"Инкарнация" кватернионов

«Инкарнация»кватернионов
 
Вводныезамечания
Кватернион,долгие годы считавшийся бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков[1], в настоящее время начинает свое триумфальное шествие по науке (физика,химия кристаллов, информатика) и информационно-интерактивным технологиям.
Своимоткрытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону(1805–1865) [2].
Уильям РоуанГамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владелдевятью языками, в 19 лет опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академииработу, посвященную геометрической оптике, а в 23 года получил званиекоролевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал постдиректора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике ианалитической механике. Он предсказал эффект двойной конической рефракции вдвуосных кристаллах.
В числедругих математических задач он 10 лет безуспешно пытался найти описаниеповоротов трехмерного пространства на основе алгебры трехмерных чисел, пока неувидел, что их описание соответствует другой алгебре не с двумя мнимымичислами, а с тремя. Общепризнанно, что от типа алгебры, которой подчинена таили иная природная система, зависят ее геометрия, физические законы сохранения.
В одном изписем к своему сыну У.Р. Гамильтон писал: «Это был 16-й день октября,который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской ИрландскойАкадемии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоейматерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельныефразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-тотворилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснулаискра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли итруда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет дарованодостаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не всостоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского мостафундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но,конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминаниеосталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано,что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первомзаседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-госледующего месяца – ноября».
Стоитупомянуть, что оригинальное описание движения твердого тела с помощьюкватерниона дал в 1873 году У. Клиффорд (1845–1879), а А.П. Котельникову(1865–1944) в 1895 году удалось истолковать все формулы теории кватернионов,как «неразвернутые» формулы теории обобщенных, т.н. дуальных кватернионов [3–6].Применительно к кинематике этот подход устанавливает соотношение междудвижениями тела с одной неподвижной точкой и движениями произвольного вида [7].
Постановкапроблемы
В различныхразделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства(над данным полем k), в которых кроме действий сложения и умножения на скалярыопределено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паревекторов третий вектор того же пространства – их произведение. В этой ситуациивсегда естественно предполагать, что результат умножения λy линеенпо каждому из множителей при фиксированном втором, то есть:
/>, />
Пространствос умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называетсяалгеброй над полем k.
Алгебройкватернионов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающимединицей 1 и имеющим базис 1, i, j, k со следующей таблицей умножения [1]:
x i j k
i -1k j
j – k -1i
k – j – i -1
Или в болееудобной форме:
/> /> /> />
При этомосновное поле может быть взято произвольно.
Алгебракватернионов над полем R
Наиболееинтересной является алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел.
Прежде всего,установим ассоциативность алгебры кватернионов. Для этого следует проверить 27равенств: по три возможности для каждого из 3-х множителей в равенствах типа (ab)c=а(bc), проверяемых для базисных элементов i, j, k.
Избежатьэтого можно, установив изоморфизм алгебры кватернионов над /> и некоторой алгебры матрицспециального вида над C. Единице сопоставим единичную матрицу/>2-го порядка, матрицу/>(здесь i –мнимая единица, />), матрицу /> и матрицу />.
Отсюдаследуют равенства: />(проверитьзнак) /> /> /> Они означают, чтопространство матриц Е, I, Y, K образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.
На основанииассоциативности умножения матриц делаем заключение об ассоциативности алгебрыкватернионов.
Заметим, чтоесли за основное поле принято поле C комплексных чисел, то алгебра кватернионовнад C окажется изоморфной алгебре М2(C) всех квадратных матриц 2-гопорядка над C, ибо матрицы Е, I, J, K линейно независимы над C и ихлинейные комбинации заполняют всю алгебру М2(C).
Связьалгебры кватернионов с векторами в трехмерном эвклидовом пространстве
Пусть α =а + вi + сj + dk – кватернион. Число а называется скалярнойчастью кватерниона. Сумма вi + сj + dk называется векторной частьюкватерниона α. Кватернион с нулевой скалярной частью будем называтьвекторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного эвклидова пространства.
Пусть /> и /> – два вектора-кватерниона.Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов):
/>
Здесь /> – векторное, а (u1, u2) – скалярное произведениекватернионов U1и U2. Таким образом,скалярной частью кватерниона-произведения U1U2 оказывается скалярноепроизведение векторов u1и u2, взятое с обратнымзнаком. Векторная же часть кватерниона u1u2 равна векторупроизведения векторов u1, u2. Тем самым операцияумножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет обаумножения векторов – скалярное и векторное.

