Содержание
Введение
§1. Линейные преобразования
§2. Индексные обозначения
§3. Общееопределение тензоров
§4. Скалярное произведение и метрический тензор
§5. Действия с тензорами
§6. Поднятиеи опускание индексов
§7. Тензоры в криволинейных координатах
§8. Примеры вычислений
Заключение
Литература
Введение
Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в 19 векеразвитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичныхдифференциальных форм — с другой. Исследования в области теориидифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны сдифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и сгеометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную формутензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтомутензорное исчисление иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастропервоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возрослопосле появления (1915-16) общей теории относительности А. Эйнштейна,математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.
Тензор (от лат. tensus — напряжённый, натянутый), математическийтермин, появившийся в середине 19 века и с тех пор применяющийся в двухразличных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил всовременном тензорном исчислении, где это название присваивается особого родавеличинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теорииупругости, термин «тензор» широко применяется как синоним симметрическогоаффинора, то есть линейного оператора F, преобразующего вектор хв вектор Fх, и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уFх не меняется приперестановке векторов х и у. Здесь термин был первоначальносвязан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации(откуда и название «тензор»), а затем перенесён в другие области механики. Такпоявились тензор деформации, тензор напряжения, тензор инерции и др.
§1. Линейные преобразования
Пусть переменные /> преобразуютсяв новые /> спомощью линейного преобразования
/>
где /> -константы (все индексы пробегают значения 1, 2, 3..., n независимо друг отдруга.). Применяя условие о суммировании, можем записать эту систему уравненийв виде
/> (1.1)
Мы предполагаем, что определитель преобразования /> неравен нулю. Пусть /> являетсяалгебраическим дополнением элемента /> вопределителе c деленным на величину />(/>-обратная матрица). Тогда
/> (1.2)
и мы можем разрешить систему уравнений (1.1)относительно x
/> (1.3)
Это показывает, что данное преобразование обратимо.
Кроме того, если /> мыимеем
/>
т. е. тождественное преобразование.
Если перейти сначала от переменных />к/>по(1.1), а затем от переменных />к/>припомощи преобразования
/>
то мы видим, что переход от первоначальных переменных /> к/>определяетсяформулой
/>
где
/>
Это преобразование, следовательно, также линейное.
Говорят, чтосовокупность преобразований образует группу, когда она удовлетворяет следующимусловиям: 1) если преобразования от />к/>и от />к/>принадлежат данной совокупности, то преобразование от />к /> также принадлежат к ней; 2) совокупность преобразованиясодержит тождественное и обратное преобразования.
Таким образом,совокупность линейных преобразований образует группу.
§ 2. Индексные обозначения
Если нам дана совокупность трех независимыхпеременных, то они могут быть обозначены тремя различными буквами, например x,y,z, номы считаем более удобным обозначать переменные данной совокупности одной и тойже буквой, различая их посредством индексов. Таким образом, мы можем записатьтри переменные в виде/>,или в более компактной форме:
/> (2.1)
Здесь мы написали индекс внизу, но в равной меремы могли бы использовать вместо этого верхний значок, так что переменные былибы записаны в виде /> или
/> (2.2)
Однородная линейная функция переменных обычнозаписывается в виде
/> (2.3)
где /> -константы. Таким образом, коэффициенты линейной формы могут быть записаны ввиде
/>
Объекты, которые, подобно />и/>,зависят только от одного индекса, называются объектамипервого порядка, а отдельные буквы с индексами/>и /> называютсяэлементами или составляющимиобъекта. Объекты первого порядка, имеющие три составляющие,назовем трехмерными. Имеются два типа объектов первого порядка, а именно те, укоторых индекс вверху, и те, у которых индекс внизу; следовательно, все объектыпервого порядка принадлежат к одному из двух типов
/> (2.4)
С другой стороны, однородная квадратичная функциятрех переменных имеет вид
/> (2.5)
где атп — константы. Мы видим, чтокоэффициенты квадратичной формы зависят от двухиндексов и записываются так:
/>
Составляющие этого объекта преобразуются следующим образом:
/>
Следовательно, эта формула дает один из способов,с помощью которого может быть преобразован объект первого порядка. Любойобъект, составляющие которого преобразуются по этому закону, называется контравариантнымвектором. Таким образом, есть контравариантный вектор, еслипри линейном преобразовании переменных (1.1) его преобразованные составляющиеопределяются формулами
/> (2.6)
Имеется и другой способ преобразования элементовобъекта первого порядка. Мы уже видели, что коэффициенты линейной формыпеременных x также образуют объект первого порядка.Таким образом, коэффициенты линейной формы /> являютсясоставляющими объекта/>.Предположим, что составляющие /> преобразуютсятаким образом, что линейная форма /> остаетсяинвариантной относительно преобразованияпеременных (1.1). Если мы обозначим через />новыесоставляющие объекта /> (послепреобразования), то получим
/>,
так как эта линейная форма есть инвариант. Тогда из (1.3) следует
/>
Поскольку немой индекс может быть обозначен любой буквой, то этусистему уравнений можно записать в виде
/>
Если это соотношение справедливо для всехзначений переменных />,то должно выполняться равенство
/> (2.7)
Это преобразование, очевидно, отлично от преобразования,задаваемого формулой (2.6). Объект первого порядка, составляющие которогопреобразуются по этому закону, называется ковариантнымвектором.
