Содержание
Основная часть
выводы
Библиографический список
Основная часть
Расширение круга задач, решаемых современными системами,сетями и устройствами телекоммуникаций, внедрение новых технологий и достижениепринципиально новых возможностей при их создании и развитии стимулировало впоследние десятилетия интенсивное развитие способов и методов стабилизациипараметров генераторов, включая также методы повышения стабильности частотгенераторов. Такое внимание к данному научному направлению в значительнойстепени определяется тем влиянием, которое оказывает стабильность формируемых врадиоэлектронных системах частот на качественные показатели систем и устройствтелекоммуникаций.
Основные области использования систем, сетей и устройствтелекоммуникаций представляют собой каналы и линии связи, включающиеустройства, системы и сети для организации единичного, группового,регионального и глобального информационного обмена. Перечень вопросов,возникающих при проведении исследований в данном направлении, включаетисследования, разработку, проектирование и эксплуатацию систем, сетей иустройств, обеспечивающих обмен информацией между абонентами. При этом наиболееважной составляющей в данной совокупности вопросов являются собственно научные,технические и технологические разработки систем, сетей и устройствтелекоммуникаций различного типа. Актуальным направлением является разработкановых принципов построения и работы устройств телекоммуникаций для генерации,передачи и приема.
Функционирование устройств телекоммуникаций различногоназначения, включая радиотехнические, акустические, лазерные,волоконно-оптические системы и другие, невозможно без обеспечения требуемойстабильности частот [1–6]. При этом основным фактором, определяющим высокуюэффективность функционирования систем, сетей и устройств телекоммуникаций,является обеспечение требуемой стабильности частот. Это связано с тем, чтоименно от стабильности частот генераторов зависит точность определениядлительности временных отрезков и фаз сигналов, лежащих в основе организацииинформационного обмена.
Необходимость существенного повышения стабильности частотколебаний, формируемых в радиотехнических, акустических, лазерных и другихсистемах телекоммуникаций зачастую диктует требования к характеристикамстабильности генераторов, практически невыполнимые при традиционном подходе крешению задач и их построении. В связи с этим возникает необходимость поискаметодов и алгоритмов для повышения стабильности частот генераторов, требующиепринципиально новых идей.
Расширение круга задач, решаемых современными системами,сетями и устройствами телекоммуникаций, внедрение новых технологий и достижениепринципиально новых возможностей при их создании и развитии стимулировало впоследние десятилетия интенсивное развитие способов и методов стабилизациипараметров генераторов, включая также методы повышения стабильности частотгенераторов. Такое внимание к данному научному направлению в значительнойстепени определяется тем влиянием, которое оказывает стабильность формируемых врадиоэлектронных системах частот на качественные показатели систем и устройствтелекоммуникаций.
Основные области использования систем, сетей и устройствтелекоммуникаций представляют собой каналы и линии связи, включающиеустройства, системы и сети для организации единичного, группового, региональногои глобального информационного обмена. Перечень вопросов, возникающих припроведении исследований в данном направлении, включает исследования,разработку, проектирование и эксплуатацию систем, сетей и устройств,обеспечивающих обмен информацией между абонентами. При этом наиболее важнойсоставляющей в данной совокупности вопросов являются собственно научные,технические и технологические разработки систем, сетей и устройствтелекоммуникаций различного типа. Актуальным направлением является разработка новыхпринципов построения и работы устройств телекоммуникаций для генерации,передачи и приема.
Функционирование устройств телекоммуникаций различногоназначения, включая радиотехнические, акустические, лазерные,волоконно-оптические системы и другие, невозможно без обеспечения требуемойстабильности частот [1–3]. При этом основным фактором, определяющим высокуюэффективность функционирования систем, сетей и устройств телекоммуникаций,является обеспечение требуемой стабильности частот. Это связано с тем, чтоименно от стабильности частот генераторов зависит точность определениядлительности временных отрезков и фаз сигналов, лежащих в основе организацииинформационного обмена.
Необходимость существенного повышения стабильности частотколебаний, формируемых в радиотехнических, акустических, лазерных и другихсистемах телекоммуникаций, зачастую диктует требования к характеристикамстабильности генераторов, практически невыполнимые при традиционном подходе крешению задач и их построении. В связи с этим возникает необходимость поискаметодов и алгоритмов для повышения стабильности частот генераторов, требующихпринципиально новых идей.
Радиоэлектронная аппаратура, входящая в составбольшинства устройств и систем телекоммуникаций, может содержать большое число(которое в дальнейшем будем обозначать />) высокочастотных генераторов.Данные генераторы могут формировать сигналы с различной временной структурой />, иметьразличную относительную нестабильность и функционировать независимо начастотах, которые не связаны между собой. В частности, если генератор формируетгармонические сигналы с частотой />, то выходной сигнал имеет вид />. Приформировании последовательностей с импульсами прямоугольной формы выходнойсигнал имеет вид:
/>,
где /> – функция Хевисайда.
