Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущенак защите
Зав.кафедройШеметков Л.А.
«» 2008 г.
Курсовая работа
Уравнения и неравенства с модулем нацентрализованном тестировании
Исполнитель:
студентгруппы М-51 С.М. Горский
Научныйруководитель:
к.ф.-м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2008
Оглавление
Введение
Абсолютная величина иеё свойства
Простейшие уравнения инеравенства с модулем
Графическое решениеуравнений и неравенств с модулем
Иные способы решенияуравнений и неравенств с модулем
Метод раскрытия модулей
Использованиетождества, при решении уравнений
Решение уравненийсодержащих модули неотрицательных выражений
Решение уравнений сиспользованием геометрической интерпретации
Решение уравнений сиспользованием тождества
Применение теоремы ознаках при решении уравнений
Решение уравненийпереходом к следствию
Решение уравненийметодом интервалов
Решение уравненийдомножением на положительный множитель
Типовые тестовыезадачи, содержащие переменную под знаком модуля
Заключение
Список использованныхисточников
Введение
Понятиеабсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числакак в области действительных, так и в области комплексных чисел.
Этопонятие широко применяется не только в различных разделах школьного курсаматематики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук,изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используютсяпонятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механикеи геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Вматематическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится вопределениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др.Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математическихолимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ.
Программойшкольного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний омодулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данныйпробел и пытается восполнить настоящий диплом.
Дипломнаяработа состоит из 5 разделов.
Впервом разделе приведены равносильные определения модуля, его геометрическаяинтерпретация, свойства абсолютной величины. На примере показано, как используямодуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областьюопределения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Так жепоказано на примере, как линейный сплайн, предствавить в виде одного уравненияс модулями. Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойствамодуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины,возникают в процессе решения.
Вовтором разделе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств смодулями, решение которых не требует использование трудоемкого процессараскрытия модулей.
Втретьем разделе представлено графическое решение уравнений и неравенств,содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенствс модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этомразделе рассмотрены построение графиков функций />,/> и />. Много внимания уделенопостроению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений подзнаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиковфункций с ``вложенными'' модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций,содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющиеэффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так ирешать задачи с параметрами.
Вчетвертом разделе представлены дополнительные методы решения уравнений инеравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описантрудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый методраскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можнорешить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использованиятождества />; рассмотрены методгеометрической интерпретации, использование тождества />, применение теоремы ознаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения наположительный множитель.
Впятом разделе приведены примеры решения типовых тестовых задач связанных спонятием абсолютная величина. Приведены решения как ``стандартных'' задач, врешении которых необходимо получить какую-либо комбинацию решений, так изаданий с параметрами. Для некоторых задач приведено несколько способоврешения, иногда указаны типичные ошибки возникающие в процессе решения. Длявсех заданий приведено наиболее эффективное, по быстроте, решение.
Абсолютная величина и её свойства
Модуль.Свойства модуля
Определение.Модуль числа /> или абсолютнаявеличина числа /> равна />, если /> больше или равно нулю иравна />, если /> меньше нуля:
/>
Изопределения следует, что для любого действительного числа />, />.
Теорема Абсолютнаявеличина действительного числа /> равнабольшему из двух чисел /> или />.
1.Если число /> положительно, то /> отрицательно, т. е. />. Отсюда следует, что />.
Вэтом случае />, т. е. /> совпадает с большим издвух чисел /> и />.
2.Если /> отрицательно, тогда /> положительно и />, т. е. большим числомявляется />. По определению, в этомслучае, /> --- снова, равно большемуиз двух чисел /> и />.
Следствие Изтеоремы следует, что />.
Всамом деле, как />, так и /> равны большему из чисел /> и />, а значит, равны междусобой.
Следствие Длялюбого действительного числа /> справедливынеравенства />, />.
Умножаявторое равенство /> на /> (при этом знак неравенстваизменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: />, /> справедливые для любогодействительного числа />. Объединяяпоследние два неравенства в одно, получаем: />.
Теорема Абсолютнаявеличина любого действительного числа /> равнаарифметическому квадратному корню из />: />.
Всамом деле, если />, то, поопределению модуля числа, будем иметь />.С другой стороны, при />, />, значит />.
Если/>, тогда /> и /> и в этом случае />.
Этатеорема дает возможность при решении некоторых задач заменять /> на />.
Геометрически/> означает расстояние накоординатной прямой от точки, изображающей число />,до начала отсчета.
Если/>, то на координатной прямойсуществует две точки /> и />, равноудаленной от нуля,модули которых равны.
Если/>, то на координатной прямой/> изображается точкой />.
Свойствамодуля
/>
Изэтого свойства следует, что />; />.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Равносильныепереходы между уравнениями с модулями
Тема``Абсолютная величина'' (или ``Модуль числа'') является наиболееэксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняетсяощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством,что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений инеравенств с одной и той же областью определения можно представить в видеодного равносильного сравнения.
Посмотрим,на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенствпреобразуется к одному равносильному уравнению.
/>
/>
Воснове указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вариантприведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа />
/>
/> >
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Линейныесплайны
Пустьзаданы /> --- точки смены формул.Функция />, определенная при всех />, называется кусочно-линейной,если она линейная на каждом интервале />,/>, />, ...,/>, т. е.
/>
гдеобозначено />, />.
Еслик тому же выполнены условия согласования
/>
торассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывнаякусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.
Подобныйграфик изображен на рисунке (??):
pics/ex1.eps
Функциюс графиком, показанным на этом рисунке, можно задать и одной и тремя формулами:/>
Однаконетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используямодули: />. Оказывается, что и любуюнепрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулойвида
/>(??)
гдечисла />, />, />, ..., /> легко найти по графикуданной функции.
