ЛИНЕЙНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Прианализе прохождения стационарного СП через линейные электрические цепи (рис. 1)будем полагать, что режим цепи установившийся, т.е. после подачи на вход цеписигнала все переходные процессы, связанные с включением, закончились. Тогда ивыходной СП будет стационарным. Рассматриваемая задача будет состоять в том,чтобы по заданной корреляционной функции входного сигнала или его спектральнойплотности мощности определить B(t) или G(w) выходного сигнала.
/>
Рис.1
Сначаларассмотрим решение этой задачи в частотной области. Входной СП задан своейспектральной плотностью мощности Gх(/>). Выходная спектральнаяплотность мощности Gy(w) определяется по формуле
Gy(/>) = Gх(/>)K2(/>), (1)
гдеK2(/>) — квадрат модулякомплексной передаточной функции цепи. Возведение в квадрат модуля основано натом, что искомая характеристика является действительной функцией частоты иэнергетической характеристикой выходного процесса.
Дляопределения связи между корреляционными функциями необходимо применить к обеимчастям равенства (1) обратное преобразование Фурье:
Bx(/>) = F-1[Gx(/>)]; F-1[K2(/>)] = Bh(/>)
— корреляционная функция импульсной характеристики исследуемой цепи:
Bh(/>)= />h(t)h(t-/>)dt.
Такимобразом, корреляционная функция выходного СП есть
By(/>)=Bx(/>) Bh(/>) = />Bx(t)Bh(t — t)dt.
ПРИМЕР1 прохождения стационарного случайного широкополосного сигнала через RC-цепь(фильтр нижних частот), представленную схемой на рис. 2.
Широкополосностьпонимается так, что энергетическая ширина спектра входного СП намного большеполосы пропускания цепи (рис. 3). При таком соотношении между формой K2(/>) и Gx(/>) можно не рассматриватьход характеристики Gx(/>)в области верхних частот.
/>
Рис.2
Учитывая,что в полосе частот, где K2(w) существенно отличаетсяот нуля, спектральная плотность мощности входного сигнала равномерна, можно безсущественной погрешности входной сигнал аппроксимировать белым шумом, т.е.положить Gx(/>) = G0= const. Такое предположениесущественно упрощает анализ. Тогда Gy(/>) = G0K2(/>)
Длязаданной цепи
K2(/>) = 1/[1 + (/>RC)2], тогда Gy(/>) = G0/[1 + (/>RC)2].
/>
Рис.3
Определимэнергетическую ширину спектра выходного сигнала. Мощность выходного СП
Py = sy2 = (2p)-1/>Gy(/>)d/> = G0/(2RC), тогда
D/>э = (G0)-1/>Gy(/>)d/> = p/(2RC).
Нарис. 4 показаны корреляционная функция выходного СП и его спектральная плотностьмощности.
Спектральнаяплотность мощности по форме повторяет квадрат модуля комплексной передаточнойфункции цепи. Максимальное значение Gy(/>) равно G0. Максимальное значениекорреляционной функции выходного СП (его дисперсия) равна G0/(2RC). Нетрудноопределить площадь, ограниченную корреляционной функцией. Она равна значениюспектральной плотности мощности при нулевой частоте, т.е. G0:
/>.
/>
Рис.4
Энергетической (шумовой) полосой пропускания электрической цепиназывается полоса частот, численно совпадающая с энергетической ширинойспектральной плотности мощности сигнала на выходе цепи при воздействии на входцепи белого шума. В заданной случае D/>э = p/(2RC). Сравним еес полосой пропускания />грэтой же цепи на уровне 0,707. Так как />гр= 1/(RC), то Dwэ = p/2 />гр, то есть D/>э в p/2 раз больше />гр.
Определимкорреляционную функцию сигнала на выходе RC-цепи при воздействии на еевход белого шума.
Таккак выходная спектральная плотность мощности уже определена, то можно вычислитьискомую функцию обратным преобразованием Фурье. Но в рассматриваемом случаепроще анализ выполнить во временной области, то есть By(/>) = Bx(/>)Bh(/>), но так как Bx(/>) = W0d(/>), тоBy(/>) = W0Bh(/>) (учитывая фильтрующеесвойство дельта-функции).
Такимобразом, при воздействии на вход цепи белого шума, корреляционная функциявыходного сигнала совпадает с точностью до постоянного множителя скорреляционной функцией импульсной характеристики рассматриваемой цепи. Так как
h(t) = 1/(RC) exp[-t/(RC)], t ³ 0, то
Bh(/>) = />h(t)h(t — />)dt = 1/(2RC)exp[-|/>|/(RC)], -¥
Нарис. 5 представлены корреляционные функции (рис. 5а) и спектральные плотностимощности (рис. 5б) для двух значений постоянной времени заданной цепи (RC)1RC)2. Дисперсия выходного СП />y2 = By(0) = = G0/(2RC).
