Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповыхфункторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповыхфункторов
Заключение
Список использованных источников
/>Введение
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основнойгруппы, содержащие нормальную подгруппу /> иподгруппами из факторуппы /> существуетвзаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппамсоответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуютсубнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного вмонографии А.Н. Скибы «Алгебра формаций.» (Мн.: Беларуская навука,1997).
Пусть /> некоторыйкласс групп. Составим с каждой группой /> некоторуюсистему ее подгрупп />. Будем говорить,что /> - подгрупповой />-функтор или подгрупповойфунктор на />, если выполняютсяследующие условия:
1) /> для всех />;
2) для любого эпиморфизма />,где А,/> и для любых групп /> и /> имеет место /> и />
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, чтоподгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантныотносительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивныхрассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарноеизложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное дляпонимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части,включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения иобозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теориигрупп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятийподгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источниковсобраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповыхфункторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материалпо теме «Решетки подгрупповых функторов».
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимостиот свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
/>Перечень условныхобозначений
/> - принадлежностьэлемента множеству;
/> - знак включениямножеств;
/> - знак строгоговключения;
/> и /> - соответственно знакипересечения и объединения множеств;
/> - пустоемножество;
/> - множество всехпростых чисел;
/> - некотороемножество простых чисел, т.е. />;
Пусть /> - группа.Тогда:
/> - порядок группы/>;
/> - порядокэлемента /> группы />;
/> - коммутантгруппы />, т.е. подгруппа,порожденная коммутаторами всех элементов группы />;
/> - /> является подгруппой группы/>;
/> - /> является собственнойподгруппой группы />;
/> - /> является максимальнойподгруппой группы />;
/> - /> является нормальнойподгруппой группы />;
/> - /> является субнормальнойподгруппой группы />;
/> - /> является минимальнойнормальной подгруппой группы />;
/> - факторгруппагруппы /> по подгруппе />;
/> - индексподгруппы /> в группе />;
/> - нормализаторподгруппы /> в группе />;
Если /> и /> - подгруппы группы />, то:
/> - /> и /> изоморфны.
Пусть /> - группа,/> и />, тогда:
/> - правый смежныйкласс,
/> - левый смежныйкласс;
/> - совокупностьвсех нормальных подгрупп группы />;
/> - группа порядка/>;
Скобки /> применяютсядля обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов илиподгрупп.
/> - подгруппа,порожденная элементами /> и />.
/> - подгрупповой /> - функтор или подгрупповойфунктор на />, где /> - некоторый класс групп;
/> - совокупностьвсех /> - подгрупп группы />;
/> - тривиальныйподгрупповой /> - функтор;
/> - единичныйподгрупповой /> - функтор;
/> - ограничениеподгруппового /> - функтора /> на класс групп />;
/> - пересечениесистемы подгрупповых /> - функторов />;
/> - решётка всехподгрупповых /> - функторов;
/> - решётка всехзамкнутых подгрупповых /> - функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е.всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы,ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительнофакторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классамигрупп:
/> - класс всехгрупп;
/> - класс всехабелевых групп;
/>1. Общие определения иобозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве /> называют отображениедекартова квадрата /> во множество />. Если /> - бинарная операция на />, то каждой упорядоченнойпаре /> элементов из /> соответствует однозначноопределенный элемент />. Бинарнуюоперацию на /> обозначают одним изсимволов: /> и т.д. Если, например,вместо /> условимся писать />, то вместо /> пишем />.
Говорят, что на множестве X определена бинарнаяоперация (умножение), если /> длявсех />.
Если /> длявсех />, то операция называется ассоциативной.
Если /> длявсех />, то операция называется коммутативной.
Элемент /> называетсяединичным, если /> для всех />.
Обратным к элементу /> называетсятакой элемент />, что />.
Полугруппой называется непустое множество /> с бинарной алгебраическойоперацией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на />,т.е. /> для всех /> и />;
(2) операция ассоциативна, т.е. /> длялюбых />.
