Содержание
1. Обработка реализацийсигналов ограниченного объема
2. структурная схема устройства,реализующая метод кусочного размножения оценок
3. временныеи частотные характеристики устройства, реализующего метод кусочного размноженияоценок
выводы
Библиографическийсписок
1. Обработка реализаций сигналов ограниченного объема
Существующиеметоды обработки широко применяются при решении прикладных задач в системахтелекоммуникаций, метрологии, статистической обработки. Как правило, их использованиеопределяется начальными условиями: модель взаимодействия полезной и шумовойсоставляющей; ограничения, накладываемые на компоненты модели обрабатываемогосигнала. Разнообразие методов обработки составляет разнообразие начальныхусловий, на которых они определены. Начальные условия большинства методовобработки пересекаются и, при решении конкретной задачи, существует возможностьиспользования нескольких различных подходов к получению оценок полезногосигнала. Во многом это связано с тем, что при определении ряда начальныхусловий накладываются не жесткие ограничения, что образует ряд альтернативныхподходов к обработке. В данных ситуациях необходимо решать задачу не только обработкисигнала, но и выбора наиболее приемлемого метода оценивания, что является болеесложной задачей. К методу обработки предъявляются требования, которые во многихслучаях трудно достичь при использовании только одного алгоритма. В общемслучае такими требованиями являются: обработка сигналов, описываемых широкимклассом функций; эффективное подавление шума, который описывается широкимклассом случайных функций; простота реализации; возможность эффективнообрабатывать реализации различных объемов в условиях априорной неопределенностио составляющих анализируемого процесса.
Несмотряна противоречивость выдвигаемых требований, в ряде последних работ В.И.Марчука, В.Я. Катковника, К.О. Егиазаряна, Я. Астола предложены новые подходы иметоды ослабления шумовой составляющей, позволяющие существенно расширитьначальные условия обработки и сделать более мягкими ограничения на свойствасоставляющих математической модели, описывающей исходную реализацию.
В качестве модели обрабатываемого сигнала наиболее частоиспользуется на практике аддитивная модель, которая определяется выражением:
/>, (1)
где /> – неслучайныйполезный сигнал, /> – случайныесоставляющие, действующие на фоне полезного сигнала. Закон распределения каждойсоставляющей /> различен.
Математическая модель полезной составляющей /> в большинстве случаевявляется многокомпонентной, что осложняет ее анализ и обработку. В общем случаемодель полезного сигнала /> можнопредставить элементом множества гладких функций />,которое определяется следующим образом [4]:
/>,
где /> – максимальныйпорядок производной функции множества />.
Во множестве функций /> можновыделить подмножество гармонических функций [4]:
/>,
а также часть пространства /> составляетподпространство полиномиальных функций:
/>. (2)
Как правило, на практике рассматривают подмножество />, ограниченное условием />. Принятое ограничениесвязано с условием гладкости, заключающееся в том, что любую модель изпространства /> можно приблизитьполиномами невысокой степени на интервале /> [1].
При построении математической модели случайной (шумовой) составляющей(1) выдвигается предположение о том, что составляющие /> имеют гауссовский законраспределения с нулевым математическим ожиданием [3]. Как и в случае полезногосигнала, шумовую составляющую в общем случае можно представить элементоммножества случайных процессов /> [2]:
/>.
В случае представления реализации результатов измерения ввиде дискретного ряда выражение (1) запишется в виде [8]:
/>, />. (3)
Таким образом, исходная реализация результатов измеренийпредставляет собой ряд />, в которомзначения получены в равноотстоящие моменты времени, то есть />. Для упрощения дальнейшегоанализа полученных результатов измерений произведем нормировку значений /> относительно временидискретизации />. В результате />, а выражение (3)представляется в виде суммы отсчетов дискретных рядов – полезного сигнала ишумовой составляющей:
/>, />. (4)
Отсчетыполезного сигнала /> принадлежатк пространству />. Отсчетыаддитивной шумовой составляющей принадлежат случайному процессу пространства />.
Исходнаяпоследовательность представляет собой реализацию нестационарного случайногосигнала, математическое ожидание которого является функционально зависимым.Сложность обработки таких реализаций заключается в отсутствии априорных данныхо функциональной зависимости математического ожидания [5]. Априорно неизвестнафункциональная зависимость полезного сигнала />,но предполагается, что она относится к пространству функций /> (2), шумовая составляющаяпринадлежит к пространству />, аплотность ее распределения симметрична относительно математического ожидания.Наряду с априорной информацией о составляющих обрабатываемого сигнала,немаловажным является объем его реализации. В условиях проведения уникальныхэкспериментов и невозможности получить достаточных объемов реализаций ограниченияна объем выборки являются самыми существенными. В условиях ограниченностиобъема реализации предполагается, что выборка составляет от 30 до 150 значений[2]. Для получения оценки полезной составляющей сигнала /> необходимо уменьшитьдисперсию шумовой составляющей /> путемосуществления сглаживания.