В большинстве рассматриваемых радиоэлектронных системсигналы от каждого из /> генераторов или поступают накакое-то общее устройство, или могут быть легко на него выведены. Это позволяетполучать данные об отклонениях частот каждого из генераторов от номинальныхзначений в некоторый момент времени или данные об отклонениях фаз сигналовкаждого из генераторов от номинальных значений за некоторый интервал времени.Далее с использованием полученных данных проводится формирование сигналовуправления для стабилизации частоты колебаний каждого из совокупности данныхгенераторов.
В каждый момент времени частоты колебаний каждого изгенераторов по характеру распределения являются случайными величинами.Совместное распределение случайных величин />, представляющих собой векторыразмерности />,определяется плотностью вероятности с помощью следующего соотношения
/>, (1)
в котором корреляционная матрица /> данной векторнойслучайной величины имеет вид
/> (2)
Элементами вектора /> являются отклонения частот вкаждом из /> генераторовот номинальных значений.
В силу того что данные генераторы работают независимо,а отклонения частот каждого из них определяются большим числом независимыхфакторов, можно считать, что отклонения частот каждого из генераторов отноминального значения определяются нормальным законом распределения, аизменения частоты каждого из генераторов описывается гауссовской случайнойпоследовательностью. При этом в большинстве практических случаев можно считать,что значения отклонений частот каждого из генераторов в различные моментывремени являются независимыми и, соответственно, как показано в [8–15],некоррелированными.
С учетом сделанных предположений можно считать, чтоматрица /> являетсядиагональной. В этом случае представление плотности вероятности дляраспределения случайных значений отклонений частот принимает вид
/> (3)
Таким образом, можно считать, что отклонения частоткаждого из генераторов от номинального значения определяются нормальным закономраспределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, величина которойопределяется параметрами и типом генератора и является известной или может бытьопределена.
Генераторы, имеющиеся в составе одной или группыразличных радиоэлектронных систем, образуют собой совокупность /> одновременнофункционирующих генераторов с известными значениями номинальных частот /> и известнымиотносительными нестабильностями /> />. Отклонения частот каждого изгенераторов от номинального значения определяются нормальным закономраспределения с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией.
Таким образом, задача заключается в разработкенаучно-методического аппарата, реализующего статистический метод оценкиотклонений частот колебаний генераторов от номинальных значений и формированияуправляющих воздействий, позволяющих стабилизировать частоты независимофункционирующих генераторов на основе измерения уходов их фаз от своихноминальных значений.
Рассмотрим систему из /> генераторов, соединенных какпоказано на рис. 1. Формируемые каждым генератором сигналы подаются не толькона функциональные элементы, определяемые назначением устройств и системтелекоммуникаций, но и дополнительно поступают на вход измерительногоустройства И.
Один из генераторов данной совокупности, который в дальнейшемобозначается как />, задает временнойинтервал измерений с номинальной длительностью />. При этом к стабильности данногогенератора не предъявляются более высокие требования по сравнению с остальнымигенераторами из рассматриваемой совокупности. Будем считать, что данныйвременной интервал измерений реализуется при поступлении от /> генератораопределенного количества импульсов или периодов колебаний. В силу отклонениячастоты />-гогенератора от номинального значения длительность временного интервала измеренийотличается от номинальной /> и составляет величину />.
/>
Рис. 1 — Блок-схема из k+1 генераторов
Для каждого из данной совокупности генераторов одновременно, втечение одного и того же интервала измерений длительностью /> с использованиемизмерителя Иопределяется полная фаза колебаний, формируемых этимигенераторами. Значения фаз колебаний генераторов определяются соотношениями
/>. (4)
В соотношении (4) /> – частота k-го генератора на интервале измеренийдлительностью />.
В том случае, когда длительность временного интервала /> измеренийреализуется с погрешностью, много меньшей отклонений частот генераторов отноминальных значений, получение оценок отклонений данных частот не встречаетпринципиальных сложностей. Однако из-за влияния различных дестабилизирующихфакторов и шумов не только частоты колебаний всех генераторов, но и частотавыходного сигнала /> генератора отличается отноминального значения на величину /> и представляет собой случайнуюфункцию времени. Вследствие этого, как отмечалось выше, длительность временногоинтервала измерений />, задаваемого /> генератором,реализуется с некоторой погрешностью /> и составляет величину />. При этомвеличины отклонений частот волновых полей и генератора, задающего интервализмерений, являются соизмеримыми.