Далее, можновидеть, что:
/>
Отсюда,
/> />
Из последнейформулы следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби для условных u1, u2, u3:
[u1, u2, u3] + [[u2, u3], u1] + [[u3, u1], u2] = 0.
Для этогодостаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрамиЛи.
Алгебракватернионов как алгебра с делением
Пусть данкватернион α = а + вi + сj + dk = а + u.
Кватернион /> = а – вi – сj – dk =а – u, отличающийся от α знаком векторной части, называетсясопряженным с кватернионом α. Ясно, что />.
Умножимкватернион α на сопряженный ему />.Получим
α/>= (а + u) (а – u) = а2 + аu– аu– u2= a2+ (u, u) – [u, u] = а2+ (u, u) = а2 + в2 + с2 +d2.
Поэтому, еслиα ≠0, то α/>>0.Заметим еще, что α/>=/>α.
Число /> называется модулем(нормой) кватерниона α и обозначается через модуль />. Теперь легко установить,что каждый, отличный от 0 кватернион α имеет обратный. Действительно, />, так что обратнымкватернионом для кватерниона α является />. Таким образом, алгебракватернионов над полем R есть алгебра с делением. Заметим, что здесьсущественно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принятополе R, заключение о неравенстве a2 + b2 + d2≠ 0 при α ≠0было бы неверно, например, для поля C или для вычетов по простому модулю.
ТождествоЭйлера
Начнем суникально интересной теоремы.
Теорема.Модуль произведения 2-x кватернионов равен произведению модулей сомножителей.
Доказательство.
Сначаладокажем, что кватернион, сопряженный с произведением 2-х кватернионов, равен произведениюсопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке.
Действительно,пусть α = а + u, β = в + v, где а, в /> R, u и v –вектор-кватернионы. Тогда αβ = аb+ аv + вu+ vu = ab– (uv) + av+ bu + [u, v].
Далее, />= аb– ub+ vu = аb – (u, v) – аv – bu + [v, u] = аb– (u, v) – аv – bu – [u, v] = αβ.
Теперь имеем:
/>,
откуда />, что и требовалосьдоказать.
Рассмотримтеперь тождество />через компонентыкватернионов, положив
α = а1– b1i– c1j– d1k, β = а2 –в2i– с2j– d2k так, что

αβ=a1a2+b1b2+c1c2-d1d2+(а1b2-в1a2-с1d2+d1c2) i+(а1c2+b1d2-с1a2-d1b2) j+(а1a2-в1c2+с1b2-d1a2) k.
Получимизвестное тождество Эйлера:
(а12+в12+с12+d12)(а22+в22+с22+d22)=(а1a2+b1b2+с1c2+d1d2)2+(а1b2-b1a2-с1d2+d1c2)2+(а1c2-b1d2-с1a2-d1b2)2+(а1d2-b1c2+с1b2-d1a2)2,
позволяющее выразитьпроизведение двух сумм квадратов в виде суммы 4 квадратов билинейных выражений.Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождествосвязано с умножением комплексных чисел) и для сумм 8 квадратов. Оказывается,что аналогичных тождеств для сумм n квадратов, кроме перечисленных при n = 2,4,8и тривиального тождества при n = 1, не существует.
Вращениетрехмерного евклидова пространства
Пусть u, v, w – тройка попарноортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка i, j, k. Тогда согласно правилуумножения векторов в алгебре кватернионов получим υ2 = v2 =ω2 = -1. Далее, υv = – vυ + [υ, v] = [υ, v]= ω. Здесь воспользуемся тем, что векторное произведениевзаимоортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональномук ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов i,j, k. Аналогично, vυ = -ω; vω = -ωv = υ; ωυ =-υω = ω. Таким образом, правило умножения векторов υ, v, ωявляется полным аналогом правила умножения векторов i, j, k. Иными словами,отображение 1→1, i→υ, j→v, k→ω задаетизоморфизм алгебры кватернионов на себя, то есть, автоморфизм этой алгебры.Линейное преобразование пространства векторов, отражающих тройку i, j, k натройку υ, v, ω, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование,ибо эти 2 тройки образуют ортогональные, одинаково ориентированные базисы пространствавекторов.
Всеавтоморфизмы получаются указанным способом.
