/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Тема: «Динамический синтез системавтоматического управления»
Введение
Существует чрезвычайнобольшое разнообразие автоматических систем, выполняющих те или иные функции поуправлению самыми различными физическими процессами во всех областях техники.
В данной курсовойработе производится динамический синтез следящей системы автоматическогоуправления.
В следящейсистеме выходная величина воспроизводит изменение входной величины, причемавтоматическое устройство реагирует на рассогласование между выходной и входнойвеличинами. Следящая система имеет обратную связь выхода со входом, которая посути дела, служит для измерения результата действия системы. На входе системыпроизводится вычитание входного сигнала и сигнала с датчика обратной связи.Величина рассогласования воздействует на промежуточные устройства, а через неена управляемый объект. Система работает так, чтобы все время сводить к нулюрассогласование.
В составсистемы входят нелинейности, именно поэтому по характеру внутреннихдинамических процессов ее относят к нелинейным системам. По протеканиюпроцессов в системе ее относят к непрерывным, т. к. в каждом из звеньевнепрерывному изменению входной величины во времени соответствует непрерывноеизменение выходной величины.
Для тогочтобы линеаризованная система отвечала требуемым показателям качества вустановившемся режиме и переходном процессе, она подвергается синтезу, аименно, в нее включается регулятор, который реализует выбранный законуправления. В интересах простоты расчета сводим задачу к такой форме, чтобымаксимально использовать методы исследования обыкновенных линейных систем, т. к.теория и различные прикладные методы для них наиболее полно разработаны.
1. Синтезлинейной системы/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> 1.1 Анализ исходной системы
/>
Рисунок 1.1Функциональная схема замкнутой системы,
где
ЭС — элементсравнения;
УМ –усилитель мощности;
ОУ – объектуправления;
КС –кинематическая связь;
ДОС – датчикобратной связи;
Усилительмощности предполагается безынерционным, но с ограниченной зоной линейности ±UВХmax. В кинематической связимежду ОУ и ДОС присутствует люфт (зазор) величиной 2D (рис. 1.2.).
/>
Рисунок 1.2.– Нелинейные характеристики элементов
Передаточныефункции ОУ и ДОС известны:
/>,
где />
/>,
где />
Составимструктурную схему исходной системы:
/>
Рисунок 1.3Структурная схема исходной системы
Длялинеаризации системы пренебрегаем наличием нелинейных эффектов, то есть,считаем, что:
— усилительмощности имеет неограниченную зону линейности
— зазор(люфт) в кинематической связи «выход системы – датчик обратнойсвязи» отсутствует и коэффициент передачи равен единице
Усилительмощности, имея неограниченную зону линейности, будет иметь передаточную функциювида:
/>,
где КУМ –коэффициент передачи УМ.
Максимальновыходное напряжение усилителя 110В, а зона нелинейности усилителя мощности повходу ±3В.
/>
Тогда получимследующую структурную схему линеаризованной системы./> /> /> /> /> /> /> /> /> />
36,667 /> /> />
Uвх(S)
Uвых(S) />
/>/>/>/>/>/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
UДОС(S)
YДОС(S) />/>
/>
/>
Рисунок 1.4Структурная схема линеаризованной системы
По критериюГурвица проверим устойчивость замкнутой системы.
Передаточнаяфункция замкнутой системы имеет вид:
/>
/>/> (1.1)
Запишемхарактеристическое уравнение замкнутой системы:
/>
/>
Необходимымусловием устойчивости системы является одинаковость знака всех коэффициентов.Данное условие выполняется. Достаточным условием является положительностьопределителей Гурвица. Т.к. система 4 порядка, то следует проверить знак ∆3.
/>
/>
/> (В)
Следовательно,замкнутая система устойчива.
Проверим,удовлетворяет ли система требованиям ТЗ.
Т.к. в ТЗоговариваются только максимальная скорость νmax и максимальное ускорениеεmax, то следует перейти к эквивалентному гармоническому сигналу вида:
/>
/> /> с-1
/> />
Амплитудуошибки найдем по модулю передаточной функции по ошибке.
