Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования «Чувашский государственный педагогическийуниверситет им. И.Я. Яковлева»
Кафедра математического анализа
Выпускная квалификационная работа по математике
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРУБЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
Чебоксары – 2006
ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
1.1 Основныепонятия теории упругости
1.2 Уравненияравновесия
1.3 Формулы Коши
1.4 Линейныйзакон Гука
1.5 Условия пластичности
ГЛАВА II. ЗАДАЧАУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ
2.1 Механическаяпостановка задачи
2.2 Математическаяпостановка задачи
2.3 Решение задачиВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Детали машин в процессе работыподвергаются внешним воздействиям.
В результате элементы этой детали изменяютформу и размеры, т.е. деформируются. Деформации после снятия нагрузки могутисчезать, а могут оставаться. Исчезающие деформации называются упругими, аостающиеся – остаточными (пластическими).
В данной работе рассматриваетсяупругопластическая деформация трубы под действием равномерного внутреннегодавления.
В первой главе приведены основныеуравнения, используемые при решении поставленной задачи: основные понятиятеории упругости, уравнения равновесия, формулы Коши, линейный закон Гука иусловия пластичности.
Вторая глава посвящена решениюпоставленной задачи. Приводятся формулы для компонент напряжений и деформации вупругой и пластической зонах, также приводится трансцендентное уравнение для нахождениярадиуса границы пластической и упругой областей. Задача решается влинеаризованном виде методом малого параметра.
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
1.1 Основные понятия теорииупругости
В данномпункте получим классические уравнения деформирования в предположении, что средаэта – сплошная, однородная и изотропная, т.е. упругие свойства среды во всехнаправлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материаласреды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы.
При составлении уравнений механики деформируемого твёрдого телавыбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы телаиспользуются декартовые, полярные, цилиндрические координаты и другие.
При решении полной задачи удобноиспользовать полярную систему координат, в которой положение каждой точки /> определяется координатами rи /> (рис. 1.1).
/>
Линейная дуговая координата sи угол /> связаны зависимостью />, откуда следуетсоотношение между их дифференциалами/>.
Рассматриваемое тело находится поддействием поверхностных нагрузок. В результате чего в теле появляютсянапряжения, которые, также как и поверхностные нагрузки, характеризуютсяинтенсивностями. Под действием внешних нагрузок точки тела перемещаются впространстве. Например, точка /> последеформации заняла положение />. Полноеперемещение /> зададим двумякомпонентами: /> — в радиальномнаправлении, /> - в тангенциальном.
Для получения уравнений в полярной системеординат мысленно выделим в окрестности некоторой точки тела элемент />, />, 1 (рис. 1.2).
На гранях этого элемента действуютнапряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани(нормальное напряжение — />, />) и касательную(касательное напряжение — />, />).
/>
1.2 Уравнения равновесия
Первая группа уравнений выражает условияравновесия элемента среды во взаимодействии с соседними элементами, их называютстатическими уравнениями.
Вторая группа уравнений связывает деформации элемента тела с функциями,выражающими перемещение его точек. Они называются геометрическими уравнениями.
Последняя группа уравнений – это уравнения, которые выражают зависимостьмежду напряжениями и деформациями элемента. Именно в этих уравненияхучитываются механические свойства материала, их называют физическими.
Рассмотрим указанные уравнения подробно.
Уравнения равновесия (статическиеуравнения)
Эти уравнения выражают равенство нулю суммпроекций всех элементарных сил, действующих на элемент />, />, 1 (рис. 1.2).Приняв напряжения, указанные на этом рисунке, за положительные, получимуравнения равновесия в виде
/>
В этих равенствах учтены проекции сил,действующих на гранях />, которые онидают вследствие наклона на малые углы />.Косинусы этих малых углов приняты равными единице. Заменив в приведенныхравенствах
/>, />, />, />,
учтявыражение для частных дифференциалов напряжений (нижние индексы у обозначениячастных дифференциалов здесь опущены в целях упрощения записи)
/>, />, />, />,
атакже сохранив и отбросив слагаемые высшего порядка малости, получим уравнениеравновесия в полярных координатах:
/>
Приравняв нулю сумму моментов сил,действующих на момент />, />, 1, относительнооси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости площадки />, />, и, отбросив слагаемыевысшего порядка малости, получим закон парности касательных напряжений />.