Таким образом, у нас есть два типа тензоровпервого порядка, и мы условимся различать их с помощью положения индекса. Если- тензор контравариантен, мы используем верхний индекс, если же он ковариантен,то нижний. Другими словами, верхний индекс обозначаетконтравариантностъ, а нижний индекс — ковариантность.
Объекты, которые зависят от двух индексов,называются объектами второго порядка. Изтого, что индексы бывают верхние и нижние, следует, что объекты второго порядкамогут быть трех типов:
/> (2.8)
Легко видеть, что в этом случае каждый объектимеет 9 составляющих.
Аналогично можно получить объектытретьего порядка, которые будут зависеть от трех индексов имогут принадлежать к любому из четырех типов:
/> (2.9)
Здесь каждый объект содержит />или27 составляющих. Мы можем продолжать это построение и получить объекты любогопорядка.
Для законченности этой последовательности мы назовем объект а,не имеющий индексов, объектом нулевого порядка. Еслиэтот объект имеет одно и то же значениеи в новых переменных /> ив старых переменных />,то он называется скаляром, илиинвариантом. Следовательно, если аесть инвариант, то
/>, (2.10)
где /> естьзначение данного объекта в новых переменных.
Мы взяли числоизмерений равным трем лишь для определенности. Все, что было сказано выше,применимо также к любому числу измерений, если условиться, что число значений,пробегаемых индексом, равно числу измерений. Например, если число измеренийравно четырем, следует считать, что индексы могут пробегать значения от 1 до 4,а не от 1 до 3, как предполагалось выше.
§ 3. Общее определение тензоров
Векторы, ковекторы, линейные операторы, и билинейные формы — примеры тензоров. Они являются геометрическими объектами, которыепредставляются в числовой форме, после того, как выбран базис в пространстве.Это числовое представление является своим для каждого из них: векторы иковекторы представляются одномерными массивами, линейные операторы и квадратичныеформы — двумерными массивами. Кроме количества индексов, имеет значение также иих расположение. Координаты вектора нумеруются одним верхним индексом, которыйназывается контравариантным индексом. Координаты ковектора нумеруются однимнижним индексом, который называется ковариантным индексом. В матрице билинейнойформы мы используем два нижних индекса; поэтому билинейные формы называютдважды-ковариантными тензорами. Линейные операторы — тензоры смешанного типа;их элементы нумеруются одним нижним и одним верхним индексами. Число индексов иих положения определяют правила преобразования, т.е. то как компоненты каждогоконкретного тензора ведут себя при смене базиса. В общем случае, любой тензорпредставляет собой многомерный массив с определенным числом верхних и нижнихиндексов. Давайте обозначать число этих индексов через r и s. Тогда получится тензортипа (r,s); или иногда используется термин валентность. Тензор типа (r,s), или тензор валентности(r,s) — это r-раз контравариантный и s-раз ковариантный тензор.
Все это была терминология; теперь давайте перейдем к точномуопределению.
Оно базируется на следующих общих формулах преобразования:
/> (3.1)
/> (3.2)
Определение 1. Геометрический объект X, который в каждом базисепредставляется (r + s)-мерным массивом />вещественных чисел, удовлетворяющихправилам преобразования (3.1) и (3.2) при смене базиса, называется тензоромтипа (r,s), или валентности (r,s).