/>,
/>,
/>
где /> - частотная передаточнаяфункция разомкнутой системы.
Так как />, то справедливо соотношение/>.
Поэтому />
/>
Тогда, модульчастотной передаточной функции:
/> (1.2)
Относительнуюдинамическую ошибку системы определим по формуле:
/>
Подставляязначение ωkв формулу, получим />
Тогда находим/>
Относительнаядинамическая ошибка системы 25,4%, следовательно, система неудовлетворяет требованиям ТЗ.
Проверим,удовлетворяет ли система требованиям ТЗ в переходном режиме, т.е. />
Для этого нужнопостроить график переходной характеристики по выходу ДОС.
/>
/>
Дляпостроения используем программный пакет MathCad
/>
Рисунок 1.5Переходная характеристика по выходу ДОС
Дляопределения перерегулирования (s) воспользуемся формулой:
/>
/>
Тогда />
Т.е.получили, что перерегулирование удовлетворяет требованиям ТЗ.
Теперь найдемвремя регулирования (tp). Для этого строим “коридор”, равный ±0,022/>
Из рисункавидно, что tp=1,04с
Т.е. времярегулирования не удовлетворяет требованиям ТЗ и данную систему следуетоткорректировать.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> 1.2.1 Структурная схемалинеаризованной системы с пропорциональным регулятором
Пропорциональныйрегулятор реализует простейший линейный закон управления, при которомуправляющий сигнал, подаваемый на вход объекта управления, представляет собойусиленный по величине и по мощности сигнал ошибки (рассогласования). В системахс невысокими требованиями такой закон иногда может обеспечить приемлемоекачество регулирования и всегда полезно узнать, не относится ли к ним и нашасистема.
Cоставим структурную схемус пропорциональным регулятором:
/>
Рисунок 1.6Структурная схема с пропорциональным регулятором
Вустановившемся режиме заданную точность обеспечивает низкочастотный участок.Проще всего оценить точность системы по ее реакции на гармонический входнойсигнал.
/>,
Из пункта 1.1/>
Для того,чтобы входное воздействие воспроизводилось с ошибкой, не превышающей em, ЛАХ системы должнапроходить не ниже контрольной точки Ak c координатами:
/>
(1.3)
Построимзапретную область (ЗО)
/>
Рисунок 1.7Запретная область
Определимминимальный коэффициент усиления разомкнутой системы [1, § 12.6]спропорциональным регулятором, учитывая
/>, где εm– относительная ошибкасистемы
/>с-1
Отсюда,коэффициент усиления пропорционального регулятора:
/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.2.2 Проверка устойчивости замкнутой системы
Для проверкиустойчивости замкнутой системы воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица.[1, § 6.2]
Запишемхарактеристическое уравнение системы:
/>
Т.к. система4 порядка, то достаточно определить D3
/>
/>
Т.к.определитель больше нуля и все коэффициенты положительны, то замкнутая системас пропорциональным регулятором устойчива.
Теперьпроверим систему по критерию Найквиста: [1, § 6.5] анализируем разомкнутуюсистему, а вывод делаем об устойчивости замкнутой системы.
Передаточнаяфункция разомкнутой системы имеет вид:
/>
Запишемхарактеристическое уравнение разомкнутой системы:
/>
Все корнихарактеристического уравнения левые, кроме одного нулевого. Если разомкнутаясистема на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системынеобходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участкеразрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особую точку скоординатами (-1;j0).
/>
Выделимдействительную и мнимую часть:
/>
(1.5)
Будемизменять значения w от 0 до ¥ и находитьсоответствующие значения Р и Q.
Таблица 1.1w P Q -11.25 -¥ 234.5
4,584*10-3 26.2 -0.95 ¥
/>
Рисунок 1.8Годограф Найквиста
Из рисункавидно, что замкнутая система устойчива.
Проверимустойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам.
Построимлогарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическуюфазовую частотную характеристику (ЛФЧХ).
