значения и в выражение , получим
2) , где тогда
Тогда
3) Найдем частное
Далее, применяя формулу (9) получим:
Полагая k=0, 1, 2, получим три различных значения искомого корня:
Если , то
если , то
если , то .
Ответ: :
:
: .
Задача 58. Пусть , , , – различные комплексные числа и . Докажите, что
а) число является действительным положительным числом;
б) имеет место равенство:
.
Решение
а) Представим данные комплексные числа в тригонометрической форме:
, , , , так как .
Предположим, что . Тогда
.
Последнее выражение является положительным числом, так как под знаками синусов стоят числа из интервала .
б) Имеем
,
так как число вещественно и положительно. Действительно, если a и b – комплексные числа и вещественно и больше нуля, то .
Кроме того,
следовательно, нужное равенство доказано.
Задача 59. Запишите в алгебраической форме число .
Решение
Представим число в тригонометрической форме, а затем найдем его алгебраическую форму. Имеем . Для получаем систему:
Отсюда следует равенство: .
Применяя формулу Муавра: ,
получаем
Найдена тригонометрическая форма заданного числа.
Запишем теперь это число в алгебраической форме:
.
Ответ: .
Задача 60. Найдите сумму , ,
.
Решение
Рассмотрим сумму
.
Применяя формулу Муавра, найдем
.
Эта сумма представляет собой сумму n членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом .
Применяя формулу для суммы членов такой прогрессии, имеем
Выделяя мнимую часть в последнем выражении, находим
Итак, .
Выделяя действительную часть, получаем также следующую формулу: , , .
Ответ: .
Задача 61. Найдите сумму:
а) ; б) .
Решение
По формуле Ньютона для возведения в степень имеем
По формуле Муавра находим:
.
Приравнивая вещественные и мнимые части полученных выражений для , имеем:
и .
Эти формулы в компактном виде можно записать так:
,
, где - целая часть числа a.
Ответ: ; .
Задача 62. Найдите все , для которых .
Решение
Поскольку , то, применяя формулу
, Для извлечения корней, получаем ,
Следовательно, , ,
, .
Точки, соответствующие числам , расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке (0;0) (рис. 30).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 30.
Ответ: , ,
, .
продолжение
--PAGE_BREAK--Задача 63. Решите уравнение , .
Решение
По условию ; поэтому данное уравнение не имеет корня , и, значит, оно равносильно уравнению.
Для того чтобы число z было корнем данного уравнения, нужно, чтобы число было корнем п-й степени из числа 1.
Отсюда заключаем, что исходное уравнение имеет корней , определенных из равенств
,
Таким образом,
,
т. е. ,
Ответ: .
Задача 64. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .
Решение
Так как число не является корнем данного уравнения, то при данное уравнение равносильно уравнению
, т. е. уравнению .
Все корни этого уравнения получаются из формулы (см. задачу 62):
,
,
,
,
.
Ответ:
; ; ; ; .
Задача 65. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: . (2-й способ решения задачи 45)
Решение
Пусть .
Тогда .
Комплексным числам, имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат, поэтому неравенству удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченного окружностями с общим центром в начале координат и радиусами и (рис. 31). Пусть некоторая точка комплексной плоскости соответствует числу w0. Число , имеет модуль, в раз меньший модуля w0, аргумент, на больший аргумента w0. С геометрической точки зрения точку, соответствующую w1, можно получить, используя гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом , а также поворот относительно начала координат на угол против часовой стрелки. В результате применения этих двух преобразований к точкам кольца (рис. 31) последнее перейдет в кольцо, ограниченное окружностями с тем же центром и радиусами 1 и 2 (рис. 32).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 31.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 32.
Преобразование реализуется с помощью параллельного переноса на вектор . Перенося кольцо с центром в точке на указанный вектор, получим кольцо такого же размера с центром в точке (рис. 22).
Предложенный способ, использующий идею геометрических преобразований плоскости, наверное, менее удобен в описании, но весьма изящен и эффективен.
Задача 66. Найдите , если .
Решение
Пусть , тогда и . Исходное равенство примет вид . Из условия равенства двух комплексных чисел получим , , откуда , . Таким образом, .
Запишем число z в тригонометрической форме:
, где , . Согласно формуле Муавра, находим .
Ответ: – 64.
Задача 67. Для комплексного числа найдите все комплексные числа , такие, что , а .
Решение
Представим число в тригонометрической форме:
. Отсюда , . Для числа получим , может быть равен либо .
В первом случае , во втором
.
Ответ: , .
Задача 68. Найдите сумму таких чисел , что . Укажите одно из таких чисел.
Решение
Заметим, что уже из самой формулировки задачи можно понять, что сумма корней уравнения можно найти без вычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения есть коэффициент при , взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), т.е. .
Приведем и другое возможное обоснование. Пусть – корень уравнения. Тогда также является его корнем, поскольку , и сумма всех корней равна нулю.
Допустимо и такое решение. Представив правую часть исходного уравнения в тригонометрической форме, получим
. Отсюда
, где .
Далее вычисляем сумму четырех корней, которая равна нулю.
Ответ: ; – одно из таких чисел.
2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений
3- и 4-й степени
Рассмотрим решение кубического уравнения
(1)
на конкретном примере.
Пример 1. Решите уравнение
.
Решение. Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида:
,
для чего произведем подстановку:
Получим уравнение:
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению:
,
где , и
(Замечание.
