Элементы общей топологии

Курсоваяработа
натему: «Элементы общей топологии»

Введение
 
Топология– одна из самых молодых ветвей геометрии. Топология является одним из самыхабстрактных разделов современной математики. Примерно за сто лет еёсуществования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделовматематики.
Топология(от греческого «τοποξ» – место, окрестность, «λογοξ»– закон) – раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервыедаются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия иповерхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся пригомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороныотображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных сматематическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом делеизвестна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеитопологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре,Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом численаправлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупныхпроблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы сталимощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяетупростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математикии обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.
Геометрияшкольного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными спонятиями длины, площади, объема-то есть метрическими свойствами фигур. Лишьочень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматриваютсвойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии,изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения исравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.
Цельюпервой главы курсовой работы было рассмотреть основные элементы общей топологии.
Задачи:
· датьопределение топологического пространства;
· рассмотретьсвойства топологических пространств;
· охарактеризоватьтопологические преобразования.
Во второйглаве работы мы попытались рассмотреть топологические свойства поверхностей.Были поставлены следующие задачи:
· датьопределение двумерного многообразия;
· рассмотретьэйлерову характеристику поверхности;
· охарактеризоватьориентируемые и неориентируемые поверхности.

1. Элементы общей топологии
 
1.1 Понятие топологического пространства
 
1.1.1 Понятие метрического пространства
Определение 1. Декартово произведение множеств А и Вопределяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ,то есть
А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.
В частности, возможно А = В.
Определение 2. Говорят, что в множестве Х заданаметрика r,если определено отображение
r: Х ´ Х ® R,
удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. " х, у Î Х { r (х,у) ³ 0}, причемr (х,у) = 0 Û х =у.
2. " х, у Î Х { r (х, у) = r (у, х)}.
3. " х, у, z Î Х {r (х,у) + r (у,z) ³ r (х,z)}.
Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника.
Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой rназывается метрическим пространством и обозначается (Х, r).
В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическоепространство (Х,r) обозначают просто Х.
Число r(х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.

1.1.2 Примеры метрических пространств
Пример 1. Определим для элементов произвольного непустого множества Храсстояние следующим образом:
r(х,у) =/>.
Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) – метрическоепространство.
Пример 2. Множество действительных чисел R срасстоянием
r(х,у) = (у – х)2 не является метрическим пространством.
Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек2, 3 и 4 получим:
r(2,3) = (3 – 2)2 = 1, r(3, 4) = (4 – 3)2 = 1,
r(2,4) = (4 – 2)2 = 4 и r(2, 3) + r(3, 4)
Определение 1. Пусть (Х, r) –метрическое пространство, х0Î Х,
r > 0 – действительноечисло. Назовём открытым шаром с центром в точке х0и радиусом r множество
U (x0, r) = {x | x Î X, r (x, x0)
 
Определение 2. Подмножество G Ì Х будем называть открытым в
(Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара,содержащегося в G.
Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.
Определение 3. Окрестностью точки Аметрическогопространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.
Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) простоФr.
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема. 1) Объединение любой совокупности {Ga} множествиз Фrпринадлежит Фr.
/>G/> Î Фr.
2) Пересечение любых двух множеств G1 и G2 из Фr принадлежит Фr.
G1 ÇG2 Î Фr.
3) Метрическое пространство Х – открытое множество, то есть
Х Î Фr, Æ Î Фr.
Доказательство. 1) Пусть />.Обозначим
G = />/>.
Возьмём произвольную точку х0Î G. Тогда существует такое a0,что х0Î />, и так как />Î Фr, тонайдётся число r0,что
U (х0, r0) Ì />.
Так как G/>0Ì G, то U (х0, r0) Ì G.
Итак, G – открытоемножество.
2) Пусть G = G1 Ç G2, где G1, G2 Î Фr и G /> Æ.
Если х0Î G, тох0Î G1 и х0Î G2.
Тогда существуют такие радиусы r1 и r2, что

U(х0, r1) Ì G1, U(х0, r2) Ì G2.
Обозначим r = min {r1, r2}, тогда
U (х0, r) Ì G1 Ç G2 = G.
Итак, G – открытое множество.
3. Так как всегда можно представить
Х = />,
где Ua – открытый шар радиуса r, сцентром в точке />, объединениерассматривается по всем точкам пространства, то в силу 1 получим, что пространствоХ – открыто. Пустое множество мы предполагаем всегда открытым.
В дальнейшем описанное нами семейство Фrвсех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r) будемназывать топологией, индуцированной метрикой r в Х..
1.1.3 Определение и примеры топологических пространств
Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельнаяточка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывностьи т.д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, напонятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множествоопределяются с помощью метрики.
Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются вкачестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, поотношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.
Определение 1. Пусть Х – непустое множество элементовпроизвольной природы, Ф = {/>} – семействоподмножеств множества Х, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. Само множество Х и пустое множество Æпринадлежат семейству Ф.
2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф.
3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф.
Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой.
Пара (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некотораятопология, называется топологическим пространством.
Элементы множества Х называются точками топологического пространства,элементы семейства Ф называются открытыми множествами в (Х, Ф).
Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать:Х – топологическое пространство, G/> – открытое множество,то есть не указывать постоянно связь с топологией Ф.
Примеры топологических пространств.
Пример 1. Х – произвольное множество. Из аксиомы1 топологического пространства вытекает, что среди открытых множеств любойтопологической структуры в Х обязательно должны быть пустое множество Æ исамо множество Х. Очевидно, что для семейства
Фт = {Æ, X},
которое состоит лишь из этих двух множеств, выполняются также иаксиомы 2 и 3.
Поэтому Фт = {Æ, X} является простейшей топологической структурой в Х. Этатопология называется тривиальной, а пара (Х, Ф) тривиальным топологическимпространством. Иногда эту пару называют антидискретным топологическимпространством.
Пример 2. Другой крайностью является такназываемое дискретное топологическое пространство (Х, Фd), где Фd представляет собой семейство всех подмножеств множества Х. Очевидно,что и в этом случае все аксиомы 1 – 3 выполняются.
Пример 3. Пусть Х = R3. Открытымив Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусом r, атакже всё множество Х и пустое множество.
Очевидно, аксиома 1 выполняется.
Пусть {U(ra)} –любая система открытых множеств. Тогда их объединением будет шар с центром О ирадиусом r = />.
Если /> = ¥, тоU(r) = X.
Следовательно, аксиома 2 выполняется.
Пересечением двух множеств U(r1) и U(r2)будет множество U(r),где r = />, тоесть аксиома 3 также выполняется.
Выделенное нами семейство открытых множеств является топологией в R3, которую иногда называют концентрической.
Определение 2. Пусть в множестве Х введены две топологииФ1 и Ф2. Говорят, что Ф1 сильнее Ф2(или Ф2 слабее Ф1), если Ф2 Ì Ф1,то есть любое множество из Ф2 принадлежит Ф1.
Очевидно, самой сильной топологией является дискретная топология,а самой слабой – тривиальная.
А вообще – две топологии на одном и том же множестве могут бытьнесравнимыми.
Пример.
Х = />,
Ф1 = {Æ, Х, />},
Ф2 = {Æ, Х, />}.
Топологии Ф1 и Ф2 несравнимы.
Теорема 1. Пересечение произвольного множестватопологий, заданных на Х, является топологией в Х. Эта топология Ф слабеелюбой из данных топологий Ф/>.
Доказательство. Пусть />.
Так как для любого a
{Х, Æ} Ì Ф/>,
то
{X, Æ} Ì Ф.
Далее, из того, что каждое Ф/> замкнутоотносительно взятия любых объединений и конечных пересечений, следует, что этимсвойством обладает и множество />.
Теорема 2. Пусть А – произвольная системаподмножеств множества Х. Тогда существует минимальная топология в Х,содержащая А.
Действительно, всегда существуют топологии, содержащие А, например,дискретная. Пересечение всех топологий, содержащих А и есть искомая топология. Этаминимальная топология называется топологией, порождённой системой А.
1.2 Свойства топологических пространств
1.2.1 Понятие подпространства
Если У подмножество Х, а (Х, Ф) – топологическое пространство, тона У можно рассматривать топологию