[1, § 4.4]
Определиммодуль частотной передаточной функции для разомкнутой системы:
/>;
/>(1.7)
Определим L(w) и />
/>;
/>;
/>
/>
Рисунок 1.9ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с регулятором
Видно, чтоточка пересечения ЛФЧХ с линией -180о лежит немного правее точкипересечения ЛАЧХ с осью абсцисс. Следовательно, замкнутая система устойчива.
Проверимсистему на устойчивость по критерию Михайлова. [1, § 6.3]
Дляустойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлованачинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты последовательнопроходил число четвертей, соответствующее порядку системы (нигде не обращаясь в0).
ФункцияМихайлова для нашей системы:
/>
Выделимвещественную и мнимую части:
/>;
/>
Построимгодограф Михайлова по следующим значениям:
Таблица 1.2
w, />
X(w)
Y(w) 85,227 25,6 1,105 26,2 -4,252 233,1
-1,8259∙104
/> ∞ -∞
/>
Рисунок 1.10Годограф Михайлова для малых и больших частот соответственно
Следовательно,система устойчива./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Частотасреза разомкнутой и замкнутой системы, запасы устойчивости, критическийкоэффициент усиления, прямые показатели качества и косвенный показателькачества
Частота среза– это частота, в которой ЛАЧХ системы пересекает ось абсцисс. Определим ее пографику ЛАЧХ (рисунок 1.9):
L(w)=0 при w=25.59 c-1
Критическаячастота(wkp) – частота, при которой фазовая характеристика пересекаетуровень -1800.
wkp=1,418 с-1
Запасыустойчивости определим по формулам:
/> – запас устойчивости поамплитуде,
/> –запас устойчивости пофазе
Получаем:
/>
Определимкритический коэффициент усиления системы Kkpпо критерию Михайлова.
Критическийкоэффициент усиления – такое значение Kp, при котором замкнутаясистема находится на границе устойчивости.
Если системанаходится на границе устойчивости, то левая часть характеристического уравненияравна 0.
/>
Откудавытекают два равенства:
/>
Следовательно,годограф Михайлова должен проходить через начало координат.
Запишемфункцию Михайлова:
/>
Выделимвещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:
/>;
Из уравнения Y(w)=0 находим w:
/>
Подставляемэто значение в уравнение X(w)=0 и находим критический коэффициент усиленияKkp
/>
Прямыепоказатели качества системы /> и tpопределим по графику переходнойхарактеристики замкнутой системы с пропорциональным регулятором по выходу ДОС. [приложение 2]
/>
/>
Рисунок 1.11 Графикпереходной характеристики замкнутой системы по выходу ДОС
По графикунаходим:
hmax=1,95
/>= 1
Найдемперерегулирование />
Дляопределения tpпостроим “коридор” равный />.
tp=22,72 с.
Показательколебательности определяется по АЧХ замкнутой системы.
Запишемпередаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС
/> (1.8)
Преобразуем ивыделим вещественную и мнимую части:
/>;
/>.
Запишеммодуль частотной передаточной функции по выходу ДОС:
/> (1.9)
По формуле (1.9)построим АЧХ замкнутой системы
/>
Рисунок 1.12 АЧХзамкнутой системы по выходу ДОС
Показательколебательности определим по формуле:
/>,
где /> максимальное значениеординаты АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС;
N(0) – значение ординаты АЧХ приw=0.
По рисункуопределяем:
/>; N(0)=1;
Откуданаходим: M=75,214 />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Анализна соответствие системы с пропорциональным регулятором требованиям ТЗ
Проверимсистему на требования по точности воспроизведения входного сигнала.
Относительнуюдинамическую ошибку системы определим по формуле:
/>
/>; />
Передаточнаяфункция разомкнутой системы:
/>
Тогда, модульчастотной передаточной функции:
/>
Подставляязначение ωkвформулу для />, находим />
Относительнаядинамическая ошибка системы 2,5%, следовательно, система неудовлетворяет требованиям ТЗ.
