Контрольна робота зтеми:
Взаємозв'язокматематики і філософії
Зміст
Вступ
1. Мілетська школа
2. Піфагорійська школа
3. Елейска школа
4. Демокріті математика
5. Платонівський ідеалізм
6. Система філософії математикиАристотеля
Список використаної літератури
Вступ
Питання про взаємозв'язокматематики і філософії вперше був заданий досить давно. Аристотель, Бекон,Леонардо і Вінчі — багато великих розумів людства займалися цим питанням ідосягли видатних результатів. Це не дивно: адже основу взаємодії філософії зякоюсь із наук складає потреба використання апарату філософії для проведеннядосліджень у даній області; математика ж, безсумнівно, найбільше серед точнихнаук піддається філософському аналізу (у силу своєї абстрактності). Поряд ізцим прогресуюча математизація науки робить активний вплив на філософськемислення.
Спільний шляхматематики і філософії почався в Древній Греції біля VI століття до н.е. Нестиснуте рамками деспотизму, грецьке товариство тієї доби було подібноживильному розчину, на якому виростило багато чого, що дійшло до нас у сильнозміненому часом вигляді, проте зберігши основну, закладену греками ідею: театр,поезія, драматургія, математика, філософія.
Відомо, щогрецька цивілізація на початковому етапі свого розвитку відштовхувалася відцивілізації древнього Сходу. Яка ж була математична спадщина, отримана греками?
З математичнихдокументів, які дійшли до нас, можна зробити висновок, що в Древньому Єгиптібули сильно розвинуті галузі математики, пов'язані з рішенням економічнихзадач. Папірус Райнда (бл. 2000 р. до н.е.) починався з обіцянки навчити«зробленому й обґрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їхніхсутностей, пізнанню всіх таємниць». Фактично викладається мистецтвообчислення з цілими числами і дробами, в які посвячувались державні чиновникидля того, щоб уміти вирішувати широке коло практичних задач, таких, як розподілзаробітної плати між відомим числом робочих, обчислення кількості зерна дляготування певної кількості хліба, обчислення поверхонь і обсягів і т.д. Далірівнянь першого ступеня і найпростіших квадратних рівнянь єгиптяни, очевидно,не пішли. Весь зміст відомої нам єгипетської математики переконливо свідчить,що математичні знання єгиптян призначалися для задоволення конкретних потребматеріального виробництва і не могли серйозно бути пов'язаними з філософією.
МатематикаВавилона, як і єгипетська, була викликана до життя потребами виробничоїдіяльності, оскільки вирішувалися задачі, пов'язані з потребами зрошення,будівництва, господарського обліку, відношеннями власності, численням часу.Збережені документи показують, що, базуючись на 60-річній системі числення, вавілонянимогли виконувати чотири арифметичних дії, існували таблиці квадратних коренів,кубів і кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, буливідомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані вобласті чисельної алгебри. Хоча вавілоняни і не знали алгебраїчної символіки,але рішення задач проводилося за планом, задачі зводилися до єдиного«нормального» виду і потім рішались по загальних правилах, причомутлумачення перетворень «рівняння» не зв'язувалося з конкретноюприродою вихідних даних. Зустрічалися задачі, що зводяться до рішення рівняньтретього ступеня й особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого і шостогоступенів.
Якщо жпорівнювати математичні науки Єгипту і Вавилона по способу мислення, то неважкобуде встановити їхню спільність по таких характеристиках, як авторитарність,некритичність, проходження за традицією, украй повільна еволюція знань. Ці жриси виявляються й у філософії, міфології, релігії Сходу. Як писав із цьогоприводу Е. Кольман, «у цім місці, де воля деспота вважалася законом, небуло місця для мислення, що дошукується до причин і обґрунтувань явищ, ні тимбільше для вільного обговорення».
Аналіздавньогрецької математики і філософії варто почати з мілетської математичноїшколи, що заклала основи математики як доказової науки.
1.Мілетська школа
Мілетська школа- одна з перших античних математичних шкіл, що зробила суттєвий вплив нарозвиток філософських уявлень того часу. Вона існувала в Іонії наприкінці V — IV ст. до н.е.; основними діячами її були Фалес (бл. 624-547 р. до н.е.),Анаксимандр (бл. 610-546 р. до н.е.) і Анаксимен (бл. 585-525 р. до н.е.).
Якщо зіставитивихідні математичні знання греків із досягненнями єгиптян і вавілонян, тонавряд чи можна сумніватися в тому, що такі елементарні положення, як рівністькутів у основі рівнобедреного трикутника, відкриття якого приписують ФалесуМілетському, не були відомі древній математиці. Проте, грецька математика вже увихідному своєму пункті мала якісну відмінність від своїх попередників.
Її своєрідністьполягає, насамперед, у спробі систематично використовувати ідею доказу. Фалеспрагне довести те, що емпірично було отримано і без належного обґрунтуваннявикористовувалося в єгипетській і вавилонській математиці. Можливо, у періоднайбільше інтенсивного розвитку духовного життя Вавилона і Єгипту, у періодформування основ їхніх знань виклад тих або інших математичних положеньсупроводжувалося обґрунтуванням у тій або іншій формі. Проте, як пише Ван дерВарден, «у часи Фалеса єгипетська і вавилонська математика давно вже булимертвими знаннями. Можна було показати Фалесу, як треба обчисляти, але вженевідомий був хід міркувань, що лежать в основі цих правил».