Такимобразом, при таком определении начальных условий использование большинствасуществующих методов обработки ограниченно. В первую очередь это связано сзависимостью оптимальных значений их параметров обработки от формы полезнойсоставляющей и закона распределения шума [2]. В большинстве случаев при такойпостановке задачи производится сглаживание реализации простыми методами:простое скользящее среднее, взвешенное скользящее среднее, медианное сглаживание,экспоненциальное сглаживание и т.д. [1]. Следует отметить, что их использованиена выборках ограниченного объема обладает существенными недостатками [3].Решение задачи выделения полезной составляющей осуществляется методомнаименьших квадратов с использованием наиболее подходящей аппроксимирующейфункции в смысле определенного критерия. При этом оптимальный выбораппроксимирующей функции крайне затруднителен в условиях априорнойнеопределенности. В работах Дж. Бендата и А. Пирсона, С.М. Переверткина и рядадругих указывается на то, что наилучшее оценивание полезного сигналадостигается, когда исходный сигнал представлен ансамблем реализаций, а оценкаполезного сигнала осуществляется путем их усреднения по сечениям. В связи сэтим предлагается использовать метод выделения полезного сигнала (патент №2257610), основанный на разбиении исходной реализации на перекрывающиеся интервалыодинаковой длины, с последующей оценкой на каждом из них полезного сигналаметодом наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимирующей функцией. Такойподход позволяет получить множество оценок полезного сигнала в каждом сечениипроцесса /> с последующим ихусреднением [1].
Согласновыражению (4) исходная выборка представляет собой последовательность отсчетов />. Для получения оценкиполезной составляющей разбиваем исходную реализацию /> на/> перекрывающихся интервалов,как показано на рис. 1. Длина каждого интервала фиксирована и равна априорнозаданной величине />. Разбиение формируетсятаким образом, что /> отсчетовпредыдущего интервала содержится в последующем интервале. Данный способразбиения позволяет сохранить корреляционные связи между отсчетами припоследующем получении оценок полезного сигнала. Исходная последовательность /> с учетом предлагаемогоразбиения перепишется в следующем виде />,где /> [9].
Исходный ряд />, /> можно представить в видематрицы размера />:
/>. (5)
На каждом скользящем интервале производится оценка полезнойсоставляющей (рис. 1). Как показано на рис. 1, полученные оценки группируются(группы оценок обведены овалами). Результирующая оценка получается путемусреднения множества оценок полезного сигнала, полученных в результатеаппроксимации. На основе анализа предлагаемого разбиения исходной реализациивыделим три участка:
/>,/>,/>.
/>
Рис. 1. Пример разбиения исходной реализации сигнала наперекрывающиеся интервалы постоянной длины
Выделение трех участков связано с тем, что в начале и концереализации оценивание происходит по группам оценок различного объема. На первоминтервале исходной выборки />,количество оценок полезной составляющей в каждый момент времени пропорциональнономеру отсчета />, на второминтервале/> – количество оценок равноширине скользящего интервала и составляет /> значение,а на последнем интервале оценивания />, сростом номера отсчета /> количествооценок в каждом сечении уменьшается от /> до1 (рис. 1).
Оценка исходного ряда (5) представляет собой также матрицу такогоже размера />:
/>. (6)
Матрица (6) получается в результате оценивания полезнойсоставляющей по значениям />, />, /> каждой строчки матрицы(5). Для перехода от матричного представления оценки обратно к одномернойреализации необходимо усреднить ее значения по столбцам. Результирующая оценкаполезной составляющей запишется в следующем виде:
/> (7)
Значения оценок, составляющие матрицу (6), получены путемаппроксимации исходной реализации />, длякаждого /> методом наименьшихквадратов. Таким образом, /> соответствуетномеру строки матрицы оценок /> (6). Вработе [9] приведены результаты исследования для случая, когда на каждоминтервале /> производится аппроксимацияфункциями пространства (2), при этом оно ограничено условием />. Полученные результатыявляются частными и не позволяют исследовать зависимость погрешности оцениванияот параметров метода обработки. Для проведения таких исследований необходимополучить общее решение задачи аппроксимации на каждом скользящем участке дляаппроксимирующего полинома произвольной степени />.Использование ранее предложенного подхода имеет следующие недостатки [5]:
- минимизация целевойфункции метода наименьших квадратов при произвольной степени /> аппроксимирующего полиномасводится к решению системы /> уравнения,что приводит к значительным вычислительным затратам при больших />;
- в случае, еслинеобходимо увеличить или уменьшить степень аппроксимирующего полинома,производится полный пересчет всех ранее полученных коэффициентов и оценок.