Времяпереходного процесса tp=22,72 с. и перерегулирование/>, найденные ранее, неудовлетворяют требованиям ТЗ.
При введениипропорционального регулятора прямые показатели качества не удовлетворяюттребуемым.
При введениирегулятора увеличился коэффициент усиления разомкнутой системы и времярегулирования. Хотя величина ошибки уменьшилась, тем не менее, она неудовлетворяет требованиям ТЗ. В результате введения регулятора качество переходногопроцесса ухудшилось.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.3 Синтезрегулятора/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> Описание методики синтезарегулятора для одноконтурной следящей системы
Динамическийсинтез – направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональнойструктуры системы и установление оптимальных величин параметров отдельных ееэлементов.
Более узкаяцель синтеза – определение вида и параметров корректирующего устройства,которое нужно добавить к некоторой неизменяемой части системы, чтобы обеспечиттребуемое качество системы в установившемся и переходном режимах.
Наиболееприемлемым для решения задачи динамического синтеза является методлогарифмических амплитудных характеристик (метод ЛАХ). [1, § 12.5] Стадиисинтеза по методу ЛАХ включают:
1. построениерасполагаемой ЛАХ, т.е. ЛАХ исходной системы
2. построениежелаемой ЛАХ системы, удовлетворяющей требованиям ТЗ
3. определениевида и параметров корректирующего устройства
4. проверочныйрасчет – моделирование СУ, позволяющее убедиться в том, что спроектированнаясистема удовлетворяет всем требованиям ТЗ./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Построениеисходной ЛАХ
Передаточнаяфункция исходной разомкнутой системы:
/>;
Построимисходную асимптотическую ЛАХ.
/>
/> lg(wа)=0,921;
/> lg(wв)=2;
/> lg(wс)=2,699
На оси lgwотмечаем lg–ы частот сопряжений.Проводим низкочастотную асимптоту с наклоном -20дБ/дек до первой частотысопряжения wa. Эта асимптота пересекает ось L в точке />. На частоте сопряжения этаасимптота изменяет наклон до -40дБ/дек и проводится до wв. На частоте wвизменяем наклон до-60дБ/дек и проводим асимптоту до wс. На частоте wс меняем наклон до-80дБ/дек и проводим асимптоту.
Построеннаяисходная асимптотическая ЛАХ представлена на миллиметровке./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Построениежелаемой ЛАХ
Желаемую ЛАХусловно разбивают на 3 участка:
1 участок –низкочастотный. Он отвечает за обеспечение требуемой точности системы в установившемсярежиме. Чем в большем диапазоне частот он расположен, тем в большем диапазонечастот не происходит заметного ослабления входного сигнала.
2 участок –среднечастотный. Он отвечает за устойчивость и качество системы в переходномрежиме (оценивается величиной запасов устойчивости, прямыми показателямикачества — s, tр, косвенным показателем М). Этот участок характеризуется 2 параметрами:частотой среза wср и наклоном асимптоты, проходящей через частоту среза.
/>
Традиционнонаклон асимптоты берется равным -20дБ/дек, поскольку, чем больше наклонасимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы.
3 участок –высокочастотный. Лучше иметь возможно больший наклон высокочастотных асимптот,что уменьшит требуемую мощность используемых органов.
Построениенизкочастотного участка
Низкочастотныйучасток строится с использованием требований к качеству системы вустановившемся режиме.
Чтобыгармонический входной сигнал воспроизводился системой с ошибкой, не превышающейem, низкочастотный участок ЛАЧХ желаемой системы должен проходитьвыше контрольной точки Ак(wк, Lк)
Первые двеасимптоты располагаются так, что через контрольную точку Акпроходит первая асимптота. При этом коэффициент усиления будет иметьминимальную возможную величину, равную предельному значению, что являетсяблагоприятным.
/>с-1.
Однакочастота точки пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел wбудет значительно большеминимального. Это является нежелательным, т. к. вся ЛАХ будет сдвигаться вобласть высоких частот.