Заметим,что две ломанные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссамивершин />, />, ..., /> совпадают, если у нихравны угловые коэффициенты всех ``одноименных'' звеньев и имеется общая точка.Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат однойточки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка /> берется за исходную, см.рисунок (??).
pics/ex2.eps
Отмеченныйфакт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейнойфункции, заданной своим графиком. Напомним, что /> равняется/>, если />, и />, если />. Поэтому на каждом изпромежутков />, />, ..., />, на которые числоваяпрямая разбивается точками, функция, определяемая формулой ((??)), будетлинейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициентасоответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при /> после раскрытия всехмодулей в выражении ((??)) на соответствующих этим звеньям промежутках,находим:
/> (??)
Вычитаяиз второго равенства первое, получаем /> вычитаяиз третьего второе, получаем /> и т. д.Мы приходим в итоге к соотношениям
/>
Складываяпервое равенство с последним, получаем /> откуда
/> (??)
Обратно,нетрудно проверить, что из равенств (3) и ((??)) вытекают соотношения ((??)).
Итак,если коэффициенты /> определяютсяформулами (3) и ((??)), то угловые коэффициенты всех звеньев графика функции ((??))совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и,значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для ихсовпадения.
Этоговсегда можно добиться выбором подходящего значения оставшегося пока неопределенным коэффициента />. С этойцелью достаточно подставить в формулу ((??)), коэффициенты которой ужевычислены из соотношений (3) и ((??)), координаты какой-либо одной точки даннойломаной и найти /> из полученногоравенства.
Пример Найдемуравнение ломаной, изображенной на рисунке (??) (треугольный импульс).
pics/ex3.eps
Решение.Угловыекоэффициенты звеньев таковы: />, />, />, />. Поэтому />.
Значит,уравнение данной ломаной имеет вид
/>
Найдемзначение коэффициента /> из условия />, подставляя координатывершины (0; 1) нашей ломаной в уравнение, получим />, откуда находим, />, и уравнение окончательнозапишем в виде
/>
Примерырешения задач, использующих свойства модуля
Пример Внекотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разностиих высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можноогородить забором длиной 200 м.
Решение.Пустьдеревья высотой /> растут в точках />. Тогда по условию />. Следовательно, длиналоманой /> не превосходит />м. Эту ломаную можноогородить забором, длина которого не превосходит 200 м (см. рис. (??)).
/>
Пример Наотрезке /> числовой оси расположенычетыре точки: />, />, />, />. Докажите, что найдётcяточка />, принадлежащая />, такая, что />.
Решение.Точки/>, />, />, /> делят отрезок /> не более чем на пятьчастей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше />. Возьмём за /> центр этого интервала.Расстояние от /> до концов этогоинтервала не меньше />, а до другихточек из числа />, />, />, /> --- больше />. Поэтому два из чисел />, />, />, /> не меньше />, а остальные два строгобольше />. Так что все обратныевеличины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратныхвеличин меньше 40, что и требуется.
Пример Дватела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым /> и />, пересекающимися подпрямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой /> от точки /> к точке />, находящейся на расстоянии2 км от точки />. Второе телодвижется со скоростью 4 км/ч по прямой /> отточки /> к точке />, находящейся на расстоянии3 км от точки />. Найтинаименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.
Решение.Через/> часов первое тело будетнаходится от точки /> на расстоянии /> км, а второе — нарасстоянии /> км. По теореме Пифагорарасстояние между телами составит />. /> км.
Ответ./> км.
Пример Пункты/> и /> расположены напрямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта /> в направлении пункта /> выходит автомашина,двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта /> в том же направлении спостоянным ускорением 32 км/ч /> выходитмотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течениипервых двух часов движения.
Решение.Расстояниемежду автомобилем и мотоциклом через /> часовсоставит />. />.
Ответ.16км.
Пример Изпункта /> в пункт /> вышел пешеход. Не позжечем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт /> один из них пришел раньшедругого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они быпришли в пункт /> с интервалом неболее чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу напуть от /> до />, если скорость одного изних в 1,5 раза больше скорости другого.
Решение.Пусть/> и /> (мин) — время,затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из /> в />, и пусть второй пешеходвышел позже первого на /> минут. Рассмотри2 возможности 1) /> и 2) />. В случае /> имеем равенство /> и систему
/>
Изпервого и третьего неравенства получим />,учитывая второе условие получим, что />, и этов свою очередь дает равенства /> и />. Т.о. />, />, />.
Вслучае /> имеем /> и сиcтему
/>
Нотак как />, то система не совместна,и, следовательно, случай 2 не может иметь места.
Ответ./>, />, />.
Пример Порасписанию автобус должен проходить путь />,состоящий из отрезков />, />, /> длиной 5, 1, 4 кмсоответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта /> в 10 ч, он проходит пункт /> в 10 ч 10 мин, пункт /> в 10ч 34 мин. С какойскоростью /> должен ехать автобус,чтобы время за которое автобус проходит половину пути от /> до /> (со скоростью />), сложенное с суммойабсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов /> и />, превышало абсолютнуювеличину отклонения от расписания при прохождении пункта /> не более, чем на 28 мин.
Решение.Условиезадачи приводит к системе
/>
котораяимеет единственное решение />.
Ответ.30км/ч.
Пример Согласнорасписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из /> в /> длиной 15 км за 1 час. Приэтом выходя из пункта /> в 12ч, онприбывает в пункты /> и />, отстоящие от /> на растояние 11 км и 13 кмсоответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катердвигался из /> в /> без остановок с постояннойскоростью /> (относительно воды), тосумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты />, />, /> не превышало быуменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км соскоростью /> в стоячей воде. Какой изпунктов находится выше по течению: /> или />?
Решение.Рассмотрим2 случая 1) пункт /> находится вышепо течению 2) пункт /> находится нижепо течению.
Впервом случае получаем систему
/>
котораяне имеет решения. Тогда выполняется второй случай.
Ответ./>.
Пример Данытри квадратных трехчлена: />, /> и />. Докажите, что уравнение /> имеет не более восьмикорней.
Решение.Каждыйкорень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов />, />, /> с некоторым наборомзнаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, таккак коэффициент при /> имеет вид />, т.е. отличен от нуля.Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения,имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения /> содержатся среди корнейчетырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.