Использование системы ортогональных многочленов позволяет устранитьэти недостатки.
Исходная дискретная последовательность /> определена в /> узле. Введем системуортогональных многочленов /> Лежандра,где /> последовательновозрастающих степеней, обладающие свойством [5]:
/>,
где /> – некотораявесовая функция. Будем рассматривать случай, когда />.
Таким образом, имея систему ортогональных многочленов, можнопостроить многочлен наилучшего приближения в смысле минимума квадратичнойцелевой функции. В общем случае аппроксимирующую полиномиальную функцию можнопредставить в виде [5]:
/>. (8)
Отметим, что полином (8) также принадлежит к пространству(2).
В соответствии с общей теорией ортогональных многочленов коэффициенты/> определяются выражением[5]:
/>, (9)
где /> – нормаортогональных многочленов.
В соответствии с предлагаемым методом разбиения оценкикоэффициентов /> полинома (8) накаждом скользящем интервале /> различны,тогда выражение (9) перепишется в следующем виде:
/>,
где />, /> – длина интерваларазбиения.
Анализ выражения для /> показывает,что коэффициенты зависят не только от степени полинома, но и от номераинтервала />. В соответствии свыражением (7) результирующая оценка полезного сигнала через системыортогональных многочленов запишется в следующем виде:
кусочное размножение оценка сигнал
/> (10)
где индекс /> в /> показывает степеньаппроксимирующего полинома на каждом скользящем интервале.
Выражение (10) представляет собой обобщенное уравнение, котороепозволяет получить оценку полезной составляющей предлагаемым способом разбиенияс последующей аппроксимацией на каждом скользящем интервале полиномом произвольнойстепени />. Так как пространствоаппроксимирующих функций (2) ограничено условием />,то на основе выражения (10) можно получить частные случаи при />, /> и /> [9].
В случае, когда />,выражение (10) запишется в следующем виде:
/> (11)
При /> выражение (10)имеет вид:
/> (12)
При /> выражение (10)имеет вид:
/> (13)
Выражения (11)–(13) эквивалентны ранее полученным выражениямв работе [2]. В отличие от выражений, полученных на основе неортогональныхполиномов [2], использование выражения (10) позволяет увеличить степеньаппроксимирующего полинома без пересчета ранее полученных оценок. Анализвыражений (12) и (13) показывает, что степень аппроксимирующего полинома можетбыть увеличена путем вычисления дополнительных членов суммы. Такое свойство(10) позволяет модифицировать предлагаемый способ оценивания. Обладаядополнительной информацией о выделяемом полезном сигнале на локальном участкеобработки, можно увеличивать или уменьшать степень аппроксимирующего полинома,тем самым ввести элементы адаптации.
На рис. 2 представлен пример разбиения исходной реализации наперекрывающиеся интервалы одинаковой длины и аппроксимации на каждом изфункцией пространства (2) при />, приэтом модель исходной реализации представляет собой функцию этого жепространства с />.
/>
Рис. 2. Пример разбиения исходной реализации напересекающиеся интервалы постоянной длины и аппроксимации на каждом из нихзначений сигнала линейной функцией
На рис. 3 представлены результаты вычисления оценки сигналана основе выражения (12). Кривая 1 представляет собой исходный сигнал, а кривая2 – его оценку. Множество оценок полезного сигнала, полученные в каждый момент />, представлены крестиками(рис. 3). На основе их значений в соответствии с выражением (12) получаемоценку полезной составляющей (кривая 2). Несовпадение исходной реализации соценкой полезной составляющей на начальном участке реализации объясняется тем,что количество оценок полезной составляющей в каждый момент /> является неодинаковым иувеличивается до момента />. При /> количество оценокпостоянно и равно длине выбранного ранее окна />,а ошибка оценки полезного сигнала меньше, чем />.
/>
Рис. 3. Пример получения множества оценок полезного сигнала вкаждом сечении исходного процесса (1) и формировании на их основерезультирующей оценки (2) при отсутствии аддитивной шумовой составляющей
На рис. 2 и 3 представлена только часть реализации. Для третьегоинтервала оценивания /> результат оценкисхож с первым интервалом />.
Недостатком предлагаемого метода обработки является то, чтодля первых и последних /> значенийисходной реализации множество оценок содержит различное количество элементов(рис. 1). Следствием этого является увеличение ошибки оценки полезнойсоставляющей на интервалах /> и /> (рис. 3). Для уменьшенияпогрешности оценки полезной составляющей на интервалах /> и /> предлагаетсямодифицировать разбиение исходной реализации на этих интервалах. Для этоговводится дополнительный параметр />,который имеет смысл минимальной длины окна разбиения.
