Оценка времени жизни кольца Плутона в атмосфере
планеты
Н.И. Перов
Введение
На
основании 60-летних наблюдений астрономов Главной астрономической обсерватории
РАН периодических изменений блеска системы Плутон-Харон, происходящих с
периодом 7,8 лет [3], в работе [2] , с использованием модели движения частицы в
рамках дважды осреднённой ограниченной задачи трёх тел, с учётом сжатия
Плутона, было сделано предположение о существовании вблизи Плутона на
расстоянии 2510-2520 км гипотетического кольца, состоящего из частиц с
характерным радиусом Rr. Поскольку радиус Плутона составляет RPl =1137 км [4],
то естественно ожидать, что атмосфера Плутона будет ограничивать
космогонический срок жизни такого кольца. Для состава атмосферы Плутона и
величины давления на его поверхности получены приближённые оценки. В частности,
в работе [4] утверждается, что атмосфера Плутона состоит в основном из азота,
окиси углерода и примеси метана, а давление (p0) на поверхности планеты
составляет всего несколько микробар при температуре (T) 35-45 K.
Поставим
задачу определения космогонического времени жизни (τ) спутникоподобного
объекта радиуса Rr, плотности ρr, который в начальный момент времени
находится на круговой орбите на расстоянии rr от центра Плутона и движется в
атмосфере планеты. Примем, что плотность атмосферы Плутона (ρ), при
неизменной температуре, изменяется по экспоненциальному закону, при изменении
ускорения свободного падения (g) с высотой. Вследствие торможения радиус орбиты
объекта будет уменьшаться, и по истечении времени (τ) этот объект упадёт
на поверхность Плутона (поверхность Плутона на 70% состоит из скальных пород и
на 30% - из льда).
Основные уравнения
Известно
[1], что объект, движущийся со скоростью V относительно окружающей его
атмосферы, подвержен воздействию аэродинамических сил, которые можно разложить
на две компоненты: сопротивление D, действующее в направлении, противоположном
V, и силу в плоскости, перпендикулярной V. Выражение для D записывают в
аэродинамике [1] обычно в виде
ρVVSCD ,
(1)
где
ρ
- плотность окружающей среды,
S
- характерная площадь объекта (обычно - это площадь сечения объекта плоскостью,
перпендикулярной направлению движения).
В
дальнейшем будем предполагать отсутствие сил в направлении, перпендикулярном
движению (если бы они действовали, возникла бы компонента по направлению
движения, изменяющая D и делающая изложенную ниже теорию несостоятельной).
Значение
CD примем равным 2,2 в соответствии с монографией [1] , где показано, что для
искусственных спутников Земли самой разнообразной формы и находящихся на
различных высотах над поверхностью Земли CD (2,1 ; 2,35).
Плотность
атмосферы Плутона зависит от многих факторов (расстояния Плутона от Солнца,
солнечной активности, температуры дневного и ночного полушарий Плутона).
Учитывая изменение ускорения свободного падения (g) с высотой (h), плотность
(ρ) изотермической атмосферы Плутона представим в виде
, (2)
где
μ - молярная масса (азота), RPl - радиус Плутона, -
универсальная газовая постоянная, G - гравитационная постоянная, MPl - масса
Плутона.
Величина
V в формуле (1) в общем случае является скоростью движения объекта относительно
окружающей среды (атмосферы Плутона). Если обозначить через v скорость движения
объекта относительно центра масс Плутона, а через VA - скорость движения
атмосферы планеты (вследствие осевого вращения Плутона с периодом PPl), то
V=v-VA
(3)
С
учётом возмущений от сопротивления атмосферы Плутона дифференциальное
уравнение, описывающее орбитальную эволюцию частицы массы mr гипотетического
кольца планеты, примет следующий вид
d2r/dt2
= - rr + D/mr (4)
В
уравнении (4) второе слагаемое - ускорение, обусловленное торможением в среде -
должно быть существенно меньше первого члена - гравитационного ускорения. При
малых значениях величины |D/mr| скорость |v| приближённо будет совпадать со
скоростью движения объекта по невозмущённой орбите
(5)
Здесь
a - большая полуось орбиты частицы-спутника Плутона.
Рассматривая
круговые (rr=a), экваториальные орбиты объектов (лежащие в плоскости экватора
Плутона), выражая h через a и RPl,
h=a-RPl,
(6)
Выражая
S и mr через Rr и ρr (для сферических частиц) ,
S
=πRr2; mr=Rr3ρr,
(7)
От
уравнений (1) - (7) (дифференцируя (5) по времени (t) и используя (4)) ,
перейдём к уравнению изменения большой полуоси орбиты (a) с течением времени
(t) - da/dt
(8)
В
уравнении (8) знак "-" соответствует одинаковым направлениям скоростей
объекта и атмосферы Плутона, а знак "+" - противоположным . Для
больших полуосей орбит мелких спутников Плутона, удовлетворяющих условию
a10 м) и плотные (ρr>1000 кг/м3 ) тела выпадают на поверхность
планеты.
Разделяя
в уравнении (8) переменные a и t, используя новую переменную ξ=1/ и интегрируя
в пределах от ξн=6,299·10-4 м-1/2 до ξк=8,648·10-4 м-1/2, получим
окончательную формулу для определения времени жизни τ объектов, образующих
кольцо Плутона
(9)
Таким
образом, при сделанных предположениях, время жизни спутникоподобных тел вблизи
Плутона прямо пропорционально произведению радиусов этих тел и их плотности и
обратно пропорционально давлению у поверхности планеты. Это время жизни также
зависит сложным образом от других параметров, как атмосферы (μ, T), так и
планеты (MPl, RPl).
ПРИМЕРЫ:
Для
численных оценок определим время жизни: 1) "короткоживущих" и 2)
"долгоживущих" частиц в атмосфере Плутона. Примем следующие значения
параметров Плутона и его атмосферы [4]:
G=6,672·10-11
Нм2/кг2,
μ=28·10-3
кг/моль,
RPl=1137000
м,
MPl=1,27·1022
кг,
=8,31
Дж/(К·моль),
aн=2520000
м, ξн=6,299·10-4 м-1/2,
aк=1337000
м, ξк=8,648·10-4 м-1/2,
СВ=2,2.
Результаты
вычислений для различных частиц и условий приведены в таблице (I - значение
интеграла (9), вычисленного по методу Симпсона при 2m=200)
N
T
К
p0
Па
ρr
кг/м3
Rr
м
I
м1/2
Τ
годы
1
45
1
100
0,1
3,47·10-10
3,31·105
2
35
0,1
1000
1
2,05·10-13
1,28·1012
Из
вышеизложенного следует, что время жизни крупных (Rr>10 м) и плотных
(ρr>1000 кг/м 3) частиц в атмосфере Плутона превосходит на несколько
порядков время жизни (τ) мелких (Rr