Греки вводятьпроцес обґрунтування як необхідний компонент математичної дійсності,доказовість дійсно являється відмітною рисою їхньої математики. Технікою доказуранньої грецької математики, як у геометрії, так і в арифметиці спочатку булапроста спроба надання наочності. Конкретними різновидами такого доказу варифметиці був доказ за допомогою камінчиків, у геометрії — шляхом накладення.Але сам факт наявності доказу говорить про те, що математичні знаннясприймаються не догматично, а в процесі міркування. Це, у свою чергу, виявляєкритичний склад розуму, впевненість (може бути, не завжди усвідомлену), щоміркуванням можна встановити правильність або хибність розглянутого положення,впевненість у силі людського розуму.
Греки на протязіодного-двох сторіччя зуміли опанувати математичною спадщиною попередників,накопиченою на протязі тисячоріч, що свідчить про інтенсивність, динамізмїхнього математичного пізнання. Якісна відмінність досліджень Фалеса і йогопослідовників від догрецької математики виявляється не стільки в конкретнімзмісті досліджуваної залежності, скільки в новому засобі математичногомислення. Вихідний матеріал греки взяли в попередників, але засіб засвоєння івикористання цього матеріалу був новий. Відмінними рисами їхнього математичногопізнання являється раціоналізм, критицизм, динамізм.
Ці ж рисихарактерні і для філософських досліджень мілетської школи. Філософськаконцепція і сукупність математичних положень формується за допомогоюоднорідного по своїх загальних характеристиках розумового процесу, якісновідмінного від мислення попередньої епохи. Як же сформувався цей новий засібсприйняття дійсності? Звідки бере свій початок прагнення до наукового знання?
Ряд дослідниківзазначає відзначені вище характеристики розумового процесу «уродженимиособливостями грецького духу». Проте це посилання нічого не пояснює, томущо незрозуміло, чому той же «грецький дух» після закінчення епохиеллінізму втрачає свої якості. Можна спробувати виявити причини такогосвіторозуміння в соціально-економічній сфері.
Іонія, депроходила діяльність мілетської школи, була достатньо розвиненою в економічномувідношенні областю. Тому саме вона серед інших вступила на шлях поваленняпервіснообщинного ладу і формування рабовласницьких відношень. У VIII-VI ст. дон.е. земля все більше зосереджувалася в руках крупної родової знаті. Розвитокремісничого виробництва і торгівлі ще в більшій мірі прискорював процессоціально-майнового розшарування. Відношення між аристократією і демосом стаютьнапруженими; згодом ця напруженість переростає у відкриту боротьбу за владу.Калейдоскоп подій у внутрішньому житті, не менш мінлива зовнішня обстановкаформують динамізм, гостроту суспільної думки.
Напруженість уполітичній і економічній сферах призводить до сутичок в області релігії,оскільки демос, ще не сумніваючись у тому, що релігійні і світські установленнявічні, тому що дані богами, вимагає, щоб вони були записані і стализагальнодоступними, тому що правителі спотворюють божественну волю і тлумачатьїї по-своєму. Проте неважко зрозуміти, що систематичний виклад релігійних іміфологічних уявлень (спроба такого викладу була зроблена Гесіодом) не могло незавдати серйозного удару релігії. При перевірці релігійних вигадувань логікоюперші, безсумнівно, показалися б конгломератом дурниць.
Таким чином,матеріалістичний світогляд Фалеса і його послідовників не є якимось загадковим,не від світу цього породженням «грецького духу». Воно є продуктомцілком визначених соціально-економічних умов і виражає інтересиісторично-конкретних соціальних сил, насамперед торгово-ремісничих прошарківтовариства" — пише О.І. Кедровський.
На підставівсього перерахованого вище ще не можна з великою впевненістю стверджувати, щосаме вплив світогляду виявився вирішальним чинником для виникнення доказу; невиключено ж, що це відбулося в силу інших причин: потреб виробництва, запитівелементів природознавства, суб'єктивних спонукань дослідників. Проте можнапереконатися, що кожна з цих причин не змінила принципово свого характеру впорівнянні з догрецькою епохою і безпосередньо не призводить до перетворенняматематики в доказову науку. Наприклад, для задоволення потреб техніки булоцілком достатньо практичної науки древнього Сходу, у справедливості положеньякої можна було переконатися емпірично. Сам процес виявлення цих положеньпоказав, що вони дають достатню для практичних потреб точність.
Можна вважатиодним із спонукальних мотивів виникнення доказу необхідність осмислення йузагальнення результатів попередників. Проте і цьому чиннику не належитьвирішальна роль, тому що, наприклад, існують теорії, які сприймаються якочевидні, але отримали суворе обґрунтування в античній математиці (наприклад,теорія подільності на 2).
Поява потребидоказу в грецькій математиці одержує задовільне пояснення, якщо врахувативзаємодію світогляду на розвиток математики. У цьому відношенні греки істотновідрізняються від своїх попередників. У їх філософських і математичнихдослідженнях виявляються віра в силу людського розуму, критичне відношення додосягнень попередників, динамізм мислення. У греків вплив світогляду перетворивсязі стримуючого чинника математичного пізнання в стимулюючий, у діючу силупрогресу математики.
У тому, щообґрунтування прийняло саме форму доказу, а не зупинилося на емпіричнійперевірці, вирішальним є поява нової, світоглядної функції науки. Фалес і йогопослідовники сприймають математичні досягнення попередників, насамперед длязадоволення технічних потреб, але наука для них — щось більше, ніж апарат длярішення виробничих задач. Окремі, найбільше абстрактні елементи математикивплітаються в натурфілософську систему і тут виконують роль антиподаміфологічним і релігійним віруванням. Емпірична підтверджуваність для елементівфілософської системи була недостатньою в силу спільності їхнього характеру йубогості підтверджуваних фактів. Математичні знання ж на той час досягли такогорівня розвитку, що між окремими положеннями можна було встановити логічнізв'язки. Така форма обґрунтувань виявилася об'єктивно прийнятною дляматематичних положень.
