Вступ
На сьогоднішній день в широких колах користувачів обчислювальних машинстав досить популярним і широко використовуваним термін «комп'ютернаматематика». Дане поняття включає сукупність як теоретичнихі методичних засобів, так і сучасних програмних і апаратних засобів [10].
Попит на універсальні і спеціалізовані програмні пакети для вирішеннярізних прикладних завдань викликав появу на ринку програмних продуктів системкомп'ютерної математики (СКМ), які швидко стали популярними.
В останні роки в процес математичної освіти дедалі наполегливіше іуспішніше впроваджуються такі системи, як DERIVE, MatLab, Maple, MuPAD, Mathematica таін. Вони звільняють користувача від проведеннягроміздких, рутинних викладок, однотипних обчислень і дозволяє зосередитисябезпосередньо на аналізі модельованого явища. Діалог з пакетом СКМ відбувається на доситьприродній мові, використовуються традиційні позначення і способи написанняформул. Безсумнівним достоїнством сучасних СКМ єпрекрасні графічні можливості, що дозволяє зробити наочними багато математичнихпонять і методів.
У викладацькомусередовищі математиків існує обґрунтоване побоювання, що використання системкомп'ютерної математики «зіпсує» математичну підготовку студентів,подібно до того, як «калькулятор розучив їх рахувати». Вихід бачиться у роз'ясненні призначеннята використання СКМ. Очевидно, щоуспішне використання СКМ можливо лише за умови знання основ математики. Більше того, щоб використати всіможливості таких пакетів як MatLab, Maple, Mathematica потрібна дужа високаматематична культура [7, c. 3].
А також, призалученні СКМ для обчислень потрібно пам'ятати, що використовуватиобчислювальну систему не завжди просто. Для одних і тих же завдань система можепропонувати кілька варіантів виконання, і студент, який застосовує систему,повинен вміти вибрати найбільш ефективний варіант. Далі, будь-яка система комп'ютерноїматематики не застрахована від локальних помилок, і користувач повиненпам'ятати про способи контролю проведених обчислень. Тобто потрібно, в певному сенсі, вмітивідслідковувати процес виконання перетворень. Також потрібно мати уявлення про способиподання даних в СКМ.
В даній курсовійроботі об'єктом дослідження є процес вивчення математичного аналізу.
Предметом дослідження – використання СКМ Wolfram Mathematicaпри вивченні математичного аналізу.
Мета даної роботи – продемонструвати можливості системи WolframMathematica при вивчені математичного аналізу.
Актуальність роботи полягає в тому, що задопомогою системи WM, студент можесамостійно перевіряти себе, тобто, контролювати рівень формування навичок іумінь, представляти результати у найбільш наочній формі, будувати без труднощів складнітривимірні поверхні і т.д. При цьому звільняти час для обдумування алгоритмів, більш глибокого вивчення математичної сутності розв'язуваних задач і їх рішень різними методами.
Для досягнення поставленої мети визначенінаступні задачі:
1. розглянути програму навчальної дисципліни«Математичний аналіз» та самостійну роботу студентів по цій дисципліні;
2. розглянути та проаналізувати сучасні СКМ;
3. розглянути загальні відомості про систему Wolfram Mathematica;
4. розглянути особливості та інтерфейс системи WM;
5. продемонструвати обчислення границь функцій уWM;
6. продемонструвати обчислення похідних і інтеграліву WM;
7. продемонструвати побудову графіків наплоскості та у просторі в WM;
8. продемонструвати розкладання функцій в рядиТейлора і Маклорена.
9. Розділ 1. Теоретичні аспекти математичногоаналізу та системи Wolram Mathematica
1.1 Деякі відомості математичногоаналізу
Математичний аналіз займає центральне місце вряду математичних і технічних дисциплін, які вивчаються. Він є базою, стартовимматеріалом для їх розуміння та засвоювання.
В процесі навчання математичного аналізустуденти отримують знання та навички як найпростішого, так і складного аналізу.Вони вчаться використовувати методи диференціального та інтегрального численняфункцій однієї або декількох змінних. Широко ознайомлюються з дослідженнямифункцій та способами їх представлення, вивчають різноманітні прийоми таоператори для логічного та грамотного запису виразів. Більш повний зміст курсупредставлений у програмі навчальної дисципліни «Математичний аналіз»,яка приведена у додатку 1.
Методи математичного аналізу, засновані надоказах теорем, лем, наслідках та ін., привчають студентів до строгостіматематичного мислення, абстрактності в підходах до розв’язання задач, добачення та прогнозування аналогових ситуацій. Оволодіння методами математичногоаналізу дозволяє використовувати їх в дослідницьких та практичних цілях,домагаючись реальності результатів та необхідної точності розрахунків [6, c. 3].
Міцне засвоєння сучасних математичних методівдає змогу випускнику університету розв’язувати в своїй діяльності актуальніпрактичні задачі та розуміти написані на сучасному науковому рівні результатиінших дослідників і тим самим удосконалювати свою проф. майстерність [6, c. 4].
Однак, курс математичного аналізу дуже широкийі складний, він охоплює великий об’єм матеріалу. Проте, виділених годин напрактичні заняття не достатньо для якісного засвоєння необхідного матеріалу тадля формування навичок і умінь по цій дисципліні. Тому, приблизно 1/3відводиться на самостійну роботу студентів.
Самостійна навчальна робота не лише формує устудентів навички і вміння самостійного здобування знань, що важливо дляздійснення неперервної освіти протягом усієї подальшої трудової діяльності, а ймає важливе виховне значення, оскільки формує самостійність як рису характеру,що відіграє істотну роль у структурі особистості сучасного спеціаліст вищоїкваліфікації.