1.3 Формулы Коши(геометрические уравнения)
Эти уравнения устанавливают зависимостьмежду перемещениями и деформациями. Для их вывода будем считать функции />, /> заданными, а через нихвыразим деформации.
Геометрически деформация тела может бытьпредставлена двумя группами простейших деформаций: деформацией растяжения — />, /> и деформацией сдвига />, которые соответственновыражают относительные удлинения отрезков /> и/>:
/>, /> (рис.1.3)
/>
и изменение прямого угла между ними наугол сдвига />:
/>(рис. 1.4)
/>
Будем считать, что элемент тела сначалаполучил перемещение из точки /> в точку/>, как жесткое целое, азатем произошел сдвиг за счет поворота его граней на малые углы />, />, т.е. угол сдвига равен />.
Для определения деформации /> рассмотрим отрезок /> длиной />. Для малых перемещений идеформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение />, а его малый наклон, вобщем случае вызываемый перемещением />, неизменяет его длины.
Обозначим: /> - частный дифференциал(линейная часть приращения) функции и при изменении координаты /> на />.
/>, т.е. />
Тогда
/>.
Аналогично
/>,
где производная по sзаменена напроизводную по /> по соотношению />/>,так как />.
Для определения деформации /> рассмотрим рис. 1.4. Таккак частные дифференциалы /> и />, то
/>, />.
Имеем угол сдвига
/>, где />.
Деформации />,/> составляют только частьполных деформаций и поэтому отмечены звездочкой. Другую часть этих деформацийполучим, давая точкам элемента перемещения /> (рис.1.5) и /> (рис. 1.6).
/> />
Соответственно получим деформации,обусловленные кривизной элемента
/>
/>,
гдезнак минус соответствует возрастанию первоначально прямого угла элемента.
Окончательные суммарные деформации
/> , />, />
будут
/>
Этиравенства представляют геометрические уравнения в полярных координатах,являющиеся аналогом уравнений Коши.
1.4Линейный закон Гука (физические уравнения)
Для линейно-упругих изотропных телфизическими уравнениями являются соотношения для обобщенного закона Гука,известные из курса сопротивления материалов
/>,
где /> и/> - модули упругости прирастяжении и сдвиге, а /> - коэффициентПуассона. Для изотропного материала они связаны зависимостью />, так что независимыхпостоянных упругости для указанного материала имеется только две.
Запишем выражение для относительной объемной деформации элемента
/>,
где /> -модуль объемной деформации материала.
Заметим, что при /> модуль объемной деформации/>, что, согласно выражениюдля относительной объемной деформации, соответствует материалу, не изменяющемуобъем при деформации (несжимаемый материал).
В случае плоского напряженного состояниясистема примет вид:
/>.
Для плоской деформации (/>) закон Гука записывается внесколько иной форме в виду наличия напряжения />:
/>,
/>.
Эта система совершенно аналогична системе, описывающей напряженноесостояние, но содержит новые условные константы упругости
/>, />,
причем легко проверить, что справедливоравенство
/>.
С учетом введенных условных константупругости физические соотношения для плоской деформации примут тот же вид, чтои для случая плоского напряженного состояния, но в них надо заменить /> на />, /> на />.
Таким образом, любое решение приведенных выше уравнений для плоскогонапряженного состояния может быть применено и для соответствующего случаяплоской деформации после замены действительных констант упругости данногоматериала на условные. Учитывая сказанное, в дальнейшем будем подразумевать подплоской задачей случай плоского напряженного состояния.
В полярной системе координат уравнения закона Гука остаются безизменения, меняются лишь индексы у напряжений и деформаций:
/>.
Полученные уравнения дают возможность вычислить деформации, если известнынапряжения. Назовем их законом Гука в прямой форме.
Преобразуем
/>.
В обратной форме
/>
или, так как />,то
/>.
1.5 Условия пластичности
При решении задач теории пластичности вомногих случаях необходимо знать, при каких условиях материал в рассматриваемойточке переходит из упругого состояния в пластическое. Такие условия называютсяусловиями пластичности. При линейном напряженном состоянии условие пластичностиустанавливается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главноенапряжение /> и пластические деформациивозникают, когда
/>; />, (1.5.1)
где /> -предел текучести при растяжении (постоянная величина для каждого материала).При чистом сдвиге условие пластичности, получаемое экспериментальным путем,имеет вид
/> ,
где />-предел текучести при чистом сдвиге (также постоянная величина для каждогоматериала).