y = {/>Ç У | G/> Î Ф }.
Действительно, обозначим:
S/> = />Ç У, y = { S/>}.
1. /> Þ Æ, У Î Y.
2. /> S/> = />(G/>Ç У)= (/>G/>)Ç У Î y.
3. S/> Ç S/> = (G/>Ç У) Ç (G/>Ç У)= (G/>ÇG/>) Ç У Î y.
(У, y) – называют топологическим подпространством пространства (Х, Ф),а y – топологией,индуцированной топологией Ф.
Пример. Пусть Х = Е3. Открытыми в Х множествами назовем толькооткрытые шары U(r) с общим центром О и радиусами r, атакже все множество Х и пустое множество. Известно, что набор открытых множествзадает топологию Фк на Х, то есть (Х, Фк) топологическоепространство.
/>
Рассмотрим плоскость, проходящую через точку О и обозначим ее У. ТогдаУ – подмножество Х и на У индуцируется следующая топология: открытымимножествами будут У, Æ и открытые круги с общим центром О и радиусами r.

/>
1.2.2 Замкнутые множества. Внутренние, внешние и граничные точки
Определение 1. Подмножество А топологическогопространства
(Х, Ф) называется замкнутым, если его дополнение Х \ А открытое множество.
Так как дополнение к дополнению множества А есть снова А, то получаем:множество А открыто в том и только в том случае, когда дополнение к немузамкнуто.
Если (Х, Ф) – антидискретное топологическое пространство, то дополненияк Х и к Æявляются единственными замкнутыми множествами, но учитывая, что
Х / Х = Æ, Х / Æ = Х,
получаем: Æ и Х – являются также и замкнутыми множествами.
Х и Æ замкнуты (и одновременно открыты) в любом топологическомпространстве (Х, Ф).
Если Ф – дискретная топология, то любое множество замкнуто и открыто.
Если Х – множество действительных чисел и Ф обычная топология, тоесть индуцированная естественной метрикой, то множество
[/> ] = {х | /> £ х £ />} = Х\ ((– ¥, />) È (/>, + ¥))

замкнуто.
Используя формулы де Моргана
Х \ È /> = Ç (X \ />),
Х \ Ç />= È (X \ />),
несложно доказывается следующая теорема.
Теорема 1. (Свойства замкнутых множеств)
1. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутоемножество.
2. Объединение любых двух замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Доказательство. Пусть для любого a определено множество
F/> = X \ />,
где />-открытое множество в (Х, Ф).
1. F0= Ç F/> = Ç(X \ />) = X \(È />).
Так как È /> = G0Î F, то F0–замкнуто.
2. F = F1 È F2= (X \ G1) È (X\ G2) = X \ (G1 Ç G2).
Так как G1 Ç G2 = G Î F, тоF – замкнуто.
Теорема 2. Пересечение любого конечного числаоткрытых множеств является открытым множеством; объединение любого конечногочисла замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Однако, если в R собычной топологией рассмотреть множества
Gn= />,
то
/>Gn = [–1,1],
то есть мы указали пример, когда пересечение бесконечногомножества открытых множеств оказалось замкнутым.
Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство. Открытое множество U называется окрестностью точки х если х Î U (х Î X и U Î Ф).
Определение 2. Точка /> называетсявнутренней точкой некоторого множества H (H Ì X), если существует такая окрестность Uточки />, что U Ì H. Множество всех внутренних точек множества H обозначается через int H и называется внутренней областью H иливнутренностью H.
Определение 3. Точка /> называетсявнешней точкой множества H,если существует такая окрестность Vточки />, в которой нет точек из H, т.е. V Ì СхH=Х \ H. Множество всех внешнихточек множества H обозначается через ext H иназывается внешней областью H.
Определение 4. Точка с называется граничной длямножеств H, если в любой окрестности точки с имеются как точки множества H, так и точки не принадлежащие H.
Множество всех граничных точек множества Hобозначается через />H и называется границей H.
Очевидно:
int H È ext H È />H = X
int H Ç ext H = ext H Ç />H = int Ç />H = Æ
int H = ext Cx H, ext H = int Cx H
/>H = /> Cx H
 
Определение 5. Точка /> называетсяточкой прикосновения множества H,если каждая окрестность точки /> имеет сH хотя бы одну общую точку.
Множество всех точек прикосновения множества H называется замыканием множества H иобозначается />. Ясно, что /> = int H È />H иявляется замкнутым множеством.
Определение 6. Точка />Î H называется изолированной точкой множества H, если существует окрестность Uточки />, такая, что
U Ç H = {}
Определение 7. Если /> Î /> и не являетсяизолированной для H, то она называетсяпредельной точкой множества H.
Ясно, что в каждой окрестности предельной точки />Î H существуют точки множества H,отличные от />.
Поскольку замыкание распадается на множество изолированных и предельныхточек, а первое всегда содержится в H, топриходим к следующему утверждению:
Теорема 3. Множество Hзамкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, тоесть, если
H =/>
Действительно, если H –замкнуто, то C H = X \ Hоткрыто. Поэтому C H = ext H.
Отсюда получаем
H = int H È ∂H = />.
 