ПримерШабат Г.Б. Бесконечная последовательность чисел/> определяется условиями: />, причем />. Докажите, чтопоследовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае,если /> рационально.
Решение.Если/>, то />. Действительно, />. Если /> рациональное, то /> рациональное, причем сознаменателем не большим чем у />.Действительно, пусть /> --- несократимаядробь. Тогда
/>
Еслиэта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у />, если она сократима, топосле сокращения знаменатель уменьшится.
Итак,все члены последовательности — рациональные числа, заключенные между 0 и 1,т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большимизаданной величины />, — конечноечисло. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого моментапоследовательность будет периодической.Простейшие уравнения и неравенства с модулем
Кпростейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения,решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: />(??)(??)(??)(??)
Примерырешения простейших уравнений.
Пример Решимуравнение />.
Решение.
/>
Ответ./>.
Пример Решимуравнение />.
Решение.
/>
Ответ./>.
Пример Решимуравнение />.
Решение.
/>
Ответ./>.
Остановимсяподробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей [??] (формулы (??)--(??)).
Теорема Суммамодулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда,когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическуюсумму.
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.Таккак />, то мы имеем равенствовида />, где />, />. Поэтому исходноеуравнение равносильно системе:
/>
/>
Ответ./>.
Теорема Суммамодулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и толькотогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическуюсумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.``Загоняем''коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:
/>
Поконстантам получаем />. Действительно, />, то есть уравнение имеетвид />. Следовательно, уравнениеравносильно совокупности двух систем:
/>
тоесть />.
Ответ./>.
Кпростейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства,решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:
/>(??)
/>(??)
Примерырешения простейших неравенств.
Пример Решимнеравенство />.
Решение.
/>.
Ответ./>.
Пример Решимнеравенство />.
Решение.
/>
Ответ./>.
Какни странно, но /> достаточно,чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.
Пример Решитьнеравенство
/>
Решение.
/>
/>
/>
Ответ./>.
Пример Решитьнеравенство
/>
Решение.Относительнолюбого модуля данное неравенство имеет вид />.Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем
/>
/>
Ответ./>.
Пример Прикаких значениях параметра /> неравенство
/>
выполняетсяпри всех значениях />?
Решение.Исходноеуравнение равносильно системе:
/>
Выполнениедля всех /> исходного неравенстваравносильно выполнению для /> всехнеравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всехчетырёх квадратных трёхчленов неположительны: />
Ответ./>.
Пример Найтивсе значения параметра />, при каждом изкоторых число целочисленных решений неравенства
/>
максимально.
Решение.Таккак /> то исходное уравнениеравносильно системе:
/>
Посколькуоба неравенства в системе линейны относительно />.Решим систему относительно />:
/> (??)
Условиясуществования параметра /> равносильнотребованию
/>
/>
/> (??)
Неравенство(??) объявляет все значения />,которые могут быть решением исходного неравенства хотя бы при одном значениипараметра. Следовательно, целочисленными решениями исходного неравенства могутбыть только целые числа из промежутка />,то есть
/> (??)
Естественно,что для любого целого числа из набора (??) надо выяснить, при каких значенияхпараметра /> это число будет решениемисходного неравенства.
Посколькуисходное неравенство равносильно (??), то поочерёдно подставляя числа из набора(??) в неравенства (??), мы сразу и найдём все соответствующие значенияпараметра. Имеем
/>
Чтобывыявить значения параметра, при которых исходное неравенство имеет максимальноечисло целочисленных решений, воспользуемся ``разверткой'', полученнойинформации вдоль от параметра (см. рис. (??)):
/>
Очевидно,что максимальное количество целочисленных решений равно трём, и этодостигается, когда /> или />.
Ответ./>.
Графическое решение уравнений инеравенств с модулем
Решениеуравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать неаналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).
Построениеграфиков вида />, /> и />
Отметимправило построения графика функции />.
1)Строим сначала график функции />.
2)Там, где график функции /> лежитвыше оси /> или на ней, оставляем егобез изменения; точки графика, которые лежат ниже оси />, заменяем симметричными имотносительно оси /> точками.
Дляпримера, на рисунке (??) изображен график функции />.
/>
Дляпостроения графика функции /> cтроимграфик функции /> для /> и отображаем симметричноотносительно оси />.
Дляпримера, на рисунке (??) изображен график функции />.
/>
Дляпостроения графика функции /> строимграфик функции /> для /> и симметрично отображаемотносительно оси />.
Дляпримера, на рисунке (??) изображен график функции />.
/>
Пример Построитьграфик функции />.
Решение.Воспользуемсяправилами преобразования графиков.
1.График функции /> --- биссектрисапервого и третьего координатных углов.
2.График функции /> получается изграфика функции /> отображением егочасти, расположенной ниже оси абсцисс (при />)симметрично относительно оси абсцисс.
3.График функции /> получается изпредыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.
4.Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем графикфункции />.
5.Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительноэтой оси. Итак, получаем график данной функции (см. рис (??)).
/>
Исследуемаяфункция допускает другую форму записи />
Пример Взависимости от параметра />, найтиколичество решений уравнения
/>
Решение.Построимграфик функции /> (см. рис. (??)).
/>
Взависимости от положения прямой />,получаем следующее: при /> неткорней, при /> --- бесконечно многокорней, при /> --- четыре корня, при /> --- три корня, при /> --- два корня.
Пример Докажите,что на графике функции /> можно отметитьтакую точку />, а на графике функции /> --- такую точку />, что расстояние /> не превышает />.
Решение.Положим/>. Точка /> с координатами />, где />, очевидно, лежит награфике функции />.
Рассмотримположительное число />. Тогда />, следовательно, точка /> с координатами /> лежит на графике функции />.
Расстояниемежду точками /> и /> равно />. Но из равенства /> следует, что />, />, />.
Пример Накоординатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являютсярешениями уравнения: />.