Группой называется непустое множество /> с бинарной алгебраическойоперацией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на />,т.е. /> для всех /> и />;
(2) операция ассоциативна, т.е. /> длялюбых />;
(3) в /> существуетединичный элемент, т.е. такой элемент />,что /> для всех />;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого /> существует такой элемент />, что />.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативнойили абелевой.
Если /> - конечноемножество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число /> элементов в /> - порядком группы />.
Также группой называется непустое множество /> с бинарной алгебраическойоперацией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на />;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения />, /> имеют решения для любыхэлементов />.
Подмножество /> группы /> называется подгруппой,если /> - группа относительно тойже операции, которая определена на группе />.Для подгруппы используется следующее обозначение: />.Запись /> читается так: /> - подгруппа группы />.
Также можно дать следующее определение подгруппы конечнойгруппы. Непустое подмножество /> конечнойгруппы /> называется подгруппой,если /> для всех /> и />
Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть /> - группа,/> и />. Правым смежным классомгруппы /> по подгруппе /> называется множество />всех элементов группы /> вида />, где /> пробегает все элементыподгруппы />.
Аналогично определяется левый смежный класс />
Если /> - конечнаягруппа, то число различных правых смежных классов по подгруппе /> также будет конечно, ононазывается индексом подгруппы /> вгруппе /> и обозначается через />.
Подгруппа /> называетсянормальной подгруппой группы />, если /> для всех />. Запись /> читается так: /> - нормальная подгруппагруппы /> Равенство /> означает, что для любогоэлемента /> существует элемент /> такой, что />.
Пусть /> - нормальнаяподгруппа группы />. Обозначим через/> совокупность всех левыхсмежных классов группы /> по подгруппе />, т.е. />. Группа /> называется факторгруппойгруппы /> по подгруппе /> и обозначается через />.
Условимся через S/> обозначатьсовокупность всех подгрупп группы />,содержащих подгруппу />. В частности, S/>=S/> - совокупность всехподгрупп группы />, а S/>.
Каждая нормальная подгруппа /> группы/> определяет цепочку />. Обобщая эту ситуацию,цепочку />
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы /> называют нормальнымрядом в />.
Ряд называется субнормальным, если выполняется болееслабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующегочлена, т.е. /> для />
Члены субнормальных рядов называются субнормальнымиподгруппами (если подгруппа /> субнормальнав />, то пишут (/>).
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Собственная подгруппа /> неединичнойгруппы /> называется максимальнойподгруппой, если /> не содержится нив какой другой подгруппе, отличной от всей группы />,т.е. если из условия /> следует, что /> или />. Для максимальнойподгруппы /> неединичной группы /> используется запись />
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Еслигруппа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такиеэлементы /> и />, что />. Поэтому естественнорассмотреть элемент />, для которого />. Отсюда />.
Коммутатором элементов /> и/> называют элемент />, который обозначают через />. Ясно, что />.
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы />, называется коммутантомгруппы /> и обозначается через />. Таким образом, />.
Для любой неединичной подгруппы /> можнопостроить цепочку коммутантов />
Если существует номер /> такой,что />, то группа /> называется разрешимой.
Если /> - непустоеподмножество группы /> и />, то />
Элемент /> называетсяперестановочным с подмножеством />,если />. Равенство /> означает, что для любогоэлемента /> существует такой элемент />, что />. Если элемент /> перестановочен сподмножеством />, то />
Совокупность всех элементов группы />, перестановочных сподмножеством /> называется нормализаторомподмножества /> в группе /> и обозначается через />. Итак, />
Пусть /> и /> - мультипликативные группы.Отображение /> называется гомоморфизмомгруппы /> в группу />, если /> для любых /> и />.
Если /> - подмножествогруппы />, то /> образ /> при гомоморфизме />, а /> - образ гомоморфизма/>. Образ гомоморфизма /> также обозначают через />.
Ядром гомоморфизма /> называетсямножество />где /> - единичный элемент группы/>. Другими словами, в ядресобраны все элементы группы />,переходящие при отображении /> вединичный элемент группы />.