Теорема 4. Если замкнутое множество F содержит множество H, тоF содержит и />.
Доказательство. Так как H Ì F, товсе предельные точки Hбудут являться предельными и для F, апоэтому они принадлежат F,следовательно
/> Ì F.
Следствие. Замыкание множеств H есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих H.
Действительно, согласно теореме 5 /> принадлежитлюбому замкнутому множеству, содержащему H, а потеореме 3/> — замкнутоемножество.
Определение 8. Множество Hназывается всюду плотным в топологическом пространстве (Х, Ф), если /> = X.
Множество А называется нигде не плотным в пространстве (Х, Ф),если дополнение к замыканию А всюду плотно в Х, то есть />= Х
 
1.2.3 Базис и отделимость топологического пространства
Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическоепространство, и пусть G* ={G/>} –некоторое семейство открытых множеств в этом пространстве. Если любое открытоемножество в (Х, Ф) представимо в виде объединения некоторых множеств G*, то G*называется базисом топологического пространства (Х, Ф) или базой.
Теорема 1. Для того, чтобы семейство G* ={G/>} Ì F было базисом топологического пространства (Х, Ф) необходимо идостаточно, чтобы для любой точки />Î Х илюбой её окрестности Uaсуществовало множество Ga/>Î G* такое, что />Î Ga/> и Ga/>Ì Ua.
Теорема 2. Для того, чтобы семейство подмножеств G* = {G/>} было базисом некотороготопологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы для любых двухэлементов U, V Î G* и каждой точки хÎ U Ç V существовал такой элемент W Î G*, что х Î W и W Ì U Ç V. При этом Æ Î G* и />G/> = X.
Доказательство. 1. Пусть G* –база. Тогда, так как U Ç V – открытое множество, то согласно теореме 1 существует W такое, что W Î G* и х Î W Ì U Ç V.
2. Докажем обратное утверждение. Пусть G* – семействос выделенными нами специальными свойствами. В-семейство всевозможныхобъединений элементов из G*. Покажем,что В-топология. Ясно, что объединение любой совокупности элементов из Вявляется объединением элементов из G*, а,следовательно, принадлежит В.
Пересечение любых двух элементов U и V из В также принадлежит В.
Действительно, если х0Î U Ç V, тосуществует U¢ Î G* и V¢ Î G* такие,что U¢ Ì U, V¢ Ì V и х0Î U¢ Ç V¢. Тогда по условию существует
W Î G*,для которого
х0Î W Ì U¢ Ç V¢ Ì U Ç V.
Но, тогда
U Ç V = /> Î В.
Кроме того,
Х = />G/> Î В.
Итак, В-топология, а G* еёбазис.
Теорема доказана.
Из предыдущих теорем следует, что не всякое семейство G* может служить базой топологии. Возникает вопрос: можно ли попроизвольному семейству {Gi} множеств определить некоторую топологию? Эта топология должнабыть определена на множестве Х, являющимся объединением всех элементов {Gi}, каждый элемент из {Gi}должен быть открыт в этой топологии.
Кроме того, возникает вопрос: существует ли наименьшая топологияна Х, содержащая {Gi}? На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть G* = {Gi} – произвольное непустое семейство множеств. Тогда семействовсевозможных конечных пересечений элементов из G*образует базу некоторой топологии на множестве Х = /> Gi.
Доказательство. Обозначим В-семейство всевозможных конечных пересеченийэлементов из G*. Тогда пересечение любых двух элементов из В снова являетсяэлементом В. В силу теоремы 2 получим, что В-база некоторой топологии.
Теорема доказана.
У пространств, топология которых обладает счетной базой, естьмного хороших свойств.
Примеры. 1. В любом топологическом пространстве (Х, Ф) множество Ф – база(очевидно).
2. (R, />), /> – топология, заданнаяметрикой.
G* = {Æ, всевозможные интервалы} – база.
3. (Х. Ф) дискретная топология.
G* = {Æ} È {{х}| х Î Х} –база.
 
Аксиома отделимости
Наличие хороших свойств пространства зависит от возможности отделитьодну точку от другой с помощью окрестностей этих точек.
Поэтому, обычно, рассматривают такие топологические пространства,которые удовлетворяют дополнительным условиям, например, так называемымаксиомам отделимости.
Аксиома Хаусдорфа
Для любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиесяокрестности.
Топологические пространства, в которых выполняется аксиома Хаусдорфа,называют хаусдорфовыми пространствами.
Нетрудно доказать, что любое подпространство хаусдорфова пространства,содержащее не менее двух различных точек, также является хаусдорфовым пространством.
В любом топологическом пространстве можно рассмотреть сходящуюсяпоследовательность точек.
Однако, понятие предела удобно лишь там, где сходящаяся последовательностьимеет единственный предел.
Оказывается, аксиома 2 является необходимым и достаточным условиемединственности предела сходящейся последовательности.
Пусть в топологическом пространстве (Х, Ф) дана последовательностьточек х1, х2, …, хn, …точка х0называется пределом этой последовательности, если для любойокрестности Ux0точки х0найдётся такой номер n0,что для всех n > n0точки хn Î Ux0.
При этом последовательность точек {хn} называется сходящейся к точке х0.
Теорема 4. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф)сходящаяся последовательность точек {хn} имеет единственный предел.
Пример 1. В силу теоремы 2 § 1 любоетопологическое пространство, топология которого порождена метрикой, является хаусдорфовымпространством.
Пример 2. Двуточечное топологическое пространство
Х = />, Ф = {Æ, Х,/>}
не является хаусдорфовым пространством.
Действительно, рассмотрим точки /> и/>. Для них нет непересекающихсяокрестностей, так как окрестностью точки /> являетсясама точка /> или все Х, а окрестностьюточки /> будет только Х.
Очевидно, />Ç Х =/> и предложение доказано.
 