Площадьпод кривой By(/>) равназначению спектральной плотности мощности при /> =0, есть G0. Из сравнения графиков на рис. 5 следует, что с уменьшениемполосы пропускания цепи начальное (максимальное) значение корреляционнойфункции By(0) уменьшается, что связано с уменьшениеммощности выходного сигнала, и корреляционная функция изменяется медленнее сувеличением RC заданной цепи.
Нетруднорассчитать интервал корреляции выходного СП
/> = />.
Откудаследует, что интервал корреляции выходного СП равен постоянной времени цепи.
/>
Рис.5
ПРИМЕР2 анализа прохождения белого шума через колебательный контур (рис. 6). Чтобыпридать этой задаче физический смысл, сводим задачу, как и предыдущую, каппроксимации входного сигнала белым шумом.
/>
Рис.6
Чтобыиспользовать такой прием, входной сигнал должен иметь спектральную плотностьмощности, неизменную в пределах практически значимых значений ординат АЧХ цепи.Тогда Gx(/>) можно считатьравной G0, а входной СП – белым шумом (рис. 7).
Передаточнаяфункция такой цепи K(j/>)=Kр/[1+j2(/>-/>р)/(/>рQэ)];0 Kр-коэффициент передачи цепи при резонансной частоте />р,то есть Kр = Rэр/(Rэр + R);Qэ = Q/(1 + Rэр/R) — добротностьшунтированного нагрузкой R колебательного контура, его постояннаявремени />к = 2Qэ//>р = 2/(D/>)0,7, то естьобратная половине полосы пропускания контура на уровне 0,707. Квадрат модуляпередаточной функции K2(/>)=Kр2/[1 + (/> - />р)2/>к2].Найдем дисперсию процесса на выходе цепи
/>y2 = G0Kр2/(p/>к) (p/2 + arctg2Qэ)»G0Kр2/(2/>к) при Qэ>> 1.
/>
Рис.7
Оценимэнергетическую полосу пропускания колебательного контура (рис. 6) D/>э = (G0Kр2)-1/>Gy(/>)d/> » p//>к. Сравним сполосой пропускания по уровню 0,707 (-3 дБ). Так как />к = 2Qэ//>р, то D/>э = p/2 (D/>)0,7.
Вычислимкорреляционную функцию выходного процесса (рис. 8):
By(/>) = G0Kр2/(2/>к) exp(-|/>|//>к) cos />р/>; -¥
/>
Рис.8
Еслирассматривать анализ контуров с разными добротностями, то можно увидетьразличия в реализациях выходных процессов: рис. 9 при добротности Q1и рис. 10 при добротности Q2.
/>
Рис.9
/>
Сравнительныйанализ показывает, что увеличение добротности приводит к снижению полосыпропускания контура, а значит, к снижению средней скорости изменения огибающейво времени (можно сравнить с влиянием на огибающую АМК снижения частотымодулирующего колебания). белый шум сигнал линейныйпреобразование/>1. Расчет плотностивероятности стационарного случайного сигнала на выходе линейной цепи
Еслидля многих электрических цепей в установившемся режиме просто рассчитатьэнергетический спектр и корреляционную функцию, то задача расчета плотностивероятности в произвольном случае не имеет общего решения. Расчет плотностивероятности на выходе такой цепи является сложной задачей, не имеющейаналитического решения. Трудности анализа обусловлены тем, что мгновенныезначения сигнала на выходе линейной цепи зависят не только от мгновенныхзначений входного сигнала в данный момент времени, но и от значений сигнала впредыдущие моменты (поскольку цепь обладает инерционностью, вызванной наличиемкатушек индуктивности и конденсаторов в цепи). Однако имеет место единственныйслучай, когда законы плотности вероятности на входе и выходе цепи совпадают.Это случай, когда входной сигнал имеет нормальный закон распределения. Основнымсвойством нормального закона является то, что при прохождении сигнала снормальной плотностью вероятности сам вид закона не изменяется, а меняются лишьего параметры, то есть математическое ожидание, дисперсия, корреляционнаяфункция. Здесь можно выявить аналогию с гармоническим колебанием в линейнойцепи.
Прохождение нормального стационарного СП через линейнуюэлектрическую цепь.Задан входной СП X(t), у которого плотность вероятностив каждый момент времени f(x) = (/>x2/>)-1 exp [-x2/(2/>x2)], -¥xBx(/>) и, следовательно, Gx(/>) известны. Вычислитьплотность вероятности сигнала на выходе цепи, заданной или импульснойхарактеристикой h(t), или передаточной функцией K(j/>). Учитывая, что припрохождении случайного сигнала через линейную цепь нормальный закон распределенияне изменяется, можно записать: f(y) = (/>y2/>)-1 exp [-y2/(2/>y2)], т.е. сама формазакона известна. Необходимо определить дисперсию />y2, а она связана с мощностьюпроцесса: By(0) = sy2 = (2p)-1/>Gy(/>)d/>. Чтобы найти либо By(/>), либо Gy(/>), требуется знать Bx(/>) или Gx(/>).
Вчастотной области
Gy(/>) = Gx(/>)K2(/>), тогда
/>y2 = (2p)-1/>Gx(/>) K2(/>)d/>.