2.Піфагорійська школа
На підставіданого вище дослідження мілетської школи можна лише переконатися в активномувпливі світогляду на процес математичного пізнання тільки при радикальній змінісоціально-економічних умов життя товариства. Проте залишаються відкритимипитання про те, чи впливає зміна філософської основи життя товариства нарозвиток математики, чи залежить математичне пізнання від зміни ідеологічноїспрямованості світогляду, чи має місце обернений вплив математичних знань нафілософські ідеї. Можна спробувати відповісти на поставлені питання,звернувшись до діяльності піфагорейської школи.
Піфагореїзм якнапрямок духовного життя існував протягом всієї історії Древньої Греції,починаючи з VI століття до н.е. І пройшов у своєму розвитку ряд етапів. Питанняпро їхню тимчасову тривалість складне і дотепер не вирішене однозначно.Основоположником школи був Піфагор Самосський (бл. 580-500 до н.е.). Жоденрядок, написаний Піфагором, не зберігся; взагалі невідомо, чи вдавався він дописьмової передачі своїх думок. Що було зроблено самим Піфагором, а що йогоучнями, встановити дуже важко. Свідчення про нього старогрецьких авторівсуперечливі; якоюсь мірою різноманітні оцінки його діяльності відбиваютьрізноманіття його навчання.
У піфагореїзмівиділяють дві складові: практичну («піфагорейський спосіб життя») ітеоретичну (визначена сукупність навчань). У релігійному навчанні піфагорійцівнайбільш важливою рахувалась обрядова сторона, потім малося на увазі створитивизначений щиросердечний стан і лише потім по значимості йшли вірування, у трактуванніяких припускалися різні варіанти. У порівнянні з іншими релігійними плинами впіфагорійців були специфічні уявлення про природу і долю душі. Душа — істотабожественна, вона укладена в тіло на кару за гріхи. Вища ціль життя — звільнитидушу з тілесної в’язниці, не впустивши в інше тіло, що нібито відбуваєтьсяпісля смерті. Шляхом для досягнення цієї цілі є виконання визначеногоморального кодексу, «піфагорейський спосіб життя». У численнійсистемі розпоряджень, що регламентували майже кожен крок життя, значне місцеприділялося заняттям музикою і науковими дослідженнями.
Теоретичнасторона піфагореїзму тісно пов'язана з практичною. У теоретичних вишукуванняхпіфагорійці бачили кращий засіб звільнення душі з кола народжень, а їхнірезультати ринулися використовувати для раціонального обґрунтування гаданоїдоктрини. Мабуть, у діяльності Піфагора і його найближчих учнів науковіположення були перемішані з містикою, релігійними і міфологічними уявленнями.Вся ця «мудрість» викладалася в якості висловлювань оракула, якимнадавався прихований зміст божественного одкровення.
Основнимиоб'єктами наукового пізнання в піфагорійців були математичні об'єкти, у першучергу числа натурального ряду («Число є сутність усіх речей»). Значнемісце приділялося вивченню зв'язків між парними і непарними числами. В областігеометричних знань увага акцентується на найбільших абстрактних залежностях.Піфагорійцями була побудована значна частина планіметрії прямокутних фігур;вищим досягненням у цьому напрямку був доказ теореми Піфагора, окремі випадкиякої за 1200 років до цього приводяться в клинописних текстах вавилонян. Грекидоводять її загальною уявою. Деякі джерела приписують піфагорійцям навіть таківидатні результати, як побудова п'ятьох правильних багатогранників.
Числа впіфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до якихпередбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіттядійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняття одержали математичнефарбування. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основнемісце в системі світогляду, тобто фактично математика об'являється філософією.Як писав Аристотель, "… у чисел вони вбачали, здавалося б, багатоподібних рис із тим, що існує і відбувається, — більше, ніж у вогню, землі іводи… У них, очевидно, число приймається за початок і в якості матерії дляречей, і в якості вираження для їхніх станів і властивостей… Наприклад,такою-то властивістю чисел є справедливість, а такою-то — душа і розум, іншою — вдача, і можна сказати — у кожному з інших випадків точно також. "
Якщо порівнюватиматематичні дослідження ранньої піфагорейської і мілетської шкіл, то можнавиявити ряд істотних розходжень. Так, математичні об'єкти розглядалисяпіфагорійцями як першосутність світу, тобто радикально змінилося саме розумінняприроди математичних об'єктів. Крім того, математика перетворена піфагорійцямив складову релігії, у засіб очищення душі, досягнення безсмертя. І нарешті,піфагорійці обмежують область математичних об'єктів найбільше абстрактнимитипами елементів і свідомо ігнорують додатки математики для рішення виробничихзадач. Але чим же обумовлені такі глобальні розбіжності в розумінні природиматематичних об'єктів у школах, що існували практично в той самий час і черпалисвою мудрість, очевидно, із того самого джерела — культури Сходу? Втім,Піфагор, швидше за все, користувався досягненнями мілетської школи, тому що внього, як і у Фалеса, виявляються основні ознаки розумової діяльності, щовідрізняються від догрецької епохи; проте математична діяльність цих шкілносили істотно різноманітний характер.