1.2.4 Компактность топологических пространств
Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическоепространство и множество Н Ì Х. Семейство U = {Аa} открытых множеств Аa называется открытымпокрытием множества Н, если
Н Ì />.
Подпокрытие покрытия U –это такое подсемейство семейства U, котороесамо является покрытием для Н.
Определение 2. Топологическое пространство Хназывается компактным или компактом, если из любого его открытого покрытияможно выбрать конечное подпокрытие.
Определение 3. Множество М в топологическомпространстве Х называется компактным, если оно является компактнымтопологическим пространством относительно индуцированной топологии (какподпространство).
Пользоваться этим определением компактности множества не оченьудобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией.Следующая теорема дает нам возможность обходиться без этих дополнительных построений.
Теорема 1. Для того, чтобы множество М втопологическом пространстве Х было компактно, необходимо и достаточно, чтобы излюбого открытого покрытия множества М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.
Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф)компактно, а множество F Ì X – замкнуто, то F –компактно.
Доказательство. Пусть U –произвольное открытое покрытие F.Добавим к U открытое множество (Х \ F).
Тогда система {U, (X \ F)} – открытоепокрытие Х.
Так как Х – компактно, то из полученного выше покрытия выбираемконечное покрытие Х.
Обозначим его U1.Если U1 содержит X \ F, то удалив из U1множество X \ F, получим покрытие, причёмконечное, для F. Если U1 несодержит X \ F, то U1 и является конечным покрытием F.
В силу теоремы 1 множество F –компактно.
Теорема доказана.
Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) улюбых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.
В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х Î Внепересекающиеся окрестности множества А – U x иточки х – V x и выделяем изполученного покрытия множества В окрестностями V x конечное покрытие
/>.
Множества
/>/> и />/>
будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.
Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфовапространства (Х, Ф) замкнуто.
Теорема 5. Подмножество в пространстве R3 компактно в том и только том случае, если оно ограничено изамкнуто.
Пример. Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией(Е3, Фr) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.
Доказательство. Пусть Н = {х1, х2, …, хn} и {Ga}aÎА – произвольноеоткрытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка хi принадлежит хотя бы одному из множеств Ga.Обозначим G1 одно из множеств множества {Ga}aÎАсодержащее х1. Затем обозначим G2 одноиз множеств множества {Ga}aÎАсодержащее х2 и так далее, для точки хnобозначим Gn одно из множеств множества {Ga}aÎАсодержащее хn.
Получили конечный набор открытых множеств G1, G2, …, Gnявляющийся покрытием множества Н. Согласно теореме 1 множество Н будеткомпактным множеством.
1.2.5 Связность топологических пространств
Определение 1. Топологическое пространство (Х, Ф)называется несвязным, если существуют два непустых открытых множества U и V таких, что U È V = Х и U Ç V = Æ.
Другими словами топологическое пространство (Х, Ф) может бытьразбито на два непустых открытых множества, не имеющих между собой общих точек.
Топологическое пространство (Х, Ф) называется связным, если не существуеттакого разбиения.
Пример. Х= (/>, b), (X, Ф) – связноетопологическое пространство, если Ф = {Æ, Х, />} и,если Ф = {Æ, Х,/>, b} –то это пример несвязного топологического пространства.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустыхоткрытых множества U и V, U Ç V = Æ, то U = Cx V и V = Cx U.
Поэтому U и V – замкнутые множества.
Отсюда получаем необходимые и достаточные условия.
Теорема 1. Топологическое пространство (X, Ф) будет связным тогда и только тогда, когда в нем одновременнооткрытым и замкнутым множеством являются лишь само пространство или пустоемножество.
Определение 2. Множество М в топологическомпространстве называется связным, если оно является связным пространствомотносительно индуцированной топологии, то есть связно определяемое имподпространство.
Другими словами, множество М в топологическом пространстве Х называетсясвязным, если нельзя найти двух открытых в Х множеств G1 и G2 таких, что
1. (G1 Ç М) È (G2 Ç М)= М.
2. (G1 Ç М) Ç (G2 Ç М)= Æ.
3. G1 Ç М ¹ Æ, G2 Ç М ¹ Æ.
 
Теорема 2. В топологическом пространстве (Х, Ф) замыканиесвязного множества – связно.
Теорема 3. Если А и В два открытых множества в (Х,Ф), причем
А Ç В = Æ
и непустое связное множество
H Ì A È B,
то H Ì A, или H Ì В.
 
Теорема 4. Пусть {/>} – совокупностьсвязных подмножеств в пространстве (Х, Ф), имеющих общую точку. Тогда множествоH = /> /> также будет связным в(Х, Ф).
Теорема 5. Компоненты двух различных точек либо непересекаются, либо совпадают.
Теперь мы можем говорить просто о компонентах пространства, на которыеони распадаются.
Теорема 6. Компонента топологическогопространства (Х, Ф) является замкнутым множеством.
Доказательство. Пусть Н – компонента топологического пространства(Х, Ф), и /> – некоторая ее точка.
Очевидно
Н Ì />,
В силу теоремы 2 множество /> –связно и так как /> Î />, то
/> Ì Н.
Поэтому
/> = Н.
Замечание. Пусть топологическое пространство (Х,Ф) – несвязное, то есть существуют два непустых открытых множества U и V таких, что
U È V = Х
и
U Ç V = Æ.
Если при этом различные точки х и у принадлежат одной компоненте,то {x, y} Ì U или {x, y} Ì V.
Это утверждение вытекает из теоремы 3.
Определение 3. Областью называется непустое связноеоткрытое множество топологического пространства.
Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, котороеявляется замыканием области.
Пример. Пусть Х – множество действительных чисел с топологией />. Доказать, что любоеподмножество /> связно.
Доказательство. Рассмотрим произвольное подмножество />. Пусть />– непустое подмножество />, открытое и замкнутое в />. Тогда
/> = />,

где /> открыто в />, а /> замкнуто в Х, т.е. /> для некоторого />, а /> для некоторого />. Так как
/>,
то для любого /> выполненынеравенства /> и />.
Действительно, если найдется значение />,то />. Аналогично, если найдетсязначение />, то />.
Итак, /> и />, откуда следует, что /> связно.
 
1.3 Топологические преобразования топологических пространств
 
1.3.1 Непрерывные отображения
Пусть даны топологические пространства (Х, Ф), (У, W) и отображение
/>: X ® У.
 
Определение 1. Отображение />:X ® У называется непрерывным в точке х0 Î Х,если для каждой окрестности Vточки f(x0) существует такая окрестность U точки х0, что />(U) Ì V.
/>
 
Определение 2. Отображение />:X ® У называется непрерывным на множестве Н Ì Х,если /> непрерывно в каждой еготочке.
Если Н = Х, то говорят, что /> непрерывнона Х.
Определение 3. Если />:X ® У, В Ì У, то множество всех точек х0 Î Х,для каждой из которых имеем />(x0) Î В называется прообразом множества В, и обозначается />-1(B), причем имеет место
/>(/>-1(B)) Ì B.
Теорема 1. Для того, чтобы отображение />: X ® У было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообразлюбого открытого (замкнутого) множества был открытым (замкнутым) множеством.
Доказательство. 1. Необходимость.
Пусть />: Х ® Унепрерывно, V открытое множество в У, а
U = />-1(V).
Докажем, что U –открытое множество в Х. Пусть /> – любаяточка из U и b = />(/>). Множество V является окрестностью точки b.Так как /> – непрерывно, то найдётсяокрестностью U/> точки />, что />(U/>) Ì V.
Очевидно,
U/> Ì />-1(V) = U.
Так как U = /> U/>, то U – открытое множество.
Достаточность. Возьмём любую точку /> Î Х ипусть b = />(/>). Если V – произвольная окрестность точки b, тоU = />-1(V) открытое множество и является окрестностью точки />. Поскольку />(U) Ì V, то /> – непрерывно вточке />, что требовалось доказать.
Для замкнутых множеств теорема доказывается переходом к дополнительныммножествам.
Замечание. При непрерывном отображении образзамкнутого
(открытого) множества может быть не замкнутым (не открытым)множеством.
Теорема 2. Пусть X, Y, Z – топологическиепространства.
Если отображения f /> и g /> непрерывны,то непрерывна и их композиция:
g ×f: Х ® Z.
Доказательство. Пусть Wоткрытое множество пространства Z. Таккак g – непрерывно, то по предыдущей теореме
G -1(W) = V – открыто в У.
/>
Тогда аналогично, U = f-1(V) – открыто в Х.
Но U = f -1 (g -1(W)) = (g×f) -1(W) – прообразW.
Теорема доказана.
Пример непрерывного отображения
Рассмотрим плоскость П и прямую ℓ Ì П сестественными топологиями. Докажем, что ортогональное проектирование />: П ® ℓявляется непрерывным отображением.
Действительно, пусть для произвольной точки А Î П
/> (А) = А0.
Пусть V–/>-окрестность точки А0,то есть V – интервал.
/>
В точке А рассмотрим открытый круг радиуса d = />, то есть окрестность U точки А. Очевидно, /> (U) Ì V и,следовательно,
/>– является непрерывнымотображением в точке А.
Так как А – произвольная точка плоскости П, то /> – непрерывное отображение.
 