Решение./> или />.
Ответ.см.рисунок (??)
/>
Пример Данафункция />. Сколько решений имеетуравнение />?
Решение.Пусть/> --- решение уравнения />, а />. Тогда и />, а потому точка скоординатами /> лежит на каждом изграфиков /> и />. Наоборот, если точка /> лежит на пересечении этихграфиков, то /> и />, откуда />. Тем самым показано, чточисло решений уравнения /> совпадаетс числом точек пересечения графиков /> и />, а их 16 (см. рис. (??)).
/> Ответ. 16.
Графикифункций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины
Сформулируемутверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, нераскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).
Теорема Алгебраическаясумма модулей /> линейныхвыражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из /> прямолинейного участка.Поэтому график может быть построен по /> точкам,/> из которых представляютсобой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка, сабсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя — с абсциссой,большей наибольшего из этих корней.
Замечание.Аналогично можно строить графики вида />.
Примерыпостроения графиков
1./>. Вычисляем значенияфункции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис. (??)).
/>
2./>. Вычисляя значение функциив точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из отрезка и двухлучей (см. рис. (??)).
/>
3./>. Для построения графика``по отрезкам'' вычислим значение функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. (??)).
/>
4./>. График разности модулейстроиться аналогично (см. рис. (??)).
/>
Анализируявид графиков 1, 2 и 3, можно предположить, а затем и доказать, что суммамодулей линейных выражений вида /> достигаетсвоего наименьшего значения либо в единственной точке, если число модулейнечетно, либо во всех точках некоторого отрезка, если число модулей чётно.График суммы нечетного числа модулей линейных выражений имеет форму клина, аграфик суммы чётного числа модулей имеет участок параллельный оси абсцисс. Болееточно:
Теорема Пустькорни подмодульных выражений упорядочены по возрастанию />. Тогда если числослагаемых /> нечётно и />, то наименьшее значениефункции /> достигается в точке />, а если число слагаемых /> чётно и />, то наименьшее значениефункции достигается во всех точках отрезка />.
Используемутверждение для решения задачи, предлагавшейся на одной из олимпиадСанкт-Петербургского государственного университета.
Пример Взависимости от значения параметра />, найтиколичество корней уравнения
/>
Решение.Решимзадачу графически. Пусть />,определим количество точек пересечения графика функции /> и прямой /> в зависимости от />. Исходя изсформулированного выше утверждения, график функции /> будетиметь участок, параллельный оси абсцисс. Заметим, что абсциссы точек этогоучастка составляют отрезок />, и вовсех его точках функция достигает наименьшего значения, равного, например, />, причем
/>
Посколькууказанная сумма представляет собой удвоенную арифметическую прогрессию с первымчленом 1, последним членом 999, сложенную с числом 1000, то она равна
/>
Тогдапри /> уравнение не будет иметьрешений, при /> их будет бесконечно много,а при /> уравнение будет иметь дварешения.Иные способы решения уравнений и неравенств с модулемМетод раскрытия модулей
Методраскрытия модулей рассмотрим на примере:
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.Этоуравнение содержит более одного модуля.
Методрешения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей,состоит в следующем.
1.Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: />, />; />, />; />, />.
2.Отметить эти точки на числовой прямой.
3.Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знаквыражений, которые находятся под модулями.
1)При /> или />. Чтобы определить знаккаждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любоезначение /> из этого промежутка иподставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех/> из этого промежуткавыражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно,значит, при всех значениях /> изэтого промежутка выражение будет положительным.
Возьмемзначение /> из промежутка /> и подставим его значение ввыражение />, получаем />, значит на этом промежутке/> отрицательно, аследовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: />.
Приэтом значении />, выражение /> получит значение />, значит, оно на промежутке/> также принимаетотрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: />.
Выражение/> получит значение /> и ``выйдет'' из под модулясо знаком ``минус'': />.
Уравнениена этом промежутке получится таким: />, решаяего, находим: />.
Выясняем,входит ли это значение в промежуток />.Оказывается входит, значит /> являетсякорнем уравнения.
2)При />. Выбираем любое значение /> из этого промежутка. Пусть/>. Определяем знак каждогоиз выражений под модулем при этом значении />.Оказывается, что выражение /> положительно,а два других отрицательны.
Уравнениена этом промежутке примет вид: />. Решаяего, находим />. Это значение не входит впромежуток />, а значит, не являетсякорнем уравнения.
3)При />. Выбираем произвольноезначение /> из этого промежутка,скажем, /> и подставляем в каждое извыражений. Находим, что выражения /> и /> положительны, а /> --- отрицательно. Получимследующее уравнение: />.
Послепреобразования, получим: />, азначит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.
4)При />. Нетрудно установить, чтовсе выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: />, />, /> которое входит впромежуток и является корнем уравнения.
Ответ./>, />.
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.
/>
/>
Ответ./>, />.Использование тождества/>, при решении уравнений
Изсформулированного свойства модуля можно вывести два полезных следствия:
/>
/>
Проиллюстрируемприменение первого из них для решения задачи вступительного экзамена вСанкт-Петербургский государственный университет.
Пример Изобразитьграфик функции
/>
Решение.Перепишемзадающую функцию выражение, используя первое следствие:
/>.
Осталосьтолько построить графики функций />, /> в одной системе координати определить участки, на которых один из них выше другого (см. рис. (??)).
/>
Использованиевторого тождества удобно для построения графика функции />.
Решение.Всилу второго тождества, выражение задающее функцию, записывается в виде: />.
Искомыйграфик изображен на рисунке (см. рис. (??)).
/>
Пример Найдитемасимальное значение выражения
/>
где/>, />, ..., /> --- различные натуральныечисла от 1 до 1990.
