Контрольнаяработа
«Методыоптимизациипри решении уравнений»
Задание №1
Определить, существует ликривая />,доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
/>
Решение: Составим уравнение Эйлераи найдём его общее решение:
/>
/>
Используем краевыеусловия:
/>
Решаем систему уравненийи получаем:
/>
Таким образом, экстремальимеет уравнение вида />
Так как
/>
то функционал на прямой /> достигаетминимума.
Задание №2
Найти, используяуравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление />, минимизирующее функционал /> для системы,описываемой уравнениями
/>,
при начальных и конечныхусловиях соответственно:
/>A B
t0
tf
x0
xf a b
0 1
0 0
1 1
1 1
Решение
Формируем задачу поисходным данным:
/> (1)
/> (2)
/>
Составим функцию Лагранжаи гамильтониан:
/>
и соответственноуравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
/> (3)
/> (4)
Используя замену (3),подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
/>/>
и находим общее решение
/> (5)
Подставим его в первоеуравнение (1):
/>
и находим общее решение:
/> (6)
Для /> из (6) и /> из (5)используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений дляконстант С1, С2, С3, С4,:
/>
Таким образом, решениеимеет вид:
/>
которое удовлетворяетначальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемойуравнениями
/>
с заданными условиями наначальное /> иконечное /> значениекоординат, найти оптимальное управление />, минимизирующее функционал
/>A B
t0
tf
x0
xf
g0 a b
0 1
0 0
1 t
1
x1(tf) = -tf2
1
Решение. Формулируем задачу поисходным данным
/> (1)
/> (2)
т.е. />,подвижна направом конце, координата /> - свободна на правом конце,
/>
Составим функциюГамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
/> (3)
и соответствующиеуравнения Эйлера-Лагранжа:
/> (4)
/> (5)
/> (6)
Составим вспомогательнуюфункцию
/>,
где />.Такимобразом:
/>. (7)
Поскольку /> и /> подвижны, то используемусловия трансверсальности:
/>
/> (8)
/> (9)
Так как не фиксированмомент времени />, то используем условиетрансверсальности
/>
Найдем значение /> при /> из (3), ноучтем, что />,а /> из (9).Тогда, учитывая (4):
/>
и используя (10) получим:
/> (11)
Подставляя (4), (5) и (6)в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
/> (12),
/> (13)
Используя начальныеусловия, можем записать:
/>
Запишем условие /> с учетом (13).Тогда:
/> (14)
Уравнения (9), (11) и(14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2и />:
/>
Подставляя 1-е уравнениево 2-е, получим:
/>,
а подставляя 1-е втретье, получим:
/>
Таким образом, решениеимеет вид:
/>
Задание №4
Используя метод динамическогопрограммирования найти оптимальное уравнение для системы
/>A B
t0
tf F a b
0 1
0 0
1 ∞
1 0
0 2 1
Решение:
Формируем задачу поисходным данным.
/> (1)
/> – не ограничено, то есть />.
/>
Составим уравнениеБеллмана с учетом того, что /> (S-функция Беллмана)
/>/> (2)
/> (3)
/> (4)
Из (3) находим:
/> (5)
Подставим (5) в (4)
/> (6)
Представим функциюБеллмана в виде квадратичной формы
/> (7)
причем это должна бытьположительно определенная квадратичная форма, а значит
/> (8)
т.е. матрица должна бытьположительно определённой.
Вычисляя выражения:
/> (9)
подставим их в (6) иобратим коэффициенты при />, /> и /> в ноль, т.к. справа у нас ноль:
/>
Отсюда:
/> (10)
/> (11)
/> (12)
Если />, то /> Þ S
/>
а следовательно а12и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.
Тогда а12 =1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид(из (5) и (9)):
/>
Задача 5
Используя принципмаксимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы
/>
в задаче:А В
t0
tf
х0
xf |u|
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1
x1®max £1
Решение:
Формируем задачу по исходнымданным:
/>
/> /> />
/> (4)
Составим функциюГамильтона
/>
Уравнения Эйлера-Лагранжаимеет вид:
/> (5)
/> (6)
/> (7)
Поскольку /> – подвижна, тоиспользуем условие трансверсальности:
/>
Но из (5) видно, что y1 = С1Þ С1 = 1. Тогдаиз (7) видно, что y3 = t2/2-C2t+C3,- то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дваждыпересечь уровень y3 = 0 и возможных порядок следования интерваловзнакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимумаследует:
/>,
а следовательно:
/>
Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды,(пусть в моменты t1 и t2) можем записать
/> (8)
Подставим /> в (3) и получим,проинтегрировав уравнение (3)
/> (9)
Используя начальные иконечные условия для х3 и условия непрерывности /> в t1 и t2получим:
/> (10)
Подставим (9) и константыиз (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
/> /> (11)
Используя начальные иконечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2,получим:
/>
Используем непрерывность /> при /> и />:
/>
/>
Собрав уравнения (10) иполученное уравнение составим систему уравнений:
/> (12-14)Подставив (12) в (13), получим уравнение
/>.
Подставим (13) вполученное уравнение (вместо />):
/>
Тогда t1 из(12) равно
/>
и, наконец,
/>
Подставим (11), с учетомнайденных констант в (1):
/> /> (15)
Исходя из начальногоусловия и условия непрерывности получим:
/>
Таким образом: моментыпереключения: t1=1/4, t2=3/4, а /> заданы уравнениями(15), (11), (9)и (8) с известными константами.
Задание №6
Установить управляемостьи наблюдаемость линейной системы:
/>
где
/>.
Решение:
Для оценки управляемостисоставим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2B):
/>
Таким образом
/>
Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можновидеть, что
/>.
Следовательно, rang(Y)=3=nи система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемостисистемы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT, ATCT,(AT)2 CT);
/>
/>.
Таким образом
/>
Взяв минор из 1, 2 и 3столбцов можно видеть, что
/>
Таким образом rang(H) = 3= n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы />и квадратичногокритерия
/>
выполнить синтезоптимального управления с обратной связьюA B Q R
0 1
1 0
1
1 0
0 0 1
Решение: Требуется выполнитьсинтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическимматричным уравнением Риккати:
/>
где
/>,
причем матрица l>0 (положительно определена).
/>/>
Сравнивая коэффициентыматрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:
/>
Решая систему уравнений с учетомположительной определенности матрицы l, получим:
/>/>
Тогда для уравнения,которое имеет вид
/>
получим:
/>