Индексы /> и /> — свободные индексы. В правойстороне равенства (3.1) они распределены в S-ках и T-шках, каждыйимеет только одно вхождение и сохраняет свою позицию при переходе из левой вправую часть равенства, т.е. верхние индексы /> остаются верхними, а нижниеиндексы />остаютсянижними в правой части равенства (3.1).
Остальные индексы /> и /> - это индексы суммирования, онивходят в правую часть (3.1) парами: один раз в качестве верхнего индекса и одинраз в качестве нижнего индекса, один раз в S-матрице либо в T-матрицеи второй раз среди индексов в компонентах массива />.
При выражении /> через /> каждый верхний индекс обслуживается ровноодин раз матрицей прямого перехода S, порождая при этом ровно односуммирование в формуле (3.1):
/> (3.3)
Подобным же образом, каждый нижний индекс обслуживается матрицейобратного перехода T и тоже порождает одно суммирование в формуле (1):
/> (3.4)
Формулы (3.3) и (3.4) совпадают с (3.1), они записаны для того,чтобы сделать более понятным то, как записывается формула (3.1). Итак,определение тензоров дано.
§ 4. Скалярное произведение и метрический тензор
Ковекторы,линейные операторы и билинейные формы, те, что мы рассматривали выше, все этобыли искусственно построенные тензоры. Однако, есть некоторое количествотензоров естественного происхождения. Давайте вспомним, что мы живем вметрическом мире. Мы можем измерять расстояния между точками (следовательно, мыможем измерять длины векторов) и измерять углы между двумя направлениями впространстве. Поэтому для любых двух векторов x и y мы можем определить их скалярноепроизведение:
(x,y) = |x||y| cos(φ), (4.1)
где φ — угол между векторами x и y. Это естественное скалярное произведение, порожденноенашей способностью измерять длины или, вернее сказать, тем, что понятие длиныдано нам в ощущениях в том мире, где мы живем.
Вспомнимследующие свойства естественного скалярного произведения (4.1):
(1)(x+y, z) = (x, z)+(y, z);
(2)(αx, y) = α(x, y);
(3)(x, y+z) = (x, y)+(x, z);
(4)(x, αy) = α(x, y);
(5)(x, y) = (y, x);
(6)(x, x)≥0 и(x, x) = 0 влечетx= 0.
Обратитевнимание, что первые четыре свойства скалярного произведения
(4.1) оченьпохожи на свойства квадратичной формы. Это не случайное совпадение.
Давайтерассмотрим два произвольных вектора x и y вместе с их разложениями в некотором базисе />. Это означает, что мы имеем следующиевыражения для них:
/> (4.2)
Подставим(4.2) в формулу (4.1) и, используя четыре свойства(1)–(4) из шести упомянутых вупражнении, выведем следующую формулу для скалярного произведения векторов x и y:
/> (4.3)
Обозначим /> и запишите (4.3) в виде
/> (4.4)
Рассмотримдругой базис />, обозначим /> и посредством формул преобразования
/>и />
докажем,что матрицы />и />являются компонентами геометрическогообъекта, подчиняющимися преобразованиям
/> и />
при заменебазиса. Таким образом мы докажем, что эта матрица Грама
/> (4.5)
задаеттензор типа (0,2). Это очень важный тензор; его называют метрическим тензором.Оно описывает не только скалярное произведения в форме (4.4), но и всюгеометрию нашего пространства. Свидетельства этого факта приводятся ниже.
Матрица (4.5)симметрична из-за свойства (5). Теперь, сравнивая формулу (4.4) с формулой
/>
и помня отензорной природе матрицы (4.5), мы приходим к выводу, что скалярноепроизведение – это симметричная билинейная форма:
(x, y) = g(x,y). (4.6)
Квадратичнаяформа, соответствующая (4.6), очень проста: f(x) = g(x,x) =/>. Обратная матрица для (4.5)обозначается тем же самым символом g, но она имеет два верхних индекса: />. Это определяет тензор типа (2,0).Такой тензор называется дуальным метрическим тензором.
§5. Действия с тензорами
1) Линейныеоперации.
Так как /> - пространство тензоров ранга р- является линейным пространством,то в нем определены действия сложения и умножения на число:
/> (5.1)
Если тензоры представленысвоими компонентами в одном и том же базисе, то линейной комбинации тензоровсоответствует та же линейная комбинация их компонент.
2) Тензорноеумножение.