В общем случае плоского или объемного напряженных состоянийэкспериментально невозможно установить условия пластичности для бесконечногомножества соотношений между составляющими напряжений. Поэтому условиепластичности для сложного напряженного состояния устанавливается гипотетическимпутем с последующей экспериментальной проверкой.
Рассмотрим два условия пластичности, наиболее часто используемые в теориипластичности и достаточно правильно определяющие переход материала из упругогосостояния в пластическое.
Первое условие – условие пластичностиТреска — Сен-Венана – гласит, что пластические деформации в материалевозникают, когда максимальные касательные напряжения достигают значения,равного пределу текучести при чистом сдвиге:
/>. (1.5.2)
Максимальные касательные напряженияопределяются формулой
/>: />. (1.5.3)
Подставляя сюда главные напряжения прилинейном напряженном состоянии (1.5.1), в момент появления пластическихдеформаций получаем
/>. (1.5.4)
Сравнивая формулы (1.5.2) и (1.5.4)заключаем, что
/>. (1.5.5)
После подстановки выражений ( 1.5.3 ) и ( 1.5.5 ) в формулу ( 1.5.1 )приходим к условию пластичности Треска-Сен-Венана в таком виде:
/>. (1.5.6)
Второе условие – условие пластичностиМизеса-Генки – гласит, что пластические деформации в материале возникают,когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого постоянного длянекоторого материала значения:
/>. (1.5.7)
Определим эту постоянную из результатов испытаний при простом растяжении.Подставляя в формулу
/> (1.5.8)
главныенапряжения (1.5.1), найдем значение интенсивности касательных напряжений прирастяжении в момент появления пластических деформаций:
/>. (1.5.9)
Сравнивая формулы (1.5.9) и (1.5.7),заключаем, что постоянная
/>. (1.5.10)
Подставляя выражения (1.5.8) и (1.5.10) в формулу (1.5.7), приходим кусловию пластичности Губера-Мизеса-Генки в такой форме:
/> (1.5.11)
Или
/>.
Оба рассмотренных условия пластичностидают весьма близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждаютусловие Губера-Мизеса-Генки. Кроме того, это условие удобнее с математическойточки зрения, так как выражение /> черезшесть составляющих напряжений очень громоздко, а /> выражаетсячерез эти составляющие сравнительно просто. Поэтому в теории пластичности чащеиспользуется условие пластичности Губера-Мизеса-Генки.
Ассоциированный закон
Пластические деформации возникают при активном нагружении материала и невозникают при нейтральном нагружении и разгрузке.
Соотношения связи /> в теории пластичностиформулируется обычно на основе принципа максимума Мизеса: при фиксированныхпараметрах /> для любого данного значениякомпонент приращений пластической деформации /> имеетместо неравенство
/>, (1.5.12)
где /> -действительные компоненты напряжения, а /> -компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого даннойфункцией нагружения:
/>.
Из принципа максимума Мизеса следует ассоциированный закон течения –закон направленности приращения пластической деформации (или скоростипластической деформации) по градиенту к поверхности нагружения.
В самом деле, предположим, что приращениепластической деформации /> независит от приращения напряжений.
/>
Рассмотрим рис. 1.7. Согласно (1.5.12)угол между векторами /> и /> должен быть не тупым. Всилу произвольности вектора />, невыходящего за поверхность нагружения />,неравенство (1.5.12) может быть выполнено только в случае ортогональности /> к />, откуда имеем
/> или
/>, />, />. (1.5.13)
Выражение (1.5.13) определяет ассоциированный закон пластическоготечения.
ГЛАВА II. ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ
2.1 Механическая постановказадачи
Рассмотримупругопластическое состояние трубы радиусов />,находящейся под действием внутреннего давления />,в случае плоской деформации.
/>
Цель данной задачи – определить выражениядля компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.
Методом решения задачи является методмалого параметра, в качестве которого выбирается величина />, характеризующаявозмущения границ трубы.
Приведем основные обозначения:
/> — компоненты напряжений,
/> - компоненты деформаций,
/> - радиальное и тангенциальное перемещения,
/>— внутреннийи внешний радиусы осесимметричной трубы,
/> - полярный радиус,
/> - полярный угол,
/> - полярный радиус границы пластической зоны,
/> - модуль сдвига.
Индекс /> указываетна принадлежность компонента к пластической зоне, индекс /> - к упругой.