Такимобразом, мы сдвигаем первую частоту сопряжения и совмещаем ее с частотой wа. Отсюда находим первуюпостоянную времени желаемой ЛАХ
/>с
Для того,чтобы реальная ЛАХ не заходила в запретную область при w=wk, приподнимаем ЛАХ на 3дБ.
Построениесреднечастотного участка.
Среднечастотныйучасток определяет устойчивость, запасы устойчивости и качество переходногопроцесса. Данный участок характеризуется двумя параметрами: частотой среза /> и наклоном асимптоты. Чембольше частота среза, тем выше быстродействие системы, тем меньше время регулированияtp. Наиболее целесообразнобрать наклон асимптоты –20 дБ/дек, так как чем больше наклон асимптоты,тем сложнее обеспечить хорошие динамические свойства системы.
Т.к. заданыпрямые показатели качества, то воспользуемся методом Солодовникова В.В. Длянахождения /> используем готовые номограммы.
/>;
/>
Выбираемчастоту среза
/>
Чем больше wc, тем болеебыстродействующая будет система; чем меньше wc, тем проще корректирующееустройство.
Выбираем wc=0.9wп=/>
На оси logw отмечаем точку,соответствующую частоте среза wc,и через нее проводимпрямую с наклоном -20дБ/дек. Эта прямая будет среднечастотной асимптотойжелаемой ЛАХ.
Избыток фаз определяемв соответствии с заданным перерегулированием. Значение L1 находим из номограммы,для />; L1=25дБ.
Среднечастотныйучасток проводим вправо до достижения L1=-25дБ. Это значениедостигается при logw3>logwcдек. Поэтому совмещаемчастоту w3 с частотой wс, для упрощения корректирующего устройства. Избытокфаз незначительно уменьшится, но это незначительно повлияет наперерегулирование системы.
Левая границаопределяется сопряжением среднечастотного и низкочастотного участков. Из Рисункавидно, что сопряжение участков происходит при logw2=1,42 дек. Следовательно, частотасопряжения w2= 26,303с-1.
Высокочастотныеасимптоты желаемой ЛАЧХ выполняем параллельными высокочастотным асимптотам ЛАЧХисходной системы. То есть, на частоте wс наклон становится-80дБ/дек.
Желаемая ЛАХпредставлена на миллиметровке.
Корректирующиезвенья могут вводиться в систему различными способами: а) последовательно; б)параллельно; в) в виде местной обратной связи.
В даннойработе КУ включается последовательно, т. к. в маломощных системахнецелесообразно применение корректирующих устройств, сложность моделей которыхсоизмерима со сложностью моделей всей системы. Простота — достоинство ПКУ. Ноесть и недостаток – эффект коррекции уменьшается с течением времениэксплуатации системы, что связано с изменением элементов параметров системыиз-за процессов старения и износа. Поэтому при использовании ПКУ предъявляютсяжесткие требования к стабильности параметров элементов системы.
Определимпередаточную функцию корректирующего устройства последовательного типа по формуле:
/>
Получим ПФкорректирующего устройства и определим параметры:
/>
где />,
где />
Структурнаясхема скорректированной системы примет вид
/>
/> _/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Uдос(S)
Yдос(S) /> /> /> />
/>/>Рисунок 1.13 – Структурная схема скорректированнойсистемы
ЛАХкорректирующего устройства получается при вычитании исходной ЛАХ из желаемой(рисунок на миллиметровке).
/>
Проверим,соответствует ли система с корректирующим устройством требованиям ТЗ.
Определим ошибкусистемы.
Относительнуюдинамическую ошибку системы определим как в п. 1.1 по формуле:
/>
Передаточнаяфункция разомкнутой системы:
/> (1.10)
Частотнаяпередаточная функция разомкнутой системы:
/>
Тогда, модульчастотной передаточной функции:
/>
Подставляязначение ωkвформулу для />, находим />
Относительнаядинамическая ошибка системы 1,6%, следовательно, скорректированная системаудовлетворяет требованиям ТЗ.