Вагомим підґрунтям для самостійної роботи маєстати лекція, на якій викладач не просто закликає до самостійної роботи, а йпорушує проблеми, пропонує конкретні завдання, рекомендує певну літературу чисистеми комп’ютерної математики, визначає час для виконання роботи, повідомляєвиди й терміни її контролю, наголошує на можливості отримати консультацію [8,c. 126].
Використання СКМ у самостійній роботістудентів при вивчені математичного аналізу дає змогу поєднати високіобчислювальні можливості з перевагами графічного подання інформації. Це сприяєрозвиткові геометричної інтуїції, графічних навичок, евристичної діяльностістудентів і дає змогу враховувати їхні індивідуальні здібності. Також системикомп’ютерної математики можна паралельно використовувати як потужні електроннідовідники з великою кількістю прикладів [8, c.140].
1.2 Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп’ютерноїматематики
Нові інформаційні технології докорінно змінили порядоквирішення математичних завдань. Тепер рішення завдань і виконання математичнихперетворень доцільно проводити за допомогою спеціальних програм. Саме огляду і короткому аналізу такихпрограмних продуктів і присвячений даний підрозділ [4, c. 15].
За функціональністю сучасні математичні системи ділятьсяв цілому на дві категорії: пакети, призначені в основному для чисельнихрозрахунків (MatLab, S-PLUS) і системи комп’ютерної алгебри (Derive,Mathematica, Maple, Macsyma, частково, MathCad) – вони також називаються системамисимвольних чи аналітичних обчислень (Symbolic Manipulation Program). Це найбільш універсальні математичніпрограми, здатні вирішувати най різноманітні задачі, причому як чисельно, так іточно – аналітично [11].
Опис та особливості системи Mathematica будутьрозглянуті в підрозділі 1.3.
1) DERIVE
Система Derive, повна назва якої Derive a MathematicalAssistant (математичний помічник Derive), фірми Soft Warehouse, Inc., являєтьсямаловимогливим до ресурсів пакетом символьної математики, орієнтованим в першучергу на студентів та шкільних викладачів. Однак він з успіхом використовуєтьсятакож для серйозних наукових досліджень [3, c. 11].
Derive є зручним інструментом при диференціюванні,інтегруванні, розкладанні функцій в ряди, знаходженні границь. Система має повний набір вбудованихелементарних функцій, а також безліч статистичних і спеціальних математичнихфункцій. Системадозволяє працювати з матрицями, проводити перетворення Фур’є і Лапласа. Здатність системи працювати зкомплексними числами робить її привабливою для радіотехнічних іелектротехнічних розрахунків. Загалом,можливості системи повністю покривають потреби класичних курсів елементарної тавищої математики [1, c. 23].
2) MAPLE
Даний продукт компанії Waterloo Maple Software, Inc. (http://www.maplesoft.com/), дозволяєвиконувати як чисельні, так і аналітичні розрахунки з можливістю редагуваннятексту і формул на робочому аркуші. Завдяки представленню формул вполіграфічному форматі, чудовою двовимірної і тривимірної графіки та анімаціїMaple є одночасно і потужним науковим графічним редактором.
Проста і ефективна мова-інтерпретатор, відкритаархітектура, можливість перетворення кодів Maple в коди C робить його дужеефективним засобом створення нових алгоритмів. Володіє інтуїтивно зрозумілим інтерфейсом, простимиправилами роботи і широким функціоналом, цей продукт вже завоював популярністьу російських математиків та інженерів. Найближчимконкурентом Maple є пакет Mathematica фірми Wolfram Research.
3) MATHСAD
Це інтегроване середовище для виконання, документування та обмінурезультатами технічних обчислень від компанії MathSoft, Inc. (http://www.mathsoft.com/). Системамає зручний інтерфейс, добре розвинені засоби допомоги і велику довідкову базу. Mathсad служить засобом обчислень, аналізу танаписання звітів для професіоналів у всіх галузях науки і техніки. Барвистідво- і тривимірні графіки будуються миттєво і з автоматичним вибором масштабу. Продуктпростий у використанні і не викликає проблем при навчанні [10].
Система Mathcad спочатку була орієнтована на чисельні розрахунки, але вданий час, у зв’язку з інтеграцією з Maple, система набула широкі можливостідля символьних перетворень [7, c. 27].
Багато проблем, що виникають при роботі з Mathcad,знімаються завдяки наявності електронних підручників та можливості підключеннядо глобальної Мережі Інтернет, через яку користувач отримує доступ до сервера,на якому можна знайти приклад вирішення подібного завдання.
4) MACSYMA
Macsyma від компанії Macsyma, Inc.( www.macsyma.com/) – це одна з перших математичнихпрограм, які оперують символьною математикою. Сильна сторона Macsyma – розвинутийапарат лінійної алгебри та диференціальних рівнянь. Система орієнтована на прикладнірозрахунки і не призначена для теоретичних досліджень у галузі математики. У зв’язку з цим в програмі відсутніабо скорочені розділи, пов’язані з теоретичними методами (теорія чисел, теоріягруп, та _пе.)
Macsyma має дуже зручний інтерфейс. Робочим документом програми єнауковий зошит, в якому містяться доступні для редагування поля тексту, команд,формул і графіків. Відмінноюособливістю пакету є сумісність з текстовим редактором Microsoft Word. Майжевсі команди Macsyma в бібліотечних файлах завантажуються автоматично; дужезручно і вікно перегляду (браузер) математичних функцій. Macsyma генерує коди FORTRANа і C, включаючи керуючіоператори [10].
5) MATLAB
MATLAB (MATrix LABoratory – матрична лабораторія) –продукт компанії MathWorks, Inc. (http://www.mathwork.com/), що представляєсобою мову високого рівня для науково-технічних обчислень.
