СодержаниеВведение Плоские кривые линии
Общиесведения о поверхностях Поверхности вращения линейчатые
Поверхностивращения нелинейчатые
Поверхностис плоскостью параллелизма
Поверхности,задаваемые каркасом
Пространственныекривые и плоскости
Литература
Введение
Кривые линии и поверхности их применениев радиоэлектронике и автоматике.
Этот раздел курса имеет особое значениедля графической подготовки инженера. Внешняя и внутренняя форма деталейрадиоаппаратов и автоматических устройств является сочетанием гранных и кривыхповерхностей. Поэтому нельзя быть грамотным конструктором, не умея задаватьповерхности на чертеже, строить линии их пересечения друг с другом и с плоскостью,делать развертки поверхностей и т. д.
Плоские кривые линии
Можно дать несколько различныхопределений кривой линии как геометрическому образу. Одно из них: кривая линииесть траектория перемещающейся точки.
Если кривая линия совмещается всеми точкамис плоскостью, ее называют плоской. Порядком плоской алгебраической кривойсчитают максимальное число точек ее пересечения с прямой линией. К плоскимкривым относятся все кривые второго порядка, подробно изучаемые в аналитическойгеометрии. На рис. 1 показано построение этих кривых и приведены ихканонические уравнения.
Эллипсом является геометрическое местоточек М, для которых сумма расстояний до точек F1иF2постоянна и равна большой оси АВ (рис. 1, а). Точки F1и F2называют фокусами. Построим точку, принадлежащую эллипсу, если даны фокусы F1,.F2ивершины А, В. Для этого на оси АВ берем произвольную точку Lи из фокуса F1проводим дугу окружности радиусом АL.Затем из фокуса F2чертим дугу окружности радиусом ВL,пересекающую первую дугу в точке М. Таким образом, F1М + F2М= АВ.
При равных осях эллипс превращается вокружность, являющуюся геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных отданной точки О (рис. 1, б).
Параболой является геометрическое местоточек М, для которых расстояния до точки Fплоскостии до прямой КN, не проходящей через точку F,равны (рис. 1, в). Вершина О параболыделит расстояние от точки Fдопрямой КN пополам. Точку Fназывают фокусом, прямую КN -директрисой. Построим точку М, принадлежащуюпараболе, если дан фокус Fи директриса КN. Для этого проводимпрямую LМ IIКN и из точки F засекаем ее дугойокружности радиусом МN. Итак, МN = МР
/>
Гиперболой является геометрическое местоточек М, для которых разность расстояний до точек F1и F2плоскости постоянна и равна расстоянию между вершинами А и В кривой (рис. 1, г)
Точки F1и F2называют фокусами, координатную ось X-действительной осью, а У — мнимой. Если даны вершины А, В и фокусы F1 и F2,то принадлежащую гиперболе точку строим следующим образом. На действительнойоси берем произвольную точку L.Из фокуса F2проводим дугу окружности радиусом АL.Из фокуса F1 чертим дугу окружности радиусом ВL,засекая первую дугу в точке М. В итоге:
АL--ВL= АВ.
Кривые второго порядка широкоиспользуются в теории и практике. В частности, они являются траекториямидвижения электронов.
Общие сведения о поверхностях
Поверхностью является геометрическоеместо линии, движущейся в пространстве по определенному закону. Эту линиюназывают образующей. Она может быть прямой, и тогда образованную ею поверхностьотносят к классу линейчатых. Если образующая — кривая линия, поверхностьсчитают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называютнаправляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности, т. е.линию ее пересечения с плоскостью проекций.
Определителем поверхности называютсовокупность условий, задающих поверхность в пространстве.
Поверхность считают заданной, если можнопостроить проекции любой ее образующей. Одну и ту же поверхность можнообразовать движением различных линий. Например, сфера образуется вращениемокружности вокруг ее диаметра. Но если точки пересечения сферы с осьювращения соединить по поверхности сферы произвольной кривой, то ее тоже можнопринять за образующую данной поверхности.
При изучении кривых поверхностей следуетобратить внимание на их сечения тремя координатными плоскостями и уметь по этимсечениям определять поверхность. Последнее особенно важно для освоениянекоторых разделов курса высшей математики, которые затем широко используются вэлектро- и радиотехнике.
Рассматриваемые ниже поверхностиклассифицированы следующим образом.
· Поверхности вращения линейчатые.
1. Конус.
2. Цилиндр
3. Однополостныйгиперболоид.
· Поверхности вращения нелинейчатые.
1. Шар
2. Тор(круговой, параболический, эллиптический).
3. Эллипсоид(вытянутый и сжатый).