Аристотель буводним із перших, хто спробував пояснити причини появи піфагорівської концепціїматематики. Він бачив їх у межах самої математики: «Так звані піфагорійці,зайнявшись математичними науками, уперше рушили їх вперед і, виховавшись наних, стали вважати їх початками всіх речей.» Подібна точка зору непозбавлена підстави хоча б у силу придатності математичних положень длявираження відношень між різноманітними явищами. На цій підставі можна,неправомірно розширивши даний момент математичного пізнання, прийти дотвердження про виразність всього існуючого за допомогою математичнихзалежностей, а якщо вважати числові відношення універсальними, то «число єсутність усіх речей». Крім того, до часу діяльності піфагорійцівматематика пройшла довгий шлях історичного розвитку; процес формування їїосновних положень губився в темряві століть. Таким чином, з'являлася спокусазневажити ним і оголосити математичні об'єкти чимось первинним стосовноіснуючого світу. Саме так і зробили піфагорійці.
Крахпіфагорійського навчання варто зв'язувати в першу чергу не з виродженнямаристократії як класу, а зі спробою піфагорійців зіпсувати самому природупроцесу математичного пізнання, позбавивши математику таких важливих джерелпрогресу, як додатки до виробництва, відкрите обговорення результатівдосліджень, колективна творчість, утримати прогрес математики в рамкахрафінованого навчання для присвячених. До речі, самі піфагорійці підірвали свійосновний принцип «число є сутність усіх речей», відкривши, щовідношення діагоналі і сторони квадрата не виражається за допомогою цілихчисел.
Таким чином, вжеу вихідному пункті свого розвитку теоретична математика була схильна впливуборотьби двох типів світогляду — матеріалістичного і релігійно-ідеалістичного.А поряд із впливом світогляду на розвиток математичного пізнання має місце йобернений вплив.
3.Елейська школа
Елейська школадосить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у працяхякої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основнимипредставниками елейської школи вважають Парменіда (кінець VI — V ст. до н.е.) іЗенона (перша половина V ст. до н.е.).
Філософія Парменідаполягає в наступному: усілякі системи світорозуміння базуються на одній з трьохпосилок: 1) Є тільки буття, небуття немає; 2) Існує не тільки буття, але інебуття; 3) Буття і небуття тотожні. Вірною Парменід визнає тільки першупосилку. Відповідно до нього, буття єдине, неподільне, незмінне, позачасне,закінчене в собі, тільки воно істинно існуюче; множинність, мінливість,переривчастість, текучість — усе це уділ мнимого.
З захистомнавчання Парменіда від заперечень виступив його учень Зенон. Древні приписувалийому сорок доказів для захисту навчання про єдність існуючого (протимножинності речей) і п'ять доказів його нерухомості (проти рухомості). З них донас дійшло усього дев'ять. Найбільшою популярністю за всіх часів користувалисязенонові докази проти рухомості; наприклад, «рухомість не існує на тійпідставі, що тіло, яке переміщається, повинно колись дійти до половини, передтим як до кінця, а щоб дійти до половини, потрібно пройти половину цієїполовини і т.д.».
Аргументи Зенонапризводять до парадоксальних, з погляду «здорового глузду»,висновків, але їх не можна було просто відкинути як неспроможні, оскільки і заформою, і по змісту задовольняли математичним стандартам тієї пори. Розклавшиапорії Зенона на складові частини і рухаючись від висновків до посилок, можнареконструювати вихідні положення, що він узяв за основу своєї концепції.Важливо відзначити, що в концепції еліатів, як і в дозеноновській науціфундаментальні філософські уявлення істотно спиралися на математичні принципи.Значне місце серед них займали такі аксіоми:
1. Суманескінченно великого числа будь-яких, хоча б і нескінченно малих, але протяжнихрозмірів повинна бути нескінченно великою;
2. Сумабудь-якого, хоча б і нескінченно великого числа непротяжних розмірів завждидорівнює нулю і ніколи не може стати деяким заздалегідь заданим протяжнимрозміром.
Саме в силутісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальнимиматематичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах,істотно торкнув системи математичних знань. Цілий ряд найважливішихматематичних побудов, що рахувалися до цього безсумнівно вірними, у світлізеноновських побудов виглядали як суперечливі. Міркування Зенона призвели донеобхідності переосмислити такі важливі методологічні питання, як природабезкрайості, співвідношення між безупинним і перериваним і т.п. Вони звернулиувагу математиків на нетривкість фундаменту їхньої наукової діяльності й утакий спосіб зробили стимулюючий вплив на прогрес цієї науки.
Варто звернутиувагу і на зворотний зв'язок — на роль математики у формуванні елейськоїфілософії. Так, встановлено, що апорії Зенона пов'язані з перебуванням сумибезкінечної геометричної прогресії. На цій підставі історик математики Е.Кольман зробив припущення, що «саме на математичному ґрунті підсумовуваннятаких прогресій і виростили логіко-філософські апорії Зенона». Проте такеприпущення, очевидно, позбавлено достатніх основ, тому що воно занадто жорсткозв'язує навчання Зенона з математикою при тому, що існуючі історичні дані недають підстави підтверджувати, що Зенон взагалі був математиком.
Величезнезначення для наступного розвитку математики мало підвищення рівня абстракціїматематичного пізнання, що відбулося у великому ступені завдяки діяльностіеліатів. Конкретною формою прояву цього процесу було виникнення побічногодоказу («від противного»), характерною рисою якого є доказ не самоготвердження, а абсурдності оберненого йому. У такий спосіб був зроблений крок достановлення математики як дедуктивної науки, створені деякі передумови для їїаксіоматичної побудови.
Отже,філософські міркування еліатів, з одного боку, стали потужним поштовхом дляпринципово нової постановки найважливіших методологічних питань математики, а зіншого боку — послужили джерелом виникнення якісно нової форми обґрунтуванняматематичних знань.