Гомоморфизм /> называетсямономорфизмом, если />. Излеммы 1 следует, что гомоморфизм /> являетсямономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение /> - инъекция.
Если />, тогомоморфизм /> называется эпиморфизмом.Ясно, что в этом случае /> - сюръекция.
Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом иэпиморфизмом, будет изоморфизмом./>2. Используемыерезультаты
Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть /> - нормальная подгруппагруппы />. Тогда:
(1) если /> - подгруппагруппы /> и />, то /> - подгруппа факторгруппы />;
(2) каждая подгруппа факторгруппы /> имеет вид />, где /> - подгруппа группы /> и />;
(3) отображение /> являетсябиекцией множества S/> намножество S/>;
(4) если /> S/>, то /> - нормальная подгруппагруппы /> тогда и только тогда,когда /> - нормальная подгруппафакторгруппы />.
Лемма 1.2 Пусть /> -гомоморфизм группы /> в группу />. Тогда:
(1) единичный элемент /> группы/> переходит в единичныйэлемент /> группы />, т.е. />;
(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. /> для всех />;
(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы />, т.е. />;
(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы />, т.е. />;
(5) тогда и только тогда /> где/> когда />.
Лемма 1.3 Пусть /> -гомоморфизм группы /> в группу />. Тогда:
(1) если />, то />;
(2) если />, то />;
(3) если подмножества /> и/> сопряжены в />, то /> и /> сопряжены в />.
Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) Пригомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если /> - гомоморфизм, то />.
Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть /> - нормальная подгруппагруппы />. Тогда для любой подгруппы/> пересечение /> является нормальнойподгруппой в подгруппе />, а отображение />
является изоморфизмом групп /> и/>.
Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если /> и /> - нормальные подгруппыгруппы />, причем />, то /> изоморфна />.
Лемма 3.1 Пусть /> -формация, />. Тогда
/>
Лемма 20.6. Пусть /> -подгрупповой функтор и /> - группа. Если /> и />, тогда />.
Лемма 20.7. Пусть />,/> - элементарно абелевы />-группы с />. Тогда /> имеет подгруппу /> такую, что />.
Теорема. Пусть /> -такой набор конгруэнций />-алгебрыA, что />. Пусть /> прямое произведениефакторалгебр /> и />
Тогда /> - мономорфизмалгебры /> в алгебру /> и /> входит подпрямо в />.
Теорема 20.8. Пусть /> -конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из /> либо счетна, либо конечна.Тогда в том и только в том случае решетка /> являетсяцепью, когда существует такое простое число />,что каждая группа в /> являетсяэлементарно абелевой />-группой.
Теорема 20.9. Пусть /> -конечная группа и /> - конечноемногообразие, порожденное />. Тогдав том и только в том случае /> являетсяэлементарной абелевой />-группой, когдарешетка /> является цепью.
Лемма 24.9 Пусть /> -наследственный гомоморф конечных групп. Пусть /> -замкнутый подгрупповой функтор на /> Пусть /> - нильпотентная группа в /> и /> Предположим, что />, где /> - простое число. Пусть /> - нильпотентная группа в /> такая, что /> и /> Тогда />
Лемма 24.10 Пусть /> -наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и /> Пусть /> Если /> - идемпотент в />, удовлетворяющий условию /> и />, где /> тогда />
Теорема 24.11 Пусть /> -конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в /> конечная. Тогда ширина /> решетки /> всех идемпотентов в /> конечна и /> в том и только в томслучае, когда /> состоит изнильпотентных групп и />/>3. Определения иосновные примеры подгрупповых функторов
Пусть /> некоторыйкласс групп. Составим с каждой группой /> некоторуюсистему ее подгрупп />. Будем говорить,что /> - подгрупповой />-функтор или подгрупповойфунктор на />, если выполняютсяследующие условия: 1) /> для всех />;
2) для любого эпиморфизма />,где А,/> и для любых групп /> и /> имеет место /> и />
Подгрупповой />-функтор/> называется:
1) замкнутым, если для любых двух групп /> и /> имеет место />;
2) тривиальным, если для любой группы /> имеет место
/>;
3) единичным, если для любой группы /> система /> состоит из всех подгруппгруппы G.