Для осуществления разбиения исходной реализации задается значение/> и />, при этом необходимо,чтобы выполнялось условие />. Наначальном интервале /> исходнаяреализация разбивается на перекрывающиеся интервалы с фиксированной левойграницей и нарастающей длиной интервала разбиения от /> до />, как показано на рис. 4.
/>
Рис. 4. Пример модифицированного разбиения исходной реализациина перекрывающиеся интервалы с изменяющейся длиной интервала разбиения в началеи конце выборки
На интервале /> разбиениеисходной реализации осуществляется с уменьшением длины интервалов доминимального значения /> с фиксированнойправой границей (рис. 4).
Обозначим минимальную длину интервала через />. Используямодифицированный подход разбиения исходного ряда, матрица (5) перепишется вследующем виде:
/>. (14)
Использование разбиения, представленного на рис. 4, позволяетполучить на интервалах /> и /> дополнительные оценкиполезной составляющей и тем самым уменьшить ее погрешность.
При проведении аппроксимации на каждом интервале полиномомстепени /> выражение (10) длявычисления результирующих оценок запишется в следующем виде:
/>(15)
На рис. 5 представлен пример обработки реализации модифицированнымметодом кусочного размножения оценок полезной составляющей. Представлена частьреализации для интервала />.
Анализ рис. 5 показывает, что использование модифицированногоподхода разбиения позволяет увеличить количество оценок на граничных интервалах/> и />. Сравнительный анализрезультатов, представленных на рис. 3 и 5, показывает, что в случае использованиямодифицированного алгоритма оценки полезной составляющей ее значения болееблизко расположены к значениям исходного сигнала, чем для случаянемодифицированного подхода.
/>
Рис. 5. Пример получения множества оценок полезного сигнала вкаждом сечении исходного сигнала (1) и формирование на их основе результирующейоценки (2) при использовании модифицированного подхода разбиения исходнойреализации на перекрывающиеся интервалы и отсутствии аддитивной шумовой составляющей
Предлагаемый метод обработки, несмотря на некоторую сложностьпредставленных выражений, легко реализуется на современной элементной базе.Основу оценивания полезной составляющей на каждом элементарном интервале составляетметод наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимирующей функцией. Условиеобязательной полиномиальной аппроксимации на каждом участке является нежестким.Аппроксимация может быть произведена любой функцией из пространства (2). Таккак интервал разбиения исходной выборки фиксирован, а также фиксированааппроксимирующая функция в процессе обработки, это позволяет получить выражениеоператора предлагаемого метода обработки.
2. структурная схема устройства,реализующая метод кусочного размножения оценок
Следует отметить, что предлагаемый метод обработки являетсясимбиозом метода скользящего среднего и метода размножения оценок [3].Используя выводы, при получении оценки полезного сигнала методом скользящегосреднего, структурная схема устройства, его реализующая, показана на рис. 6.Устройство содержит буферный блок, блок аппроксимации, блок оценки и блокуправления. Устройство, реализующее метод скользящего среднего, реализуетсяпоследовательной схемой. Исходная реализация поступает в буферный блок, гдезаписываются первые /> значения />. С буферного блока последние/> значения передаются в блокаппроксимации, где осуществляется их аппроксимация полиномиальной функцией,используя метод наименьших квадратов. Аппроксимирующей функцией являетсяполином степени /> пространства(2). В блоке оценок осуществляется вычисление оценки полезного сигнала путем вычислениязначения аппроксимирующего полинома в центральной точке интервалааппроксимации, что соответствует процедуре нахождения оценки методом простогоскользящего среднего. Результирующая оценка поступает на выход устройства (рис.6).
/>
Рис. 6. Структурная схема устройства, реализующая методскользящего среднего
С помощью блока управления задаются параметры обработки: длинаскользящего интервала /> (ширинаскользящего окна) и степень аппроксимирующего полинома />. В случае, когда /> или />, оценка на выходеустройства эквивалентна использованию метода простого скользящего среднего, апри /> или /> – методу взвешенногоскользящего среднего.
На рис. 7 представлена структурная схема устройства, реализующегометод кусочного размножения оценок (10). Устройство представляет собой набор из/> каналов, каждый из которыхсодержит в себе блок задержки, буферный блок, блок аппроксимации, сумматор.Параметры обработки задаются с помощью блока управления. Значения исходнойреализации через блоки задержки записываются в буферные блоки каждого изканалов.