1.3.2 Топологические отображения
Определение 1. Пусть даны топологические пространстваХ и У. Отображение />: Х ® Уназывается топологическим (гомеоморфизмом), если /> –биекция и, при этом, отображения /> и />-1 – непрерывные.
Свойство 1. Всякое тождественное отображение е: Х ® Х являетсягомеоморфизмом.
Доказательство непосредственно вытекает из определения.
Свойство 2. Если X, У,Z – топологические пространства, а отображения
/>: Х ® У,
g: У ® Z
являются топологическими, то и их композиция g ×/>: Х ® Z – также топологическое отображение.
Действительно, композиция биекций является биекцией. Произведениенепрерывных отображений является непрерывным отображением. Обратным к g ×/>: Х®Z отображением является отображение
(g ×/>) -1 = />-1 ×g-1.
Так как отображения
/>: Х ® У,
g: У ® Z
являются топологическими, то обратные к ним отображения
/>-1: У ® Х,
g -1: Z ® У
являются непрерывными.
Поэтому и их композиция />-1× g -1 – непрерывное отображение, а следовательно, и отображение (g ×/>)-1 непрерывное.
Свойство доказано.
Свойство 3. Если />:Х ® У –гомеоморфизм, то и />-1: У ® Х –гомеоморфизм.
Доказательство. Действительно, так как />:Х ® У –гомеоморфизм, то /> – биекция.Поэтому обратное к нему отображение />-1также биекция. При этом, согласно условию />-1– непрерывно. Учитывая, что
(/>-1) -1= />,
имеем: отображение />--1– гомеоморфизм.
Свойство доказано.
Определение 2. Говорят, что топологическоепространство Х гомеоморфно топологическому пространству У, если существуетгомеоморфизм />: Х ® У.
Учитывая выполнимость перечисленных выше свойств гомеоморфизма, получим,что отношение гомеоморфности топологических пространств является отношениемэквивалентности.
Про гомеоморфные пространства также говорят, что они топологическиэквивалентны. Обозначаем:
Х /> У.
Кроме того, мы одновременно показали, что (с учётом ассоциативностипроизведения топологических отображений) множество всех гомеоморфизмовпространства на себя по умножению есть группа.
В связи с этим свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах,называются топологическими, а топология изучает свойства фигур, инвариантныеотносительно гомеоморфных отображений топологических пространств.
Таким образом, топология изучает геометрию группы всех гомеоморфизмовпространства на себя.
1.3.3 Примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов
Пример 1. Задана числовая прямая с естественнойтопологией. Доказать, что любые два интервала (/>,b) и (c, d) гомеоморфные.
Действительно, гомеоморфизм между ними устанавливается, например,линейной функцией
у = /> (х – />) + с,
где
х Î (/>, b), а у Î (с, d).
Пример 2. Задано трехмерное евклидовопространство с топологией, порожденной метрикой. Доказать, что сферагомеоморфна поверхности куба.
Для того, чтобы установить гомеоморфизм между ними, достаточнопоместить их центры в одну точку и произвести из неё центральное проектирование.
/>

Пример 3. Задана числовая прямая с естественнойтопологией. Доказать, что интервал и прямая гомеоморфные. Гомеоморфизм междуними можно установить следующей функцией:
у = tg />
хÎ Х = (а, b),
у Î У = R.
Теорема. Пусть />: Х ® У –непрерывное взаимно – однозначное отображение и />(Х)= У. Тогда, если Х – компактно, а У – хаусдорфово пространство, то /> – гомеоморфизм.


2. Топологические свойства поверхностей
 
2.1 Понятие двумерного многообразия
 
2.1.1 Определение двумерного многообразия
Важнейшим для геометрии классом топологических пространств являютсядвумерные многообразия.
Определение 1. Двумерным многообразием называетсяхаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которогоимеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу.
Локально у двумерных многообразий те же топологические свойства,что и у евклидовой плоскости.
В топологии под термином «поверхность» понимают именно двумерноемногообразие. Поэтому в дальнейшее мы не будем различать эти два понятия.
Примерами поверхностей являются любая область на евклидовой плоскости,сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды в евклидовом пространстве сестественной топологией.
/>
В дальнейшем мы часто будем встречать поверхность, которую называюттором. Поэтому определим ее следующим образом.
Определение 2. Тором в пространстве Е3называется множество точек, образованное вращением окружности вокруг оси,лежащей в плоскости окружности и не пересекающейся с этой окружностью.

/>
Компактные поверхности называют замкнутыми поверхностями. Например,сфера, тор – замкнутые поверхности, а параболоиды и гиперболоиды не являютсязамкнутыми поверхностями.
Определение 3. Двумерным многообразием с краем илиповерхностью с краем называется хаусдорфово топологическое пространство сосчетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытомукругу или полукругу вместе с диаметром.
Те точки поверхности с краем, у которых есть окрестность гомеоморфнаяоткрытому кругу, называются внутренними точками поверхности, а те ее точки,которые имеют окрестности, гомеоморфные полукругу вместе с диаметром,называются краевыми точками.
В дальнейшем будем считать, что для данной поверхности внутренняяее точка одновременно не может быть ее краевой точкой.
Множество внутренних точек любой поверхности F с краем открыто в F исамо является поверхностью. Поэтому множество точек края в F замкнуто и его обозначают ¶ F.Отметим, что ¶ F является границей в Fмножества внутренних точек. Каждая поверхность является частным случаем поверхностис краем, край которой пуст.
Если край ¶ F поверхности с краем F непуст, то он имеет простое строение: каждая его компонента гомеоморфна либоокружности, либо прямой. В частности, когда Fкомпактна, то ее край состоит из конечного числа компонент, каждая из которыхгомеоморфна окружности. Так, край кольца – это две окружности, край боковойповерхности цилиндра – также две окружности.

