Курсова робота
«Вивчення систем, еквівалентних системам з відомимтипом крапок спокою»
Реферат
Курсова робота складається з _____ сторінок, 3-хджерел.
Ключові слова: вложима система, з відомим типомкрапок спокою, перший інтеграл диференціальної системи, функція, клас систем еквівалентнихсистемі з відомим типом крапок спокою.
Метою курсової роботи є дослідження системи з відомимтипом крапок спокою, знаходження першого інтеграла системи, застосування теоремипро еквівалентність диференціальних систем.
Зміст
Введення
1. Визначення вложимої системи. Умови вложимості
2. Загальне рішення системи
3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи йумови його існування
4. Функція, що відбиває
5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальнихсистем
Висновок
Список джерел
Введення
У курсовій роботі розглядається вложима системаз відомим типом крапок спокою. Як відомо система є вложимою, якщо будь-який компонентцієї системи вложима, тобто система вложима тоді й тільки тоді, коли множина їїрішень є підмножиною множини рішень деякої лінійної стаціонарної системи.
В 1-2 м пунктах розглядається вложима система, з відомим типом крапок спокою. Далі перевіряємо чи є x і y загальним рішеннямнашої системи рівнянь.
В 3-м ми знаходимо перший інтеграл системи й перевіряємовиконання тотожності.
В 4-м пункті досліджуємо функції, що відбивають
В 5-м пункті застосовуємо теорему про еквівалентністьдиференціальних систем
1. Визначення вложимої системи. Умовивложимості
Розглянемо диференціальну систему
/> /> />D. (1)
Будемо називати i-ю компоненту x/>системи (1) вложимої, якщодля будь-якого рішення x (t) = (x/>(t),…,x/>(t)),t/>, цієї системи функція x/>t/>, є многочленом.У такий спосіб i-я компонента системи (1) вложима тоді й тільки тоді, коли для кожногорішення x (t) цієї системи існує лінійне стаціонарне рівняння виду
/>
/>/>, (2)
для якого/>є рішенням. Загалом кажучи, порядокі коефіцієнти рівняння (2) залежать від вибору рішення />. В окремому випадку, коли компонента/> будь-якогорішення /> системи(1) є одночасно й рішенням деякого, загального для всіх рішень /> рівняння (2), компоненту/>системи (1)будемо називати сильно вложимої у рівняння (2).
2. Загальне рішення системи
Розглянемо вложиму систему
/> (1)
(b>0 і а-постійні) із загальним рішенням
/>, якщо з/>0;
x=0, y=at+c/>, якщо з=0, де постійні з, з/>, зі/>зв'язані співвідношеннямз/>(b+c/>+c/>) =a/>, має два центрив крапках/>/>і />. />Рішення:
Підставимо загальне рішення
/>
у нашу систему (1) одержимо
/>
/>/>
=/>
/> =c (c/>cosct-c/>sinct) =/>
a-/>/>
Для стислості розпишемо знаменник і перетворимо
x/>+y/>
+b=/>
/>/>
/>
/>/>
=a+c (c/>sinct+c/>cosct)
a-/>/>
/>
Одержуємо, що x і y є загальним рішенням системи.
3. Знаходження першого інтеграла диференціальноїсистеми й умови його існування
Розглянемо систему />= f (t, x), x= (x/>,…,x/>), (t,x) /> (1) с безперервноїв області D функцією f. Функція U (t, x), задана в деякої під області G областіD, називається першим інтегралом системи (1) в області G, якщо для будь-якогорішення x (t), t/>, системи (1), графік якого розташованийв G функція U (t, x (t)), t/>, постійна, тобто U (t, x (t)) залежитьтільки від вибору рішення x (t) і не залежить від t.
Нехай V (t, x), V: G/>R, є деяка функція. Похіднійвід функції V у силу системи (1) назвемо функцію V/>V/>R, обумовлену рівністю
V/>(t, x (t)) /> t/>.
Лема 1.
Для будь-якого рішення x (t), t/>, системи (1), графік якогорозташований в G, має місце тотожність
V/>/>t/>.
Без доказу.
Лема 2.
Функція U (t, x), U: G/>R, являє собою перший інтегралсистеми (1) тоді й тільки тоді, коли похідна U/>у силу системи (1) тотожно в G звертаєтьсяв нуль.