В отличие от линейных операций,это действие совершается с произвольными тензорами, не обязательно имеющимиодинаковый ранг.
Если X — тензор ранга р, а Y — тензор ранга q, то результатом будет тензор ранга p+q,обозначаемый XY:
/> (5.2)
Тензорное произведениепроизвольного числа тензоров обладает свойством ассоциативности.
Для того чтобы перейти к другимдействиям с тензорами, нам понадобится следующее определение.
Определение. Тензоры,представимые в виде abc…h, называются разложимыми.
Не каждый тензор являетсяразложимым, но любой тензор может быть представлен в виде линейной комбинацииразложимых.
3) Перестановка(i,j).
Перестановкой T(i,j) называетсялинейная функция, действующая из /> в /> (т.е.не меняющая ранг тензора) и состоящая для разложимых тензоров во взаимной перестановкевекторов, стоящих на i-м и j-м местах:
/> (5.3)
Например,/>
На произвольные тензорыоперация перестановки распространяется по линейности, например:
/>
Для тензоров второго рангавозможна только одна перестановка — Т(1,2), обозначаемая просто буквой Т:
/>
Дляпроизвольного тензора второго ранга X имеем:
/>
Из полученного соотношения для /> видно, что матрица компонент тензора /> впростом базисе является транспонированной матрицей компонент тензора X втом же базисе. Именно поэтому операция перестановки тензоров второго ранганазывается еще транспонированием.
4) Свертывание (i,j).
Свертыванием /> называется линейная функция, действующая из />в /> (понижающаяранг тензора на 2) и состоящая для разложимых тензоров в скалярном перемножениивектора, занимающего i-е место, на вектор, занимающий j-еместо:
/> (5.4)
Например, />.
На произвольные тензорыоперация свертывания переносится по линейности, например:
/>
Для тензоров второго ранга возможно только односвертывание — />,обозначаемое просто/>:
/>
Скаляр /> называется следом тензора второго ранга X.
Если тензор записан всмешанных компонентах, то
/>
(п — размерностьпространства Эп). Таким образом, след тензора второго ранга совпадает соследом матрицы его смешанных компонент.
Для матриц ко- иликонтравариантных компонент предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно:
/>
5) Простоеумножение.
Простым умножением тензора X ранга рна тензор Y рангаq называется операция, состоящая в свертывании (р, р+ 1) тензорного произведения XY иобозначаемая />:
/> (5.5)
Другими словами, простоеумножение сводится к скалярному перемножению последних векторов в разложениитензора X на первые векторы в разложении тензора Y. Дляразложимых тензоров:
/>
Для произвольных тензоров:
/>
В результате простого умножениятензора ранга р натензор ранга q получается тензор рангар+q-2. Вчастности, результатом простого умножения двух тензоров второго ранга будеттензор второго ранга.
6) Косоеумножение.
Это действие имеет смыслтолько для тензоров, построенных на основе трехмерного векторного пространства />. Какуже упоминалось, в />определено векторное произведение векторов />
Пусть />Операция косого умножения, обозначаемая />, приводит к тензору ранга р+q-1 и состоит в векторном перемножении последних векторов вразложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y:
/> (5.6)
Очевидно, что в случае двухвекторов операция косого умножения совпадает с векторным умножением.
Для тензоров второго ранга сиспользованием векторного умножения строится еще одна операция — векторныйинвариант. Это унарная (т.е. имеющая одинаргумент) операция, применительно к тензору T обозначаемаякак Тх, определяетсядля разложимых тензоров следующим образом
/>,
и распространяется на произвольные тензоры полинейности:
/>
7) Полноеумножение.
Пусть />, причемр>q.
Операцию полногоумножения, обозначаемую />, определим сначала для разложимых тензоров следующимобразом: при полном умножении (разложимого) тензора X на тензор Yпроизводится скалярное умножение последнего вектора в разложении тензора Xна последний вектор в разложении тензора Y, затем скалярное умножениепредпоследних векторов в разложениях этих тензоров и т.д., пока не будутисчерпаны все векторы в разложении тензора Y:
/> (5.7)
Для произвольных тензоровполное умножение производится по правилу «многочлен на многочлен».Результатом полного умножения тензора ранга рна тензор ранга q является тензор ранга р-q.
Если X и Y — тензоры одинакового ранга, то полное умножение />совпадает с введенным ранее скалярным произведением впространстве />.