Решение.Заметим,что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому /> не больше, чем />, /> не больше, чем />, /> не больше, чем />. Далее, данное выражениене может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностьюсуммы />. Наконец приведем пример,показывающий, что значение выражения может равняться 1989:
/>
Ответ.1989.Решение уравненийсодержащих модули неотрицательных выражений
Пример Чемуравна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения
/>
Решение.Рассмотримвыражение
/>
ипреобразуем его к виду
/>
Очевидно,что числитель дроби при любых значениях переменной является положительнымчислом. Значит дробное выражение положительно, если /> (т.к./>). Преобразуем полученноевыражение, при условии />. Получимуравнение, равносильное исходному:
/>
/>
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.Посколькулевая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной,на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной,отсюда условие />, на этомпромежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение />. Решая его и учитываяограничение />, получаем
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение:
/>
Решение.Нетруднодогадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д.модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самомуэтому выражению, получим
/>
/>
Ответ./>.Решение уравнений сиспользованием геометрической интерпретации
Геометрическийсмысл выражения /> --- длинаотрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами /> и />. Перевод алгебраическойзадачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.
Пример Решимуравнение />.
Решение.Будемрассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля,левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки сабсциссой /> до двух фиксированныхточек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка /> обладают требуемымсвойством, а точки, расположенные вне этого отрезка,--- нет.
Ответ./>.
Пример Решимуравнение />.
Решение.Рассуждаяаналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равнаединице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.
Ответ./>.
Пример Решитьнеравенство />.
Решение.Изобразимна координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек /> и /> в точности равна />. Это все точки отрезка />. Для всех чисел внеданного отрезка сумма расстояний будет больше двух.
Ответ./>.
Замечание.Обобщениемрешения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
/>
Пример Решитенеравенство: />.
Решение.Решимнеравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется длявсех точек c координатой />,которые находятся ближе к точке с координатой />,чем к точке с координатой />. Таккак />, то искомыми являются всеточки, расположенные левее точки с координатой />.
Ответ./>.
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Рассмотримна числовой прямой точку с координатой />.Сумма /> равна сумме расстояний отточки /> до точек с координатами 2,1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек /> и /> не меньше длины отрезка /> (и равенство достигаетсятогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке />). Отсюда получаем, что /> не меньше 4, а /> не меньше 2 при любом />. Поэтому для того, чтобысумма /> была равна />, необходимо, чтобы />. Итак, /> необходимо равен />. Легко проверить, чтозначение /> действительно являетсярешением данного уравнения.
Ответ./>.
ПримерГальперин Г.А. Положительные числа />, />, /> и /> таковы, что системауравнений
/>
имеет/> решений, а системауравнений
/>
имеет/> решений. Известно, что />. Найдите /> и />.
Решение.Первоеуравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата сцентром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат.Система из двух первых уравнений в зависимости от /> и/> либо не имеет решений,либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, /> можетравняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы естьуравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в началекоординат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях отцентра. Эта система в зависимости от /> и /> либо не имеет решений,либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений(сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сферапересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей).Итак, /> может равняться либо 0,либо 6, либо 8, либо />. Условию /> удовлетворяет тольковариант />, />.
Ответ./>, />.
Переводалгебраической задачи на геометрический язык — удобный и мощный метод решениязадач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиадыматематико-механического факультета СПбГУ:
Пример Данафункция: />.
а)Решите уравнение />;
б)Решите неравенство />;
в)Найдите количество решений уравнения /> взависимости от значений параметра />.
Решение.Построимграфик функции />. Для этогозаметим, что />, а тогда мыможем сначала построить график функции />,и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающеефункцию />:
/>
Посколькуданная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке(2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двухполуокружностей (см. рис. (??)).
/>
Теперьрешение задач не представляет труда:
а)Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой /> с графиком функции />. Найдем ее геометрически:заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным(угловой коэффициент прямой равен />), егогипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего наоси абсцисс, есть />, а искомаяабсцисса равна />.
б)Неравенство /> выполнено при всех /> из отрезка />.
в)При />, /> решений нет, при /> уравнение /> имеет три решения, при /> --- четыре решения, при /> --- два решения.Решение уравнений сиспользованием тождества />
Пример Решитьуравнение
/>
Решение.Дваждыприменяя тождество />, получимуравнение
/>
решениемкоторого является интервал />.
Ответ./>.
Пример Решитьуравнение
/>
Решение./>.
Ответ./>.Применение теоремы ознаках при решении уравнений
Сформулируемтеорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частныхразности модулей:
Теорема Знакразности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этихвыражений.
Пример Решитьнеравенство
/>
Решение.Воспользуемсятеоремой:
/>
Используяформулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители ирешим полученное рациональное неравенство.
/>
Ответ./>Решение уравненийпереходом к следствию
Всеуравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь наборуравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будемвыписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений,получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрелили мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.
Пример Решимуравнение
/>
Решение.Последовательнопереходя к следствиям, получаем:
/>
/>
/>
/>
Нетрудноубедится, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.
Ответ.нетрешения.
Вслучае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихсяпри раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решенияисходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящиехотя бы с помощью проверки.
Пример Решитеуравнение
/>
Решение.Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений
/>
которыеможно переписать в виде
/>
Аналогично,каждое из этих уравнений распадается на два:
/>
чтоприводит к четырём уравнениям:
/>
Отсюдаполучаем 4 решения: />, />, />, /> среди которых содержатсякорни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Этопроверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходногоуравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, таккак этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении егоправая часть отрицательна.
Ответ.3.Решение уравненийметодом интервалов
Применениеметода интервалов основано на следующей
Теорема Функция,непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этомпромежутке свой знак.
Этоозначает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяютобласть определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак.Применение метода поясним на примере.
Пример Решимнеравенство
/>
Пусть/>. Областью определенияданной функции есть />. Решая уравнение(см. (??)), получим, что функция /> необращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всейобласти определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, />, получаем, что функцияпринимает только положительные значения.
Ответ./>.
Методинтервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями,но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем.Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось напромежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательноперебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решатьобычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответвходит в данный промежуток).Решение уравненийдомножением на положительный множитель
Пример Решитьнеравенство
/>
Решение.``Ловушка''заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые-- значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение,принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходноенеравенство:
/>
/>
/>
Ответ./>.Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знакоммодуля
Пример Найтикорни уравнения />.
Решение.Таккак />, то из уравнения следует,что />, />. Тогда исходное уравнениепримет вид: />, />. Корни этого уравнения />, />. Корень />, поэтому он не являетсярешением, а />.
Ответ./>.
Пример Найтипроизведение корней уранения />.
Решение.Обозначим/>, />. Тогда исходное уравнениепримет вид: />. Корни этого уравнения />, />. Так как />, то />. Отсюда />, />. Произведение корней равно/>.
Ответ./>.
Пример Найтиразность между наибольшими и наименьшим корнями уравнения />.
Решение.Обозначим/>, />. Тогда исходное уравнениепримет вид: />. Решим его. Корни этогоуравнения />, />. Так как />, то значение /> не подходит. Поэтому />. Разность между наибольшими наименьшим корнями уравнения равна />.
Ответ./>.
Пример Найтисумму корней уравнения />.
Решение.Используемправило: />. Исходное уравнениезапишем в виде совокупности уравнений: /> Таким образом сумма корнейисходного уравнения равна />.
Другойпуть. Поскольку обе части уравнения неотрицательны,возведем уравнение в квадрат. Получим: />,/>. Так как дискриминантуравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна />
Ответ./>.
Пример Сколькоцелых корней на отрезке /> имеетуравнение
/>
Решение.Рассмотримквадратный трехчлен />. Так как />, то />, поэтому исходноеуравнение запишется как
/>
/>
Последнееуравнение эквивалентно неравенству />,решение которого />. Таким образом,уравнение имеет 6 корней на отрезке />: />, />, />, />, />, />.
Ответ.6.
Пример Какоенаибольшее конечное число корней может иметь уравнение
/>
где/>, />,..., />, />, />, ..., /> --- различные числа?
Решение.Положим/> и перепишем исходноеуравнение в виде />.
Пусть/> --- все числа из множества/>, упорядоченные повозрастанию. На каждом из 101 промежутка />,/>,..., />, />, функция /> линейна. Заметим, что напервом и последнем из этих промежутков /> и/> соответственно, при этом />, так как количество корнейконечно.
Пойдемпо числовой оси слева направо.
Вначалеугловой коэффициент функции /> равен0. Всякий раз, когда мы проходим одну из точек />,он за счет смены знака при раскрытии соответствующего модуля изменяется на />.
Такимобразом, он всегда равен четному целому числу и не может поменять знак, необратившись перед этим в 0.
Значит,угловые коэффициенты на любых двух соседних промежутках либо обанеотрицательны, либо оба неположительны, т.е. функция /> на объединении этихпромежутков либо неубывающая, либо невозрастающая.
Сталобыть, если число ее корней конечно, то на каждом из 50 промежутков />,..., />, /> она имеет не более одногокорня. Кроме того, на крайних интервалах значения имеют разные знаки, и вкаждом корне знак функции меняется. Следовательно, количество корней нечетно ине превышает 49.
Нетруднопроверить, что если роль /> будутиграть числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль /> ---числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, />, тоуравнение /> будет иметь ровно 49корней.
Ответ.49.
Пример Решитесистему неравенств
/>
Решение.Предположим,что данная система неравенств имеет решение />,/>, />, />. Тогда, в частности, />, т. е.
/>
Аналогичнополучаем
/>
/>
/>
Перемножимвсе полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх положительныхчисел положительно. С другой стороны, это произведение равно —
/>
Приходимк противоречию.
Ответ.Системане имеет решений.
Пример Существуютли действительные числа />, /> и /> такие, что при всехдействительных /> и /> выполняется неравенство
/>
Решение.Предположим,что такие числа />, /> и /> существуют. Выберем /> и /> такие, что />, />, />. Тогда разность междулевой и правой частями равна />. А есливзять /> и /> такие, что />, />, />, то эта разность будетравна />. Таким образом, с однойстороны, />, с другой />. Противоречие.
Ответ.Нет.
Пример Сколькоразличных целочисленных решений имеет неравенство />?
Решение.Принатуральном /> уравнение /> имеет ровно /> целочисленных решений, апри /> решение единственно. Такимобразом, количество решений исходного неравенства равно />.
Ответ.19801.
Пример Найдитевсе значения параметра />, при каждом изкоторых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни: />.
Решение.Возведемобе части уравнения в квадрат: />.
Если/>, тогда получим уравнение:
/>
Дискриминантэтого уравнения равен:
/>.
Уравнение(1) будет иметь один корень, при /> и />. Два корня, при /> и />.
Если/>, тогда получим уравнение:
/>
Дискриминантэтого уравнения равен:
/>.
Уравнение(2) будет иметь один корень при /> и />. Два корня — при /> и />.
Делаемвывод, что при /> уравнение (1)имеет один корень, а уравнение (2) — два корня. При />, уравнение (1) имеет двакорня, а уравнение (2) — один.
Такимобразом, при /> и /> данное уравнение имеет трикорня.
Найдемэти корни. При />, первоеуравнение примет вид: />. Оно имеет одинкорень: />
Уравнение(2) примет вид: /> которое имеетдва корня: />, />.
При/>, уравнение (2) примет вид:/>. Оно имеет один корень: />.
Уравнение(1) при этом станет: />, которое будетиметь корни: />, />.
Ответ.При/>, />, />, />.
При/>, />, />, />.
Пример Длякаждого значения параметра /> определитечисло решений уравнения />.
Решение.
1.Если />, тогда уравнение не имеетрешений, модуль любого вещественного числа неотрицателен.
2.Если />, тогда получим уравнение />. Это уравнение имеет двакорня, так как />.
3.Если />, тогда получаемсовокупность двух уравнений:
/>
/>
Первоеуравнение имеет дискриминант: />. Ононе будет иметь корней при />, />, но это невозможно, таккак />. Также оно не может иметьодин корень (тогда />, что такженевозможно). Таким образом, при /> уравнение(1) имеет два корня.