Необхідність. Нехай U (t, x) є перший інтегралсистеми (1). Тоді для будь-якого рішення x (t) цієї системи, застосовуючи лему 1будемо мати тотожності
U/>/>/>
Звідки при t=t/>одержимо рівність U/>(t/>справедливе при всіх значенняхt/>і x (t/>). Необхідність доведена.
Достатність. Нехай тепер U/>при всіх (t, x) /> Тоді для будь-якогорішення x (t) системи (1) на підставі леми 1 будемо мати тотожності
/>
а з ним і достатність.
З визначення першого інтеграла треба, що постійнана G функція також є першим інтегралом системи (1). Перший інтеграл U (t, x) будемоназивати на G, якщо при всіх (t, x) /> виконується нерівність.
/>
Функцію U (x) будемо називати стаціонарним першимінтегралом системи (1), якщо вона не залежить від t і є першим інтегралом системи(1).
Знайдемо перший інтеграл нашої системи:
/>
Піднесемо до квадрата й виразимо з
/>
y/>
/>
/>
/>
/>
Покладемо />, одержимо
/>
/>
/>
/>
/>
Перевіримо, що функція />/> - це перший інтеграл системи (1),тобто перевіримо виконання тотожності /> (2)
Знайдемо похідні по t, x, y
/> /> />
/>/>
/>/>/>/>
/>/>
Після вище зроблених перетворень одержуємо, щофункція />/> - це перший інтегралсистеми (1), 2) Покладемо />, тобто />, де />, Q/>/>
3) Перевіримо виконання тотожності:
/> (3), де />
Перетворимо (3).
/> [у нашім випадку />] =
/>/>
/>/>=/>
[з огляду на всі зроблені позначення] =
=/>
=/>
=/>
[через те, що />котре у свою чергу як ми вже показалиїсти тотожний нуль] />
Таким чином, тотожність (3) щире.
/>4. Функція, що відбиває
Визначення. Розглянемо систему
/> (5)
вважає, що права частина якої безперервна й маєбезперервні частки похідні по />. Загальне рішення у формі Коші позначенийчерез />). Через/>позначимо інтерваліснування рішення />. Нехай
/>
функцією, що відбиває,системи (5) назвемо функцію />, обумовлену формулою
/>
Для функції, що відбиває, справедливі властивості: длябудь-якого рішення />системи (5) вірна тотожність
/>
для функції, що відбиває, F будь-якої системи виконанітотожності
/>
3) функція /> буде функцією, що відбиває, системи(5) тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь у частинних похідних
/>
і початковій умові
/>5. Застосування теореми про еквівалентністьдиференціальних систем
Одержуємо /> де /> - будь-яка непарна безперервна функція.
Поряд з диференціальною системою /> (1) розглянемообурену систему/>(2), де /> - будь-яка безперервна непарна функція.Відомо по [3], що диференціальна система /> /> /> (3) еквівалентна обуреній системі/> /> /> (4), де />безперервна скалярна непарнафункція задовольняючому рівнянню />
Тому що вище вже показано, що функція /> де /> {є перший інтеграл}задовольняє цьому рівнянню, те справедлива наступна теорема.
Теорема 1.
Система /> (1) еквівалентна системі /> (2) у змісті збігуфункції, що відбиває.
Тому що система /> (1) має дві особливі крапки, у кожнійз яких перебуває центр, те й система /> (2) має центри в цих крапках.
Висновок
У даній курсовій роботі розглянута вложима системаз відомим типом крапок спокою, перевірене задоволення загального рішення нашій системі,знайдені перший інтеграл і перевірений виконання тотожності, потім за допомогоютеореми 1 доведена еквівалентність диференціальних систем. Сформульовано визначеннявложимої системи, першого інтеграла, що відбиває функції й загальні властивостіфункції, що відбиває. Сформульована теорема за допомогою якої ми довели еквівалентністьнашої системи з диференціальною системою.
Список джерел
1. Мироненко В.І. Лінійна залежність функцій уздовж рішеньдиференціальних рівнянь. — К., 2001.
2. Мироненко В.І. Функція, що відбиває, і періодичні рішеннядиференціальних рівнянь. — К., 2004.
3. Мироненко В.І. Збурювання диференціальних систем, щоне змінюють тимчасових симетрій. — К., 2004 р.