Тривиальный подгрупповой />-функторобозначается символом />, а единичный — символом/>.
Если /> и /> - подгрупповой />-функтор, то /> - такой подгрупповой />-функтор, что /> для всех />. Такой функтор называется ограничениемфунктора /> на классе />.
Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. Вслучае, когда /> - класс всехгрупп, подгрупповые />-функторы мыбудем называть просто подгрупповыми функторами.
Пример 1. Пусть для любой группы />, /> /> />
Понятно, что /> - замкнутыйподгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мыприменяем запись />.
Пример 2. Пусть /> -совокупность всех нормальных подгрупп группы /> длякаждой группы />. Такой функтор вобщем случае замкнутым не является.
Пример 3. Пусть /> -произвольное натуральное число. Для каждой группы /> через/> обозначим совокупностьвсех таких подгрупп />, для которых />. Понятно, что /> - подгрупповой />-функтор. Для обозначениятакого функтора мы будем применять запись />.
Пример 4. Пусть /> -произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы /> /> /> /> /> /> />.
Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае неявляется замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись />.
Если /> - подгруппагруппы />, то символом /> обозначается мощностьмножества />.
Пример 5. Пусть /> -простое число и пусть для любой группы /> система/> в /> нет такой подгруппы />, что />, /> - натуральное число,взаимнопростое с />.
Покажем, что /> - подгрупповойфунктор.
Действительно, пусть /> /> и />. Предположим, что />
где /> - натуральноечисло. Тогда /> - натуральноечисло и />
Следовательно, />, ипоэтому />. Это означает, что />. Аналогично, мы видим, чтоесли />
то />. Таким образом, /> - подгрупповой функтор. Дляобозначения такого подгруппового функтора мы используем запись />. Заметим, что если /> - некоторый класс конечныхгрупп и />, то /> - замкнутый подгрупповойфунктор.
Пример 6. Пусть />.И пусть для каждой группы /> множество/> совпадает с совокупностьювсех тех подгрупп из />, индексы которыхне делятся на числа из />. Понятно, что /> - замкнутый подгрупповойфунктор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись />.
Напомним, что подгруппа /> группы/> называется абнормальнойв />, если всегда из /> следует, что />.
Пример 7. Пусть для любой группы /> множество /> совпадает с совокупностьювсех абнормальных подгрупп группы />. Легковидеть, что /> - незамкнутый подгрупповойфунктор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись />.
Пример 8. Пусть /> -произвольный класс групп. Подгруппа /> группы /> называется /> - абнормальной в />, если выполняется одноиз следующих двух условий:
1) />;
2) /> и для любых двухподгрупп /> и /> из />, где /> и /> - максимальная подгруппа в/> имеет место />.
Легко видеть, если группа /> разрешима,то ее подгруппа /> абнормальна в /> тогда и только тогда,когда она />-абнормальна в />.
Сопоставляя каждой группе /> множествовсех ее />-абнормальных подгрупп />, получаем подгрупповойфунктор, для которого мы будем применять запись />.
Пример 9. Подгруппа /> группы/> называется />-субнормальной в />, если выполняется одно изследующих двух условий:
1) />;
2) /> и в /> имеется такая цепьподгрупп /> где /> - максимальная в /> подгруппа, содержащая />, />.
Пусть /> - некотораянепустая формация и для каждой группы /> система/> состоит из всех />-субнормальных в /> подгрупп.
Покажем, что /> - подгрупповойфунктор. Пусть /> />-субнормальна в />. И пусть /> и /> - такие члены цепи (1),что />, где /> - нормальная в /> подгруппа.
Покажем, что /> - максимальнаяподгруппа в />. Допустим, что /> для некоторой подгруппы />. Тогда поскольку /> максимальна в />, то либо />, либо />.