С учетом вышесказанного, выражение для фазы колебаний каждогоиз совокупности /> генераторовможнопредставить в следующем виде
/>,(5)
где />,…,/> — составляющие отклонения фаз измеренных колебаний отноминального значения для k-гогенератора, обусловленные только нестабильностью временного интервала; /> –составляющие отклонения фаз измеренных колебаний от номинального значения для k-го генератора, обусловленные тольконестабильностью собственных частот генераторов; /> – составляющие отклонений фаз колебанийгенераторов, обусловленные нестабильностью как собственных частот генераторов,так и нестабильностью временного интервала одновременно. Однако из-засущественной малости значений последними составляющими можно пренебречь посравнению с остальными слагаемыми.
С учетом сделанного замечания перепишем выражения (5) в виде
/>,(6)
где /> – номинальное значение фазы k-го генератора; /> – отклонение фазы k-го генератора от номинальногозначения вследствие собственной нестабильности частоты; /> – отклонение фазы k-го генератора от номинальногозначения вследствие нестабильности длительности временного интервала.
Соотношение (6) показывает, что отклонения фаз сигналов,соответствующих каждому из /> волновых полей, содержат двесоставляющие /> и />. При этом для каждого изгенераторов данные составляющие отклонения фазы колебаний от номинальныхзначений являются принципиально неразделимыми.
Важным следствием преобразования при переходе от соотношения(5) к (6) является линеаризация уравнений наблюдения, что будет использовано вдальнейшем.
Для решения задачи стабилизации необходимо, прежде всего,разделить составляющие отклонений фаз колебаний генераторов от номинальныхзначений. Для этого для каждого из совокупности /> генераторов выразим данныеотклонения фаз колебаний, формируемых за интервал времени />, следующим образом
/>.(7)
При этом значения фазы />, как отмечалось ранее, являютсяизмеряемыми, а величины /> – априорно известными />.
Подстановка выражения (4) в (7) позволяет получить следующиеравенства
/>.(8)
Составляющие />, />, …, />, как отмечалось выше, не могутбыть разделены по результатам измерений, так как в каждой из них содержатсянеизвестные величины:
/> - отклонение длительности временного интервала отноминального значения; /> - собственные отклонения частот от номинальных значенийформируемых колебаний каждого из /> генераторов.
Каждая из этих величин является неизвестной, но их сумма,равная />,определяется с помощью измерительного устройства И.
Выразим из (8) величины отклонений фаз генераторов,обусловленных только их собственными нестабильностями /> в виде:
/>.(9)
Подстановка уравнений из системы (7) в уравнения из (9)позволяет получить следующую систему уравнений:
/>. (10)
В соотношениях (10) номинальное значение длительностивременного интервала /> является известным, а значенияотклонений фаз колебаний волновых полей определяются по результатам измерений.Неизвестными являются отклонения частот генераторов от номинальных значений /> /> и длительностивременного интервала измерений />.
Для выполнения дальнейших преобразований будем считать, чтона интервале измерений величина отклонения частоты от номинального значенияявляется постоянной. Данное предположение является справедливым в подавляющембольшинстве практических случаев устройств и систем телекоммуникаций. При этомданное условие позволяет отказаться от использования алгоритмов фильтрации иперейти к более простым алгоритмам оценки. Возникающая в связи с этимдопущением методическая ошибка будет оценена ниже.
Перепишем с учетом сделанного допущения выражения из системы(10) в виде:
/>.(11)
Как отмечалось ранее, случайные величины /> являются независимыми иимеют известные параметры распределения (математическое ожидание, медиана илидисперсия). В силу этого плотность распределения (1) случайных величин /> для каждогомомента времени /> /> может быть записана в виде (3).
С учетом этого можно отметить, что случайные величины /> являютсянезависимыми и удовлетворяют нормальному закону распределения с математическиможиданием, равным нулю:
/>.(12)
Запишем формулу для плотности нормального законараспределения величины />:
/>,(13)
где /> – относительная нестабильность k-го генератора />.
Величины отклонений частот /> связаны с нестабильностьювременного интервала /> соотношением (8), что позволяетиспользовать для оценки нестабильности временного интервала /> метод наибольшегоправдоподобия. В соответствии с данным методом составим функцию наибольшегоправдоподобия относительно неизвестного значения отклонения длительностивременного интервала />:
/>. (14)
После подставки выражения (8) в (14) и получим следующеевыражение относительно переменной />:
/>.(15)
После логарифмирования данной функции получаем:
/>,(16)
или с учетом свойства логарифмической функции
/>. (17)
В соответствии с методом наибольшего правдоподобияпродифференцируем данную функцию, что позволит получить равенство:
/>. (18)
В качестве оценки нестабильности временного интервала /> берется такоезначение параметра />, при котором производная (17)обращается в нуль. Приравняем данное выражение к нулю, что позволяет получить:
/>. (19)
Выразим из данного выражения оценку отклонения длительностивременного интервала измерений от номинального значения />:
/>. (20)
Полученное значение /> определяет стационарную точкуфункции (17). Для того чтобы доказать наличие экстремума, с помощью равенства(18) вычислим вторую производную и оценим выполнение второго достаточногоусловия локального экстремума:
/>.