Действительно,пусть υ, v, ω – φ-образы i, j, k при некотором автоморфизме.Тогда υ2 = v2 = ω2 = -1; vυ = -υv= ω; vω = -ωv = υ и ωυ = -υω = v. Изравенства υ2 = 1 заключаем, что кватернион и есть векторединичной длины. Действительно, пусть υ = а + υ1, где а –скалярная часть υ. Тогда -1 = υ2 = а2 + 2аυ1 — />, откуда 2аυ1=0. Если допустить, что υ1= 0, то 1 = а2, что невозможно.Поэтому υ ≠ 0, следовательно, а = о, />. По той же причинекватернионы υ и v являются векторами единичной длины. Далее, из того, чтоскалярная часть кватерниона υv = ω равна 0, заключаем, что векторы υи v ортогональны. По той же причине ортогональны векторы υ, ω и ω,υ, так что υ, v, ω составляют тройку попарно ортогональныхединичных векторов. Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки i, j,k, ибо в противном случае было бы υv = ω, а не vυ = ω.
Пусть теперь α– некоторый кватернион единичного модуля. Отображение х→α-1хαесть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществляетнекоторое собственное вращение пространства векторов. Пусть α=а+υ0,где а – скалярная часть α. Тогда />, так что можно положитьа = соsφ, />= sinφ, 0≤φ≤/>. Тогда α = cosφ +υsinφ, где υ – вектор единичной длины (если α = -1, то υ0= 0 и в качестве υ можно взять любой единичный вектор).
Пусть теперьv – какой-либо вектор единичной длины, ортогональный векторам υ, v, ипусть ω = υv. Выясним, как действует автоморфизм х→α-1хαна векторы υ, v, ω. Ясно, что векторы α и υ коллинеируют,так что α -1υα = υ.
Далее,
α-1=cosφ-υsinφ; α=cosφ+υsinφ;
α-1vα=(cosφ-υsinφ) v (cosφ+υsinφ)=(vcosφ-ωsinφ) (cosφ+υsinφ)=
=vcos2φ-ωsinφcosφ+vυsinφcosφ-ωυ2sinφ=v (cos2φ-sin2φ)-2ωsinφcosφ=vcos2φ-ωsin2φ;
α -1ωα=(ωcosφ+vsinφ) (cosφ+υsinφ)=vsin2φ+vcos2φ.
Итак,автоморфизм х→α-1хα не меняет вектор υ иповорачивает на угол 2φ плоскость, натянутую на вектора v и ω(считаем положительным направление вращения от v к ω), то есть, вращаетпространство векторов вокруг оси, проходящей через вектор υ, на угол 2φ.Известно, что всякое собственное вращение трехмерного пространства есть поворотвокруг оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение можетрассматриваться как трансформация х→α-1хα пространствомкватерниона с единичным модулем.
Заметим, чтопреобразование х→α-1хα при />не дает ничего нового, еслиположить /> и />прилюбом кватернионе х.
В любойассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент α порождает автоморфизмалгебры х→α-1хα, называемый внутренним автоморфизмомалгебры.
Кватернионыединичного модуля образуют группу относительно умножения. Сопоставление каждомутакому кватерниону вращения х→α-1хα трехмерногопространства векторов есть гомоморфное отображение, ибо/>, то есть, произведениюкватернионов отвечает произведение вращения. Ядро этого гомоморфизма состоиттолько из элементов />.
Действительно,α = а + bi+ сj + dk принадлежит ядру, если α-1хα = х, при любомвекторе х, т.е., если хα = αх. Положив х = i, получим с = d = 0, а, положивх = j, получим
b = d = 0.
Итак, α =а =/>1, ибо/>. Тем самым получаем, чтогруппа S0(3) собственных вращений трехмерного пространства изоморфна фактор-группе кватернионовединичного модуля по подгруппе {/>1}.
Представлениетрехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион,связанный с вращением, определяет непосредственно его геометрические характеристики– ось вращений и угол поворота. При обычном задании вращения при помощи ортогональнойматрицы для определения оси вращения и угла нужно произвести некоторые вычисления.Закон умножения кватернионов тоже проще закона умножения матриц 3 порядка.
Заметим еще,что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе u(2) унитарных матриц 2-гопорядка с определителем равным единице.
Действительно,кватерниону α = а + bi + сj + dk соответствует матрица
/>,
а сопряженная
/>
– кватерниону/>.
Из равенства /> следует, что АА*=Е, т.е.матрица произведений является унитарной.
Далее, detА = а2 + b2 + с2 + d2= 1, если матрица †=/>унитарнаи detА=1, то равенство А-1=А* дает δ=/>, γ= – β, тоесть, />.
Такимобразом, отображение α→А осуществляет изоморфизм группы кватернионовединичного модуля и группы вращений u(2) – группа алгебраических преобразованийЛоренца.
Кватернионкак перспективный инструментарий фундаментальных физических моделей
В даннойработе лишь ставятся задачи, которые представляют интерес с точки зренияфизики, а точнее, новой еще не существующей науки – «физической математики».