/>
Рис. 7. Структурная схема устройства, реализующего методкусочного размножения оценок
Все блоки задержки устройства являются идентичными и позволяютсоздавать задержку на один такт работы устройства. В каждом канале содержатсязначения исходной реализации в m отсчетов, сдвинутые относительно друг друга на один такт, чтосоответствует используемому способу разбиения исходной реализации (рис. 1).Значения обрабатываемой реализации с буферных блоков поступают в блокиаппроксимации, где осуществляется их аппроксимация с помощью метода наименьшихквадратов, используя полиномиальную аппроксимирующую функцию степени />(рис. 7). В блокахаппроксимации вычисляются значения аппроксимирующих функции и производится ихвзвешивание (7). Значения аппроксимирующих функций через блоки задержкипоступают на сумматоры (рис. 7). На выходе устройства формируется оценкаполезного сигнала. С помощью блока управления определяется число каналов обработки;размер каждого буфера канала, который равен длине интервала разбиенияреализации />; степень аппроксимирующегополинома /> в блоках аппроксимации. Вслучае />, /> и /> – оценки на выходе устройстваописываются выражениями (11), (12) и (13) соответственно. Структурная схемаустройства, представленная на рис. 1, является одним из прототипов устройства,реализующего метод кусочного размножения оценок (рис. 7). В отличие от методаразмножения оценок, интервал разбиения исходной реализации фиксирован, а оценкуполезного сигнала можно получать по мере поступления данных. Структурная схемаустройства, представленная на рис. 6, также является прототипом устройства,реализующего метод кусочного размножения оценок (рис. 7), но при всей схожестииспользуется оценка полезного сигнала, полученного на всем интервале (10), вотличие от метода скользящего среднего, где она вычисляется только в его середине.
Приведенная структурная схема реализации устройства на основеметода кусочного размножения оценок является одним из вариантов. В каждомконкретном случае и в зависимости от используемого оборудования структурная схемаможет модифицироваться. Возможность распараллеливания вычислений при реализацииметода кусочного размножения оценок позволяет реализовывать его на базе многопроцессорныхсистем.
В результате при реализации предлагаемого метода кусочногоразмножения оценок полезного сигнала устройство представляет собой дискретныйфильтр, а использование непосредственного вычисления коэффициентоваппроксимирующего полинома и получение оценок на каждом интервале разбиения, споследующим усреднением их по полученным множествам, с вычислительной точкизрения не выгодно. Как правило, стационарная система характеризуется откликомна единичное воздействие. В связи с этим представляет интерес получитьвыражения отклика системы, который зависит от параметров метода кусочногоразмножения оценок (размер скользящего окна />,степень аппроксимирующей функции />).
3. временныеи частотные характеристики устройства, реализующего метод кусочного размноженияоценок
В общем случае выражение (10) можно рассматривать как уравнениедискретного фильтра. Рассмотрим предлагаемый метод оценивания с точки зренияреализации его в виде дискретного фильтра и получим его системную функцию [3].
В общем виде системная функция линейного стационарногодискретного фильтра представляет собой отношение />-преобразованиявыходного сигнала к />-преобразованиювходного сигнала [3, 4]. Сопоставим дискретным сигналам />, /> и импульснойхарактеристике /> дискретного фильтрасоответственно их Z-преобразования/>, /> и />. Так как выходной сигналявляется сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой устройства, томожно записать [3, 4]:
/>. (16)
Таким образом, чтобы определить системную функцию дискретногофильтра (16), необходимо определить его импульсную характеристику, котораяявляется откликом системы на единичное воздействие.
В этом случае функция единичного скачка, подаваемого на вход,описывается выражением [1]:
/>, />, (17)
где переменная /> определяетположение единичного импульса в исходной выборке, подаваемой на вход.
В случае стационарной системы ее отклик не зависит от /> [3]. Отметим, чторассматриваемый метод имеет особенности, связанные с тем, что способыоценивания на интервалах исходной выборки />,/> и /> различны. Таким образом,введем начальные условия, которые заключаются в определении отклика системы наинтервале />.
В этом случае функция единичного скачка (17), подаваемого навход, перепишется в следующем виде:
/>/>,/>. (18)
Используя выражение (5) и определение исходного сигнала (14),запишем отклик системы, описываемой выражением (6):
/> />, (19)
где индекс /> в /> показывает степеньаппроксимирующего полинома.
Анализ выражения (10) показывает, что отклик системы /> является четной функциейотносительно />, тогда выражение (19) дляинтервала /> перепишется следующимобразом:
/> />. (20)
На рис. 8 представлен график функции />, /> при различных значенияхпараметра />. Так как пространствоаппроксимирующих функций (2) ограничено условием />,то представлены графики функции /> при />, /> и /> [9]. Зависимости,показанные на рис. 8, получены при фиксированном значении ширины интервала разбиения/>. Анализ результатов,представленных на рис. 8, показывает, что полученные импульсные характеристикифильтра имеют затухающий характер. Отклик системы на единичное воздействие при /> имеет треугольную форму, сростом значения />, характеристикапринимает затухающий характер и колеблется относительно нуля. Число колебаний импульснойхарактеристики пропорционально параметру />.Импульсная характеристика по модулю не превосходит некоторой постояннойвеличины, что позволяет сделать вывод об устойчивости анализируемого фильтра[3, 4].