Исходя из того, что вторая производная функции правдоподобия меньшенуля, функция правдоподобия при значении />, определяемом (20), действительнодостигает максимума.
Соотношение (19) является необходимым условием локальногоэкстремума функции правдоподобия. В то же время исходя из того, что функция (19)относительно аргумента /> является квадратичной, можноутверждать, что данный экстремум будет глобальным.
Найденная оценка нестабильности временного интервала /> позволяетвычислить составляющую /> для каждого генератора иразделить две составляющие /> и />, определяющие соответственно вкладсобственной нестабильности k-гогенератора и нестабильности временного интервала измерений в измеренноезначение /> />.
Для этого значение /> подставим в формулу (11) и найдемоценки нестабильности частот каждого из совокупности /> генераторов, получаемые на основеизмеренных значений /> и полученной с использованиемвыражения (20) оценки нестабильности временного интервала.
Найденные значения позволяют определить отклонения частотгенераторов в виде:
/>.(21)
Полученные оценки позволяют по измеренным значениям числаимпульсов или фаз колебаний каждого из совокупности /> генераторов и ихноминальным значениям определить, на какую величину отличается частота каждогогенератора от своего номинального значения. Это дает возможность по результатамизмерений и последующей обработки формировать управляющие сигналы дляуменьшения отклонения частоты каждого из совокупности /> генераторов от номинальныхзначений.
Для анализа статистических характеристик оценок отклонениячастот генераторов рассмотрим вначале свойства получаемой оценки /> нестабильностивременного интервала. В силу того, что значение /> может принимать какотрицательные, так и положительные значения, представим выражение для среднегозначения оценки нестабильности временного интервала в следующей форме:
/>.(22)
Так как величины /> являются детерминированными,усредняются только случайные величины />, математические ожидания которыхпо предположению равны нулю. В соответствии с этим, с учетом свойств математическогоожидания получаем:
/>.(23)
При записи данного равенства было учтено свойство, что
/>.
С учетом ранее сделанных предположений об отклонениях частотгенераторов /> /> получаем, чтосредние отклонения фаз колебаний генераторов от номинальных значений равнынулю. Таким образом, получаемая оценка /> является несмещенной.
Исходя из того, что первый начальный момент случайнойвеличины /> равеннулю, запишем выражение для второго центрального момента (дисперсии):
/>/>.
Выполняя несложные, но громоздкие преобразования, получаем:
/>.(24)
С учетом того, что отклонения /> и /> каждого из /> генераторовявляются некоррелированными, получаем:
/>.(25)
Выражение (25) позволяет записать следующее равенство:
/>.
С учетом этого представление для дисперсии /> имеет вид
/>.(26)
Преобразуем данное выражение при условии, что:
/>.
Следовательно, окончательное выражение для дисперсии оценкивременного интервала имеет вид
/>.(27)
Рассмотрим частный случай, при котором все генераторыработают на различных частотах/> /> и имеют одинаковые относительныенестабильности /> />. Исследуем характеристикираспределения отклонений частот генераторов от номинальных значений для данногослучая.
Исходя из того, что первый начальный момент случайнойвеличины /> равеннулю, на основании соотношения (27) запишем выражение для второго центральногомомента (дисперсии):
/>.(28)
/>.(29)
Таким образом, увеличение числа генераторов приводит куменьшению дисперсии оценки нестабильности временного интервала.
Рассмотрим еще один частный случай, когда совокупностьгенераторов имеет не только одинаковые относительные нестабильности /> />, но и работает наодинаковых частотах/> />. В этом случае дисперсияоценки отклонения длительности временного интервала от номинального значения наоснове (29) принимает вид
стабилизация частота генератор
/>.(30)
Таким образом, использование совокупности K идентичных генераторов с одинаковымиотносительными нестабильностями позволяет уменьшить в K раз дисперсию оценки отклонениядлительности временного интервала от номинального значения. Данный результатимеет хорошо известную аналогию в теории измерений.
Анализ рассмотренных случаев показывает, что наиболее высокаястабильность обеспечивается при идентичных значениях частот и относительныхнестабильностей (30) в системе генераторов, которая составляет величину, равную/>.