4.Демокріт і математика
Аргументи Зенонарозкрили внутрішні протиріччя, що мали місце в сформованих математичнихтеоріях. Тим самим факт існування математики був поставлений під сумнів. Якимиж шляхами вирішувалися протиріччя, виявлені Зеноном ?
Найпростішимвиходом із положення, що створилося, була відмова від абстракцій на користьтого, що можна безпосередньо перевірити за допомогою відчуттів. Таку позиціюзайняв софіст Протагор. Він вважав, що «ми не можемо уявити собі нічогопрямого або круглого в тому змісті, як подає ці терміни геометрія; справді,коло стосується прямої не в одній точці». Таким чином, із математики вартоприбрати як ірреальні: уявлення про безкінечне число речей, тому що ніхто неможе вважати до безкрайості; безкінечну подільність, оскільки вона нездійсненнапрактично і т.д. Таким шляхом математику можна зробити невразливою дляміркувань Зенона, але при цьому практично скасовується теоретична математика.Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, уякій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Цю задачу вирішивДемокріт, розробивши концепцію математичного атомізму.
Демокріт був«першим енциклопедичним розумом серед греків». Діоген Лаерцій (IIIст. н.е.) називає 70 його творів, у яких були освітлені питання філософії,логіки, математики, космології, фізики, біології, громадського життя,психології, етики, педагогіки, філології, мистецтва, техніки й інші. Аристотельписав про нього: «Взагалі, крім поверхневих вишукувань, ніхто нічого невстановив, крім Демокріта. Що ж стосується його, то утворюється таке враження,що він передбачив усе, та й у методі обчислень він вигідно відрізняється відінших».
Вступноючастиною наукової системи Демокріта була «каноніка», у якійформулювалися й обґрунтовувались принципи атомістичної філософії. Потімвипливала фізика, як наука про різноманітні прояви буття, і етика. Канонікавходила у фізику в якості вихідного поділу, етика ж будувалася як породженняфізики. У філософії Демокріта насамперед установлюється розходження між«справді існуючим» і тим, що існує тільки в «загальнійдумці». Справді існуючими рахувалися лише атоми і пустота. Як справдііснуюче, пустота (небуття) є така ж реальність, як атоми (буття). «Великапустота» безмежна й укладає в собі все існуюче, у ній немає ні верха, нінизу, ні краю, ні центру, вона робить переривану матерію і можливим їїпрямування. Буття утворять незліченні дрібні якісно однорідні першотільця, щорізняться між собою по зовнішніх формах, розміру, положенню і порядку, вонидалі неподільних внаслідок абсолютної твердості і відсутності в них пустоти і«по розміру неподільні». Атомам самим по собі властиво безперестаннепрямування, розмаїтість якого визначається безкінечною розмаїтістю форм атомів.Прямування атомів вічно і в остаточному підсумку є причиною всіх змін у світі.
Задача науковогопізнання, відповідно до Демокріта, щоб явища, що спостерігаються, зводити дообласті "істинного існуючого" і дати їм пояснення виходячи ззагальних принципів атомістики. Це може бути досягнуте за допомогою спільноїдіяльності відчуттів і розуму. Гносеологічну позицію Демокріта Маркссформулював у такий спосіб: «Демокріт не тільки не віддалився від світу,а, навпаки, був емпіричним натуралістом». Зміст вихідних філософськихпринципів і гносеологічні установки визначили основні риси наукового методуДемокріта:
а) у пізнаннівиходити від одиничного;
б)будь-які предмет і явище розкладені до найпростіших елементів (аналіз) і з'ясовнівиходячи з них (синтез);
в) розрізнятиіснування «по істині» і «відповідно до думки»;
г) явищадійсності — це окремі фрагменти упорядкованого космосу, що виник і функціонує врезультаті дій чисто механічної причинності.
Математика поправу повинна рахуватися в Демокріта першим поділом власне фізики і випливатибезпосередньо за канонікою. Справді, атоми якісно однорідні і їхні первиннівластивості мають кількісний характер. Проте було б неправильно трактуватинавчання Демокріта як різновид піфагореїзму, оскільки Демокріт хоча і зберігаєідею панування у світі математичної закономірності, але виступає з критикоюапріорних математичних побудов піфагорійців, рахуючи, що число повинновиступати не законодавцем природи, а витягатися з її. Математична закономірністьвиявляється Демокрітом із явищ дійсності, і в цьому контексті він передбачаєідеї математичного природознавства. Вихідні початки матеріального буттявиступають у Демокріта в значній мірі як математичні об'єкти, і відповідно доцього математику приділяється значне місце в системі світогляду як науці пропервинні властивості речей. Проте включення математики в основу світоглядноїсистеми вимагало її перебудови, приведення математики у відповідність ізвихідними філософськими положеннями, із логікою, гносеологією, методологієюнаукового дослідження. Створена в такий спосіб концепція математики, називанаконцепцією математичного атомізму, виявилася істотно відмінною від попередніх.
У Демокріта всіматематичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) виступають у визначенихматеріальних уявах. Ідеальні площини, лінії, точки в його навчанні відсутні.Основною процедурою математичного атомізму є розкладання геометричних тіл нанайтонші листочки (площини), площин — на найтонші нитки (лінії), ліній — надрібні зернятка (атоми). Кожний атом має малий, але ненульовий розмір і далінеподільний. Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, щоутримуються в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній наплощині і площин у тілі. Число атомів у кінцевому обсязі простору ненескінченне, хоча і настільки велике, що недосяжне почуттям. Отже, головноювідмінністю навчання Демокріта від розглянутих раніше є заперечення нимбезкінечної подільності. У такий спосіб він вирішує проблему правомірностітеоретичних побудов математики, не зводячи їх до почуттєво сприйманих уяв, якце робив Протагор. Так, на міркування Протагора про торкання окружності іпрямої Демокріт міг би відповісти, що почуття, що є відправним критеріємПротагора, показують йому, що чим точніше креслення, тим менше ділянкаторкання; у дійсності ж ця ділянка настільки мала, що не піддається почуттєвомуаналізу, а ставиться до області істинного пізнання.
Керуючисьположеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичнихдосліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичноїперспективи і проекції). Крім того, він зіграв, за свідченням Архімеда,немаловажну роль у доказі Евдоксом теорем про обсяг конуса і піраміди. Не можназ упевненістю сказати, чи користувався він при рішенні цієї задачі методамианалізу нескінченно малих. А.О. Маковельский пише: «Демокріт вступив нашлях, по якому далі пішли Архімед і Кавальєрі. Проте, підійшовши впритул допоняття нескінченно малого, Демокріт не зробив останнього рішучого кроку. Вінне припускає безмежного збільшення кількості складових, що утворять у своїйсумі даний обсяг. Він приймає лише надзвичайно велике, що не піддаєтьсячисленню внаслідок своєї величезності число цих складових».
Видатнимдосягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудовутеоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідеюаксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічномуплані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.
5.Платонівський ідеалізм
Твори Платона(427-347 р. до н.е.) — унікальне явище у відношенні виділення філософськоїконцепції. Це високохудожнє, що захоплює опис самого процесу становленняконцепції, із сумнівами і непевністю, часом із безрезультатними спробамивирішення поставленого питання, із поверненням до вихідного пункту, численнимиповтореннями і т.п. Виділити у творчості Платона якийсь аспект і систематичновикласти його досить складно, тому що потрібно реконструювати думки Платона зокремих висловлень, що настільки динамічні, що в процесі еволюції думки часомперетворюються у свою протилежність.
Платоннеодноразово висловлював своє відношення до математики і вона завждиоцінювалася ним дуже високо: без математичних знань «людина з будь-якимиприродними властивостями не стане блаженною», у своїй ідеальній державівін припускав «затвердити законом і переконати тих, що мають намір зайнятив місті високі посади, щоб вони тренувались у науці числення». Систематичнешироке використання математичного матеріалу має місце в Платона, починаючи здіалогу «Менон», де Платон підводить до основного висновку задопомогою геометричного доказу. Саме висновок цього діалогу про те, що пізнанняє пригадування, став основним принципом платонівської гносеології.
Значно в більшіймірі, чим у гносеології, вплив математики виявляється в онтології Платона.Проблема будови матеріальної дійсності в Платона одержала таке трактування:світ речей, сприйманий за допомогою почуттів, не є світ істинно існуючого; речібезупинно виникають і гинуть. Щирим буттям володіє світ ідей, що безтілесні,нечуттєві і виступають стосовно речей як їхньої причини й уяви, по котрим ціречі створюються. Далі, крім почуттєвих предметів і ідей він установлюєматематичні істини, що від почуттєвих предметів відрізняються тим, що вічні інерухомі, а від ідей — тим, що деякі математичні істини подібні одна з одною,ідея ж всякий раз тільки одна. У Платона в якості матерії початками є велике імале, а в якості сутності — єдине, тому що ідеї (вони ж числа) утворюються звеликого і малого через прилучення їх до єдності. Почуттєво сприйманий світ,відповідно до Платона, створений Богом. Процес побудови космосу описаний удіалозі «Тимей». Ознайомившись з цим описом, потрібно визнати, щоТворець був добре знайомий із математикою і на багатьох етапах створенняістотно використовував математичні положення, а часом і виконував точніобчислення.
За допомогоюматематичних відношень Платон намагався охарактеризувати і деякі явищагромадського життя, прикладом чого може служити трактування соціальноговідношення «рівність» у діалозі «Горгій» і в«Законах». Можна заключити, що Платон істотно спирався на математикупри розробці основних поділів своєї філософії: у концепції «пізнання — пригадування», навчанні про сутність матеріального буття, про устрійкосмосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д. Математика зіграла значну роль уконструктивному оформленні його філософської системи.
Відповідно доПлатона, математичні науки (арифметика, геометрія, астрономія і гармонія)даровані людині богами, що «зробили число, дали ідею часу і збудилипотребу дослідження всесвітом». Споконвічне призначення математики в тому,щоб «очищався і пожвавлювався той орган душі людини, розстроєний і осліпленийіншими справами», що «важливіше, чим тисяча очей, тому що ним однимспоглядається істина». «Тільки ніхто не користується нею(математикою) правильно, як наукою, що приводить неодмінно до існуючого».«Неправильність» математики Платон бачив насамперед у її придатностідля вирішення конкретних практичних задач. Не можна сказати, щоб він взагалізаперечив практичну придатність математики. Так, частина геометрії потрібна для«розташування таборів», «при всіх побудовах, як під час самих боїв,так і під час походів». Але, на думку Платона, «для таких речей… достатня мала частина геометричних і арифметичних вирахувань, частина ж їхвелика, що простирається далі, повинна… сприяти найлегшому засвоєнню ідеїблага». Платон негативно відзивався про ті спроби використання механічнихметодів для рішення математичних задач, що мали місце в науці того часу. Йогонезадоволеність викликала також прийняте сучасниками розуміння природиматематичних об'єктів. Розглядаючи ідеї своєї науки як відбиток реальнихзв'язків дійсності, математики у своїх дослідженнях поряд з абстрактнимилогічними міркуваннями широко використовували почуттєві уяви, геометричніпобудови. Платон усіляко намагається переконати, що об'єкти математики існуютьвідособлено від реального світу, тому при їхньому дослідженні неправомірноудаватись до почуттєвої оцінки.