Пусть имеет место первое. Тогда поскольку />, то />. Противоречие. Значит, />, т.е. />. Поэтому />. Противоречие. Итак, ряд /> таков, что в нём длялюбого /> имеет место одно из двухусловий:
1) />;
2) /> - максимальнаяподгруппа в />. He теряя общности, мыможем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку /> то />
Итак, /> - />-субнормальная подгруппа в />. Понятно также, что если /> - />-субнормальная подгруппа в />, то /> - />-субнормальная подгруппа в />. Таким образом, /> - подгрупповой функтор. Дляобозначения такого функтора мы будем применять запись />.
Класс групп называется гомоморфом, если он содержит всегомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп /> называется формацией,если каждая конечная группа /> обладаетнаименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом />) со свойством />.
Лемма 3.1 Пусть /> -формация, />. Тогда />
Доказательство. Пусть />.Тогда />
Отсюда следует, что />.С другой стороны, поскольку /> - гомоморф,то />
Откуда получаем />. Из /> и /> следует равенство />.
Лемма доказана.
Пример 10. Пусть /> -некоторый класс конечных групп и /> - формация.Пусть для любой группы /> />
Покажем, что /> - подгрупповой/> - функтор.
Действительно, пусть /> и/>. Тогда />, и поэтому, согласно лемме3.1, мы имеем />
Следовательно, />. Аналогично,если />, то />. Следовательно, /> - подгрупповой />-функтор. Для обозначениятакого функтора мы применяем запись />.
Пример 11. Для каждой группы /> через /> обозначим совокупностьвсех абнормальных максимальных подгрупп из />.Понятно, что /> - подгрупповой функтор. Дляобозначения такого функтора мы будем применять запись />./>4. Решетки подгрупповыхфункторов
Аспект применения подгупповых функторов состоит всопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которойтесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строениегруппы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решеткуподгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгупповогофунктора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этогопонятия и для теории решеток.
Пусть /> - некоторыйкласс групп. Будем говорить, что /> - ограниченныйкласс, если найдется такое кардинальное число />,что для всех /> имеет место />. Везде в дальнейшем мыпредполагаем, что /> - некоторыйограниченный класс групп.
Обозначим через, /> множествовсех подгрупповых />-функторов, ачерез /> - множество всех замкнутыхподгрупповых />-функторов. На множестве /> введем частичный порядок />, полагая, что /> имеет место тогда и толькотогда, когда для любой группы /> справедливо/>.
Для произвольной совокупности подгрупповых />-функторов /> определим их пересечение /> /> для любой группы />. Понятно, что /> - нижняя грань для /> в />. Мы видим, что /> - полная решетка с нулем /> и единицей />. Понятно, что функтор />, где /> для всех />, является верхней граньюдля /> в />.
Заметим, что если /> - произвольныйнабор замкнутых подгрупповых />-функторов,то, очевидно, /> - замкнутыйподгрупповой />-функтор. А посколькузамкнутым является и функтор />, мывидим, что /> также является полнойрешеткой.
Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны сосвойствами групп, входящих в />. Отметим,например, что если /> содержится вклассе конечных групп, то решетка /> являетсяцепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа /> класс /> состоит изэлементарно-абелевых />-групп. С другойстороны, решетка /> является цепьютогда и только тогда, когда все группы из /> являются/>-группами. Покажем, что вобщем случае /> не является подрешеткой в />. Для этого достаточноустановить, что если /> - класс всехконечных групп и />,/>, где /> и /> - различные простые числа,то функтор /> не является замкнутым. Пусть/>, где /> - группа порядка />, a /> - группа порядка />. Понятно, что /> и />. Таким образом, если быфунктор /> был бы замкнутым, то мы быимели /> Но, как нетрудно заметить,во множество /> входят лишь такиеподгруппы /> из /> для которых имеет местоодно из двух: /> /> или /> />. Это означает, что />. Следовательно, функтор /> не является замкнутым.
/>5. Классы групп сзаданными решетками подгрупповых функторов
Сопоставляя классу конечных групп /> решетки /> и /> можно изучать свойствагрупп из /> в зависимости от свойстврешеток /> и />.