Полученные соотношения позволяют определить статистическиехарактеристики оценок отклонений частот генераторов от номинальных значений.
Воспользуемся соотношением (21), на основании которогопредставим выражение
/>. (31)
С учетом свойств математического ожидания [8–15] преобразуемзависимость (30) следующим образом
/>. (32)
Учитывая некоррелированность отклонений частот и отклоненийфаз от номинальных значений в различных генераторах, получим следующуюзависимость
/>, />(33)
Используем соотношение />, которое легко преобразуется квиду />. Сучетом последней формулы и ранее сделанных предположений о статистическиххарактеристиках отклонений частот генераторов от номинальных значений вразличных генераторах зависимость (32) принимает вид
/>, />. (34)
Дисперсии получаемых оценок определяются зависимостью
/>, />.(35)
В частном случае системы генераторов, имеющих одинаковыенестабильности, получаем
/>.(36)
Таким образом, соотношения (23), (24) и (34), (36) определяютстатистические характеристики оценок отклонения длительности временногоинтервала измерений и частот генераторов от номинальных значений.
В силу того, что полученное значение оценки отклонениядлительности временного интервала от номинального значения отличается отистинного значения, использование управляющего воздействия не приводит к полнойкомпенсации отклонения частоты k-го генератора от номинального значения.
Некомпенсированное отклонение частоты k-го генератора /> определяется как:
/>, (37)
или с учетом полученнойоценки />:
/>. (38)
В силу того, что измеренноеотклонение числа импульсов k-гогенератора обусловлено как собственной нестабильностью />, так и нестабильностьюгенератора, задающего временной интервал измерений />, запишем данное выражение вследующем виде:
/>.
Раскроем величины /> и />, что позволитполучить равенство:
/>.(39)
После несложныхпреобразований окончательно запишем:
/>. (40)
Исследуем статистическиехарактеристики нескомпенсированного отклонения частоты k-гогенератора (математическое ожидание и дисперсию).
Перепишем выражение (40),раскрыв значение оценки отклонения частотыk-гогенератора с использованием соотношения (21):
/>.(41)
Запишем выражение длянахождения математического ожидания некомпенсированного значения отклонениячастоты k-го генератора:
/>, (42)
где учтено, что
/>
и, следовательно, />.
Запишем выражение длянахождения дисперсии нескомпенсированного значения отклонения частоты k-го генератора в виде:
/>
/>.(43)
После выполненияпреобразований получаем
/>. (44)
Соотношение (44) получено сиспользованием выражения
/>.
Такое значение (44) дисперсиянескомпенсированного отклонения частоты k-гогенератора принимает лишь в том случае, когда относительные нестабильности /> /> и частоты /> /> идентичны.
Таким образом, из выражения(44) следует, что дисперсия нескомпенсированного значения частоты k-го генератора в /> раз меньше дисперсии отклонениячастоты k-го генератора при идентичныхпараметрах используемых генераторов.
Рассмотрим случай, при котором все генераторы работаютна различных частотах/> /> и имеют одинаковые относительныенестабильности /> />. В силу того, чтоматематическое ожидание нескомпенсированного отклонения частоты k-гогенератора, определяемое выражением (43), равно нулю, определим дисперсиюнескомпенсированного отклонения частоты k-го генератора для данногослучая. Перепишем выражение (43) с учетом заданных исходных данных:
/>
/>.
После преобразования данноговыражения получим:
/> (45)
Предположим, что в выражении(45) /> />, и,следовательно, решение данной задачи может быть сведено к частному случаю,рассмотренному выше:
/>.
Рассмотрим общий случай, при котором все генераторыработают на различных частотах/> /> и имеют отличные друг от другазначения относительных нестабильностей /> />. В силу того, чтоматематическое ожидание значения нескомпенсированного отклонения частоты k-гогенератора равно нулю, определим дисперсию нескомпенсированного отклонениячастоты k-го генератора для данного случая. Перепишем выражение (43) сучетом заданных исходных данных:
/>
/>.
После проведенныхпреобразований запишем окончательно:
/>
/>. (46)
Как несложно убедиться, вчастном случае идентичных генераторов /> и /> /> решение рассматриваемой задачисводится к случаю, рассмотренному ранее:
/>.
Таким образом, использование совокупности K генераторов позволяет добитьсяповышения точности оценки отклонений частот генераторов. Потенциальная точностьоценивания определяется в общем случае выражением (46). В частном случаеидентичных генераторов дисперсия оценки уменьшается в /> раз.