§6. Поднятиеи опускание индексов
Предположим, что X — это тензор типа (r,s).Давайте выберем его α-тый нижний индекс: /> Символы,используемые для других индексов, несущественны. Поэтому, мы обозначили ихточками. Затем рассмотрим тензорное произведение />
/> (6.1)
Здесь g — дуальный метрический тензор сэлементами/>.На следующем шаге свернем (6.1) по паре индексов k и q. Для этойцели мы заменяем их на s и проводим суммирование:
/> (6.2)
В целом вся операция (6.2) называется поднятиеминдекса. Эта операция обратима. Обратная операция называется опусканием индексов:
/> (6.3)
Подобно (6.2), операция опускания индекса (6.3)включает в себя две операции над тензорами: тензорное произведение и свертку.
§7.Тензорыв криволинейных координатах
Мы будем рассматривать область/> аффинного пространства, отнесенную к криволинейнымкоординатам />. Радиус-вектор х произвольной точки Мобласти />, отсчитываемый от фиксированной точки О,будет выражаться функцией
/> (7.1)
достаточное число раз непрерывнодифференцируемой. В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые точкипринадлежат области />.
Для ориентации в строении данной координатнойсистемы весьма полезны координатные линии. Так мы будем называть кривые, вдоль которых меняется лишьодна из координат /> а остальные остаются постоянными. Рассмотрим, например,координатную линию />.Это значит, что /> закреплены на постоянных значениях, так что радиус-вектор х (7.1) остается функцией одного лишь />; мы получаем кривую, отнесенную к параметру />.
Через каждую точку Мпройдет одна и только одна координатнаялиния />,именно, если /> закрепить на значениях, которые они имеют в точке М. Частная производная /> дает касательный вектор к координатной линии/>. Все сказанное справедливо и для любых координатных линий,так что через каждую точку М проходят п координатных линий с касательными векторами />. Эти векторы мы будем обозначать кратко
/> (7.2)
Они, как мы знаем, всегдалинейно независимы, и потому в каждой точке М могутбыть приняты за векторы аффинного репера />Таким образом, задание криволинейныхкоординат в области /> влечетпоявление в каждой ее точке М вполне определенного аффинного репера /> Этот аффинный репер мы будем называть локальным репером в точкеМ.
Когда в качестве частного случая криволинейныхкоординат мы берем аффинные координаты, функция (7.1) принимает вид:
/> (7.3)
и локальный репер в каждой точке Мимеет те же векторы, что и основной репер,на котором построена данная аффинная координатная система.
Для рассмотрения локальных реперов имеютсяглубокие основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми обладалиаффинные координаты точек: приращения этих координат при переходе из точки /> в точку /> выражали координаты вектора смещения />:
/>
поскольку
/>
(говоря о координатах вектора,мы всегда будем иметь в виду его аффинные координаты; криволинейные координаты для векторов не имеютсмысла). В этом, можно сказать, и состояла сущность аффинных координат точек.
Для криволинейных координат /> эти простые свойства теряются. Однако мы находим их снова, еслирассматривать криволинейные координаты в бесконечно малой окрестности даннойточки М.
Смещаясь из точки /> в бесконечно близкую точку />, мы находим вектор смещения />,как приращение радиуса вектора х точки М:
/>
Пренебрегая бесконечно малымивысшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем:
/> (7.4)
Это значит, что векторсмещения /> в локальном репере />имеет координа-ты, равные приблизительно приращениям />.
Итак, для бесконечно малых смещений из точки М приращениякриволинейных координат /> сновавыражают координаты вектора смещения />,если эти последние вычислять в локальном репере в точке М, пренебрегаябесконечно малыми высшего порядка.
Таким образом, при помощи локального реперакриволинейным координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда,теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки.
Можно сказать также, что приращения/> криволинейныхкоординат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают с точностью 1-гопорядка с аффинными координатами относительно локального репера, построенного вточке М.
Естественно, что, занимаясь геометриейаффинного пространства в криволинейных координатах, мы постоянно будемсталкиваться с локальными реперами.