В основу створення системи MATLAB покладено принципрозширюваності, що дозволяє адаптувати систему під завдання користувача. Сутність цього принципу полягає в тому, що користувачможе створювати практично необмежену кількість власних функцій, якізберігаються на жорсткому диску ЕОМ.
Основні області застосування MATLAB – це математичнірозрахунки, розробка алгоритмів, моделювання, аналіз даних і візуалізація,наукова та інженерна графіка, розробка програм, включаючи графічний інтерфейскористувача.
Мультиплатформеність MATLAB зробила його одним знайпоширеніших продуктів – він фактично став прийнятими в усьому світістандартом технічних обчислень [10].
Програма MATLAB в основному призначена для чисельногомоделювання систем, однак починаючи з версії 5.0 містить спеціальний модульMatLab Notebook для оформлення документів, а також придбаний модуль символьноїбібліотеки програми Maple V для виконання аналітичних перетворень [1, c. 30].
6) S-PLUS
S-PLUS – продукт компанії Insightful Corporation(http://www.insightful.com/), раніше відомої як підрозділ MathSoft, яка нині єодним зі світових лідерів у сфері статистичного аналізу даних, візуалізації тапрогнозування.
S-PLUS представляє собою інтерактивне комп’ютернесередовище, яке забезпечує повнофункціональний графічний аналіз даних і включаєоригінальну об’єктно-орієнтовану мову. До основних переваг S-PLUSвідносяться неперевершена функціональність, можливість інтерактивноговізуального аналізу даних, методи підготовки аналізованих даних, простотавикористання найсучасніших статистичних методів, потужні обчислювальніможливості, розширюваний набір статистичних методів і гнучкий інтерфейс користувача[10].
1.3 Загальні відомостіпро систему Wolfram Mathematica
Система Mathematica створена американською компанієюWolfram Research, Inc., голова і засновник якої – відомий фізик і математикСтефан Вольфрам (Stephen Wolfram) – є основним автором розробки. Ще в 70-х роках молодий дослідник (С.Вольфрам народився в 1959 році), працюючи в різних галузях фізики, звернувувагу на те, що вченим дуже часто зустрічаються схожі комплекси громіздкихматематичних викладок, які віднімають багато часу. Проводити такі обчислення в той часможна було або «в лоб» – озброївшись ручкою і зошитом, або за допомогою «замовних»комп’ютерних програм вузької спеціалізації [12].
Поставивши собі за мету забезпечити вчених продуктивним математичнимінструментом, Вольфрам зібрав колектив розробників для визначення архітектуринової (як тепер кажуть, повністю ексклюзивної) комп’ютерної системи. Далекогляднаконцепція системи Mathematica полягало у створенні раз і назавжди такої системисимвольної математики, в якій можна було б обробляти найрізноманітніші аспектитехнічних обчислень і не тільки, когерентним і єдиним чином. Ключовимінтелектуальним досягненням, завдяки якому це стало можливо, стало створеннянового виду символічної комп’ютерної мови, яка вперше змогла маніпулюватинайширшим діапазоном об’єктів, необхідних для досягнення універсальності, обов’язковихдля технічних обчислень, використовуючи при цьому лише невелику кількістьпримітивів [13].
У серпні 1987 року була заснована Wolfram Research, анаступного року – у червні 1988 року – офіційно вийшла перша версія системиMathematica на платформі Macintosh. Програма одразу ж отримала дуже гарнівідгуки з боку провідних (і не тільки математичних) видань світу. Ще менш ніж через півроку з’явиласяверсія Mathematica для комп’ютерів з MS-DOS.З тих пір були розроблені версіїсистеми для Microsoft Windows, Windows NT, OS/2, Linux, Unix, Convex і т.д. – всього більше ніж для 20операційних систем і апаратних засобів.
У 1991 році фірма Wolfram Research представила другуверсію Mathematica, що включає в себе вдосконалену мову програмування,компілятор і можливість використання готових звукових схем. Третя версія, випущена в 1996 році,представила Mathematica як пакет з новим, простим у використанні інтерфейсом зкнопками та палітрами [13].
Спочатку, вплив системи Mathematica відчувався у фізиці,математиці та інженерних дисциплінах. Але з роками, система Mathematica стала активновикористовуватися в набагато ширшому діапазоні областей знань, що виходять зарамки технічних. Система Mathematica використовується сьогоднів різних дисциплінах – фізиці, біології, соціальних та інших науках. Вона зігралавирішальну роль у багатьох важливих відкриттях і стала основою для тисячтехнічних документів. У комерційній діяльності система Mathematicaграє важливу роль у розвитку складного фінансового моделювання і в даний часшироко використовується в багатьох видах загального планування та аналізу. СистемаMathematica також є важливим інструментом у галузі інформатики і в розробціпрограмного забезпечення – її мовний компонент широко використовується яксередовище для проведення досліджень, написання прототипів, і в створенніінтерфейсів.
Найбільша частина користувачів системи Mathematica складається з фахівцівтехнічних та інших галузей знань. Однак системаMathematica також широко застосовується в освіті і зараз сотні курсів, відсередньої школи до аспірантури, засновані на її використанні. Дотого ж, після появи студентської версії, Mathematica стала популярним іпрестижним інструментом для студентів у всьому світі[2, c. 102].
З тих пір, як була випущена перша версія Mathematica,кількість користувачів системи неухильно зростає і зараз їх загальна кількістьналічує мільйони. Сьогоднівона використовується всіма компаніями зі списку Fortune 50, в усіх 15-тидепартаментах уряду США, і в кожному з 50-ти найбільших університетах світу.