Рассмотрим,удовлетворяет ли исходная система требованию по качеству переходного процесса:время регулирования tp — не более 0.25 с, перерегулирование /> — не более 20%.
Для проверкивеличин /> и tpпостроим графикпереходной характеристики исходной системы по выходу ДОС:
/>,
где /> – передаточная функция замкнутойсистемы по выходу ДОС.
/>
/>
Рисунок 1.14– График переходной характеристики
/>,
где hmax=1,188 — максимальное значениерегулируемой величины;
/>=1 — установившееся значениерегулируемой величины в результате завершения переходного процесса.
Перерегулированиескорректированной системы удовлетворяет ТЗ.
Определимвремя переходного процесса tp:
построив“коридор” с величину />, из Рисунка 1.14определяем, что tp=0.147 с.
Временярегулированияtp удовлетворяет требованию ТЗ./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.4 Анализскорректированной системы в частотной области
1.4.1 Рассчитаеми построим ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы
Используем передаточнуюфункцию разомкнутой системы (1.10)
/>
Для получениячастотной передаточной функции заменим S на jw и преобразуем
/>/>
Вещественнаяи мнимая части соответственно:
/> (1.11) />; (1.12)
Тогда
/>/>.
ЛАЧХ и ЛФЧХразомкнутой системы представлены ниже.
ЛАЧХскорректированной системы сместилась вправо, следовательно, необходимыетребования по точности выполняются, запасы устойчивости увеличились посравнению с системой с пропорциональным регулятором.
/>
–– ЛАЧХ иЛФЧХ скорректированной системы
— — ЛАЧХ иЛФЧХ системы с пропорциональным регулятором
Рисунок 1.15 ЛАЧХи ЛФЧХ систем
Построимграфик АФЧХ по имеющимся формулам (1.11) и (1.12) и сравним его с графикомсистемы с пропорциональным регулятором. Он представляет собой годографНайквиста, поэтому сделаем ниже дополнительно выводы об устойчивости системы.
Составимтаблицу, изменяя w от 0 до ∞:
Таблица 1.3
W, />
P(w)
Q(w) -10,604 -∞ 852,2
5,806*10-3 274,2 -0,094
/>/>
/>
–– годографскорректированной системы
— — годографсистемы с пропорциональным регулятором
Рисунок 1.16 –Годограф Найквиста
Характеристическоеуравнение имеет вид:
/>
Все корнихарактеристического уравнения, кроме одного нулевого, левые, следовательно, разомкнутаясистема на границе устойчивости. Для устойчивости замкнутой системы необходимои достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугойбесконечно большого радиуса, не охватывал особу точку (-1; j0). Данное условиевыполняется, значит, замкнутая система устойчива.
Построимгодограф Михайлова для системы.
Передаточная функциязамкнутой системы:
/> (1.13)
ФункцияМихайлова имеет вид:
/> (1.14)
Выполнимзамену Sна jw и выделим вещественную имнимую части соответственно.
/>.
/>;
Найдемзначения X(w) и Y(w), изменяя при этом w от 0 до ∞:
Таблица 1.4
w, />
X(w)
Y(w) 85.227 26.125 114.613 79.717 -648.966 275.355 -13120 816.259
6.473*106
/>/>
/>
/>
/>
–– скорректированнойсистемы
— — системы спропорциональным регулятором
Рисунок 1.17 годографМихайлова для замкнутой системы
ГодографМихайлова начинается на вещественной положительной оси и при изменении частоты w от 0 до +/> последовательно проходит 5квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль. Этосвидетельствует об устойчивости замкнутой системы./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> 1.4.2 АЧХ “вход- выходсистемы”, “вход- выход ДОС”, “вход- выход УМ”
Рассчитаем ипостроим для замкнутой системы АЧХ “вход- выход системы”. Для этоговоспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (1.13). Заменим sнаjw и преобразуем данноевыражение:
/>
/>
/>
Выделимвещественную и мнимую части соответственно:
/>
/>
Находим
/>(1.15)
График АЧХ“вход- выход системы” представлен ниже.