Выясним теперь, что происходит с локальнымиреперами, когда криволинейные координаты подвергаются преобразованию
/> (7.5)
которое предполагаетсяоднозначно обратимым и непрерывно дифференцируемым в обе стороны. Выражая,обратно,
/> (7.6)
мы можем считать в уравнении(7.1) радиус-вектор х сложной функцией от />.Частная производная по /> выразится тогда по известной формуле:
/>
В правой части по i,конечно, происходит суммирование. Заметим, что мы будем без стеснения прилагатьобычные формулы дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так каксправедливость этих формул устанавливается тривиальным образом: достаточносвести дифференцирование векторов к дифференцированию их координат. Окончательнополучаем:
/> (7.7)
Итак, преобразование криволинейных координат влечет за собойпреобразование локального репера в каждой точке М, причем векторы новоголокального репера разлагаются по векторам старого с коэффициентами />.Сравнивая с нашей прежней записью преобразования аффинногорепера
/>
мы видим, что (7.7)представляет собой ее частный случай, когда
/> (7.8)
а роль векторов />играют />.
Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле,например, />. Точка М может при этом пробегать всю область /> или только некоторую поверхность в ней, или даже линию взависимости от того, где тензорное поле задано.
Координаты тензора />можновычислять относительно любого аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегдабудем считать, что аффинное пространство (по крайней мере в пределах области />) отнесено к каким-либокриволинейным координатам />.Тогда в каждой точке М возникает локальный репер, и координаты тензора /> мыбудем брать относительно именно этого репера. Эти координаты мы будем кратконазывать координатами тензора /> вданной системе криволинейных координат />.
Когда в дальнейшем мы будем говорить отензорном поле
/> (76.9)
то всегда будем подразумеватьсказанное выше.
Если тензорное поле задано не во всей области />, а лишь на некоторой поверхности (линии), то в уравнениях(7.9) />нужно задавать, конечно, как функции параметров этойповерхности (линии). Тензорное поле может выродиться и в задание тензора />в одной только точке М.
Вслед за преобразованием криволинейныхкоординат происходит преобразование локального репера в каждой точке М,а значит, и преобразование координаттензора />по обычному тензорному закону:
/> (7.10)
При этом, как мы видели,матрица /> совпадает с матрицей />, аследовательно, обратная матрица /> - с матрицей />:
/>=/>. (7.11)
Следовательно, закон преобразования (7.10) принимаетвид
/> (7.12)
Таким образом, переход отодних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразованиекоординат тензорного поля /> по закону (7.12). При этом частные производные /> по /> иобратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.
§8. Примеры вычислений
Пример 1 (Динамика частицы)
В качестве простого приложения тензорного исчисления чутьпереформулируем уравнения классической динамики материальной точки.
Второй закон Ньютона /> в компонентах записывается как
/> (8.1)
Откудасразу видна его ковариантность по отношению к преобразованиям из группы О (3).Если силовое поле потенциально, то
/> (8.2)
Умножаяобе части (8.1) на /> и свертывая по индексам, получим
/>
т.е.
/> (8.3)
Вводякинетическую энергию частицу /> и элементарную работу силы />, придем к теореме живых сил.
/> (8.4)
Инвариантнойотносительно ортогональных преобразований. Для потенциального стационарногополя сил из (8.4) и (8.2) имеем
/>
Откудаследует закон сохранения энергии:
/> (8.5)
умножаяуравнение (8.1) с индексом k накоординату />, умножая затем то же уравнение синдексом jна /> и производя вычитание, получим
/>
Или,после вынесения производной по времени,
/> (8.6)
Чтобывыяснить смысл этого результата, свернем обе части (8.6) с символом />:
/>
Вспоминаяопределение векторного произведения, придем к теореме об изменении моментаимпульса частицы:
/> (8.7)
Пример 2 (Момент инерции)
Момент количества движения Lтвердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционаленугловой скорости ω, и коэффициент пропорциональности I мы назвали моментом инерции: />
Момент инерции телапроизвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моментыинерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трехортогональных осей будут разными. Но угловая скорость ω и момент количества движения L — оба векторы. Для вращенияотносительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерцииотносительно каждой из трех главных осей различны, то направления ω и L, вообще говоря, не совпадают.
/> (8.8)
Девять коэффициентов /> называют тензором инерции. Кинетическаяэнергия T длялюбого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формойкомпонент />,/>и />:
/> (8.9)
Мы можем воспользоватьсяэтим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можновоспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензорсимметричен, т. е. />=/>.