Выполненные теоретическиеисследования, определяющие потенциально достижимые значения стабильностейкаждого из генераторов, стабилизируемых с использованием рассматриваемогометода и построенного на его основе алгоритма. Для более полного анализапроведем вычислительный эксперимент, позволяющий установить взаимосвязьпараметров генераторов и достигаемых значений стабильностей.
Рассмотрим систему из одиннадцатинезависимых генераторов />, работающих на одинаковыхчастотах с равными относительными нестабильностями. Для численных расчетовиспользовались следующие исходные данные: номинальные частоты генераторов />Гц, относительная нестабильность />. Номинальная длительность временного интервала измеренийвыбиралась равной />. Здесь и далее для анализаосновных закономерностей рассматривались отклонения как длительности временногоинтервала, так и частот генераторов от номинальных значений, значения оценокотклонения длительности временного интервала и частот генераторов, а такжезначения некомпенсированных отклонений частот генераторов от номинальныхзначений. Данные результаты приведены в табл. 1.
Таблица 1 — Отклонения частотгенераторов с одинаковыми значениями нестабильностей№ генератора
Отклонение длительности интервала измерений
от номиналь-ного значения
Оценка отклонения длительности интервала измерений
от номиналь-ного значения
Отклонение частоты
генератора
от номиналь-ного значения
Оценка отклонения
частоты генератора
от номиналь-ного
значения
Нескомпенси-рованное значение отклонения
частоты генератора
от номиналь-ного значения 1 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –20,2894 – 23,2386 2,9492 2 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 7,5316 4,5824 2,9492 3 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –12,8829 –15,8326 2,9492 4 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –2,6506 –5,5998 2,9492 5 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 12,2459 9,2867 2,9492 6 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –10,0082 –12,9574 2,9492 7 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –8,8024 –4,7516 2,9492 8 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 1,5819 –1,3673 2,9492 9 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –18,2757 –21,2249 2,9492 10 –3,0617·10–9 –3,3566·10–9 –11,6654 –14,6146 2,9492
При проведении исследованийрассматривалось сто реализаций, соответствующих различным значениям отклоненийчастот генераторов от номинальных значений. Номер реализации, для которойприводятся соответствующие результаты, выбирался случайным образом на основанииравномерного закона распределений случайных чисел с округлением к ближайшемуцелому.
Приведенные результаты показывают,что после компенсации в каждой конкретной реализации величина отклонениячастоты от номинального значения может возрасти. Это связано с тем, что длинавыборки, на основании которой определяется оценка, является конечной, иполучаемая оценка отклонения длительности временного интервала измерений отноминального значения не совпадает с истинным значением. При увеличении длинывыборки, то есть числа генераторов в системе, расхождение оценки с истиннымзначением будет уменьшаться. Соответственно, и значения нескомпенсированныхотклонений будут уменьшаться.
Перейдем к рассмотрению случаясистемы из одиннадцати независимых генераторов />, работающих на одинаковыхчастотах с различными относительными нестабильностями. Для численных расчетовиспользовались следующие исходные данные: номинальные частоты генераторов />Гц, относительные нестабильности соответственно />, />. Номинальная длительность временного интервалаизмерений выбиралась равной />. Результаты исследований приведеныв табл. 2.
Полученные результаты показывают, чтодля данной реализации отклонения частот генераторов от номинальных значенийпосле компенсации значительно уменьшаются. В наибольшей степени это относится кгенераторам с более высокой нестабильностью частоты.
Последним этапом исследований данноговопроса является рассмотрение системы из одиннадцати независимых генераторов />, работающих наразличных частотах с различными относительными нестабильностями. Для численныхрасчетов использовались следующие исходные данные: номинальные частотыгенераторов />Гц,/>Гц и такими же значениямиотносительной нестабильности, как и в предыдущем случае. Номинальнаядлительность временного интервала измерений выбиралась равной />. Результатыисследований приведены в табл. 3.