Второеуравнение имеет дискриминант:
/>. Оно не будетиметь корней, если />, />, />. Будет иметь один корень,если />. Будет иметь два корня,если />.
Окончательнополучаем.
Ответ.Если/>, тогда уравнение не имееткорней.
Если/> и />, тогда уравнение имеет двакорня.
Если/>, тогда уравнение имеет трикорня.
Если/>, тогда уравнение имеетчетыре корня.
Пример Найдитевсе значения параметра /> из промежутка />, при каждом из которыхбольший из корней уравнения /> принимаетнаибольшее значение.
Решение.
Преобразуемуравнение к виду />.
Значит,если />, />, тогда />. Найдем наибольшеезначение />, при котором />, т. е. наибольшее решениенеравенства />.
Преобразуемэто неравенство: />, />, />, />, />.
Последнеенеравенство решим методом интервалов, помня, что />.
Решениенеравенства будет множество: />.
Ясно,что дробь /> принимает наибольшеезначение при />, тогда значение /> будет равно: />.
Ответ.При/>.
Пример Найтивсе значения параметра />, при каждом изкоторых уравнение /> имеетединственное решение.
Решение.
Найдемрешения для каждого значения />, азатем отберем те, которые удовлетворяют условию задачи, т. е. при которыхуравнение имеет единственное решение.
Длякаждого фиксированного /> будем искатьрешения данного уравнения сначала на промежутке />,а потом на промежутке />, посколькумодуль обращается в нуль при />:
1)Пусть />. На этом промежутке /> и поэтому данное уравнениепримет вид />.
Найдемдискриминант полученного приведенного квадратного уравнения
/>, значит, прилюбом действительном значении /> уравнениеимеет два различных действительных корня: /> и/>.
Выясним,входят ли они в промежуток />. Корень/> лежит в этой областитолько тогда, когда выполняется неравенство: /> или/>.
Последнеенеравенство равносильно системе неравенств:
/>
Последняясистема неравенств не имеет решений, значит, ни при каком значении параметра aчисло /> не лежит в области />.
Корень/> лежит в рассматриваемойобласти тогда, когда выполнено неравенство: /> или/>.
Решимпоследнее неравенство. Ясно, что этому неравенству удовлетворяют все значения /> из промежутка />.
При/> получим неравенство />. Отсюда находим: />.
Такимобразом, при /> уравнение имеетединственное решение />.
2)Пусть />. На этом промежутке /> и поэтому исходноеуравнение можно переписать в виде />.Найдем дискриминант этого уравнения: />.
Уравнениене имеет решений, если />, т. е. если />.
Значит,уравнение не имеет корней для /> изпромежутка />.
Если/> не принадлежат этомупромежутку, то квадратное уравнение имеет корни />,/>, причем /> при /> и />. Выясним теперь, при какихзначениях параметра /> найденные корнилежат в области />.
Дляэтого нужно решить неравенства /> и />.
Неравенство/> равносильно неравенству /> или совокупности двухсистем неравенств:
/>
Множестворешений первой системы имеет вид />, втораясистема не имеет решений. Значит, только при значении /> корень уравнения /> лежит в области />
Неравенство/> равносильно неравенству /> или системе неравенств
/>
Множестворешений полученной системы неравенств есть отрезок />.
Толькопри этих значениях параметра />, корень/> принадлежит области: />. Таким образом, при /> данное уравнение в области/> решений не имеет.
Если/>, то уравнение врассматриваемой области имеет единственное решение />.
Призначениях />, лежащих в области /> исходное уравнение имеетдва различных корня /> и />. Если же />, то исходное уравнениеимеет единственный корень />.Полученные результаты удобно свести в таблицу:
/>
Такимобразом, искомые значения /> образуютдва промежутка: /> и />.
Ответ./>, />.
ПримерНайтивсе корни уравнения />, удовлетворяющеенеравенству />.
Решение.Строимграфики функций /> и />. Получим две точкипересечения, абсцисса только одной из них меньше />,т. е. удовлетворяет условию задачи (см. рис. (??)).
pics/ex14.eps
Абсциссуточки можно получить решив уравнение />.
Ответ./>.
Пример Решитьаналитически и графически уравнение
/>
Аналитическоерешение
Преобразуемуравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можновносить под знак модуля, поэтому получим:
/>
Укаждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможностьразложить каждый из них на линейные множители.
Уравнениепримет вид: />.
Начисловой прямой отложим точки, в которых каждый из множителей обращается внуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определимзнаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.
Однакотакой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежуткизнакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение ихзнаков будет упрощено и сделается более наглядным (см. рис. (??)).
pics/ex9.eps
Притаком схематическом изображении понятно, что:
1)при /> оба трехчлена положительныи уравнение примет вид:
/>
Решаяего, находим />, />. Оба корня не входят впромежуток /> и являются посторонними;
2)при /> первый трехчленотрицателен, а второй положителен, получим уравнение: /> откуда находим корень />, который входит впромежуток /> и является решениемуравнения;
3)при /> оба трехчленаотрицательны, получаем:
/>, откуда />, который входит впромежуток /> и является решениемуравнения;
4)при /> первый трехчленположителен, второй — отрицателен, получаем уравнение:
/>, отсюда />, который входит впромежуток /> и является решениемуравнения;
5)при /> оба трехчленаположительны, получается такая же ситуация, как и в первом случае. И здесь, обакорня />, /> не входят в промежуток иявляются посторонними.
Ответ./>, />, />.
Графическоерешение
Дляграфического решения преобразуем уравнение:
/>
/>
Построимграфики функций /> и />
Графикфункции /> будем строить в несколькоэтапов:
а)строим график функции />;
б)строим график функции />,``зеркально'' отразив нижнюю часть кривой /> в оси />;
в)строим график функции /> дляэтого достаточно график функции /> ``опустить''вниз (осуществить параллельный перенос вдоль оси />)на />;
г)полученный график полностью симметрично отразим в оси />, ``перевернем'' вокруг оси/> на />.