Лемма 20.6. Пусть /> -подгрупповой функтор и /> - группа. Если /> и />, тогда />.
Доказательство. Если /> -канонический эпиморфизм /> на />, то />
Так как /> мывидим по определению подгрупповых функторов, что />.
Лемма доказана.
Пусть /> - элементгруппы />. Тогда если для некоторогонатурального числа /> имеет место />, то наименьшее натуральноечисло /> с таким свойствомназывается порядком элемента />. Говорят,что /> - группа экспоненты />, если каждый еенеединичный элемент имеет порядок />.
Пусть /> - простоечисло. Тогда группа /> называется элементарноабелевой />-группой, если /> - абелева группаэкспоненты />.
Лемма 20.7. Пусть />,/> - элементарно абелевы />-группы с />. Тогда /> имеет подгруппу /> такую, что />.
Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай,когда /> - бесконечная группа.
Пусть /> и />, где /> для всех /> и />. Пусть /> - подмножество в /> такое, что />. И пусть />, где /> и />. Тогда ясно, что />
Следовательно, />.
Лемма доказана.
Напомним, что класс групп называется наследственным,если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечныммногообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямоепроизведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.
Пусть /> - простоечисло, делящее порядок группы />. Подгруппа/> группы /> называется силовской />-подгруппой в />, если /> и /> - степень числа />. Известная в теории групптеорема Силова утверждает, что для любого простого числа /> в любой конечной группе /> с /> /> /> имеется силовская />-подгруппа. Конечная группа/> называется />-группой, если еепорядок является степенью числа />.
Обозначим через /> - классвсех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы
Теорема. Пусть /> -такой набор конгруэнций />-алгебрыA, что />. Пусть /> прямое произведениефакторалгебр /> и />
Тогда /> - мономорфизмалгебры /> в алгебру /> и /> входит подпрямо в />., класс /> является формацией. Обычновместо /> пишут />. Подгруппа /> называется коммутантомгруппы />. В теории групп хорошоизвестно, что если /> - конечная />-группа, то />. Легко проверить, что если/>, то />
Теорема 20.8. Пусть /> -конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из /> либо счетна, либо конечна.Тогда в том и только в том случае решетка /> являетсяцепью, когда существует такое простое число />,что каждая группа в /> являетсяэлементарно абелевой />-группой.
Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в /> является элементарноабелевой />-группой. Тогда для каждогокардинального числа />, мы полагаем /> (см. пример 20.2). Понятно,что /> влечет, что />. Для доказательства того,что /> является цепью намнеобходимо только показать, что для любого подгруппового функтора /> со свойством /> найдется кардинальноечисло /> такое, что />
Предположим, что /> длявсех кардинальных чисел />. Тогда />. Поскольку />, то найдется группа /> такая, что для некоторойее подгруппы /> мы имеем />. Пусть />. Поскольку />, найдется группа /> такая, что для некоторойее подгруппы /> мы имеем />. По лемме 20.6, мы видим,что для всех подгрупп /> из />, удовлетворяющих условию />, мы имеем />. Следовательно, />. Используя лемму 20.7, мывидим, что имеется подгруппа /> вгруппе /> такая, что />
Но />, и поэтому />. Если /> - канонический эпиморфизм,который отображает /> на />, то />, и поэтому />. Это противоречиепоказывает, что для некоторого кардинального числа /> имеемместо />.
Так как /> и таккак каждая группа в /> - либо конечна,либо счетна, то найдется натуральное число /> такое,что />. Пусть /> - наименьшее натуральноечисло такое, что />. Мы покажем, что/>. Предположим, что /> и пусть /> - группа из /> такая, что />. В этом случае пусть />. Тогда />. Теперь, по выбору числа />, мы имеем />. Это означает, чтонайдется группа /> такая, что /> для некоторой подгруппы /> из /> с />. Пусть /> - подгруппа в /> такая, что /> и />. Тогда />. Так как />, мы имеем />, и поэтому />. Но тогда />, и поэтому />, противоречие. Следовательно/> Значит, />.