Протягом багатьох років спільність базового дизайну системи Mathematicaнеухильно дозволяла їй розширювати сфери її області впливу. Поступово,система Mathematica пройшла шлях від програми, яка використовується переважнодля математичних та технічних розрахунків до інструменту, широкозастосовуваного у різних інших областях обчислювальних дисциплін [13].1.4 Особливостісистеми Wolfram Mathematica
З перших кроків і до остаточного результату Mathematicaволодіє швидким та інтуїтивно-зрозумілим управлінням. Mathematica допомагає швидкопросуватися до рішення при використанні її безпосередньо як інструментобчислень або ж як потужну систему моделювання.
Для того, хто зібрався вперше попрацювати з Mathematica,труднощі можуть розпочатися негайно. Все, що система пропонує при запуску,- це чисте робоче вікно нового блокнота. Однак досить невеликого досвідуроботи з комп’ютером, щоб поступово освоїтися і вже незабаром визнати – заширотою охоплення математичного матеріалу, за можливостями оформлення робочихдокументів і, особливо, по частині інтерфейсу Mathematica як мінімум непоступається всім іншим математичним системам разом взятих.
Вбудовані підказки й інтегрована допомога допомагають швидко початироботу. Вводячи необхідні числа і символи можнавикористовувати традиційну систему запису [9].
Однією з особливостей програми є назва стандартнихфункцій повними іменами без скорочень. Це дозволяє (при певному рівні знанняматематичної англійської мови) дуже швидко знаходити потрібні функції.
Mathematica не тільки може виконувати необхідніобчислення, але й у багатьох випадках вона вибере оптимальний спосіб проведенняобчислень. Все що потрібно зробити – це визначити завдання; Mathematica ховаєвсі складні механічні аспекти вирішення, дозволяючи концентруватисябезпосередньо на завданні.
Mathematica однаково добре справляється з завданнямирізної складності і масштабів, це щось більше, ніж звичайна script-мова. Можнасказати, що система Mathematica написана на мові Mathematica, хоча деякіфункції, особливо пов’язані з лінійною алгеброю, з метою оптимізації булинаписані мовою C [5, c.15].
Система Mathematica складається з ядра (обчислювальниймеханізм) і зовнішньої оболонки (візуальний інтерфейс), які взаємодіють черезпротокол MathLink. Ці компоненти можуть з’єднуватися самими різними шляхами. Інші компоненти, які використовують MathLink,можуть мати можливість взаємодіяти з Mathematica.
Бібліотека програм Mathematica – це постійно розширювальназбірка складного програмного забезпечення, яка створена для вирішення технічнихі обчислювальних завдань для різних специфічних областей. Кожний додаток програми було створено фахівцем у своїйгалузі, який знає, як застосувати обчислювальні можливості Mathematica длявирішення щоденних завдань [13].
Основні можливості системи Mathematica наведені у додатку 2.
Величезним достоїнством програми Wolfram Mathematica є потужнадовідкова система, яка дозволяє уточнити призначення будь-якої функції,оператора або службового слова системи і поступово знайомить з її можливостями. Однак вона включає в себе не тількидуже якісний опис функцій з прикладами, а також підручник. У ній є всі матеріали для тих хтотільки починає роботу з програмою, і для тих хто працює з нею дуже давно. Але є один недолік – вся програма ідовідкова система написані виключно англійською мовою. Тому ця довідкова система непретендує на роль навчальної системи і незручна для знайомства з системоюMathematica [9]. 1.5 Інтерфейс системи Wolfram Mathematica
Після установки пакета в головному меню створюються ярлики на два файли:Mathematica і Mathematica Kernel. Справа в тому, щоярлик Mathematica Kernel запускає ядро пакету, яке робить всі обчислення, аярлик Mathematica запускає інтерфейсну частину пакету.
Інтерфейс системи Mathematica реалізує відображення вікон, палітр,панелей інструментів, знаків і розташування їх у різному вигляді і в різнихмісцях екрану монітора. Типовий робочий вид програми показано на рис.1.4.1. Він складається зосновного меню програми (у верхній частині екрана), вікна робочого документаабо «блокноту» (notebook) і панелі (палітри) для введення _пец символів ізнаків найбільш вживаних математичних операцій (в Mathematica є можливістьвиклику ще шести стандартних панелей, крім того, користувач самможе створити подібну панель з набором потрібних йому _пец символів і команд)[12].
Основне меню програми містить кілька сотень найменувань пунктів меню,підменю, команд, функцій. Вивчити їх відразу неможливо: з короткогоопису не можна зрозуміти зміст. Зміст пунктівменю, підменю, команд можна зрозуміти тільки в процесі роботи з системою.
Вікно робочого документа або блокнот складається з комірок. Грубо коміркуможна порівняти з параграфом у текстовому редакторі. Вся інформація,яка є в блокноті, зберігатися в його комірках. Як тільки впорожньому новому файлі набирається хоча б один символ, Mathematica створитьдля нього комірку. Комірка також є мінімальною одиницею, якуможна обчислити. Тобто, якщо у комірці є дві формули, обчислитиїх окремо не вийде. Усі комірки можна розділити на три типи:
• коміркивведення – в них задаються команди (формули), які будуть обчислені;
• коміркирезультату – у них Mathematica виводить результат обчислень;
• не обчислюванікомірки – комірки з текстом, заголовки і все інше, що вводить користувач іобчислювати не треба [7, c. 59].
Будь-які клітинкиможна об’єднувати і розбивати за допомогою команд меню Cell: Divide Cell(розбити клітинку) і Merge Cells (об’єднати комірки).
Введення данихздійснюється в комірки. Пакет підтримує кирилицю і грецькі літери нарівні занглійським алфавітом. Можнаназивати змінні російськими літерами, також як і грецькими. У той же час, ідентифікатори розрізняютьсяпо регістру, тобто змінна A нете саме, що змінна a.