1.Реабилитация и развитие т.н. нестандартной математики в полном объеме, вкоторой аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравненийсчитается некорректным. Тоже касается теории векторов, которые имеют смысл лишьв абсолютно изотропном и прямом пространстве, отказывая в корректности икомпактности в любом криволинейном пространстве даже постоянной кривизны, неговоря уже о произвольном т.н. «финдслеровом» пространстве.
2. При этомстановятся актуальными не только гиперкомплексные числа [5, 6], среди которых«скомпрометированные» своей некоммутативностью кватернионы, но и забытаясегодня функция sinvers, которой было предсказано большое будущее еще нашимрусским математиком П.Л. Чебышевым.
3. Из всехпроблем, способных с большей или меньшей вероятностью занять место великойтеоремы Ферма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров. />Проблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать какзадачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду. Молодымматематикам такая задача досталась в наследство от Иоганна Кеплера. Проблемародилась в 1611 году, когда Кеплер написал небольшое сочинение «Ошестиугольных снежинках». Интерес Кеплера к расположению и самоорганизациичастиц вещества и привел его к обсуждению другого вопроса – о плотнейшей упаковкечастиц, при которой они занимают наименьший объем. Если предположить, чточастицы имеют форму шаров, то ясно, что как бы они ни располагались впространстве, между ними неизбежно останутся зазоры, и вопрос состоит в том,чтобы объем зазоров свести к минимуму. В работе [8], например, утверждается (ноне доказывается), что такой формой является тетраэдр, оси координат внутрикоторого определяют базисный угол ортогональности в 109о28’, а не 90о.Эта проблема имеет огромное значение для физики элементарных частиц,кристаллографии и других разделов естествознания. На рис. 1 приведенаиллюстрация наиболее «экономной» упаковки разных и одинаковых частиц вклассическом трехмерном пространстве (рис. 1а), в которой координатноепространство имеет четыре, а не три орта, представляющие прекрасную задачу длягипергеометрических чисел от кватернионов до октав (бикватернионов) и более [5,6]. Хотя кватернион и описывает «ориентацию» объекта в пространстве и «вращение»,но принято считать, что это вращение ограниченно именно лишь ±180°.В то же время упаковка типа тетраэдра может быть названа группой лишь в рамках6-осевых поворотов, и «плоскоугольная» проекция ортогональности между всемибазисными орт-векторами равна не 90°, а «волшебные» 109°28’(рис. 1б) подобно осям молекулы СН4 (рис. 1в).
4. РецептДирака создания Новой Физики: «Прежде всего, – говорил Дирак, – нужноотбросить все так называемые «физические представления», ибо они – не чтоиное, как термин для обозначения устаревших предрассудков предшествующихпоколений».
Начинать, поего словам, следует с красивой математической теории. «Если она действительнокрасива, – считал Дирак, – то она обязательно окажется прекрасной модельюважных физических явлений. Вот и нужно искать эти явления, развивать приложениякрасивой математической теории и интерпретировать их как предсказания новыхзаконов физики», – так строится, по словам Дирака, вся новая физика, ирелятивистская, и квантовая.
Еще менееизвестно, по мнению Арнольда, что релятивистские электронные уравнения Диракаимеют корни в виде кос – древней математической теории. Он заметил, исходя изтопологии семейства эллиптических кривых в алгебраической геометрии, что вгруппе сферических кос из четырех нитей существует элемент второго порядка, иинтерпретировал это свое открытие в виде теории спина электрона, имеющего2 значения. Это означает, что для того, чтобы частица вернулась в прежнееположение, ей нужно повернуться не на 3600, а на 720.
Это былоникому не понятно, и поэтому ему не верили. Чтобы убедить физиков в справедливостисоответствующей странной математической теоремы, утверждающей, что фундаментальнаягруппа SO(3) вращений трехмерного пространства состоит из двух элементов, Диракпродемонстрировал соответствующий эксперимент, изготовив физически свою сферическуюкосу второго порядка. Почему коса? Берутся две концентрические сферы и соединяютсячетырьмя переплетенными нитями. Не шестью, как если бы хоть одно соединениебыло осевым и отвечало бы евклидовой (а, точнее, галилевой) симметрии, а четырьмя.Еще одну внутреннюю концентрическую сферу также соединяют четырьмяпереплетенными нитями, скрученными между собой (это называют «сферическойкосой»). Теперь, если убрать среднюю сферу, самая большая сфера окажетсясвязана с самой маленькой незапутанными нитями. Получается тривиальная коса. Нони Дирак, ни Арнольд не обращают внимания на то, что здесь и появляетсярадиально-сферическая система координат с ортогональностью не 900или поворотом-фракталом 3600, а все те же «кристаллические 109°28’.