Теперь мы предположим, что решетка /> является цепью. Пусть /> и /> - конечная группа. Предположим,что порядок /> группы /> делится по крайней мере надва простых числа /> и />. Пусть />
И пусть /> - силовская/>-подгруппа в /> и /> - силовская />-подгруппа в />, соответственно. Тогда />
Значит, /> и />. Это показывает, что /> не является цепью, чтопротиворечит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число />, что каждая конечнаягруппа из /> является />-группой.
Мы теперь покажем, что каждая группа в /> является абелевой. Предположим,что это не так и пусть /> - неабелевагруппа в />. В этом случае некотораяее подгруппа />, порожденная элементами />, является конечнойнеабелевой />-группой. Так как поусловию класс /> являетсянаследственным, то />. Пусть /> , где /> - класс всех абелевыхгрупп. Поскольку />, то />, и поэтому />. Следовательно, мы имеем />. Теперь пусть /> где />. И пусть /> - коммутант подгруппы />, />. Тогда /> и ясно, что />. Значит, />. Но поскольку />, мы имеем />. Таким образом, /> не является цепью. Полученноепротиворечие показывает, что каждая группа в /> являетсяабелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из /> делит число />.
Теорема доказана.
Пересечение всех конечных многообразий, содержащих даннуюгруппу />, называется конечныммногообразием, порожденным />. Изтеоремы 20.8 вытекает
Теорема 20.9. Пусть /> -конечная группа и /> - конечноемногообразие, порожденное />. Тогдав том и только в том случае /> являетсяэлементарной абелевой />-группой, когдарешетка /> является цепью.
Пусть /> и /> - подгрупповые />-функторы. Определимпроизведение /> при помощи следующегоправила />
Понятно, что подгрупповой />-функтор/> является замкнутым тогда итолько тогда, когда />. Мы используемсимвол /> для обозначенияпроизведения />, в котором имеется /> сомножителей.
Пусть /> - произвольноенепустое множество простых чисел. Подгруппа /> группы/> называется />-холловской, если ееиндекс /> в /> не делится ни на одночисло из />, а среди простых делителейее порядка /> нет ни одного не входящегов />. Символом /> обозначают множество всехпростых чисел, отличных от />.
Конечная группа /> называетсянильпотентной, если выполняется одно из эквивалентных условий:
а) все силовские подгруппы нормальны в />;
б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки />) нормальны в />.
Лемма 24.9 Пусть /> -наследственный гомоморф конечных групп. Пусть /> -замкнутый подгрупповой функтор на /> Пусть /> - нильпотентная группа в /> и /> Предположим, что />, где /> - простое число. Пусть /> - нильпотентная группа в /> такая, что /> и /> Тогда />
Доказательство. Пусть /> -холловская />-подгруппа в /> и /> Предположим, что /> Тогда />
и поэтому />, где /> - силовская />-подгруппа в />. Тогда /> противоречие. Следовательно,/> и поэтому найдетсямаксимальная подгруппа /> в /> така1я, что /> и />. Так как /> - нильпотентная группа, то/> и поэтому согласно лемме 24.6,мы имеем /> Теперь мы докажем, что /> Если /> то по определениюподгруппового функтора мы сразу имеем />.Пусть /> и пусть /> - максимальная подгруппа в/> такая, что /> Тогда /> и так как />
Так как /> мывидим, что /> и поэтому /> Следовательно, />. Если /> где /> - максимальная подгруппа в/> то /> Но /> и поэтому мы видим, что /> Лемма доказана.