Для швидкогодоступу до функцій, розробники Mathematica ввели спеціальні типи вікон, якіназиваються палітрами. Палітримістять вікна з кнопками, які виконують дії. Дії можуть бути абсолютно різними: віддодавання грецької букви, до розкриття дужок у алгебраїчному виразі. Різні палітри доступні через меню Palettes. Огляд стандартних палітр можна знайти удодатку 3 [12].
WolframMathematica має розвинені засоби форматування тексту. За допомогою їх можна розбивати блокнот наглави і розділи, вводити пояснювальний текст і т.д. Стиліможна задати як всьому блокноту, так і окремій комірці цілком, або частково. Такожможна змінити відображення всіх стандартних стилів і додати нові.
Розділ 2. Використаннясистеми Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу
2.1 Обчислення границь функції
wolfram mathematicaматематичний аналіз функція
Багато функцій при наближенні аргументу до деякогозначення або до деякої області значень прагнуть до певної границі. Так, функція sin(x)/x при х, якапрагне до нуля (позначимо це як х→ 0), дає границю 1 у вигляді усувноїневизначеності 0/0.
Чисельні математичні системи, так само як і більшістьпрограм на звичайних мовах програмування, не сприймають вираз 0/ 0 → 1 якоб'єктивну реальність. Їхзахисний механізм налаштований на примітивне правило — нічого не можна ділитина 0. Отже,обчислення sin(x)/x при х = 0 буде супроводжуватися видачею помилки типу «Діленняна 0». Звичайно,в даному конкретному випадку можна передбачити особливий результат – видати 1при х = 0. Але це окремийвипадок. У цілому ж подібні системи «не розуміють»поняття границі.
У системі Mathematica границі визначаються за допомогою вбудованоїфункції Limit, яка має вигляд:
Limit [f(х), х → х0],
де:
• f (х) — функція, границю якої необхідно визначити;
• х — аргумент функції f(х);
• х0 — граничнезначення х.
На рис. 2.1.1 представлені прикладизастосування функції Limit. Цяфункція дозволяє не тільки чисельно знаходить границі функцій, заданиханалітично, але і дозволяє знайти границю у вигляді математичного виразу. Це свідчить про високі інтелектуальні можливості системи Mathematica.
При роботі з функцією Limit використовуються наступні опції:
• Analytic – вказує, чи є невідома функція аналітичною. Опціявикористовується у вигляді Analytic→True (або False), значення зазамовчуванням – Automatic. Великого практичного значення ця опція не має;
• Direction — вказує напрямок, в якому відбувається наближення до границі. Опціявикористовується у вигляді Direction→-1 (або +1), за замовчуванням вибірзалишається за системою (Automatic). Значення +1означає границю ліворуч, а -1 – праворуч (здавалося б, повинно бути навпаки,але задано саме так).
Застосування опції Direction пояснюють приклади, показані на рис. 2.1.2.
З прикладів видно, що границі при наближенні до них зліва і справа різні. Графік даєпояснення наближень і відповідей. З графіка видно,що функція має розрив безперервності і при наближенні до нього ліворуч (+1),границею буде від’ємне значення функції (-π / 2), і при наближенніправоруч (-1) – позитивне (π / 2). 2.2 Обчислення похідних
До числа найбільш часто використовуваних математичних операцій належитьобчислення похідних функцій як в аналітичній, так і в символьній формі. Для цьоговикористовуються такі функції:
• D [f, х] – повертає частинну похідну функції f по змінній х;
• D [f, {х, n}] – повертає частинну похідну n-го порядку по х;
• D [f, xl, х2 ,...] – повертає змішану похідну;
• Dt [f, х] – повертає узагальнену похідну функції f по змінній х;
• Dt [f] – повертає повний диференціал f.
Для функції D існує опція NonConstants, яка дозволяє задати списокоб'єктів, що знаходяться в неявній залежності від змінних диференціювання. За замовчаннямцей список порожній. Для функції Dt є опція Constants, яка,навпаки, вказує символи, які є константами (за замовчанням їх список такожпорожній). На практиці застосовувати дані опції приходитьсярідко.
Існує ще одна функція, Derivative [nl, n2 ,...] [f], — основна (загальна)форма подання функції, отриманої в результаті nl-кратного диференціюванняфункції f по першому аргументу, n2-кратного — по другому аргументу і т. д.
Приклади застосування функції D і Dt для обчислення похідних ваналітичному вигляді показані на рис. 2.2.1 й рис.2.2.2, відповідно.
Приклади на рис. 2.2.3 ілюструють обчислення похіднихвід першого до третього порядку включно для функції f[х], заданої користувачем.
З останнього прикладу видно, що для обчислення вищихпохідних можливе послідовне застосування функції D.
У цілому засоби для символьного обчислення похідних, якіє в ядрі системи Mathematica, охоплюють практично всі важливі типи математичнихвиразів. Вониможуть включати в себе як елементарні, так і спеціальні математичні функції, щовигідно відрізняє систему Mathematica від деяких простих систем символьноїматематики, таких як Derive.
3. Обчислення інтегралів
Одна з найважливіших операцій – обчислення первісних і визначенихінтегралів у символьному вигляді. Зауважимо, що визначений інтеграл може бутипредставлений як аналітичним, так і чисельним значенням. Для обчислення чисельних значень визначенихінтегралів розроблено ряд наближених методів – від простих (прямокутників ітрапецій) до складних, які автоматично адаптуються до характеру змінипідінтегральної функції f(x).
Для інтегрування в системі Mathematica використовуютьсянаступні функції:
• Integrate [f, x] – повертає первісну (невизначений інтеграл)підінтегральної функції f по змінній х;
• Integrate [f, {x, xmin, xmax}] – повертає значення визначеного інтеграла з межами від xminдо xmax;
• Integrate [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax },...] – повертає значеннякратного інтеграла з межами від xminдо xmaxпо змінній х, відyminдо ymaxпо змінній у і т. д.