Вовременной области By(/>)= Bx(/>)×Bh(/>). Полагая /> = 0 и учитывая, что Bh(-/>) = Bh(/>), можно записать
sy2 = />Bx(/>) Bh(/>)d/>./>2. Нормализацияслучайных сигналов в узкополосных электрических цепях
Допустиместь устройство, имеющее структурную схему, показанную на рис. 12.
/>
Рис.12
ЕслиСП с нормальным законом подвергнуть какому-либо нелинейному преобразованию(например, двухстороннему ограничению), то его закон распределения изменится(рис. 13).
/>
Рис.13
Навыходе узкополосной цепи опять получим сигнал с нормальным распределением, иэтот закон тем ближе будет к нормальному, чем ýже полоса пропусканияиспользуемой линейной цепи./>3. Исследование на LabVIEW линейных преобразованийслучайных процессов и явления нормализации
Исследование влияния полосы фильтра на вид и параметры реализациислучайного процесса
Количествореализаций: 200.
Типфильтра: НЧ Баттерворта.
Порядокфильтра НЧ: 50.
Выполнение:
а)Частота среза фильтра НЧ: 3 МГц
Полученныеданные показаны на рис. 1
/>
Рис.14
Погрешностьоценки спектральной плотности мощности составляет: /> мВ2/МГц (оценкаметодом экспресс-анализа).
Дисперсияпроцесса может быть определена по площади под кривой спектральной плотностимощности, которая приблизительно равна 3 мВ2.
Среднеквадратическоеотклонение оценки составит /> мВ;значение практически соответствует полученным данным (1,7359 мВ).
б)Частота среза фильтра НЧ: 2 МГц.
Полученныеданные показаны на рис. 15.
Погрешностьоценки спектральной плотности мощности процесса на выходе фильтра составляет: /> мВ2/МГц.
Среднеквадратическоеотклонение процесса составит /> мВ –значение практически соответствует полученным данным.
/>
Рис.15
в)Частота среза фильтра НЧ: 4 МГц.
Полученныеданные показаны на рис. 16.
/>
Рис.16
Погрешностьфильтра составляет: /> мВ2/МГц.
Среднеквадратическоеотклонение, вычисленное по площади, ограниченной усредненной спектральнойплотности мощности, составит /> мВ;значение практически соответствует полученным данным.
Выводы. При увеличении полосы ФНЧкорреляционная функция уменьшается (из-за уменьшения дисперсии), при этомглавный лепесток расширяется и уменьшается плотность распределения вероятности.Вид корреляционной функции соответствует кривой />.Скорость изменения мгновенных значений в реализации увеличивается с ростомверхней граничной частоты фильтра. Увеличивается и размах реализации. С увеличениемдисперсии уменьшается максимальное значение плотностивероятности.
Влияние полосы П полосового фильтра на вид и параметры реализациивходного случайного процесса
Количествореализаций: 200.
Частотасреза ФНЧ: 3 МГц.
Типфильтра: НЧ Баттерворта.
Порядокфильтра НЧ: 50.
а)Нижняя частота среза: 1,2 МГц.
Верхняячастота среза: 1,8 МГЦ.
Центральнаячастота: 1,5 МГц.
Полученныерезультаты показаны на рис. 17.
/>
Рис.17
Погрешностьоценки спектральной плотности СП на выходе фильтра составляет: /> мВ2/МГц.
Среднеквадратическоеотклонение, вычисленное по площади ограниченной усредненной спектральнойплотности мощности, составит />, мВ;значение практически соответствует полученным ранее результатам.
б)Нижняя частота среза: 1,0 МГц;
Верхняячастота среза: 2,0 МГЦ;
Центральнаячастота: 1,5 МГц.
Полученныерезультаты показаны на рис. 18.
/>
Рис.18
Погрешностьфильтра составляет: /> мВ2/МГц.
Среднеквадратическоеотклонение, вычисленное по площади, ограниченной усредненной спектральнойплотности мощности, составит 1 мВ; значение практически соответствуетполученным результатам.
в)Нижняя частота среза: 0,5 МГц.
Верхняячастота среза: 2,5 МГЦ.
Центральнаячастота: 1,5 МГц.
Полученныерезультаты показаны на рис. 19.
/>
Рис.19
Погрешностьфильтра составляет: /> мВ2/МГц.
Среднеквадратическоеотклонение, вычисленное по площади, ограниченной усредненной спектральнойплотности мощности, составит /> мВ;значение практически соответствует полученным данным.
Выводы. При увеличении полосы П полосового фильтра боковые лепесткикорреляционной функции уменьшаются как по амплитуде, так и по количеству, приэтом максимальное значение плотности вероятности уменьшается, а площадьплотности вероятности огибающей узкополосного шума увеличивается. В реализациис ростом полосы пропускания фильтра увеличивается скорость изменения огибающейи возрастает размах реализации. Растет максимальное значение корреляционнойфункции при нулевом значении ее аргумента.