/>
В дальнейшем мы будем часто сталкиваться с процессом построенияновых поверхностей, который называют операцией склеивания. Эта операциязаключается в следующем. Берутся две поверхности с краем F¢ и F¢¢, и на их краях ¶ F¢ и ¶ F¢¢ выделяются некоторые гомеоморфные между собой части g¢ и g¢¢.
Соответствующие при данном гомеоморфизме точки Х¢Î g¢ и
X¢¢ Î g¢¢ отождествляются, т.е. считаютсяза одну точку Х. Одновременно склеиваются и их окрестности. При этомполучается новая поверхность с краем, склеенная из поверхностей F¢ и F¢¢.
/>
Например, многогранную поверхность можно считать склеенной из ееграней, а поверхность цилиндра вращения – склеенной из ее боковой поверхности идвух оснований. Склеивать можно и отдельные части края одной и той же поверхностис краем. Например, таким склеиванием получается поверхность, которую называют листомМебиуса.

2.1.2 Примеры поверхностей, полученных склеиванием
Пример 1. Лист Мебиуса, как пример поверхности скраем был описан в 1862 — 1865 годах в работах немецких математиков Мебиуса и Листинга. Поверхностьполучается следующим образом. Лента прямоугольной формы один разперекручивается, и затем ее концы склеиваются.
Полученная поверхность с краем имеет лишь одну сторону. Например,перемещая кисточку по ленте Мебиуса, мы придем к тому же месту, с которогоначинали закрашивание, но с обратной стороны. Перемещая кисточку дальше, мызакрасим всю ленту Мебиуса и убедимся, что у нее нет «второй стороны».
/>
Край листа Мебиуса гомеоморфен окружности, поэтому Лист Мебиуса негомеоморфен кольцу, у которого край состоит из двух окружностей.
Пример 2. Если на торе вырезать круглую дыру, томы получим поверхность с краем, которая называется ручкой. Край полученнойповерхности состоит из одной кривой, гомеоморфной окружности.

/>
 
Пример 3. Рассмотрим сферу, в которой вырезано p круглых дыр, и заклеим каждую из дыр ручкой.
Полученная поверхность называется сферой с p ручками. Сфера с одной ручкой гомеоморфна тору, а сфера с двумяручками — поверхности «кренделя» (получающейся склеиванием двух ручек).
/>2.2 Эйлеровахарактеристика поверхности
2.2.1 Правильные многогранники. Теорема Эйлера
Рассмотрим известные в евклидовой геометрии правильные многогранники.    В следующей таблице указано название, число вершин, ребер и гранейэтих пяти правильных многогранников.
Название многогранников Число вершин Число ребер Число граней Тетраэдр 4 6 4 Куб 8 12 6 Октаэдр 6 12 8 Додекаэдр 20 30 12 Икосаэдр 12 30 20
Из рассмотрения этойтаблицы видно, что для каждого правильного многогранника имеет местосоотношение:
/>,                  (1)
где В — число вершин многогранника, Г -число граней, Р - число ребер. Соотношение (1) легко проверить также для пирамид,призм и других многогранников. Эйлер впервые подметил и доказал этозамечательное свойство многогранников.
Уточним формулировку теоремы Эйлера. Прежде всего заметим, чтолюбая грань каждого из рассмотренных многогранников гомеоморфна кругу. Далее,поверхность каждого из рассмотренных многогранников (или, вообще, любоговыпуклого многогранника) гомеоморфна сфере: если О — произвольная внутренняя точка многогранника, а S - сфера с центром О, содержащая внутри себя этоммногогранник, то проекция поверхности на сферу S изцентра О представляет собой искомый гомеоморфизм.
Теорема Эйлера. Для всякого многогранника, поверхностькоторого гомеоморфна сфере, а каждая грань гомеоморфна кругу справедливо соотношение(1).
Можно придать этой теореме чисто топологическую формулировку. Дляэтого заметим, что все вершины и ребра многогранника образуют связный граф,который разбивает поверхность многогранника на отдельные грани (т.е. куски,гомеоморфные кругу). Мы получаем следующее (более общее, чем теорема Эйлера)утверждение:
Пусть на сфере (или гомеоморфной ей поверхности) начерчен связанныйграф G, имеющий В вершин и Р ребер и разбивающий сферу на Г областей(граней), тогда справедливо соотношение:
/>.                  (2)
В дальнейшем простой дугой будем называть гомеоморфный образотрезка, а простой замкнутой кривой или циклом – гомеоморфный образ окружности.
2.2.2 Понятие сети
Определение 1. Пусть Q –компактная поверхность с краем. Сетью å на Qназовем любой набор конечного числа точек А1, А2, …, Аm и конечного числа простых дуг g1, g2,×××,gn, которые имеют концы в точках А1, А2, …, Аm и не пересекаются друг сдругом во внутренних точках.
Точки А1, А2, …, Аm называются вершинами сети, дуги g1, g2,×××,gn– ребрамисети. Областями сети назовем компоненты множества
Q \ ((/>
/>
 
Определение 2. Если каждая область сети å гомеоморфнаоткрытому кругу, то говорят, что сеть å задает клеточное разбиениеповерхности с краем Q. В этом случае вершины сетиназываем вершинами клеточного разбиения, ребра сети – ребрами клеточногоразбиения, а области сети – областями клеточного разбиения.
Пусть Q — поверхность (с краем или без края, двусторонняя или односторонняя), котораядопускает разбиение на многоугольники. Это означает, что на поверхности можнозадать клеточное разбиение, разбивающее ее на конечное число областей,гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и ребер сети через В и Р, а числомногоугольников, на которые Qразбивается этой сетью — через Г. Число
c(Q) = В — Р + Г           (3)
называется эйлеровой характеристикой поверхности Q.
Строго говоря, число (2) определяется не самой поверхностью Q, а выбором ее разбиения на многоугольники. Однако теорема Эйлерапоказывает, что для поверхности Q,гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения намногоугольники:
c(Q) = 2.
 