Для більш зручного вживання цих функцій, також як і для похідної іграниці, існують кнопки з відповідними значками на палітрі Basic Math Assistant/>.
Приклади обчислення невизначених інтегралів представлені на рис. 2.3.1.
Тут вхідна комірка у першому прикладіпредставлена у форматі введення (Input-Form), а в інших прикладах – в стандартномуформаті (StandardForm), при використанні палітри. При записі інтегралів останній формат кращий зважаючи нанаочності, оскільки при цьому знаки інтеграла мають природний математичнийвигляд.
Наступна серія прикладів (рис. 2.3.2) ілюструє обчислення визначенихінтегралів звичайного виду та інтегралів з межами-функціями.
Система Mathematica має найширші можливості обчислення інтегралів. Ядросистеми увібрало в себе формули інтегрування з усіх відомих довідників.
Mathematica здатна обчислювати навіть кратні інтеграли зфіксованими і змінними, верхнім або нижнім, межами.
На рис. 2.3.3 представлено обчислення декількохподвійних визначених інтегралів. Хоча обчисленняподвійного інтеграла передбачено в синтаксисі функції Integrate, це не завждидає результат. Як правило, обчислення кратних інтегралівкраще виробляти, використовуючи послідовне обчислення однократних інтегралів,вкладених один в одного.
При обчисленні складних інтегралів, наприклад які не мають представленнячерез елементарні функції, система Mathematica 2 зверталася до своїх пакетіврозширень в спробі знайти рішення, яке може бути представлене через спеціальніматематичні функції. Mathematica наступних версій вже не акцентуєувагу користувача на свої проблеми і, як правило, видає результат інтегрування. Однак деколи вінможе мати досить незвичайний вигляд (рис. 2.3.4).
Ці приклади наочно показують, що обчислення первісних всистемі може дати результати, далекі від тривіального обчислення невизначенихінтегралів, приведених у звичайних довідниках з математики. До речі, і при обчисленні тривіальнихінтегралів результат може бути іншим, ніж у довідниках, із-за різнихперетворень, застосованих для отримання кінцевих формул. Часом можуть знадобитися певнізусилля для отримання результату в заданій формі. Як підінтегральний вираз, так ірезультати обчислень можуть містити як елементарні, так і спеціальніматематичні функції.
Необхідно зазначити, що результати символьногоінтегрування в системах Mathematica різних версій нерідко різняться. Більшетого, вони можуть різнитися і в межах однієї версії Mathematica, так як ядросистеми постійно вдосконалюється. Звичайно більш пізні версії даютьбільш точні результати обчислень особливих інтегралів, хоча часом вони івиглядають більш складними і навіть незвичайними. Це говорить про необхідність вдумливоставитися до одержуваних результатів.
Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів використовується функція NIntegrate [f, {x,xmin, xmax}], яка повертає чисельне наближення інтеграла від функції f позмінній х в межах від xminдо xmax.
Вона має ряд опцій, які можна отримати, виконавшикоманду Options [Nlntegrate]. Наведемо приклади чисельного інтегрування (рис.2.3.5).
Ці приклади показують, що функція NIntegrate з успіхом можезастосовуватися для обчислення як однократних, так і багатократних визначенихінтегралів, в тому числі зі змінними межами.
4. Побудоваграфіків на площині
У відношенні графіки система Mathematica є лідером серед системкомп'ютерної алгебри. Велика кількість опцій дозволяє оформляти графічні образипрактично в будь-якому бажаному вигляді.
Графіки в системі Mathematica є об'єктами і тому вони можуть бутизначеннями змінних.
Почнемо розгляд графічних можливостей системи з побудови найпростішихграфіків функцій однієї змінної виду у = f (x) або просто f (x). Графік таких функцій будується на площині,тобто в двовимірному просторі. При цьомувикористовується прямокутна (декартова) система координат. За замовчуванням будуються і лініїкоординатної системи.
Для побудовидвовимірних графіків функцій виду f(x) використовується вбудована в ядро функція Plot:
Plot [f, {x,xmin, xmax}] – повертає об'єкт, що представляє собою графік функції f аргументух в інтервалі від xmin до xmax;
Plot [{f1, f2,...}, {x, xmin, xmax}] – повертає об'єкт у вигляді графіків ряду функцій fi.
Функція Plotвикористовується для побудови однієї або кількох ліній, що дають графічнепредставлення для зазначених функцій f, f1, f2 і т. д. Приклади застосуванняфункції Plot показані на рис. 2.4.1.Зауважимо,що графіки побудовані без використання будь-яких опцій (точніше, з наборомопцій за замовчуванням).
/>
Рис. 2.4.1. Приклади Побудови графіків на площині
В міруускладнення задач користувачеві рано чи пізно перестануть влаштовувати графіки,одержувані при автоматичному виборі їх стилю та інших параметрів. Для точного налаштування графіків Mathematicaвикористовує спеціальні опції графічних функцій. Для виведення їх списку требавикористовувати команду Options [Plot].
Ще одним важливимзасобом настроювання графіків є графічні директиви. Синтаксис їх подібний синтаксису функцій. Однак директиви не повертають об'єктів, алише впливають на їх характеристики. Застосування графічних директив спільно зопціями дозволяє створювати графіки самого різного виду. Так як список опцій і директив дужевеликий, то не будемо на ньому зупинятися.
Також часто виникаєнеобхідність побудови графіка по точках. Це забезпечуєвбудована в ядро графічна функціяListPlot:
• ListPlot [{yl,у2 ,...}] – виводить графік списку величин. Координати х приймають значення 1, 2, ...;
• ListPlot [{{x1,y1}, {х2, у2 },...}]– виводить графік списку величин з зазначеними х і yкоординатами.
