Контрольнаяработа
«Элементыалгебры и геометрии»
Вариант9
Задание № 19
Решить систему трех уравнений стремя неизвестными при помощи определителей.
/>
Найдем определитель матрицы А:
Δ(А) = /> =
= 2 ∙ 1 ∙6 + (-3)(-2) ∙3 + 1 ∙ 1 ∙ (-2) – 1 ∙ 1 ∙ 3 – (-3) ∙1 ∙ 6 – 2 (-2) ∙ (-2) =
= 12 + 18 – 2 – 3 + 18 – 8 = 48– 13 = 35
Δ(А) = 35
Найдём Δ1, Δ2,Δ3
Δ1 =/> =
= 3 ∙ 1 ∙ 6 + (-3)(-2) ∙ 0 + 1 ∙ 4 ∙(-2) – 0 ∙1 ∙ 1 – 4 ∙(-3) ∙ 6 – 3 (-2) (-2) =
= 18 + 0 – 8 – 0 + 72 – 12 = 90– 20 = 70
Δ2 (А) = /> =
= 2 ∙ 4 ∙ 6 + 3 ∙(-2) ∙ 3 + 1 ∙ 1 ∙ 0 – 3 ∙ 4 ∙ 1 – 1 ∙ 3 ∙6 – 2 ∙ 0 ∙ (-2) =
= 48 – 18 + 0 – 12 -18 – 0 = 0
Δ3 =/> =
= 2 ∙ 1 ∙ 0 + (-3) 4∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙(-2) – 3 ∙1 ∙ 3 – 1 ∙ (-3) ∙0 – 2 ∙ (-2) 4 =
= 0 – 36 – 6 – 9 + 0 + 16 = – 20– 15 = – 35
Найдем корни:
/>
/>
/>
/>
Ответ: 2; 0; –1
Задание № 40
Исследовать данную системууравнений на совместность и решить её, если она совместна.
/>
Запишем матрицу А и найдем рангматрицы А:
/>
Поменяем местами первую и вторуюстроки:
/>
Первую строку умножим на 3 ивычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:
/>
Вычтем из второй строки –третью:
/>
Ранг матрицы />
Запишем расширенную матрицу />
Найдем определитель расширеннойматрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:
/>
Умножим первую строку на 3 ивычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:
/>
Вычтем из второй строки третью:
/>
Ранг расширенной матрицы />
Ранг расширенной матрицы системыне равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).
Задание № 54
Даныкоординаты точек А (х1; у1) и В (х2; у2)и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.
Требуется:
1)составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;
2)найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;
3)найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;
4)построить эллипс и окружность.
Решение:
1. Общийвид канонического уравнения эллипса:
/>
Подставим координаты точек А и Вв общее уравнение:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Подставляем найденные переменныев общее уравнение эллипса:
/>
2. Полуоси: />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
3. Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8,найдем решив систему уравнений:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Получили четыре точкипересечения эллипса с окружностью:
/>
4.
/>
Задание № 69
Дано: вершины пирамиды АВСD
1. Записать векторы /> /> /> в системе орт и найти ихмодули:
А (3; 3; –3); В (7; 7; –5); С(5; 14; –13); D (3; 5; –2).
/> = (7 – 3; 7 – 3; –5 + 3) =(4; 4; –2)$
/>;
/> = /> = 6;
/> = (5 – 3;14 – 3; –13 + 3) = (2; 11; –10);
/> = 2i +11j – 10k;
/> = 15;
/> = (3 – 3; 5 – 3; –2 + 3) =(0; 2; 1);
/> = /> = />
2. Найти угол между векторами /> и /> :
/>
/>
3. Найти проекцию вектора /> на вектор />:
/>
Найти площадь грани АВС:
/>
/> = />
/>;
/>
Найти объем пирамиды ABCD:
/>
/>= /> =
/>
/>
/>
Задание № 93
Даны координаты точек А, В, С,М:
А (5; 4; 1); В (–1; –2; –2); С(3; –2; 2); М (–5; 5; 4).
1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:
/> = 0;
/> = 0;
(x – 5)( – 6 –18) – (y – 4)( – 6 – 6) + (z – 1)(36 – 12) = 0;
– 24(x – 5) +12(y – 4) + 24(z – 1) = 0;
– 2(x –5) + (y – 4) + 2(z – 1) = 0;
–2x + 10+ y – 4 + 2z – 2 = 0;
–2x + y + 2z + 4 = 0 – уравнение плоскости Q.
2.Составить каноническоеуравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q:
Подставим координаты точки М(–5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q(–2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой:
/>
3.Найти точки пересеченияполученной прямой с плоскостью Q и с координатнымиплоскостями хОу, уОz, xOz:пусть
/>
Где t –некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так:
/>
/>
Подставим данные выражения вуравнение плоскости Q и найдем параметр t:
/>
/>
/>
/>
/>
Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения:
/>
/>
/>
Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой иплоскости Q: Р/>.
Р1 – точкапересечения прямой с с хОу: z = 0;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
P1(2,6; 1,2; 0).
P2– точка пересечения прямой с уОz: x= 0;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
P2(0; 1,6; />2,8).
Р3 — точкапересечения прямой с xOz: y =0;
/>;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
P3(0,5; 0; />1,5).
Найти расстояние от точки М доплоскости Q:
т.к. прямая МР перпендикулярнаплоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием отточки М до плоскости Q.
/>
Производная и дифференциал
Задание № 114
Найти пределы:
/>
Разложим на множители ичислитель и знаменатель:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задание № 135
Функция у задана различнымианалитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х.
/>
1. Найти точки разрыва функции, если они существуют.
Данная функция определена инепрерывна в интервалах (/> При /> и /> меняется аналитическое выражениефункции и только в этих точках функция может иметь разрывы.
Определимодносторонние пределы в />
/>
Т.к.односторонние пределы в /> не совпадают, значит разрывI рода.
Определимодносторонние пределы в точке/>:
/>
Т.к.односторонние пределы в точке /> совпадают, значит функцияв точке /> непрерывна.
2. Найтискачок функции в точке разрыва:
/>точка разрыва
/>
/>/>
Задание № 198
Найти приближенное значениеуказанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.
/>
/>
/>
/>или
/>
/>
/>
Задание № 156
Найти производные /> пользуясь формуламидифференцирования:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задание №240
Исследовать функцию методамидифференциального исчисления.
Начертить график.
План исследования:
1.найти область существованияфункции;
2.исследовать на непрерывность,найти точки разрыва и её односторонние пределы в этих точках;
3. исследовать на четность,нечетность;
4. найти точки экстремума, интервалывозрастания, убывания функции;
5. найти точки перегиба,интервалы выпуклости и вогнутости;
6.асимптоты, если они есть;
7. построить график.
Задание № 272
Требуется поставить палатку вформе правильной четырехугольной пирамиды с заданной боковой поверхностью />. Каковы должны бытьразмеры палатки (сторона а и высота h) чтобывместимость палатки была наибольшей.
Решение:
Вместимость палатки – это объемпалатки. Объем правильной пирамиды находится по формуле /> где а – сторона квадрата (основаниепирамиды), h – высота пирамиды.
Выразим высоту пирамиды черезсторону квадрата:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>