Тензор инерции твердого теламожно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полнуюкинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией />, а полная кинетическая энергия равнапросто сумме
/>
по всем частицам тела. Носкорость v каждой частицы связана с угловой скоростью ωтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс,который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицыотносительно центра масс, то ее скорость v задается выражением />. Поэтому полная кинетическая энергияравна
/> (8.10)
Единственное, что нужнотеперь сделать,— это переписать />через компоненты />,/>,/>и координаты х, у, z, а затем сравнить результат суравнением (8.9); приравнивая коэффициенты, найдем />. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:
/>
Умножая это уравнение на />, суммируя по всем частицам и сравниваяс уравнением (8.9), мы видим, что />, например, равно
/>
Это и есть та формула для момента инерции телаотносительно оси х. Ну а поскольку />, то эту же формулу можно написать в виде
/>
Выписав остальные члены тензора инерции,получим
/> (8.11)
Его можно записать в «тензорных обозначениях»:
/> (8.12)
где через /> обозначены компоненты (х, у, z)вектора положения частицы, а ∑ означает суммирование по всемчастицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементыкоторого определяются свойствами тела и который связывает момент количествадвижения L с угловой скоростью ω:
/> (8.13)
Для любого тела независимо от его формы можнонайти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этихосей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть триортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скоростьпараллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.
Пример 3 (Тензор напряжений)
Рассмотрим тело из какого-то упругогоматериала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материална каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение поддействием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этимичастями должны были действовать силы, которые удерживали обе части в единомкуске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представим, что мы смотримна воображаемую плоскость, перпендикулярную оси х, подобную плоскостиσ на (рис.1), и интересуемся силами, действующими на маленькой площадке ΔyΔz,расположенной в этой плоскости. Материал, находящийся слева от площадки,действует на материал с правой стороны с силой />(рис. 1, б).
/>
рис.1
Есть,конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила-/>. Если площадкадостаточно мала, то мы ожидаем, что сила /> пропорциональна площади ΔyΔz.
Мы ужезнакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там силабыла равна давлению, умноженному на площадь, и направлена под прямым углом кэлементу поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкостисила не обязательно перпендикулярна поверхности: помимо давления(положительного или отрицательного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под«сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующихна поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметимеще, что если разрез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориентацией, тодействующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутреннихнапряжений требует применения тензоров.
/>
рис.2
Определимтензор напряжений следующим образом. Вообразим сначала разрез, перпендикулярныйоси х, и разложите силу /> действующую на разрезе,на ее компоненты: />, />, /> (рис.2). Отношение этихсил к площади ΔyΔz мы назовем/>. Например:
/>
Первый индексу относится к направлению компоненты силы, а второй х — кнаправлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь ΔyΔzможно записать как />, имея в виду элемент площади,перпендикулярный оси х, т. е.
/>
А теперьпредставьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькуюплощадку ΔxΔz действует сила />. Разлагая снова эту силуна три компоненты, мы определяем три компоненты напряжения /> как силы, действующиена единичную площадь в этих трех направлениях. Наконец, проведем воображаемыйразрез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты />. Такимобразом, получается девять чисел:
/> (8.14)
Покажем, чтоэтих девяти величин достаточно, чтобы полностью описать внутреннее напряженноесостояние, и что /> — действительно тензор.Предположим, что мы хотим знать силу, действующую на поверхность, наклоненнуюпод некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из />? Можно, и это делаетсяследующим образом. Вообразим маленькую призму, одна грань N которойнаклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань Nпараллельна оси z, то получается картина, изображенная на рис.3. (Это,конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.)Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы онанаходилась в равновесии (по крайней мере, в пределе бесконечно малого размера),так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы,действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственноиз тензора />.А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, такчто эту силу можно выразить через />.
/>
рис.3
Нашедопущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся вравновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести илипсевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат неинерциальна. Заметим, однако, что такие объемные силы будут пропорциональныобъему призмочки и поэтому пропорциональны Δx, Δy, Δz,тогда как поверхностные силы пропорциональны ΔxΔy, ΔyΔzи т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силыбудут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.
А теперьсложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за x-компоненту,которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Δzдостаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z)будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можнозабыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная
/>
а x-компонентасилы, действующей на вертикальную прямоугольную грань, равна
/>
Сумма этихдвух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на граньN. Обозначим через n единичный вектор нормали к грани N, ачерез /> -действующую на нее силу, тогда получим
/>
Составляющаянапряжения по оси х (/>), действующего в этой плоскости, равнасиле />, деленнойна площадь, т. е. />, или
/>
Но, каквидно из рис.3, отношение /> — это косинус угла θмежду n и осью у и может быть записан как />, т. е. y-компонентавектора n. Аналогично, /> равно sinθ=/>. Поэтому мыможем написать
/>
Если теперьобобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим
/>
или в ещеболее общей форме:
/> (8.15)
Так что мыдействительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, черезэлементы /> иполностью описать внутреннее напряжение.
Уравнение(8.15) говорит, что тензор /> связывает силу /> с единичным вектором n.Но поскольку n и /> - векторы, то компоненты />при измененииосей координат должны преобразовываться как тензор. Так что />действительно тензор.
Можно такжедоказать, что /> — симметричный тензор. Для этогонужно обратить внимание на силы, действующие на маленький кубик в материале.Возьмем кубик, грани которого параллельны осям координат, и посмотрим на егоразрез (рис.4). Если допустить, что ребра куба равны единице, то х — и y-компонентысил на гранях, перпендикулярных к осям х и у, должны быть такими,как показано на рисунке. Если взять достаточно маленький кубик, можнонадеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличатьсяненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как этопоказано на рисунке. Заметим теперь, что на кубик не должен действовать никакоймомент сил, иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительноцентра равен произведению (/>) на единичную длину ребра куба, апоскольку полный момент равен нулю, то /> должно быть равно />, и тензор напряжений,таким образом, оказывается симметричным.
/>
рис.4
Благодаряэтой симметрии тензора />его можно тоже описыватьэллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид наплощадках, нормальных к этим осям: оно соответствует чистому сжатию илирастяжению в направлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никакихсдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можновыбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любомнаправлении действуют только нормальные силы. Это соответствуетгидростатическому давлению (положительному или отрицательному). Таким образом,для гидростатического давления тензор диагоналей, причем все три компоненты егоравны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случаемы можем написать
/> (8.16)
Вообщеговоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоидизменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задатькаждую компоненту /> как функцию положения. Тензорнапряжений, таким образом, является полем. Мы уже имели примеры скалярныхполей, подобных температуре Т(х, у, z), и векторных полей, подобных Е(х,у, z), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед намипример тензорного поля, задаваемого в каждой точке пространства девятьючислами, из которых для симметричного тензора />реально остается только шесть.Полное описание внутренних сил в произвольном твердом теле требует знания шестифункций координат х, у и z.
Заключение
Тензорное исчисление, математическая теория, изучающая величиныособого рода — тензоры, их свойства и правила действий над ними. Тензорноеисчисление является развитием и обобщением векторного исчисления и теорииматриц. Тензорное исчисление широко применяется в дифференциальной геометрии,теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамикеи других областях науки. Для описания многих физических и геометрических фактовобычно вводится та или иная система координат, что позволяет описыватьразличные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения междуобъектами — равенствами, связывающими эти числа или системы чисел.
Материал курсовой работыможет быть использован как при изучении соответствующих разделовдифференциальной геометрии, так и для курса механики. В данной работедостаточно полно изложены основные моменты теории, они иллюстрируются задачами,которые позволяют глубже понять рассматриваемые вопросы. Приведенный списоклитературы позволяет при необходимости рассмотреть некоторые более сложныемоменты теории тензорного исчисления.
Таким образом, в даннойкурсовой работе полностью раскрыты поставленные задачи.
Литература
1. ШариповР.А… Быстрое введение в тензорный анализ. – Уфа: БГУ, 2004.-50с.
2. Мак-КоннелА.Дж… Введение в тензорный анализ с приложениями. – Москва: ФМ, 1963.- 411с.
3. ЗубовЛ.М., Карякин М.И… Элементы тензорного исчисления. – Ростов: РГУ, 2003.- 108с.
4. Рашевский П.К… Риманова геометрия и тензорныйанализ.– Москва: Наука, 1967.-664с.
5. Акивис М.А., Гольдберг В.В… Тензорноеисчисление.– Москва: Наука, 1969.-352с.
6. Кочин Н.Е… Векторное исчисление и начала тензорногоисчисление.– Москва: Наука, 1965.-424с.
7. Борисенко А.И., Тарапов И.Е… Векторный анализ иначала тензорного исчисление.– Москва: Высшая школа, 1966.-252с.