Лемма 24.10 Пусть /> -наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и /> Пусть /> Если /> - идемпотент в />, удовлетворяющий условию /> и />, где /> тогда />
Доказательство. Предположим, что /> Тогда найдется группа /> с /> Мы можем предполагать, что/> - группа минимальногопорядка с этим свойством. Следовательно, /> содержитподгруппу /> такую, что />, но /> Ясно, что /> Пусть /> - максимальная подгруппа в/> такая, что /> и пусть /> Так как /> для каждого />, мы имеем /> Понятно, что /> и поэтому /> Так как группа /> нильпотентна, то /> и поэтому по лемме 24.6, /> Так как /> мы видим, что /> для всех /> Следовательно, /> и поэтому по выбору группы/>, мы имеем /> Так как по условию /> то найдется такая группа />, что для некоторой ееподгруппы /> мы имеем /> и /> Используя теперь лемму 24.9,мы видим, что /> и поэтому />
Полученное противоречие показывает, что /> Но согласно нашемупредположению, мы имеем /> Следовательно,/>
Пусть /> - решетка.Подмножество /> называется антицепью в /> если для любых различныхэлементов /> и /> из />, мы имеем /> и /> Если /> - антицепь в /> такая, что /> для любой другой антицепи />, тогда кардинальное число /> называется шириной решетки/>.
Если /> - произвольнаясовокупность групп, то символом /> обозначаетсямножество всех простых делителей порядков групп из />.
Теорема 24.11 Пусть /> -конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в /> конечная. Тогда ширина /> решетки /> всех идемпотентов в /> конечна и /> в том и только в томслучае, когда /> состоит изнильпотентных групп и />
Доказательство. Прежде мы предположим, что формация /> нильпотентна и />, где /> Пусть /> Предположим, что имеетсязамкнытый функтор /> в /> такой, что /> и /> для /> Мы покажем, что /> Действительно, если />, тогда найдется группа /> такая, что для некоторойподгруппы /> из />, мы имеем /> Мы можем считать, что /> - группа минимальногопорядка с этим свойством. Понятно, что /> Пусть/> - такая максимальнаяподгруппа в />, что />. Согласно условию, класс /> является наследственным. Следовательно,/>, и поэтому ввиду выборагруппы />, мы имеем /> Пусть /> Так как /> то найдется группа /> такая, что /> Таким образом, длянекоторой подгруппы /> мы имеем /> и поэтому по лемме 4.9, /> Это означает, что /> противоречие. Следовательно,/> Значит, если /> - замкнутый функтор в /> и /> то для некоторого /> мы имеем /> По лемме мы видим, чтоширина /> решетки /> равна />
Теперь мы предположим, что ширина /> решетки /> конечна и /> Пусть /> Если /> и /> тогда /> и /> и поэтому /> Это означает, что /> - конечное множество. Теперьмы покажем, что /> - класснильпотентных групп. Предположим, что /> имеетненильпотентную />. Пусть /> и пусть /> - силовская />-подгруппа в />. Тогда /> Так как /> - ненильпотентная группа,то для некоторого /> имеет место />. Хорошо известно (см.,например, [], теорема), что /> неявляется субнормальной подгруппой в />, ипоэтому /> где /> (см. пример 21.4). Сдругой стороны, мы видим, что /> ипоэтому /> Это показывает, что /> антицепь /> с /> противоречие. Такимобразом, /> - формация, состоящая изнильпотентных групп. А по лемме 4.10, /> Теоремадоказана.
/>Заключение
Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла многопримениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Ноеще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группенекоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны сосвойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы взависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповыхфункторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгупповогофунктора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этогопонятия и для теории решеток.
/>Список использованныхисточников
[1] Скиба А.Н. Алгебраформаций. — Мн.: Беларуская навука, 1997.
[2]Скиба А.Н. Решеткии универсальные алгебры. Учебное пособие. — Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2002.255с.
[3] Селькин М.В. Максимальныеподгруппы в теории классов конечных групп. — Мн.: Беларуская навука, 1997.
[4] Каморников С.Ф.,Селькин М.В. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп. — Гомель: Гомельскийгос. ун--т, 2001.238 с.
[5] Монахов В.С. Введениев теорию групп. Тексты лекций по курсу «Алгебра и теория чисел». — Минск:Белорусский гос. ун--т, 1990.72 с.
[6] Холл М. Теориягрупп. — М.: ИЛ, 1962.468 с.
[7] Шеметков Л.А.,Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989.253 с.