/>
Рис. Импульсная характеристика дискретного фильтра,реализующего метод кусочного размножения оценок при различных степеняхаппроксимирующего полинома /> накаждом интервале разбиения
Длина импульсной характеристики определяется параметром /> и является четной функциейотносительно />. Таким образом, дискретныйфильтр представляет собой КИХ фильтр (дискретный фильтр с конечной импульснойхарактеристикой) с симметричной импульсной характеристикой [17]. Анализвыражения (20) показывает, что форма импульсной характеристики для каждого /> определяется /> и пропорциональна ееавтокорреляционной функции.
В соответствии с выражением (16) системной функцией дискретногофильтра является />-преобразованиеимпульсной характеристики /> [3,17]. Произведя />-преобразованиеимпульсной характеристики (20), получим выражение для системной функциидискретного фильтра />:
/> (21)
где индекс /> показываетстепень аппроксимирующего полинома.
Заменяя в (21) /> на />, получим выражение длячастотного коэффициента передачи цифрового фильтра />.
На рис. 9 представлены результаты расчета модуля частотногокоэффициента передачи /> дискретного фильтра (амплитудно-частотныехарактеристики – АЧХ), полученные выражением (21).
/>
Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика дискретногофильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интерваларазбиения /> и различной фиксированнойстепени аппроксимирующего полинома /> накаждом интервале
Так как частотная характеристика является периодической функциейчастоты с периодом, равным частоте дискретизации, то используется нормировкадля проведения сравнений характеристик различных фильтров. Ось частот рис. 9нормирована относительно />, и всяхарактеристика находится в интервале />. А таккак характеристика симметрична относительно />,то на рис. 9 и далее рассматривается интервал /> [3].
Анализ результатов, представленных на рис. 9, показывает, чтоАЧХ дискретного фильтра зависит от степени аппроксимирующего полинома />. Максимальный уровеньбоковых лепестков составляет -24 дБ при />,-17 дБ при /> и -11 дБ при />. Максимальный уровень боковыхлепестков практически линейно увеличивается с ростом /> [2]. Для сравнения АЧХразличных оконных функций вводят понятие эквивалентной шумовой полосы, котораяопределяется следующим образом [3]:
/>. (22)
Если исходная обрабатываемая последовательность представляетсобой сумму гармонического сигнала с частотой, кратной частоте ДПФ и белогошума, тогда значение /> показывает, восколько раз уменьшается отношение сигнал-помеха после обработки входнойпоследовательности оконной функцией. Таким образом, используя выражение (21) и(22), значение эквивалентной шумовой полосы составит при /> – />, при /> – /> и при /> – />. С ростом степениаппроксимирующего полинома /> полосапропускания дискретного фильтра увеличивается по линейному закону.
Расширение полосы пропускания при увеличении степени аппроксимирующегополинома связано с тем, что происходит выделение не только низкочастотнойсоставляющей, но и учитываются колебательные процессы более высокой частоты. Вслучае выбора степени полинома, равной />,будут учтены все составляющие спектра входного сигнала, и выходной сигналполностью повторит входной.
На рис. 10 представлены графики расчета фазочастотнойхарактеристики коэффициента передачи фильтра (ФЧХ) /> (21).
/>
Рис. 10. Фазочастотная характеристика дискретного фильтра,реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения /> и различной степениаппроксимирующего полинома /> накаждом интервале
Анализ результатов, представленных на рис. 10, показывает,что фазочастотные характеристики имеют колебательный характер и асимптотическизатухают. При этом колебания тем быстрее затухают, чем меньше степень />. С уменьшением степениаппроксимирующего полинома и увеличением частоты амплитуда колебаний фазыуменьшается, приближаясь к нулю в полосе прозрачности фильтра.
На рис. 11 представлены АЧХ дискретного фильтра, для сравнения,при /> и />. Анализ рис. 11показывает, что с увеличением значение параметра /> вдва раза привело к уменьшению абсолютной полосы пропускания фильтра во столькоже раз. При этом эквивалентная шумовая полоса не изменится, так как являетсяотносительной к длине импульсной характеристики />,длина которой определяется параметром /> (22).
/>
Рис. 11. Семейство амплитудно-частотных характеристик дискретногофильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интерваларазбиения />, /> и различной степениаппроксимирующего полинома /> накаждом интервале
Увеличение /> в двараза несколько уменьшило максимальный уровень боковых лепестков, которыйсоставил -26 дБ при />, -20 дБ при /> и -16,6 дБ при />. Также одним изпоказателей сравнения различных дискретных фильтров является ширина главноголепестка /> АЧХ на уровне />дБ и />дБ, отнесенная к длинеимпульсной характеристики.