«Междупрочим, сейчас ни физики, ни математики этого уже не знают. Может, один япрочитал у Дирака, как это делается и как он это придумал. А в спин физикиверят, потому что провозглашено там, дают за это нобелевские премии, значит,что уже это всем известно, что это знаменитая, великая вещь. И все верят,просто потому, что это провозглашено, что это так. Ну так вот. На самом деле,это открытие Дирака – теория спина – было основано на эксперименте,доказавшем математическую теорему». – Это цитата В.И. Арнольда.
5. Кватерниони попытка описать античастицы в микрофизике. Возможно, этому поможет то, чтоинверсным единичному кватерниону, является его сопряженный.
6.Исследование возможности использования кватернион-представлений в группах вращательныхсимметрий S0(m, n) собственных вращений n-мерного пространства, например,групп S0(1,4) и S0(2,3) де Ситтера (de Sitter) [8], постулирующих неустранимую кривизну и фундаментальную приоритетностьвращательных движений при описании любых физических объектов и объясненииизвестных физических явлений [8–10]. Это удобно, т. к. можно циклическиполучать кватернион из матрицы и обратно матрицу из кватерниона. В этом случаемы получим интегрирование вращения без использования тригонометрических функцийили квадратных корней. Крайне интересным обстоятельством является то, что вработе [7] автор формулирует четыре своеобразные аксиомы, из которых следует,что первые три из них обосновывают специальную теорию относительности, а приотказе от четвертой – Пуанкаре-инвариантности, мы получаем кватернионноеописание пространства-времени. Но в [6] перспективные результаты полученыименно при аналогичном отказе от фундаментальности 10-параметрической группыПуанкаре. Поэтому аппарат кватернионов может быть использован для описанияметрики Г. Минковского (1864–1909), инвариантной относительно преобразованияХ. Лоренца (1853–1928). Особенно перспективно, на взгляд автора,использование целочисленных алгебр Галуа, диофантовых уравнений и кватернионовв физическом моделировании космо- и микромира [6, 8].
 
 

Литература
 
1.   Мантуров О.В. и др.Толковый словарь математических терминов / под ред. проф. В.А. Диткина.М.: «Просвещение». – 1965. – 539 с.
2.  Hamilton W.R. On quaternions; or on a new system of imaginaries inalgebra. Philos. Mag., 1844, v. 25. – P.10–13.
3.   Котельников А.П. Винтовоесчисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1895. Котельников А.П. Теориявинтов и комплексные числа. Сб. Некоторые приложения идей Лобачевского вмеханике и физике. М.: Гостехиздат, 1950.
4.   Диментберг Ф.М. Теориявинтов и ее приложения. М., Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1978.
5.   Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексныечисла. М.: Наука, 1973. – 144 с.
6.   Понтрягин Л.С. Обобщениячисел. М.: Наука, 1986. – 120 с.
7.   Челноков Ю.Н. Кватернионныеи бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения.Геометрия и динамика движения. М.: ФИЗМАТГИЗ. 2006. – 289 c.
8.   Мирмович Э.Г., Усачёва Т.В. Алгебракватернионов и вращения в трехмерном пространстве // Научные и образовательныепроблемы гражданской защиты №1, 2009. – С. 75–80.
9.  Мирмович Э.Г.,Лев Ф.М. Некоторые аспекты Де-Ситтер-инвариантной динамики / Деп. вВИНИТИ №6099–84. 06.09.84 г. Хабаровск: СВ КНИИ ДВНЦ АН СССР. 1984. – 33 с. (Lev F.M. and Mirmovich E.G.,VINITI No 6099 Dep.; Lev F.M. A possible mechanism of gravity ArtworkConversion Software Inc., 1201 Morningside Drive, Manhattan Beach, CA 90266,USA. arXiv:hep-th/0307087 v1 9 Jul 2003).
10.            Ефремов А.П. Кватернионы:алгебра, геометрия и физические теории // Гиперкомплексные числа вгеометрии и физике. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. №1. 2004. – С. 112–122(www.hypercomplex.ru).
11.            Чуб В.Ф. Уравненияинерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени // Тамже. №1 (7). 2007. – С. 133–140.
12.            Березин А.В.,Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике.Минск: Наука и техника. 1989. – 211 c.
13.            Кассандров В.В. Алгебродинамика:кватернионный код Вселенной. В сб.: Метафизика. Век ХХI / Ред. Ю.С. Владимиров.М.: Лаборатория знаний. БИНОМ. 2006. – С. 142.