Теорема 1. Для любой поверхности Q ее эйлерова характеристика c(Q) независит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самойповерхностью, т.е. является ее топологическим инвариантом.
Теорема 2. Эйлерова характеристика поверхностиявляется ее топологическим инвариантом, т.е., если поверхности Q1 и Q2гомеоморфны, то c (Q1) = c (Q2).
Доказательство. В самом деле, при гомеоморфизме
f: Q1®Q2

сеть G1,заданная на поверхности Q1,переходит в сеть G2 = f(G1) на поверхности Q2,причем число вершин, ребер и граней на поверхности Q2 будетстолько же, сколько и на поверхности Q1.
Определение 3. Будем говорить, что двумерное многообразиеẼ получено из Е и Е’ склеиванием по совокупности гомеоморфизмов
fi: gI® gI¢, i=1,2,…, k,если мы имеем склеивание по каждому гомеоморфизму fi: gI® gI¢ отдельно и при этом компоненты края все попарно различны.
Теорема 3. Если двумерное многообразие Ẽполучено из Е и Е¢ склеиванием по совокупности гомеоморфизмов fi: gI® gI¢, i=1,2,…, k, тоэйлерова характеристика многообразия Ẽ равна сумме эйлеровых характеристикмногообразий Е и Е¢.
Доказательство. Пусть Е ¹ Е¢, Ки К¢ ихклеточные разбиения. Очевидно, всегда можно выбрать клеточные разбиения /> и К¢такими, что гомеоморфизм fi: gI®gI¢ отображает вершину из К на вершину из К¢ и,наоборот. Обозначим a0, a1, a2, (a0¢, a1¢, a2¢) – число вершин, сторон и клеток в К (К¢), р0(р0¢) – число вершин расположенных на отождествляемых компонентахкрая. При этом р0 = р0¢. Объединяя все клетки Ки К¢ мыполучим новое клеточное разбиение /> длямногообразия Ẽ. При этом /> имеет: вершин/>= a0 + a0¢ – р0,сторон />= a1+ a1¢ – р0,клеток />= a2 + a2¢.
Следовательно,
c (Ẽ)=/>–/>+/>=(a0 + a0¢ – р0)– (a1+ a1¢ – р0)+ (a2 + a2¢) = c (Е)+ c(Е’).
Теорема доказана.
Определение 4. Многогранник нулевого рода называетсятопологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, ак каждой вершине подходит одно и то же число ребер.
Найдем все топологически правильные многогранники. Пусть Р один изних, n – число вершин каждой из его грани, m –число ребер, подходящих к каждой вершине. Так как каждое ребро является общейстороной двух его граней, то
n×a2 = 2 a1. (4)
Так как каждое ребро подходит к двум вершинам, то
m×a0= 2 a1. (5)
Из (1) и (2) получим:
a2 = />, a0=/>.
Подставляя эти равенства в формулу Эйлера, получим
/> – a1 + /> = 2.
Преобразовав это равенство, получим
/> + /> = /> + 1,
что приводит нас к неравенству

/> + /> > 1. (6)
Так как n ³ 3, m ³ 3, то
/> > 1 – /> ³ 1 –/> = />,
что дает нам интервал значений для m
3 £ m
Аналогично получаем интервал значений для n
3 £ n
Рассматривая всевозможные комбинации значений n и m и, учитывая равенства (4),(5) и (6), получим все топологически правильные многогранники. Набор такихмногогранников соответствует, по названию, набору правильных многогранниковевклидова пространства.
2.3 Ориентируемые и неориентируемые поверхности
2.3.1 Определение ориентируемых и неориентируемых поверхностей
Обобщим понятие триангуляции поверхности многоугольниками наповерхность с краем. Клеточное разбиение Т поверхности F скраем ¶F называется триангуляцией F,если в Т граница каждой двумерной клетки ti Î T состоит из трёх различных одномерных клеток разбиения Т. Приэтом концы каждой одномерной клетки g Î Tлежат в двух различных одномерных клетках разбиения Т. В этом случае,нульмерные клетки триангуляции Т называются её вершинами, одномерные клетки –рёбрами, а двумерные клетки с границами – топологическими треугольниками (нижетермин «топологический» часто опускается).
То, что каждая поверхность с краем может быть триангулирована, доказалТибор Радо. Отметим, что доказательство этого результата существенно опираетсяна наличие счётного базиса на поверхности. Без этого условия триангулируемостиможет и не быть – построены соответствующие примеры.
Пусть g – ребро триангуляции Т поверхности с краем F с концами в точках А и В. Ориентацией ребра gназывается порядок в паре его вершин. Ребро g имеет две ориентации (А, В)и (В, А). Их называют противоположными. Ребро g называется ориентированным,если выбрана одна из двух его ориентаций.
Рассмотрим теперь топологический треугольник t Î Т с вершинами А, В и С. Ориентацией (или обходом)треугольника t называется порядок в тройке его вершин, причём ориентациисчитаются одинаковыми (эквивалентными), если они получаются друг из друга врезультате циклической перестановки:
(А, В, С) ~ (В, С, А) ~ (С, А, В) и (С, В, А) ~ (В, А, С) ~ (А,С, В). Итак, треугольник t имеетдве ориентации.
Определение 1. Треугольник называетсяориентированным, если выбрана его ориентация.
Ориентация треугольника tпорождает (индуцирует) ориентацию каждой из его сторон следующим образом: надовзять тот порядок его вершин из эквивалентных друг другу порядков, где обевершины выбранной стороны стоят на первых двух местах, и отбросить третьювершину – оставшиеся две упорядоченные точки определяют ориентацию стороны, индуцированнуюориентацией треугольника.
Определение 2. Говорят, что два ориентированныхсоседних треугольника в Т имеют согласованные ориентации, если на общей сторонеони индуцируют противоположные ориентации.

/>
метрический пространство топологический замкнутый
Определение 3. Поверхность с краем F называется ориентируемой, если существует такая ее триангуляцияТ, все треугольники которой можно ориентировать так, что ориентации любых двухсоседних треугольников согласованы.
Если такой ориентации не существует, то поверхность с краем называетсянеориентируемой.
Замечание. Можно доказать, что понятиеориентируемости поверхности не зависит от выбранной конкретной триангуляции иявляется топологическим инвариантом.
К числу поверхностей F с краем мы причисляем и поверхности без края, считая ¶ F = Æ.
Пример 1. Евклидова плоскость Е2 исфера S2 ориентируемы.
Действительно, это легко показать, непосредственно выполнив триангуляциюи выбрав согласованные ориентации.
/>/>
 