У найпростішомувипадку (рис. 2.4.2) ця функція сама задає значення координати х = 0, 1, 2, 3,...і будує на графіку точки з координатами (х, у), вибираючи у послідовно зісписку координат. Функція ListPlot, особливо вїї другій формі (із заданими координатами х і у), зручна для виведення награфік експериментальних точок.
Система Mathematica також дозволяє будувати графіки функцій в полярнійсистемі координат. Побудова графіків в полярній системі координат можливо двомаспособами. Перший спосіб ґрунтується на використаннізвичайної декартової системи координат. Координати кожноїточки при цьому задаються в параметричному вигляді: x = f x(t) і у = f у(t), де незалежназмінна t змінюється від мінімального значення tmin до максимального tmах. Особливо зручне застосування таких функцій для побудови замкнутихліній, таких як кола, еліпси, циклоїди і т. д.
/>
Рис. 2.4.2. Приклад Побудови графіка по точках
Для побудовипараметрично заданих функцій використовуються наступні графічні засоби:
• ParametricPlot [{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] – будуєпараметричний графік з координатами fх і fу (відповідними х і у), одержуванимияк функції від t;
• ParametricPlot[{{fx, fy}, {gx, gy },...}, {t, tmin, tmax}] – будує графіки декількохпараметричних кривих.
Функції fx, fуможуть бути як безпосередньо вписані в список параметрів, так і визначені якфункції користувача.
Рисунок 2.4.3показує побудову параметрично заданої фігури Ліссажу. Вона задається функціями синуса і косинусаз постійним параметром R і аргументами, кратними t.
Тепер розглянемодругий спосіб побудови графіків в полярній системі координат (рис. 2.4.4). Для цього використовується функціяPolarPlot:
PolarPlot [f, {t, tmin, tmax}] – будує графік в полярній системікоординат.
PolarPlot [{f1,f2, f3, ...}, {t, tmin, tmax}] – будуєграфіки функцій в полярній системі координат.
/>
Рис. 2.4.3. Побудова фігури Ліссажу
/>
Рис. 2.4.4. Приклад побудови графіка функції вполярній системі координат
5. Побудоваграфіківповерхонь
Функція двох змінних z = f (x, у) утворює в просторі деяку тривимірнуповерхню або фігуру. Для їх побудови доводиться використовуватикоординатну систему з трьома осями координат: x, у і z. Оскільки екрандисплея плоский, то насправді об'ємність фігур лише імітується.
Для побудови графіків тривимірних поверхонь в системі Mathematica використовуєтьсяосновна графічна функція Plot3D:
• Plot3D [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] – будує тривимірнийграфік функції f (х, у);
• Plot3D [{f, s},{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] – будуєтривимірний графік, в якому висоту поверхні визначає параметр f, а затінення — параметр s.
На рис. 2.5.1 показаний приклад побудови поверхні,що описується функцією двох змінних cos (xу) при х і у, що міняються від -3 до3.Поверхня будується у вигляді каркасу з прямокутними комірками з використаннямфункціонального забарвлення. Всі опціїзадані за замовчуванням.
/>
Рис. 2.5.1. Приклад побудови поверхні
/>
Поверхні, також як і графіки на площині, можна будувати по точкам та впараметричній формі використовуючи при цьому відповідні функції ListPointPlot3D іParametricPlot3D.
Для модифікації тривимірних графіків можуть використовуватися численніопції та директиви. Їх застосування дозволяє будувати великукількість графіків різних типів навіть при завданні однієї і тієї ж поверхні.
6. Розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена
Одна із широко розповсюджених математичних задач – розкладання заданоїаналітичної функції в степеневий ряд Тейлора щодо деякої вузлової точки забсцисою х0.
Для розкладу в ряд використовуються наступні функції системиMathematica:
Series [f, {х, х0, n}] – виконує розкладання в степеневий ряд функції fв околі точки х = х0 за ступенями (х-х0) ^ n;
Series [f, {х, х0, nх }, {у, у0, nу}] – послідовно шукає розкладання вряд спочатку по змінній у, потім по х;
SeriesCoefficient[s, n] – повертає коефіцієнт при змінноїn-го ступеня ряду s;
Суть розкладанняфункції в степеневий ряд добре видно з розкладу функції f (х) = />, представленої на рис. 2.6.1 (вихідні комірки мають стандартнийформат).
У першомуприкладі розкладання йде відносно початкової точки х0 = 0, що відповідаєспрощеному ряду Тейлора, який називається рядом Маклорена. У другому випадку розкладання йде відноснопочаткової точки х0, відмінною від нуля. Зазвичай таке розкладання складніше і даєвелику залишкову похибку. Відповідно доприйнятої математичної символікою ця похибка позначається як О[x]i з показникомступеня, що вказує на порядок похибки.
/>
Рис. 2.6.1. Приклад розкладу в степеневий ряд
Слід зазначити,що розкладання в ряд використовує особливий формат виводу, частиною якого і єчлен залишкової похибки. На рис. 2.6.2 показано розкладання в ряди Тейлораі Маклорена для декількох функцій.
/>
Рис. 2.6.2. Приклади розкладу в раді Тейлора іМаклорена
Неважко помітити,що не всі функції розкладаються в ряд Маклорена, і відповідно в ряд Тейлора,системою Mathematica. Наприклад, не мають розкладання логарифм і квадратнийкорінь – вони повертаються в початковому вигляді.
Із-за особливогоформату результати розкладання в ряд не можна явно використовувати длярозрахунків (наприклад, для побудови графіка функції за даними її розкладу вряд). Для усунення залишкового члена таотримання прийнятних для розрахунків виразів можна використовувати функціїCollect і Normal.Нижче показаніприклади застосування цих функцій.