4. Двуполостнойгиперболоид.
5. Параболоид.
6. Поверхностьвращения общего вида.
· Поверхности с плоскостью параллелизма.
1. Цилиндроид
2. Коноид(геликоид).
3. Гиперболический параболоид. IV.Поверхности, задаваемые каркасом
Поверхности вращения линейчатые
Все поверхности этого класса образованывращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут заниматьотносительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствуетсвоя поверхность вращения.
1. Конус образуют вращением прямой СЮвокруг пересекающейся с ней оси Z(рис.2, а). Координатные пл. ХОZиУ0Z рассекают конус по пресекающимсяпрямым ОD, ОЕ, ОК и OF;пл. ХОYдает в сечении точку О;плоскость, параллельная пл. ХОY,пересекает по окружности (DFЕК).
Для построения точки, принадлежащейкривой поверхности, ее проекции располагаем на проекциях линии, лежащей на этойповерхности. Если дана проекция l1точки L поверхности конуса, тоее проекцию I определяем следующимобразом (рис. 2, б).
1-й способ.В пространстве через точку Lпроводим образующую ОЗ. На чертеже строим проекции о1S1и этой образующей. На последней по линии связи и находим недостающую проекцию I.С проекцией l1точки L совпадает проекция m1точки М, симметричной Lотносительно фронтальной плоскости, проходящей через ось конуса. Проекцию тэтой точки определяем с помощью образующей ОR.
2-й способ.Точку L предполагаемрасположенной на окружности, принадлежащей поверхности конуса. На пл. Vэта окружность проектируется в линию n1р1,на пл. Н — без искажения; диаметр окружности равен п1р1 — Полинии связи на построенной горизонтальной проекции окружности и определяемнедостающую проекцию I.
/>
Конус участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны,поверхности положения объекта в пространстве, антенны и ее облучателя,диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн, электроннолучевыхтрубок и электронных ламп, световода, кулачков, деталей вакуумных установок,рукояток, контактов реле, цапф осей приборов, регистрирующих перьев автоматов ит. д.
2.Цилиндр образуют вращением прямой ЕDвокруг параллельной ей оси Z.
(рис.2, в, г). Пл. ХОZ и УОZпересекают его по параллельным прямым ЕD,FК, NР и LМ,а пл. ХОY и ей параллельные — поокружностям DPКМ и (ЕNFL).
Цилиндр применяют при образовании формыволноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазера, корпусов датчиков ит. д.
3.Однополостной гиперболоид образуют вращением прямой DЕвокруг скрещивающейся с ней оси Z(рис. 3, а). Пл. ХОZ и YОZпересекают его по гиперболам FК,LМ, РQи RS, а пл. ХОYи ей параллельные — по окружностям (GU,FРLРи КQМS).При вращении точек D и Е их проекцииd и е перемещаются по окружности, ипроекции d'и е' — по прямым, параллельным оси X.Точка U прямой DЕ,ближе других расположенная к оси вращения, описывает окружность UU1наименьшего диаметра. Эту окружность называют гордом поверхности. Лучи, проектирующиекакую-либо поверхность, касаются ее в точках, образующих контурную линию.Соответствующая проекция этой линии называется очерком поверхности. Очеркомоднополостного гиперболоида на пл. Vслужат две ветви гиперболы, вершины которой лежат на горле поверхности.Следовательно, эту поверхность можно образоватьвращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.
Форму однополостного гиперболоида имеют некоторыерадиомачты, в том числе башня Шухова в Москве. Ее составляют шестьгиперболоидов; высота каждого равна 25 м; диаметр оснований гиперболоидовпостепенно уменьшаются. Однополостный гиперболоид образует форму вибрационныхпитателей, используемых в промышленной автоматике, кулачков, соединителейконтактов и т. д.
/>
/>
б)
Рис.3
Поверхности вращения нелинейчатые
К этому классу относят в основномповерхности, образованные вращением кривых второго порядка.
1. Сферу образуют вращением окружностивокруг ее диаметра (рис. 3, б). Любая плоскость пересекает сферу по окружности.Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очеркгоризонтальной проекции -экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхностисферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведенной на сфере.
Сфера образует форму диаграммнаправленности антенны, обтекателя и излучателя антенны, головка микрофона,контактов реле, рукояток приборов и т. д. Сфера является поверхностью положенияобъекта в пространстве.
