МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
кафедраінформатики
КОНТРОЛЬНАРОБОТА
ПОКУРСУ: Чисельні методи
натему: «Методскінчених різниць в обчислювальній математиці»
Зміст
Постановка задачі
Вступ
1 Теоретична частина
2 Програмна реалізація
Список використаної літератури
Постановка задачі
Використовуючиметод кінцевих різниць, розв’язати крайову задачу для звичайного диференціальногорівняння
/>
Вступ
Нехай потрібно чисельно розв’язати задачуКоші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайтинаближений розв’язок диференціального рівняння y/>=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x/>)=y/>.Чисельне розв’язання задачіполягає в побудові таблицінаближених значень y/>,y/>,y/>,...,y/>-розв’язку рівняння y=/>(x ) у точках x/>,x/>,x/>,...,x/> — вузлах сітки .
/>
y
yn *
y3 *
y2 *
y1 *
y0 *
O x0 x1 x2 x3 xn x
На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, щочастіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x/>=x/>+ ih (i=1,2,..,n), де h — крок сітки
( h > 0 ) .
1Теоретична частина
Методи Рунге-Кутта
Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншогооб’єму обчисленьі відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою ізформул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.
Якщо/> неперервнай обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає методчетвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:
1 />
2 />
3 /> (/>);
4 />
5 />
Якщофункція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу неможе бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядкуточності, що відповідає порядку наявних похідних.
Однимз найбільш простих і досить ефективних методів
оцінкипохибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибкиза правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані прирізних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальнапохибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді
/> />.
Заформулою Рунге
/>
Такимчином, із точністю до />(величина більш високого порядкумалості) при h→0 похибка методу має вигляд:
/>
деyi – наближене значення, отримане в точці />з кроком h; y2i – ізкроком h/2; p — порядок методу; y(x2i) — точний розв’язок задачі.
Методпрогнозу і корекції
Підправившисхему Эйлера, одержимо схему прогнозу
/>,
де/>наближенезначення />.Цю формулу використовувати не можна, оскільки схема прогнозу нестійка. Тому використовує-мо схемукорекції
/>
Оцінюючипохибки прогнозу і корекції, одержимо
/> - похибкакорекції,
/> — похибкапрогнозу .
Істинне значеннялежить між прогнозом і корекцією.На будь-якому кроці можна оцінити точністьрішення. При заданому />=0,0000001, наприклад, />.
Віднімаючи з /> співвідношення /> , маємо
/>.
Уточнюєморозв’язання, виходячи з формули />:
/>
Цяформула завершає схеми прогнозу і корекції .
Методкінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач
Маємовідрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язок лінійногодиференціального рівняння другого порядку
/>,
щозадовольняє такі крайові умови:
/> />
Вибереморівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n… Нехай/>Апроксимуємо /> і /> у кожному внутрішньомувузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями />, /> і на кінцях відрізка –односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями/>, />.
Використовуючи ці формули,одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:
/>
Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.
Введемопозначення:
/> />
Перепишемосистему з урахуванням введених позначень:
/> />
Маєморізницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутійматричній формі:
/>
Такимчином, завдання зводиться до розв’язання системилінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.
2 Програмна реалізація
Реалізація пакетом Maple
> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;
/>
Ø dsolve[interactive]( ss );
/>
/>
Списоквикористаноїлітератури
1. Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.
2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.“Численные методы”, Москва, 1987г.
3. Мусіяка В. Г. Основичисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.
4. Л. Д. Назаренко Чисельніметоди. Дистанційний курс.