/>
Рис. 2.6.3. Приклади Видалення залишкового члена ряду
Похибкарозкладання в ряд зростає із зростанням відхилення від вузлової точки. При великих відхиленнях навіть якіснийопис функції може різко порушуватися — наприклад, монотонно зростаюча функціяпри обчисленні по розкладання в ряд може спадати або навіть прагнути донескінченності. Для оцінки того, наскільки і в якій областівихідної точки розкладання в ряд адекватно розкладається функції, кориснопобудувати на одному рисунку графік вихідної функції і графік вираження,відповідного отриманого ряду (без залишкової похибки). Іншими словами, потрібна графічнавізуалізація розкладання в ряд.
Приклад графічної візуалізації розкладання в ряд представлений на рис. 2.6.4. На ньому добрепомітно розбіжність за межами області, що примикає до оперної точці функції. Як зазначалося, похибка зменшується, якщох0 = 0 (ряд Маклорена). На жаль, привеликому числі членів ряду його поведінка стає важко передбачуваним, і похибканаближення катастрофічно наростає.
/>
Рис. 2.6.4. Представленнясинусоїдальної функції рядом Тейлора з графічною ілюстрацією його точності
Висновки
У результаті виконання курсової роботи було:
1. розглянуто програму навчальної дисципліни«Математичний аналіз» та самостійну роботу студентів по цій дисципліні;
2. розглянуто та проаналізовано сучасні СКМ;
3. розглянуто теоретичні аспекти системи Wolfram Mathematica;
4. продемонстровано обчислення границь функцій уWM;
5. продемонстровано обчислення похідних і інтеграліву WM;
6. продемонстровано побудову графіків наплоскості та у просторі в WM;
7. продемонстровано розкладання функцій в ряди Тейлораі Маклорена.
Розглядаючи програму навчальної дисципліни«Математичний аналіз» ми побачили, що дана дисципліна дуже широка і складна, вонаохоплює великий об’єм матеріалу. Тому, приблизно 1/3 всіх годин відводиться насамостійну роботу студентів. Використання СКМ у самостійній роботі студентівпри вивчені мат. аналізу дає змогу поєднати високі обчислювальні можливості зперевагами графічного подання інформації.
При розгляді сучасних СКМ прийшли до висновку,що на сьогоднішній день існує дуже велике різноманіття цих систем на будь-якийсмак. Починаючи від малих систем для шкільної освіти Derive іMuPAD, продовжуючи універсальними системами «для всіх»класу Mathcad і закінчуючи гігантами комп’ютерної алгебри –системами Mathematica та Maple. Особливе місце займає елітна матрична система MATLAB з пакетами їїрозширення. Всі ці системи широко використовуються на Заході, а останнім часомі у нас, у практиці шкільного, вузівського і університетської освіти.
Після розгляду теоретичних відомостей просистему Mathematicaможна зробити висновок, що багаті чисельні і символьні можливостіцієї системи, потужні графічні можливості (включаючи анімацію), вбудована мова програмування,велика довідкова система і зручні засоби побудови гіпертекстових зв'язків між документамироблять цю систему привабливою як для дослідницької та практичної діяльності, такі для навчання студентів.
Так як система Wolfram Mathematica дозволяє вирішуватиширокий спектр завдань, то було продемонстровано лише основну частину можливостейцієї системи прививчені математичного аналізу.
Підбиваючи підсумки всієї роботи, можнасказати, що сучасні СКМ слід розглядати не тільки як електронні довідникинового покоління, але і як системи для самонавчання та дистанційного навчанняматематики. Однак для цього вони повинні бути забезпечені грамотно складеними(насамперед у методичному відношенні) електронними уроками або книгами. У тойже час, при відсутності таких уроків застосування математичних систем може матинегативні наслідки для освіти – небезпечна підміна навчання основам математикинавчанням основам роботи з математичними системами.
Однак, працювати з сучасними СКМ просто, приємноі повчально. Завдяки цьому освоєння системи Mathematica сприймається учнями тастудентами з великим інтересом, що служить спонукальним мотивом до їхвпровадження в систему освіти, причому не тільки вищої, а й середньої.
/>Списоквикористаних джерел
1. Дьяконов В. П. Комп'ютерні математичні системи восвіті. Інформаційні технології. – М.: «Пітер», 1997. –40 с.
2. Дьяконов В. П. Комп'ютерна математика. Теорія іпрактика. – М.: «Пітер», 2001. –1296 с.
3. Дьяконов В. П. Системи комп'ютерної алгебри Derive.– М.: «Пітер», 2002. –374 с.
4. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики. –Посібник для вчителів – Київ: Техніка, 1997. –303 с.
5. Половко О.М. Mathematica для студента – СПб.: «БХВ-Петербург»,2007. – 368 с.
6. Рубцов М.О. Математичний аналіз. – Програма навчальної дисципліни для студентівспеціальності «Інформатика». – МДПУ, 2008. — 13с.
7. Семенов С.П., Славський В.В., Татаринцев П.Б…Системи комп'ютерної математики. Навчальний посібник для студентівматематичного факультету АМУ. – Барнаул: Алт. ун-ту, 2004. – 128 с.
8. Слєпкань З.І. Наукові зсади педагогічного процесу увищій школі. – Навчальний посібник. – К.: Вища шк., 2005. –239 с.
9. Електронний підручник з Wolfram Mathematicahttp://lib.qrz.ru/book/export/html/10482
10. Морзеэв Ю.М. Сучасні системи комп’ютерноїматематики. – Стаття –http://www.compress.ru/article.aspx?id=12530&iid=474#begin, 2001.
11. Житніков В. Г. Комп'ютери, математика і свобода. –Стаття –http://www.computerra.ru/gid/266002/, 2006.
12. Виговський Л.С. Введення в Wolfram Mathematica. – Стаття–http://www.exponenta.ru/educat/news/vygovskiy/vygovskiy.asp
13. www.wolfram.com