Для анализируемого фильтра ширина главного лепестка составила/> и /> при />; /> и /> при />; /> и /> при />. Проводя сравнения саналогичными характеристиками для различных оконных функций, приведенных в работахРабинера и Гоулда, Гольденберга, Хариса [3, 17, 19], отметим следующее:характеристики анализируемого дискретного фильтра при /> полностью совпадают схарактеристиками оконной функции треугольной формы. Полученный результатзакономерен, так как отклик дискретного фильтра /> при/> имеет такую же форму (рис.8). С ростом степени аппроксимирующего полинома /> происходитувеличение ширины главного лепестка АЧХ фильтра /> поуровню 3 и 6 дБ, при этом также расширяется эквивалентная шумовая полоса />. Ширина главного лепесткане зависит от параметра сглаживания />, аопределяет только длину импульсной характеристики фильтра и, как следствие, егоразрешающую способность в частотной области [7, 16].
На рис. 12 представлен график ФЧХ для сравнения при /> и /> и различных степеняхаппроксимирующего полинома />.
/>
Рис. 12. Семейство фазочастотных характеристик дискретногофильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интерваларазбиения />, /> и различной фиксированнойстепени аппроксимирующего полинома /> на каждоминтервале
Анализ характеристики, представленных на рис. 12, позволяетсделать вывод, что форма ФЧХ не зависит от параметра />. Таким образом, увеличениезначения параметра /> не привело кэквивалентному изменению формы характеристики, а только изменило масштабзависимости [9].
При анализе дискретного фильтра, который описывается уравнением(10), рассматривается случай, когда функция единичного скачка (17) определенана интервале />, хотя исходное уравнениеопределено на интервале />. Этосвязано с тем, что способ оценивания на интервалах выборки />, /> и /> различен, но при этом наинтервале /> /> существует симметрия вподходе оценивания. В общем случае дискретный фильтр, описываемый уравнением(6), является нестационарным, а отклик системы на интервалах /> и /> зависит от положения единичногоскачка /> (17).
Используя выражение (9) и определение исходного сигнала (17),запишем отклик системы, описываемой выражением (10):
/> (23)
Выражение (23) представляет собой отклик системы в случае, когдаисходная последовательность ограничена интервалом /> иобрабатывается с помощью предлагаемого метода кусочного размножения оценок сучетом особенностей на интервалах /> и />. При этом отметим, чтовыражение для отклика системы при /> (23)полностью эквивалентно ранее полученному выражению для /> (20) и не зависит от /> (17).
На рис. 13 представлено семейство откликов дискретной системы,которая описывается выражением (23) для интервала /> и/>. Отметим, что для /> характер зависимости /> эквивалентен. Анализ рис.13 показывает, что с увеличением /> откликсистемы переходит от антисимметричной зависимости к симметричной зависимости,при этом большему изменению подвергается левая часть импульсной характеристики,чем правая относительно ее максимума. При /> формаимпульсной характеристики становится постоянной и не зависит от />.
/>
Рис. 13. Семейство импульсных характеристик дискретнойсистемы, реализующей метод кусочного размножения при получении оценки полезногосигнала на начальном интервале значений /> припараметре />
На рис. 14 представлено семейство АЧХ, полученных на основесемейства характеристик, представленных на рис. 13 при />.
/>
Рис. 14. Семейство амплитудно-частотных характеристикдискретной системы, реализующей метод кусочного размножения при полученииоценки полезного сигнала на начальном интервале значений /> при параметре />
На рис. 14 представлено семейство АЧХ /> при различных значениях />. Анализ результатов,приведенных на рис. 13 и 14, показывает, что оценка полезного сигнала наинтервалах /> и /> является нелинейной ипредставляет собой прохождение исходной реализации через набор фильтров сразличными АЧХ. Результаты, представленные на рис. 14 и 13, следуетинтерпретировать следующим образом. Каждый отсчет на интервале /> и /> получен в результатесвертки исходной реализации с соответствующей импульсной характеристикой (рис.13), то есть выбор импульсной характеристики на интервале /> и /> для вычисления оценкиполезного сигнала определяет значение /> (23).С точки зрения АЧХ, оценкам полезной составляющей, имеющим большую погрешность,соответствуют фильтры с большей полосой пропускания, то есть большее числоспектральных составляющих как полезного сигнала, так и шума участвуют в ееполучении. С ростом /> полоса фильтровуменьшается и стремится к АЧХ для стационарного случая (21) при /> (рис. 14). На основеполученных результатов устройство, реализующее метод кусочного размноженияоценок, можно представить в виде банка фильтров с различными АЧХ. Если зафиксироватьобъем выборки, то для граничных интервалов оценивания /> и /> характеристики фильтровбудут иметь вид, представленный на рис. 14.