Таблица 2 — Отклонения частотгенераторов с различными значениями нестабильностей№ генератора
Отклонение длительности интервала измерений
от номиналь-ного значения
Оценка отклонения длительности интервала измерений
от номиналь-ного значения
Отклонение частоты
генератора
от номиналь-ного значения
Оценка отклонения
частоты генератора
от номиналь-ного
значения
Нескомпенси-рованное значение отклонения
частоты генератора
от номиналь-ного значения 1 7,1571·10–10 5,7286·10–10 9,1396 10,5691 –1,4285 2 7,1571·10–10 5,7286·10–10 5,4627 6,8912 –1,4285 3 7,1571·10–10 5,7286·10–10 17,9396 19,3621 –1,4285 4 7,1571·10–10 5,7286·10–10 4,5091 5,8155 –1,4285 5 7,1571·10–10 5,7286·10–10 4,3870 5,6945 –1,4285 6 7,1571·10–10 5,7286·10–10 –34,3296 –32,8945 –1,4285 7 7,1571·10–10 5,7286·10–10 101,4612 102,8897 –1,4285 8 7,1571·10–10 5,7286·10–10 –42,5164 –41,0879 –1,4285 9 7,1571·10–10 5,7286·10–10 –76,3188 –74,8904 –1,4285 10 7,1571·10–10 5,7286·10–10 49,2136 50,6421 –1,4285
Таблица 3 — Параметры отклонений вразличных реализациях для генераторов при наличии одного высокостабильногогенератора№ генератора Отклонение длительности интервала измерений от номинального значения
Оценка отклонения длительности интервала измерений
от номинального значения Отклонение частоты генератора от номинального значения
Оценка отклонения частоты генератора от номинального
значения
Нескомпенсированное значение отклонения
частоты генератора
от номинального значения 1
3,031·10–10
2,9280·10–10 –10,7289 –12,0320 1,3031 2
3,031·10–10
2,9280·10–10 95,6473 93,0412 –2,6061 3
3,031·10–10
2,9280·10–10 –9,8169 –13,7261 3,9092 4
3,031·10–10
2,9280·10–10 27,4968 –22,2845 5,2123 5
3,031·10–10
2,9280·10–10 –55,2055 –61,7210 6,5155 6
3,031·10–10
2,9280·10–10 –595,9512 –603,7869 7,8187 7
3,031·10–10
2,9280·10–10 –682,9459 –692,0678 9,1219 8
3,031·10–10
2,9280·10–10 807,9309 –797,5062 10,4245 9
3,031·10–10
2,9280·10–10 26,0213 14,2935 11,7278 10
3,031·10–10
2,9280·10–10 212,7528 199,4438 13,0309
Полученные результаты показывают, чтои для генераторов, имеющих различные параметры, отклонения частот генераторовот номинальных значений после компенсации значительно уменьшаются. Однако приэтом, в отличие от предыдущих случаев, отклонение частоты каждого генераторабудет пропорциональным его номинальной частоте.
Таким образом, приведенные результатымоделирования подтверждают основные закономерности, полученные притеоретических исследованиях. Получаемые отличия связаны с ограниченным объемомвыборки результатов.
Рассмотрим решение задачи стабилизации частот системыгенераторов с использованием предложенного метода для системы, состоящей из /> генераторов, вследующей постановке: предположим, что />-й генератор, задающий временнойинтервал измерений, является высокостабильным, а к стабильности остальных /> генераторов непредъявляются высокие требования.
Совокупность /> генераторов формируетсигналы с номинальными значениями фаз сигналов />. Однако на вход измерителяпоступают сигналы не с номинальными значениями фаз />, а сигналы, фазы которыхотличаются на величину />, равную сумме двух компонентов:
/>. (47)
На основании соотношения (27) с учетом условия /> /> получаем
/>. (48)
В случае, если все /> генераторов имеют одинаковыепараметры (относительные нестабильности и частоты), выражение (48)преобразуется к виду
/>. (49)
Соотношение (49) показывает, что при сделанных допущенияхдисперсия оценки отклонения длительности временного интервала от номинальногозначения определяется стабильностью генератора, задающего длительностьвременного интервала. При этом для составляющих отклонения фазы от номинальногозначения k-го генератора можно установитьнеравенство/>/>. В силуданного неравенства следует />, что сразу дает возможностьполучить значение отклонения частоты k-го генератора. Полученный вывод подтверждаетсяданными, приведенными в табл. 4.
Таблица 4 — Параметры отклонений вразличных реализациях для генераторов при наличии одного высокостабильногогенератора№ генератора
Отклонение длительности интервала измерений
от номинального значения
Оценка отклонения длительности интервала измерений
от номинального значения
Отклонение частоты
генератора
от номинального значения
Оценка отклонения
частоты генератора
от номинального
значения
Нескомпенсированное значение отклонения
частоты генератора
от номинального значения 1
3,031·10–10
2,9280·10–10 –10,7289 –12,0320 1,3031 2
3,031·10–10
2,9280·10–10 95,6473 93,0412 –2,6061 3
3,031·10–10
2,9280·10–10 –9,8169 –13,7261 3,9092 4
3,031·10–10
2,9280·10–10 27,4968 –22,2845 5,2123 5
3,031·10–10
2,9280·10–10 –55,2055 –61,7210 6,5155 6
3,031·10–10
2,9280·10–10 –595,9512 –603,7869 7,8187 7
3,031·10–10
2,9280·10–10 –682,9459 –692,0678 9,1219 8
3,031·10–10
2,9280·10–10 807,9309 –797,5062 10,4245 9
3,031·10–10
2,9280·10–10 26,0213 14,2935 11,7278 10
3,031·10–10
2,9280·10–10 212,7528 199,4438 13,0309
При проведении исследований рассматривался случай, когдастабильность одного из генераторов превышала стабильности каждого из остальныхв десять раз, а частоты были одинаковые. В частности, />, /> />, а значения частот /> Гц />.
