--PAGE_BREAK--
2. Практическая часть
Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной
бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.
G=
x
2= y
2
=(
xy
)3
>
, n = 24.
По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e
является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной
системой образующих для нашей группы будет являться система из двух
элементов — {x, y}. Определим единицу данной группы.
xy
=
yxyx
y
2
=(
yxyxxyxy
)
xy
,
yxyxxyxy
=
e
,
x
8
=
y
8
=
e
2.1. Доказательство того, что в группе
n
элементов.
Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число
элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы
через образующие.
Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и
y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем
дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова
длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже
имеющимся с помощью определяющих соотношений: x8= e , y8= e , x
2= y
2
=(
xy
)3.
Если нам это удается, то для полученного “старого” слова
процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.
дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В
итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.
1. e
2. x
3. y
4. x2
5. xy= x2 yxyx
6. yx= x3 yxy
7. x3
8. x2 y =y x2 = y3
9.
xyx
10. xy2 = y2 x
11. yxy= x5 yx= x3 yx y2
12. x4 =x y2 x= x2 y2
13. x3 y= x y3 =xy x2
14.x2 yx= yx y2= y3 x=y x3
15. xyxy=yxyx
16. x5 = x3 y2
17. x4 y = x2 y x2
18. x3 y x=xyx y2
19. x2 y xy=yxy x2
20. x6 = x4 y2
21. x5 y = x3 y x2 = x4 yxy
22. x4 yx= x2 yx y2
23. x7 = x5 y2
24. x6 y = x4 y x2
Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.
1. e
2. x
3. y
4. x2
5. xy
6. yx
7. x3
8. x2 y
9. xyx
10.xy2
11. yxy
12.x4
13.x3 y
14. x2 yx
15.xyxy
16.x5
17.x4 y
18. x3 y x
19.x2 y xy
20.x6
21. x5 y
22. x4 yx
23. x7
24. x6 y
2.2 Определение порядков элементов.
1. o(e)=1
2. o(x)=8
3. o(y)=8
4. o(x2)=4 x2x2x2 x2=e
5. o(xy)=12
6. o(yx)=12
7. o(x3)=4
8. o(x2 y)=4
9. o(xyx)=8
10.o(yxy)=8
11.o(x
4)=2
12.o(x
3
y)=8
13.o(x
2
yx)=4
14.o(xyxy)=6
15.o(yxyx)=4
16.o(x
5)=8
17.o(x
4
y)=8
18.o(x
3
y
x)=8
19.o(x
2
y
xy)=8
20.o(x
6)=4
21.o(x
5
y)=8
22.o(x
4
yx)=4
23.o(x
7)=8
24.o(x
6
y)=4
В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:
Обозначение
H1
H2
C1
L1
L2
C2
C3
H3
c4
H4
A1
H5
C5
F1
H6
Элемент
x
y
x2
xy
yx
x3
x2 y
xyx
yxyx
yxy
x
4
x
3
y
x
2
yx
xyxy
x
5
Обозначение
H7
H8
H9
C6
H10
C7
H11
C8
Элемент
x
4
y
x
3
y
x
x
2
y
xy
x
6
x
5
y
x
4
yx
x
7
x
6
y
2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.
Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.
Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x8= e , y8= e ,
x
2= y
2
=(
xy
)3, а также на ряде производных соотношений.
Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:
e
a1
C1
c2
c3
c4
c5
c6
C7
C8
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
H8
H9
H10
H11
F1
L1
L2
a1
e
C6
H11
C8
H5
F1
C1
L2
C3
H6
H7
H4
H3
C4
H1
H2
H9
H8
L1
C2
C5
H10
C7
C1
C6
A1
H6
H7
L1
C7
e
F1
H2
C2
C3
H8
H9
H10
H11
C8
H4
H3
C4
H1
L2
H5
C5
C2
H11
h6
C6
H10
C3
H4
H1
H9
l1
A1
H5
C7
L2
C8
e
C4
F1
C5
H2
C1
H3
H7
H8
C3
C8
H7
H10
C6
H4
H11
H2
H1
C1
C5
A1
C2
H10
L1
F1
e
H5
C4
H8
L2
C2
H9
H6
C4
H5
L1
C3
H4
C5
A1
H10
C6
H3
H2
H1
C2
H11
F1
H8
H9
H6
H7
L2
C8
e
C7
C1
C5
F1
C7
C8
H3
A1
H5
L2
H10
H4
H7
H9
H11
C2
e
H2
H8
H1
H6
C1
C3
C4
C6
L1
C6
C1
E
H1
H2
H10
L2
A1
C5
H7
H11
C8
H9
H8
L1
C2
c3
H3
H4
H5
H6
C7
C4
F1
C7
L2
F1
H2
H8
C6
H10
C5
C4
H9
C8
H3
H1
H6
C1
C3
F1
C2
H11
A1
H7
L1
e
H5
C8
C3
H2
L2
C1
H3
C2
H7
H6
C6
F1
e
H10
L1
H4
C5
A1
C4
H5
H9
C7
H11
H8
H1
H1
H6
C2
A1
H5
H2
H8
H11
H4
C4
C1
L1
C5
F1
H7
C6
H10
C7
L2
C8
e
H9
C3
H3
H2
H7
C3
C5
A1
H8
H6
C8
H11
e
L2
C1
C4
H5
H9
C7
C6
L1
H10
H3
F1
H1
H4
C2
H3
H4
H8
H10
L2
C2
C3
H9
H7
C7
H5
F1
C6
C1
H11
C4
C5
e
A1
H1
L1
C8
H6
H2
H4
H3
H9
L2
H10
H11
C2
H8
H2
L1
F1
c5
C1
C6
C8
h5
C4
A1
e
H6
C7
C3
H7
H1
H5
C4
H10
H4
H11
F1
e
L1
C1
C2
H8
H6
C3
C8
C5
H9
H1
H7
H2
C7
H3
A1
L2
C6
H6
H1
H11
e
C4
C5
H9
C2
H3
H5
C6
H10
F1
C5
H2
C1
L1
L2
C7
C3
A1
H8
C8
H4
H7
H2
C8
F1
e
H9
H1
C3
C2
A1
C7
C6
H5
C4
H8
L2
C1
H10
L1
H4
C5
H6
H3
H11
H8
H9
H4
C4
H5
H2
H1
H3
C8
F1
C7
L2
e
A1
H7
L1
H10
C1
C6
C2
C5
H2
H11
C3
H9
H8
H3
H5
F1
H1
H2
H4
C3
C5
L1
C7
A1
e
H6
H10
L2
C6
C1
H11
C4
H7
C2
C8
H10
L1
C4
H9
H1
L2
C1
H5
A1
H6
H4
H11
H7
H2
C7
H3
C2
C8
C3
F1
H8
C6
C5
e
H11
C2
H1
C1
L1
C8
H3
H6
H8
H10
e
C4
L2
C7
C3
A1
H5
C5
F1
H7
C6
H4
H2
H9
f1
C5
L2
H3
C2
e
C4
C7
L1
H11
H9
H8
C8
C3
A1
H7
H6
H2
H1
C6
H4
H5
C1
H10
l1
H10
H5
H8
H6
C7
C6
C4
e
H1
H3
C2
H2
H7
L2
H4
H11
C3
C8
C5
H9
C1
F1
A1
L2
C7
C5
H7
H9
C1
L1
F1
H5
H8
C3
H4
H6
H1
C6
C8
H3
H11
C2
e
H2
H10
A1
C4
Основным методом проверки правильности составления является присутствие
каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце один раз.
Из данной таблицы находим центр группы, сравнивая строку и столбец одного и
того же элемента, т.е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.
В итоге получаем следующее множество: Z(G) = {e, a1,c
1}.
продолжение
--PAGE_BREAK--