Таким чином, вісторично сформованій системі математичних знань Платон виділяє тількиумоглядну, дедуктивно побудовану компоненту і закріплює за нею право називатисяматематикою. Історія математики містифікується, теоретичні поділи різкопротипоставляться обчислювальному апарату, до межі звужується область додатка.У такому перекрученому виді деякі реальні сторони математичного пізнання іпослужили одним з основ для побудови системи об'єктивного ідеалізму Платона.Адже сама по собі математика до ідеалізму взагалі не веде, і з метою побудовиідеалістичних систем її потрібно істотно деформувати.
Питання провплив, здійснений Платоном на розвиток математики, досить важке. Тривалий часпанувало переконання, що внесок Платона в математику був значний. Проте більшглибокий аналіз призвів до зміни цієї оцінки. Так, О. Нейгебауер пише:«Його власний прямий внесок у математичні знання, очевидно, був рівнимнулю… Винятково елементарний характер прикладів математичних міркувань, якінаводяться Платоном і Аристотелем, не підтверджує гіпотези про те, що Увдоксабо Тєетет чому-небудь навчилися в Платона… Його порада астрономам замінитиспостереження спекуляцією міг би зруйнувати один із найбільше значних внесківгреків у точні науки». Така аргументація цілком переконлива; можна такожпогодитися і з тим, що ідеалістична філософія Платона в цілому зіграланегативну роль у розвитку математики. Проте не варто забувати про складнийхарактер цього впливу.
Платоновіналежить розробка деяких важливих методологічних проблем математичногопізнання: аксіоматична побудова математики, дослідження відношень міжматематичними методами і діалектикою, аналіз основних форм математичногознання. Так, процес доказу необхідно зв'язує набір доведених положень усистему, в основі якої лежать деякі недовідні положення. Той факт, що початкуматематичних наук «суть припущення», може викликати сумнів вістинності всіх наступних побудов. Платон вважав такий сумнів необґрунтованим.Відповідно до його пояснення, хоча самі математичні науки, «користуючисьприпущеннями, лишають їх у нерухомості і не можуть дати для них підстави»,припущення знаходять підстави за допомогою діалектики. Платон висловив і рядінших положень, що виявилися плідними для розвитку математики. Так, у діалозі«Бенкет» висувається поняття межі; ідея виступає тут як межастановлення речі.
Критика, якійпіддавалися методологія і світоглядна система Платона з боку математиків, приусій своїй важливості не торкалася самої основи ідеалістичної концепції. Длязаміни розробленої Платоном методології математики більш продуктивною системоюпотрібно було піддати критичному розборові його навчання про ідеї, основніподіли його філософії і як слідство цього – його погляд на математику. Ця місіявипала на долю учня Платона — Аристотеля.
6.Система філософії математики Аристотеля
Аристотеляназивали (384-322 р. до н.е.) «найбільшим філософом стародавності».Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки,політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали вАристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводивконкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були підданіїм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основоюдіяльності багатьох поколінь математиків.
До часівАристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівнярозвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання,Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, прозасоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва />веденняпізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: «освіченість»і «наукове знання справи». Серед відомих творів Аристотеля немаєспеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але поокремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якостіілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те,який був його ідеал побудови системи математичних знань.
Вихідним етапомпізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що«засноване на (деякому) вже раніше наявному знанні… Як математичнінауки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) таким способом».Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати «усіті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі» іобміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метоюз'ясовування чотирьох питань: «що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що(вона) є».
Основнимпринципом, що визначає всю структуру «наукового знання справи», єпринцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальнимпроцесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступаєдоказ. «Доказом же я називаю силогізм, — пише він, — який даєзнання». Викладу теорії доказового знання цілком присвячений«Органон» Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупуватирозділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики якнауки, що доказує: «те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, напідставі чого доводиться». Таким чином, Аристотель диференційованопідходив до об'єкта, предмету і засобам доказу.
Існуванняматематичних об'єктів признавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці,наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж,навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:
1. Упочуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що «знаходитися втому ж самому місці два тіла не в змозі»;
2. «Неможливоі те, щоб такі реальності існували окремо».
Аристотельвважав предметом математики «кількісну визначеність і безперервність».У його трактуванні «кількістю називається те, що може бути розділене наскладові частини, кожна з яких являється чимось одним, даним у наявності. Таабо інша кількість є множина, якщо її можна рахувати, це розмір, якщо йогоможна виміряти». Множиною при цьому називається те, «що в можливості(потенційно) ділиться на частини не безупинні, величиною те, що ділиться начастині безупинні». Перед тим, як дати визначення безперервності,Аристотель розглядає поняття безкінечного, тому що «воно ставиться докатегорії кількості» і виявляється насамперед у безупинному. «Щобезкінечне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників із п'ятьох основ:із часу (тому що воно нескінченно); із поділу розмірів…; далі, тільки в такийспосіб не вичерпуються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкілябереться виникаюче. Далі, із того, що кінцеве завжди граничить із чим-небудь,тому що необхідно, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більше усього -… натій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається безкінечним, іматематичні розміри». Чи існує безкінечне як окрема сутність або воно єакциденцією розміру або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що«якщо безкінечне не є ні розмір, ні множина, а саме є сутністю..., то вонобуде неподільне, тому що ділене буде або розміром, або множиною. Якщо ж воно ненеподільне, воно не нескінченно в змісті непрохідного до кінця».Неможливість математичного безкінечного як неподільного випливає з того, щоматематичний об'єкт — відволікання від фізичного тіла, а «актуальнонеподільне безкінечне тіло не існує». Число «як щось окреме й у тойже час безкінечне» не існує, адже "… якщо можливо перерахуватичисленне, то буде можливість пройти до кінця і безкінечне". Таким чином,безкраїсть тут у потенції існує, актуально ж — немає.