Таким образом, из вышесказанного вытекает утверждение, чтометод ФАПЧ может рассматриваться как частный случай предложенного методастабилизации частот генераторов. При этом генератор, стабильность которогозначительно превышает остальные, используется в качестве генератора, задающеговременной интервал измерений, то есть выполняет функции опорного генератора какв методе ФАПЧ. Данный вывод подтверждается результатами, приведенными в табл.4.
выводы
1. Предложенный метод статистической оценки частотгенераторов позволяет обеспечивать возможность стабилизации частот системыгенераторов в отсутствии высокостабильного эталонного генератора. В основеметода лежит получаемая с использованием метода наибольшего правдоподобияоценка отклонения длительности временного интервала измерений, формируемая наоснове одновременной обработки данных об отклонениях фаз колебаний генераторовот их номинальных значений. Найденная оценка дает возможность выделить значенияотклонений фаз колебаний генераторов от номинальных значений, обусловленныхтолько их собственными нестабильностями частот. В свою очередь, на основе указанныхданных в дальнейшем осуществляется стабилизация генераторов по частоте.
2. С использованием метода наибольшего правдоподобия оценкаотклонения длительности временного интервала измерений позволяет определитьзначение предельно достижимого повышения стабильности частоты каждого извходящих в систему генераторов.
3. Оценки отклонений частот генераторов от номинальныхзначений являются несмещенными и имеют дисперсию, меньшую, чем дисперсиячастоты каждого из генераторов в отдельности.
4. Полученные аналитические соотношения устанавливаютвзаимосвязь между числом и параметрами стабилизируемых генераторов и предельнодостижимыми значениями нестабильностей генераторов при использованиипредлагаемого алгоритма. На основе вычислительного эксперимента получены численныеоценки предельно достижимой стабильности генераторов при использованиипредлагаемого алгоритма.
Выполненное сопоставление разработанного алгоритмастатистической стабилизации частот генераторов с методом ФАПЧ показало, что прииспользовании высокостабильного генератора в качестве генератора, задающеговременной интервал измерений, отклонения частот системы генераторов будутобусловлены только собственными нестабильностями и могут быть практическиполностью скомпенсированы. Исходя из этого, можно считать, что метод ФАПЧ можетрассматриваться как частный случай предлагаемого статистического метода.
Библиографический список
1. Невдяев Л.М.Персональная спутниковая связь / Л.М. Невдяев, А.А. Смирнов. – М.: Эко-трендз,2008.
2. Радиосистемыпередачи информации / под ред. И.Б. Федорова и В.В. Калмыкова. – М.: Телеком,2008.
3. Катулевский Ю.А.Современные зарубежные тактические радиоустройства / Ю.А. Катулевский // Успехисовременной радиоэлектроники. – 2008. – № 3. – Журнал в журнале «Зарубежнаярадиоэлектроника». – 2008. – № 1.
4. Тихонов В.И.Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В.И.Тихонов, В.Н. Харисов. – М.: Радио и связь, 2011.
5. Крамер Г.Математические методы статистики / Г. Крамер. – М.: Мир, 2008.
6. Марчук В.И.Первичная обработка результатов измерений при ограниченном объеме априорнойинформации: монография / В.И. Марчук; под ред. К.Е. Румянцева. – Таганрог:Изд-во ТРТУ, 2007.
7. Куликов Е.И.Методы измерения случайных процессов / Е.И. Куликов. – М.: Радио и связь, 2006.
8. Мирский Г.Я.Аппаратурное определение характеристик случайных процессов / Г.Я. Мирский. –М.-Л.: Энергия, 2007.
9. Салычев О.С.Скалярное оценивание многомерных динамических систем / О.С. Салычев. – М.:Машиностроение, 2007.
10. Устойчивые статистические методыоценки данных / под ред. Р.Л. Лонера. – М.: Машиностроение, 2009.
11. Мудров В.И. Методы обработкиизмерений / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. – М.: Сов. радио, 2006.
12. Гихман И.И. Введение в теориюслучайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. – М.: Наука, 2007.
13. Корн Г. Справочник по математике (длянаучных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 2008. – 832 с.
14. Спутниковые системы персональной иподвижной связи для обслуживания абонентов на территории России / под ред. А.А.Кучейко. – М.: ИПРЖР, 2011.