Все величины, имеющие размерностьнапряжения, отнесём к величине предела текучести />,величины, имеющие размерность длины, — к внешнему радиусу />.
Обозначим:
/>/> - внешний радиус;
/>
2.2 Математическаяпостановка задачи
Предположим, что искомое решение зависитот некоторого параметра />. Будемискать решение в виде рядов по степеням этого параметра
/>, />, />,
/> , />, />,
/>, />. (2.2.1)
Линеаризация по параметру /> заключается в разложениивсех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. вряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковыхстепенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющуюразвить метод последовательных приближений, если решение при /> является известным.
Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтомуони имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентамиперемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций иперемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.
Рассмотрим граничные условия внапряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре /> в плоскости двухпеременных />, />. Пусть на границе заданынормальные и касательные усилия
/>, /> на />. (2.2.2)
Уравнение границы /> представим в виде
/>, />. (2.2.3)
Подставляя в (2.2.2) разложение иучитывая, что для компонент />, /> справедливы разложения,аналогичные (2.2.1), получим при /> разложение
/> (2.2.4)
Ограничиваясь четвертым приближением, из(2.2.4) получим, что при /> имеетместо
/> (2.2.5)
Совершенно аналогично записываютсявыражения линеаризованных граничных условий для />:чтобы получить линеаризованные граничные условия для />, надо в (2.2.5) заменить /> на />.
В линеаризованных задачах теориипластичности необходимо уметь записывать граничные условия (2.2.2) черезкомпоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворотанапряжений при переносе их на исходную окружность (/>).
/>
Рассмотрим рис 1.8. Угол />, образован нормалью кконтуру />;
/> - угол поворота напряжений при переносе их наисходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь
/> (2.2.6)
Если уравнение границы тела /> записать в виде />, то
/> (2.2.7)
Согласно (2.2.3) можно записать
/> (2.2.8)
Учитывая, что
/> (2.2.9)
Из (2.2.9), (2.2.7), (2.2.8) получим
/> (2.2.10)
Обозначая />,найдем
/> (2.2.11)
/> (2.2.12)
Используя (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6),(2.2.11), (2.2.12), получим искомые линеаризованные граничные условия: при /> должно иметь место
/> (2.2.13)
Перейдем к условиям сопряжения решений. На/> — границе упругой ипластической областей, должно иметь место
/> (2.2.14)
Уравнение контура /> запишется в виде
/> (2.2.15)
Учитывая разложение (2.2.1), подставляя в(2.2.14) выражение (2.2.15), получим исходное линеаризованное условиесопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (2.2.5), еслизаключить левые части в квадратные скобки, поменять в них /> на />, …, а /> на />.
Выпишем условия сопряжения для компоненты />:
/> (2.2.16)
Условие сопряжения для компонент /> имеют вид, вполнеаналогичный (2.2.16).
Рассмотрим граничные условия вперемещениях:
/> на />.
Уравнение границы /> представим в виде (2.2.3).Учитывая, что для компонент /> справедливыразложения, аналогичные (2.2.3), получим при /> разложения,аналогичные (2.2.4), (2.2.5).
Распишем основные соотношения,используемые для решения задачи:
Уравнения равновесия
/> (2.2.17)
Формулы Коши
/> (2.2.18)
Условие пластичности
/> (2.2.19)
Закон Гука
/> (2.2.20)
Граничные условия:
/>, />,
/> при />; (2.2.21)
/> при />;
/> при />.
Решение будем искать в виде:
/> (2.2.22)
Уравнения равновесия (2.2.17)удовлетворяются, если ввести некоторую функцию />,называемую функцией напряжений. Это функция /> связанас компонентами напряжения следующими зависимостями:
/> (2.2.23)
2.3 Решение задачи
Осесимметричное (невозмущенное)состояние
Пластичность
Определим компоненты напряжений впластичной области />.
Так как материал трубы считаетсянесжимаемым, то имеет место условие несжимаемости:
/>. (2.3.1)
Труба осесимметрическая, следовательнокомпоненты и напряжения, и перемещения от /> независят:
/>,/>,
/>,/>.
Условие пластичности (2.2.19) в начальномсостоянии имеет вид:
/>. (2.3.2)
Из условий равновесий (2.2.17) вытекает:
/>.
Получили дифференциальное уравнение:
/>.
Решим:
/>
Из граничных условий (2.2.21) имеем
/>.
Тогда
/> (2.3.3)
Определим компоненты перемещений.