Спираючись навикладене вище розуміння безкінечного, Аристотель визначає безперервність іпереривчастість. Так, «безупинне є саме по собі щось суміжне. Суміжне єте, що, наслідуючи за іншим, стосується його». Число як типово перериване(дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільнихелементів — одиниць. Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з'єднанняточок не може утворити лінію, тому що «точкам, із яких було б складенебезупинне, необхідно або бути безупинними, або торкатись один одного». Алебезупинними вони не будуть: «адже краю точок не утворюють чого-небудьєдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини». Точки неможуть і торкатись одна одної, оскільки торкаються «всі предмети або як цілецілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне немає частин, їм необхідно торкатись цілком, але те що торкається цілком неутворить безупинного».
Неможливістьупорядкування безупинного з неподільних і необхідність його розподілу на завждиподільні частини, установлені для розміру, Аристотель поширює на рух, простір ічас, обґрунтовуючи (наприклад, у «Фізиці») правомірність цього кроку.З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних розмірів суперечитьосновним властивостям руху. Виділення безупинного і перериваного як різнихродів буття послужило основою для розмежування в логіко-гносеологічній області,для різкого відмежування арифметики від геометрії.
«Початками…у кожному роді я називаю те, відносно чого не може бути доведено, що воно є.Отже, те, що позначає первинне і з нього що випливає, приймається. Існуванняпочатків необхідно прийняти, інше — варто довести. Наприклад, що таке одиницяабо що таке пряма або що таке трикутник (варто прийняти); що одиниця і розміріснує, також варто прийняти, інше — довести». У питанні про появу в людейспроможності пізнання початків Аристотель не погоджується з точкою зору Платонапро уродженість таких спроможностей, але і не припускає можливості придбанняїх; тут він пропонує таке рішення: «необхідно володіти деякою можливістю,проте не такою, що перевершувала б ці спроможності у відношенні точності».Але така можливість, очевидно, властива всім живим істотам; справді, вони маютьприроджену спроможність розбиратися, що називається почуттєвим сприйняттям.Формування початків йде «від попереднього і більш відомого для нас»,тобто від того, що ближче до почуттєвого сприйняття до «попереднього ібільш відомого безумовно» (таким є загальне). Аристотель дає розгорнутукласифікацію початків, виходячи з різних ознак.
По-перше, вінвиділяє «початки, з котрих (що-небудь) доводиться, і такі, про котрі(доводиться)». Перші «суть загальні (всім початки)», другі — «властиві (лише даній науці), наприклад, число, розмір». У системіпочатків загальні займають головне місце, але їх недостатньо, тому що«серед загальних початків не може бути таких, із яких можна було б довестиусе». Цим і пояснюється, що серед початків повинні бути «однівластиві кожній науці окремо, інші — загальні всім». По-друге, початкиділяться на дві групи в залежності від того, що вони розкривають: існуванняоб'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс початківнауки, що доказує, ділиться на аксіоми, припущення, постулати, вихіднівизначення.
Вибір початків вАристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доказує; самепочатки характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. «Те,що доводиться», можна трактувати дуже широко. З одного боку, цеелементарний силогізм, що доказує, і його висновки. З цих елементарних процесівбудується будинок науки, що доказує, у виді окремо взятої теорії. З них жестворюється і наука як система теорій. Проте не всякий набір доказів утворитьтеорію. Для цього він повинний задовольняти визначеним вимогам, що охоплюють якутримання доказуваних пропозицій, так і зв'язку між ними. У межах же науковоїтеорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, що не є первинними, алеслужать для розкриття предмета теорії.
Хоча питанняметодології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсьокремій роботі, але по утриманню в сукупності вони утворять повну систему. Уоснові філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань яквідбитка об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбіАристотеля з платоновим ідеалізмом; адже «якщо в явищах почуттєвого світуне знаходиться зовсім математичне, то яким чином можливо, що до них додаютьсяйого властивості?» — писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля бувнепослідовним, у цілому його погляди в більшому ступені відповідали потребамматематичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була дляАристотеля одним із джерел формування ряду поділів його філософської системи.
Список використаної літератури
1. БарановскийМ.И. К лучшему будущему. – М.: Наука, 2004. – 254 с.
2. ГоранВ.П. Необходимость и случайность в философии Демокрита. – М.: Наука, 2004. –186 с.
3. ЖмузьЛ.Я. Пифагор и его школа (ок. 530 – ок. 430 гг. до н.э.). – Л.: Наука, 2000. –228 с.
4. ЛуканинР.К. «Органон» Аристотеля. – М.: Наука, 2004. – 141 с.
5. НерсесянцВ.С. Платон. – М.: Юрид. Лит., 2001. – 314 с.
6. ПанченкоД.В. Платон и Атлантида. – Л.: Наука, 2000. – 115 с.
7. СокулярЗ.А. Проблема основания знания. – М.: Наука, 2003. – 134 с.
8. ТатаркевичВ. Історія філософії. – Л.: Свічадо, 1999. – 215 с.
9. ШигалинЮ.А. Учебники платоновской философии. – М.: Водолей, 2005. – 187 с.
10. Шопенгауер Ю.М. Сократ. Платон.Аристотель.: Биографические повествования. – М.: Наука, 2005. – 369 с.