Переход к приведенному кубическому уравнению можно осуществить с помощью схемы Горнера, разложив многочлен по степеням двучлена )
Для корней кубического уравнения
(2)
имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро – Тартальи — Кардано.
Впервые приведенное кубическое уравнение
решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро в конце XV века. Затем в 1535 году те же формулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения (1) было изложено в книге Джероламо Кардано «Ars Magna» («Великое искусство»).
Формулы Кардано имеют вид:
,
где – значения радикала
Практически корни находятся проще.
Пусть – одно (любое) значение радикала u. Тогда два других значения можно найти следующим образом:
;
где e1 и e2 – значения корня кубического из 1, т.е.
Если вычислитьто получим:
; .
Действительно,
Аналогично доказывается равенство .
Подставляя полученные значения и в формулу
,
находим практические формулы:
;
;
.
В нашем случае:
Таким образом, положим . Тогда
следовательно,
, , .
Из последних равенств, учитывая, что получаем:
, , .
Ответ: ; ; .
Для приведенного кубического уравнения
(3)
дискриминант вычисляется по формуле:
.
При этом:
а) если , то уравнение (3) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;
б) если , то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны;
в) если , то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.
Таким образом, в любом случае уравнение (3) с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
Рассмотрим решение уравнения 4-й степени методом Феррари на конкретном примере.
Пример 2. Решите уравнение
Решение.
Оставим в левой части уравнения члены, содержащие и :
.
Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата:
,
или
(1)
Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r:
Откуда с учетом равенства (1) получим:
(2)
Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).
Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:
;
.
В частности, , если .
Подставив значение в равенство (2), получим:
,
или
.
Откуда,
,
,
или .
Следовательно,
; ;
;
Ответ: ; ; ;
Задача 69. Решите уравнение .
Решение
Данное уравнение – приведенное. Здесь , . Следовательно,
.
Для извлечения кубического корня из комплексного числа
представим его в тригонометрической форме:
,
поэтому , где
При получаем:
.
Значит,
,
поэтому .
Следовательно,
, , .
Ответ: 2; ; .
Задача 70. Решите уравнение .
Решение
Положив , получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y:
.
По формулам Кардано:
.
Легко видеть, что .
Следовательно, число является одним из значений кубического
корня из комплексного числа (тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).
Таким образом, , , тогда
, .
Итак, ,
,
.
Отсюда находим корни квадратного уравнения:
,
,
.
Ответ: ; ;
.
Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:
а) ;
б) ;
в) .
Решение.
а) .
Дискриминант , т.е. , то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.
б) .
Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:
(б*). Откуда дискриминант , т.е. , то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительный корня.
в) .
Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем: (в*). Отсюда , , то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.
Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.
Задача 72. Решите уравнения: а) ;
б) .
Решение.
а) .Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки , получим уравнение:
, где , .
Зная, что:
;
;
.
По формулам Кардано:
Таким образом, получаем , значит , , , .
Следовательно, ; ; .
Откуда, , , .
б) .
Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем , .
Таким образом, получаем: , .
Тогда , , , .
Следовательно, , .
Ответ: а) , , ;
б) , .
Задача 73. Решите уравнения: а) ;
б) .
Решение.
а) Преобразуем уравнение (а) по методу Феррари: ,
,
. (а*)
Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
Откуда с учетом равенства (а*) находим:
,
(а**).
Теперь подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант
правой части равенства (а**) обратился в нуль.
Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:
;
;
.
В частности, , если .
Подставив найденное значение в равенство (а*), получим:
, или .
Откуда, ,
,
или .
Следовательно, ; ; ; .
б) .
Преобразуем это уравнение по методу Феррари:
,
,
. (б*)
Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
Откуда с учетом равенства (б*) находим:
(а**).
Подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (а**) обратился в нуль.
Легко видеть, что дискриминант D равен нулю, если . следовательно, подставив значение в равенство (б**), получим:
;
.
Откуда, ,
или .
Следовательно,
; ; ; .
Ответ: а) ; .
б) ; 3; 1.
2.5. Комплексные числа и параметры
«Параметр (от греч. - отмеривающий) величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
Например, уравнение , где а > 0, хR, yR, задает множество всех концентрических окружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. 33).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 33.
Если а = 1, то получим окружность 1), если а = 2, то — окружность 2) и т.д.
Интересно и следующее определение параметра «Неизвестные величины, значения которых задаем мы сами, называются параметрами».
Пусть, например, нужно решить уравнение
. Вряд ли легко мы справимся с этим уравнением, если будем решать относительно x, считая a параметром.
Лучше сначала считать х параметром и решать квадратное относительно а уравнение , а затем поменять x и a ролями.
Получим Остается решить два уравнения что труда уже не составит.
Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексные числа и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями (неравенствами) с параметром.
Определение 1. Пусть дано равенство с переменными x и a:. Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение называется уравнением с переменной x и параметром a.
Параметр обычно обозначается первыми буквами латинского алфавита: а, b, с, d…
Переменная, относительно которой решается уравнение последними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, и, v.
Определение 2. Под областью определения уравнения с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых имеет смысл.
Иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой неравенств, множество решений которой и является областью определения уравнения.
Определение З. Под решением уравнения c параметром a будем понимать систему значений x и a области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.
Определение 4. Решить уравнение с параметром a — это значит, для каждого действительного значения a найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
Определение 5. Уравнения и равносильны при фиксированном значении а = а0, если уравнения без параметра и равносильны.
продолжение
--PAGE_BREAK--