Из формул Коши (2.2.18) следует:
/>
При /> изграничных условий (2.2.21) следует
/>
/>
Упругость
Найдем компоненты деформации в упругойобласти />.
Из закона Гука (2.2.20) вытекает
/> (2.3.4)
Формулы Коши (2.2.18) примут вид:
/>
Из уравнений равновесий (2.2.17):
/>
Решим:
/>
Из граничных условий (2.2.21) /> при
/>/>
Тогда
/> (2.3.5)Радиус пластической зоны
При /> и/>
/>
/> (2.3.6)
Получили неявное уравнение для нахождениярадиуса пластической зоны />.
/>Возмущенное состояние
Пластичность
Решение будем искать в виде:
/> где /> (2.3.7)
Из условия пластичности (2.3.7) следует:
/>.
/>.
/> />
/>
/>.
Формулы (2.2.23) примут вид:
/> (2.3.8)
Из условия пластичности (2.2.19) и формул(2.3.8) получим:
/>./>
Функцию /> будемискать в виде:
/>.
Подставим
/>
/>
Пусть
/>
Тогда
/>
/>
Следовательно
/>
Или
/>.
Тогда функция /> приметвид:
/>. (2.3.9)
Найдем частные производные по /> и по />.
/>
/>
/>
/>
По формулам (2.3.8) при подстановке имеем:
/>
/>
/>
/>
Из этих соотношений найдём />
/>
/>
Составим систему уравнений и решим её.
Введём обозначения: />
/>
/>
/>
/>
/>(2.3.11)
Упругость
Закон Гука:
/> (2.3.12)
Формулы Коши:
/> (2.3.13)
Уравнения равновесия:
/> (2.3.14)
Условие несжимаемости:
/> (2.3.15)
Закон Гука можно переписать в виде:
/>/>
Сложим уравнения системы:
/>(2.3.12)
можно записать так:
/> (2.3.16)
Условие несжимаемости (2.3.15) в силу(2.3.13) примет вид:
/>
Положим
/>
Тогда (2.3.16) запишется в виде:
/> (2.3.17)
Подставим (2.3.17) в (2.3.14):
/>
Первое выражение продифференцируем по/>, второе — по />, вычтем из первоговыражения второе и разделим на />. Тогда
/>
/>Умножим на />.
/>
Функцию /> будемискать в виде:
/>
Подставим в (2.3.18) и разделим на />.
/>
Решение будем искать в виде />.
/>
/>
Или
/>
Тогда
/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
Тогда компоненты напряжений имеют вид:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Получили систему уравнений для нахождениякоэффициентов /> Решим её методомКрамера.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Тогда
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Тогда
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Тогда
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Тогда
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Тогда
/>
Найдём выражения для компонент деформации.
/>/>/>
ВЫВОДЫ
Задачарешена путём приведения к линеаризованному виду. На первом этапе полученорешение осесимметричного (невозмущенного) состояния трубы в напряжениях,деформациях и перемещениях – формулы(2.3.3), (2.3.5), а также неоднородноенелинейное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны (2.3.6).
Исследуя осесимметричную деформацию трубы,получено решение задачи в общем случае (n>1). Решениезаписано в виде (2.3.10), где коэффициенты имеют вид (2.3.11) – это впластической зоне. В упругой зоне – это формулы (2.3.20), а коэффициенты –(2.3.21).
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А.В., Потапов В.Д.Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1990.– 400 с.
2. Бородин Н.А. Сопротивлениематериалов. – М.: Машиностроение, 1992. – 224 с.
3. Вульман С.А. О решенииосесимметричных упругопластических задач методом малого параметра. – Изв. АНСССР, Механика твердого тела, 1969, №3.
4. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д.Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действиемвнутреннего давления. – Вестник МГУ, 1957, №2.
5. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д.Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действиемвнутреннего давления. – Изв. АН СССР, 1957, №9.
6. Ивлев Д.Д. Метод возмущений втеории упругопластического тела. – М.: Наука, 1978. – 208 с.
7. Ивлев Д.Д. Приближенное решениеупругопластических задач теории идеальной пластичности. – Докл. АН СССР, 1957,т.113, №2.
8. Ивлев Д.Д. Приближенное решениеплоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. – Вестник МГУ,1957, №5.
9. Самуль В.И. Основы теорииупругости и пластичности. – М.: Высшее образование, 1982. – 264 с.
10. Тимошенко С.П., Гудгер Дж. Теорияупругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с.