Пример 2. Лист Мёбиуса – неориентирован.
Разобьем прямоугольник АВСД на три треугольника и непосредственноубеждаемся в несогласованности этих треугольников разбиения.
/>
Пример 3. Бутылка Клейна – неориентирована.
Если в квадрате U2 ={(x, y)| 0£ x £ 1, 0£ y £ 1} считать эквивалентными точки вида (х, 0) и (1-х, 1), а такжеточки (0, у) и (1, у), то поверхность, склеенная из U2 поэтому отношению эквивалентности, является неориентируемой замкнутойповерхностью, которая называется «бутылкой Клейна».
Мы отмечали ранее, что лист Мёбиуса дает нам, разумеется, наглядноеописание односторонней поверхности с помощью «окрашивания». Однако, такоевозможно лишь для «толстой поверхности», изготовленной из некоторого материала.Математическая поверхность не имеет толщины.
Поэтому подойдем к этому вопросу несколько иначе. В каждой точке a листа Мебиуса проведем два противоположных вектора, перпендикулярныек нему в этой точке. Эти векторы называются нормалями к листу Мебиуса в точке a.
Выберем одну из них и начнем перемещать точку a вместе с нормалью по ленте Мебиуса. Когда точка a обойдет всю ленту Мебиуса, то перемещающаяся нормаль при этомперейдет не в свое первоначальное положение, а в противоположное.
Итак, на ленте Мебиуса существует такой замкнутый путь (обход),что при прохождении этого пути нормаль к поверхности приходит в положение,противоположное первоначальному. Поверхности, обладающие такими обходами, иназываются односторонними.
Однако, говоря о нормалях, мы изучаем не только саму поверхность,но и ее расположение в пространстве. Поэтому приведем «внутреннее» определениеодносторонних поверхностей. Условимся вокруг точки a, изкоторой проведена нормаль, описывать небольшую окружность и на ней отмечатьстрелкой направление, которое из конца проведенной нормали наблюдается какнаправление против часовой стрелки. Если точка aперемещается, то вместе с ней перемещается и нормаль, а также окружность симеющимся на ней направлением. Когда мы обведем окружность по всей лентеМебиуса, направление изменится на противоположное (так как нормаль изменит своенаправление).
Итак, на ленте Мебиуса имеется такой замкнутый путь (обход), чтопри перемещении окружности вдоль этого пути направление на окружности меняетсяна противоположное. Такие обходы называют обращающими ориентацию.
Если на поверхности нет обращающих ориентацию обходов, то онаназывается ориентируемой (или двусторонней), если есть — неориентируемой (или односторонней). С наглядной точки зрения ориентируемость означает,что всю поверхность можно покрыть маленькими окружностями и выбрать на нихтакие направления, что близкие окружности будут ориентированы одинаково.
2.3.2 Классификация замкнутых поверхностей
Мы подходим к формулировке замечательной теоремы о топологическойклассификации поверхностей, полученной немецким математиком Мебиусом ифранцузским математиком Жорданом.
Условимся рассматривать только замкнутые поверхности (которые неимеют края и допускают разбиение на конечное число многоугольников). Плоскость,например, не является замкнутой поверхностью: конечный граф, начерченный наплоскости, не разбивает ее на области, которые все гомеоморфны кругу.
Задача топологической классификации поверхностей заключается втом, чтобы указать такие попарно не гомеоморфные замкнутые поверхности, чтолюбая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе говоря, нужноперечислить все топологически различные замкнутые поверхности.
Теорема 1. Обозначим через P0сферу, а через Pkсферу с k ручками. Тогда поверхности
P0, P1, P2, …, Pk,…                 (1)
дают полную топологическую классификацию замкнутых ориентируемыхповерхностей, т.е. здесь перечислены все различные типы таких поверхностей.
Замкнутуюнеориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь ссамопересечениями. Так как край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности, то можнопопытаться приклеить ленту Мебиуса своим краем к краю дыры, вырезанной внекоторой поверхности, например в сфере. Если на одной окружности кольцасклеить между собой каждые две диаметрально противоположные точки, то мыполучим ленту Мебиуса.
Пусть теперь ℓ- контур круглой дыры нанекоторой поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) вокруг дыры ℓи обозначим через ℓ′ наружный контур этого кольца.
Тогдаполучится поверхность, гомеоморфная Q (только с несколько большей дырой ℓ′),и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре ℓ отрезанного кольца каждыедиаметрально противоположные точки; тогда кольцо превратится в ленту Мебиуса.Эту ленту Мебиуса мы и вклеим в дыру ℓ′. В результате мы вклеим вповерхность Q(точнее, в поверхность, гомеоморфную ей) ленту Мебиуса. Но разрезаниеповерхности по контуру ℓ′ и обратное склеивание этого разреза можнобыло и не делать: достаточно было просто склеить на контуре ℓ каждые дведиаметрально противоположные точки. Итак, склеивание каждых двух диаметральнопротивоположных точек на контуре круглой дыры равносильно вклеиванию в эту дыруленту Мебиуса.
Теперь мыможем сформулировать вторую половину теоремы Мебиуса-Жордана о классификацииповерхностей, а именно, дать перечисление всех топологически различных типовзамкнутых неориентируемых поверхностей.
Теорема 2. Обозначим через Nq поверхность, получающуюсяиз сферы вырезанием в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мебиуса. Тогда поверхности
N1, N2, …, Nq, … (2)
дают полнуютопологическую классификацию замкнутых неориентируемых поверхностей.

Заключение
Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма непросто. Известныйфранцузский математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математикаборются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры, выразив этим, во-первых,необычное изящество и красоту топологии и, во-вторых, то, что вся современнаяматематика представляет собой причудливое переплетение идей топологии иалгебры. А за последнее время топология все более проникает в физику, химию,биологию. Однако проникновение в волшебный мир топологи затруднительно. Подобнотому, как строительные леса, окружающие недостроенное здание, мешают охватитьвзглядом красоту архитектурного замысла, так многочисленные и утомительныедетали построения, заполняющие книги по топологии, затрудняют охватитьмысленным взором красивое здание этой математической науки. Даже многиеспециалисты – математики нередко отступают перед трудностями на пути овладениятопологией. Для того чтобы в полной мере оценить задачи, которые решаются этойнаучной дисциплиной, необходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросовматематики.
В ходе данной работы были рассмотрены основные элементы общей топологии.


Список использованной литературы
1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.:Наука, 1990. –672 с.
2. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топологиякривых. – М.: Наука, 1987. –160 с.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 2. –М.: Просвещение, 1987. – 351 с.
4. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Нагляднаятопология. – М.: Наука, 1982. – 148 с.
5. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрияв примерах и задачах: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2005.
6. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии идифференциаль-
нойгеометрии. – М.: Просвещение, 1985. – 113 с.
7. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука,1981. – 352 с.
8. Долженков В.А., Соловьева Е.Г.,Горчинский И.В. Элементы общей топологии: Учеб.-метод. пособие −Курск: Курск. гос. ун-т, 2006. – 63 с.
9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра имногомерная геометрия. – М., 2004. – 464 с.
10. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементыдифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов. – М.: Наука,1987. – 432 с.
11. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии.М.: Наука, 1977. – 488 с.
12. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983. – 288 с.
13. ШварцДж. Дифференциальная геометрия и топология. Новокузнецк: НФМИ, 2000.
14. Шашкин Ю.А. Эйлеровахарактеристика. М.: Наука, 1984. – 96 с.
15. Фоменко А.Т. Дифференциальнаягеометрия и топология. Дополнительные главы. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. –216 с.
16.Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986.