/>
/>
Рис. 4
кольцо, когда ось вращения 2. Круговой торобразуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности ине являющейся ее диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать какчастный случай тора. Различают тор-не пересекает образующую окружность (рис. 4,а) и тор-бочку, когда есть такое пересечение (рис. 4, б). Тор-кольцопересекается пл. ХОZ и УОZпо окружностям АВС и DЕF,а тор-бочка по окружностям АВ и СD.Пл. НОУ пересекает тор по одной или двумя окружностям, из которых СDназывают горлом, а АF и АD-экваторами.
В радиотехнике используют такжепараболический и эллиптический тор.
Параболический торобразуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы ине являющейся ее фокальной осью. Обычно за ось вращения берут прямую,перпендикулярную фокальной оси. На рис. 5, а дан случай, когда ось вращения непересекает образующую параболу; на рис. 5, б ось пересекает параболу. Двекоординатные плоскости пересекают поверхность по одинаковым параболам;плоскость, перпендикулярная оси вращения, рассекает поверхность по окружности.
/> Эллипс
/> Параболa
а)
б)
Эллиптический тор образуют вращениемэллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся егоосью. Обычно за ось вращения берут прямую, перпендикулярную большой (рис. 5, в)или малой оси эллипса (рис. 5, г). Две координатные плоскости пересекают такойтор по эллипсам, третья — по окружностям.
Торовые поверхности имеют диаграммнаправленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны иих обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители, кулачки, сердечникикатушек и т. д.
3. Эллипсоидобразуют вращением эллипса вокруг его малой или большой оси. В первом случаеполучают сжатый (рис. 6, а), а во втором — вытянутый эллипсоиды вращения (рис.6, б).
4.
/>
Пл. ХОZи УОZ пресекают их поэллипсам DЕ и ЕF,а пл. ХОZ — по окружности DF.
Эта поверхность встречается прирассмотрении теоретических вопросов радиолокации и гироскопии; форму эллипсоидаимеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и т.д.
4. Двуполостной гиперболоид образуетвращением гиперболы DЕ вокруг еедействительной оси FF1 (рис. 7, а).Пл. ХО2 и УО2 пересекают его по гиперболам DЕи КЕ; пл. ХОY дает в сечении мнимуюточку О.
5. Параболоид образуют вращениемпараболы ОD вокруг ее фокальнойоси ОF (рис. 7, б). Пл. ХОZ.иYОZпересекают эту поверхность по параболам ОDи ОЕ, а пл. ХОY дает в сечении точкуО.
Зеркала антенн и лазеров чаще всего изготовляют
/>
параболическими. Нередко зеркало антенныявляется сочетанием нескольких поверхностей. Так, антенна, предназначенная длядальней космической связи (рис.7, а), состоит из цилиндрического раскрыва 1,конического рупора 2 и параболического отражателя радиоволн 3. Фокуспараболоида находится в точке Р.
6. Поверхность вращения общего вида образуютвращением произвольной кривой.
На рис. 8, б дана поверхностьпространственной диаграммы направленности антенны локатора О, полученнаявращением вокруг оси Zплоскойдиаграммы направленности СЮ РЕ. Объемные графики также часто имеют формуповерхности
/>
/>
Рис. 8
вращения общего вида.Поверхности сплоскостью параллелизма
Все поверхности этого класса — линейчатые.
1. Цилиндроидобразуют перемещением прямой по двум кривым направляющим, когда образующая остаётсяпараллельной заданной плоскости.
2. Коноидобразуют перемещением по кривой линии и прямой, когда образующая остаётсяпараллельной заданной плоскости. Частным случаем коноида является прямой геликоид,образуемый прямой по винтовой линии и её оси, когда образующая остаётсяпараллельной заданной плоскости.
3. Гиперболическийпараболоид или косую плоскость образуют перемещением прямой по двумскрещивающимся прямым, когда образующая остаётся параллельной некоторой плоскости.Полученная поверхность имеет седлообразную форму.
Поверхности, задаваемые каркасом
К ним относят поверхности, образованиекоторых не подчинено определённому геометрическому закону. Эти поверхностизадают каркасом — семейством линий, принадлежащих им и параллельныхкоординатной плоскости.
Пространственные кривые и плоскости
Если кривую линию без её деформациинельзя совместить всеми точками с плоскостью, то её называют пространственной.К таким кривым относят, в частности, винтовые линии. Винтовая линия на даннойповерхности есть траектория точки, равномерно перемещающейся вдоль образующей,которая равномерно вращается вокруг оси этой поверхности. Винтовую линиюназывают правой, если на видимой стороне поверхности она идёт слева вверхнаправо. В противном случае её называют левой. Расстояние S, которое проходитточка вдоль образующей за один её оборот, называют шагом винтовой линии.
Литература
1.Анисимов И.К. Конспект лекций по начертательной геометрии. Рязань. РГРТА. 1970.