Врезультате получим график функции />.
Графикфункции /> построим уже известнымспособом: строим параболу /> изеркально отражаем в оси /> толькочасть параболы, находящуюся ниже оси />.
Находимабсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться решениямиуравнения (см. рис. (??)).
pics/ex10.eps
Абсциссыточек пересечения следующие: 1,75; 2,5 и 3,25. Они и будут решениями уравнения.
Пример Решитеуравнение />.
Решение.Решатьбудем это уравнение последовательно ``раскрывая'' модули, начиная с``внешнего'' и ``приближаясь'' к переменной />.
Послераскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:
(1)/> или (2) />.
Решаяуравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:
/>,
(3)/> или (4) />.
Изуравнения (3) находим: />, /> из уравнения (4) находим: />, />
Решаяуравнение (2), также получим: />,которое распадается два уравнения:
(/>) /> или (/>) />.
Из(/>) получаем: />, />, /> Из (/>) />, которое не имеет решений.
Ответ./>
Пример Решитьуравнение:
/>
Решение.ОДЗданного уравнения:
/>
Простойпроверкой нетрудно убедиться, что /> и /> --- решения данногоуравнения.
Ответ./>.
Еслирешать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получитсяуравнение
/>
Уэтого уравнения добавится ``лишний'' корень />,не принадлежащий ОДЗ.
Преобразование/>, не равносильное, т.к. /> входит в ОДЗ исходноговыражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.
Нюанссостоит в том, что при /> функция /> существует и при />, т.к. на что ноль ниумножай — будет ноль.
Пример Решитьуравнение />.
Решение.Начнемраскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо большевремени):
1.При /> имеем />.
Теперьрассмотрим два случая:
а)/>, т.е. />;
б)/> и />
Т.к.функция, стоящая в первой части исходного уравнения, — четная, то решениемтак же будет /> и />.
Ответ./>.
Пример Чемуравна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения
/>
Решение.Рассмотримвыражение
/>
ипреобразуем его к виду
/>
Очевидно,что числитель дроби при любых значениях переменной является положительнымчислом. Значит дробное выражение положительно, если /> (т.к./>). Преобразуем полученноевыражение, при условии />. Получимуравнение, равносильное исходному:
/>
/>
Ответ./>.
Пример Всезначения квадратного трёхчлена /> наотрезке /> по модулю не превосходят1. Какое наибольшее значение при этом может иметь величина />?
Ответ.Максимальноезначение величины /> равно 17.
Докажемэто. Сначала докажем, что эта величина не может быть больше 17. Так какзначения трёхчлена /> на отрезке /> по модулю не превосходятединицы, то />, />, />, то есть />, />, />. Так как модуль суммы непревосходит суммы модулей, то
/>
/>
Следовательно,/>. Осталось заметить, чтоквадратный трёхчлен /> удовлетворяетусловию задачи и для него величина /> равна17.
Пример Найдите наибольшее целое значение параметра />,при котором уравнение /> не имеетрешений.
Решение.Исходноеуравнение равносильно уравнению
/>
Втораясистема имеет решение только при /> (приэтом ее решениями будут все />).Первая система не имеет решений, если /> При этом наибольшее целое />, очевидно, равно />.
Ответ./>.
Заключение
Материалданной дипломной работы адресован учителям математики, преподавателямподготовительных курсов, школьникам и абитуриентам. Рассмотрены свойстваабсолютных величин, приведены теоремы о равносильных преобразованиях уравненийи неравенств, содержащих знак модуля. Сформулированы малоизвестные утверждения,существенно упрощающие традиционные алгоритмические способы решения школьных,конкурсных и олимпиадных задач. Теоретический материал проиллюстрированзначительным количеством заданий (более 80) из вступительных экзаменов,математических олимпиад и заданий централизованного тестирования.
Список использованных источников
[1]Веременок В. В., Практикум по математикеке, подготовка к тестированию иэкзамену/Веременок В. В., Кожушко В. В. — Мн.: Тетра-Системз, 2006.
[2]Д. Гущин, Мощное решение. Уравнения и неравенства с модулями //Учительскаягазета №39.
[3]В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 3. Нестандартная техникарешения неравенств с модулем // Математика №5, 2005 с. 24--31.
[4]В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма модулей//Математика № 12, 2005 с.41--48.
[5]Тишин В. И., Математика для учителей и учащихся: рациональные алгебраическиеуравнения/ Тишин В. И. — п. Комаричи, 2002. — 167с.
[6]О. Игудисман, Математика на устном экзамене/ О. Игудисман — М.: Айрис Пресс,Рольф, 2001---254с.
[7]Математика: готовимся к централизованному тестированию: Анализ ошибок 2007года. Комментарии к ответам. Тренировочные тесты/ Респ. ин-т контроля знанийМ-ва образования Респ. Беларусь.--- Мн.: Аверсэв, 2008. — 64 с.
[8]Азаров А.И., Математика: задачи-> на централизованномтестировании и экзамене/ А.И. Азаров, С.А. Барвенов, В.С. Романчик. — 2-еизд., перераб.,--- Мн.: Аверсэв, 2006. — 176с.
[9]Куланин Е.Д., 3000 конкурсных задач по математике/Куланин Е.Д., Норин В.П.,Федин С.Н., Шевченко Ю.А. — 10-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2007. — 624с.
[10]Веременюк В. В., Математика: учимся быстро решать тесты: пособие для подгот. ктестированию и экзамену/ В. В. Веременюк, Е. А. Крушевский, И. Д. Беганская.--- 4-е изд. — Минск: ТетраСистемс, 2006. — 176с.
[11]Азаров А. И., Математика для старшеклассников: Методы решения алгебраическихуравнений, неравенств и систем: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающихполучение общего среднего образования/А. И. Азаров, С. А. Барвенов. — Мн.:Аверсэв, 2004. — 448с.