Таким образом, аналитически показано, что обработку методомкусочного размножения оценок можно рассматривать с точки зрения дискретной фильтрации.Параметры метода обработки однозначно связаны с системной функцией фильтра.Получены выражения для нахождения импульсной характеристики дискретногофильтра, которая зависит как от параметра /> истепени аппроксимирующего полинома на каждом интервале /> (20). Исследованияпоказывают, что с ростом /> происходитрасширение эквивалентной шумовой полосы /> иэквивалентной ширины главного лепестка /> АЧХ.Максимальный уровень ослабления помехи достигается при условии />. Отметим, что этотпараметр фильтра имеет смысл рассматривать с точки зрения максимизацииотношения сигнал/помеха. Этот критерий не учитывает формы полезнойсоставляющей, так как отдельные спектральные составляющие полезного сигналамогут находиться вне полосы пропускания фильтра, что приведет к искажениюоценки и, как следствие, к росту погрешности. Увеличение степени аппроксимирующегополинома /> на каждом скользящеминтервале приводит к увеличению ширины полосы пропускания фильтра и максимальногоуровня боковых лепестков, однако при этом удается получить оценку с меньшейпогрешностью. Существует некоторое противоречие, которое заключается в том,что, повышая гладкость получаемой оценки, приходится расширять полосупропускания фильтра и ослаблять его фильтрующие свойства в силу ростамаксимального уровня боковых лепестков.
Использование разработанного дискретного фильтра позволяетсущественно упростить реализацию метода обработки в виде устройства на базецифровых сигнальных процессоров различного класса.
выводы
1. Разработан метод кусочногоразмножения оценки полезного сигнала (патент № 2257610), позволяющийобрабатывать исходную реализацию ограниченного объема в условиях априорнойнеопределенности о полезном сигнале и аддитивной шумовой составляющей.
2. Получены выражения, устанавливающиесвязь между значениями исходной реализации и значениями оценки полезногосигнала при произвольной степени аппроксимирующего полинома /> и значении />, используя системуортогональных полиномов. Использование свойств ортогональных многочленов имеетширокие возможности для модификации предлагаемого метода обработки, адаптируястепень аппроксимирующей функции на каждом отдельном скользящем интервале.
3. Рассмотрена возможность уменьшенияпогрешности оценки полезного сигнала на начальном /> иконечном /> интервале исходной выборкипутем модификации метода кусочного размножения, основанной на дополнительномразбиении исходной реализации на этих интервалах, позволяющая увеличить числооценок полезного сигнала в сечениях исходного процесса.
4. Получены выражения для импульснойхарактеристики и системной функции устройства, реализующего принцип обработкиметодом кусочного размножения оценок, которые зависят от параметров обработки.Рассмотрен как стационарный, так и нестационарный случай.
5. Исследования системной функциидискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок, показали,что степень аппроксимирующего полинома на каждом интервале /> и ширина интерваларазбиения /> однозначно определяютпараметры амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики устройства.Максимальный уровень боковых лепестков амплитудно-частотной характеристикислабо зависит от /> и в среднемсоставляет -25 дБ при />, -18 дБ при /> и -13 дБ при />. Ширина главного лепесткане зависит от параметра /> исоставляет при /> – />, при /> – /> и при /> – />.
6. Проведены исследования особенностиизменения характеристик дискретной системы при реализации обработки на начальном/> и конечном /> интервале исходной выборкисигнала.
Библиографический список
1. Адаптивные фильтры / под ред.К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. – М.: Мир. – 200
2. Бендат, Дж.Прикладной анализ случайных данных; пер. с англ./ Дж. Бендат, А.Пирсол. – М.: Мир, 2009. – 540 с.
3. Гольденберг, Л.М.Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие для вузов/ Л.М. Гольденберг,Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь,2010. – 256 с.
4. Гоноровский, И.С. Радиотехническиецепи и сигналы: учебник для вузов / И.С. Гоноровский.– М.: Радио исвязь,2006. – 512 с.
5. Корн, Г. Справочник по математикедля научных работников и инженеров; пер. с англ. / Г. Корн, Т. Корн. – М.:Наука, 200 – 832 с.
6. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей иматематическая статистика: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,2010. – 543 с.
7. Марчук, В.И. Итерационный методвыделения функции полезного сигнала в условиях априорной неопределенности /В.И. Марчук // Известия вузов. Северо-Кавказкий регион. Технические науки. –2007. –№ 9. – С. 25–35.