Рассчитаем ипостроим АЧХ “вход- выход ДОС”. Запишем передаточную функцию замкнутой системыпо выходу ДОС, которая имеет вид:
/>
Преобразуемданное выражение:
/>
/>
/>
Вещественнаяи мнимая части соответственно:
/> (1.16)
/>
Получим модульпередаточной функции замкнутой системы по выходу ДОС:
/>
/>
(1.17)
/>
––– АЧХ«вход- выход ДОС»,
— — — АЧХ «вход-выход системы».
Рисунок 1.18АЧХ
Рассчитаем ипостроим АЧХ “вход- выход УМ ”. Передаточная функция замкнутой системы по выходуУМ имеет вид:
/>
/> (1.18)
Вещественнаяи мнимая части соответственно:
/>
/>
Модульпередаточной функции замкнутой системы по выходу УМ:
/>
/>
/>
/>
Рисунок 1.19 АЧХвход-выход УМ/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>1.4.3 Частотасреза разомкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициентусиления, показатель колебательности
Частота срезаи запасы устойчивости разомкнутой системы определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ.Определим их из рисунка 1.15
ЛАЧХпересекает ось в точке lg(w)=1.614 дек. Тогда wср=41.072 с-1
ЛФЧХпересекает уровень -180° при lg(w)=2.438 дек. Тогда wкр=274.35 с-1
Запасустойчивости по амплитуде найдем по годографу Найквиста:
/>
Где hзап — расстояние до точкипересечения годографа Найквиста с действительной осью. (рис. 1.16)
/> дБ
Запасустойчивости по фазе определим по рисунку 1.15:
φзап=φ(wcp)+1800
φзап=54,7330
Критическийкоэффициент найдем с использованием критерия Гурвица:
Характеристическоеуравнение замкнутой системы имеет вид:
/> (3.1)
Тогда оставимпеременным параметр: K.
Получимследующие коэффициенты:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Длянахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующиеусловия:
1) одинаковость знака всех коэффициентов
2) для системы 5 порядка определитель D4=0
Решаяуравнение в пакете MathCad получим следующие результаты:
/>
Показательколебательности определим по формуле:
/>,
/> и N(0) находим по АЧХ замкнутойсистемы по выходу ДОС
N(0)=1
Nmax=1.239,
Следовательно/>.
Сравнимрезультаты с результатами, полученными в пункте 1.2.3
Таблица 1.5 –Сравнительная характеристика полученных результатов
Lзап, дБ
/>, o
Ккр
М
/>
tp,с С регулятором 0,409 0,75 93,3 75,214 95 22,72 С коррекцией 10,6 54,733 431 1.239 18,8 0,147 />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> 1.4.4 Оценки прямыхпоказателей качества
Оценимσ и tp по вещественной частотной характеристикесистемы.
Построимвещественную частотную характеристику (ВЧХ) “вход – выход ДОС”. Для этогоиспользуем выражение (1.16).
/>
Рисунок 1.20 ВЧХвход – выход ДОС
Склонностьсистемы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики.
Оценим σпо формуле:
/>,
где />максимальное значение ВЧХ;
/>минимальное значение ВЧХ;
P(0) — значение ВЧХ при w=0.
/>
Подставляемзначения и находим: />.
tp оценим по формуле: />
С помощьютрассировки определили wn= 65,5 c-1.
Следовательноtp>0.048c-1.
ЛЧХ “вход-выход ДОС”
Дляпостроения найдем L(w), используя выражение (1.15):
/>
ЛФЧХ “вход-выход ДОС” построим по формуле
/> Подставляя ранее полученные выражения Q(w) и P(w) (1.16), получим
/>
/>
Рисунок 1.21 ЛАЧХи ЛФЧХ вход- выход ДОС
Найдем нули иполюса замкнутой системы “вход- выход ДОС” и изобразим их на комплекснойплоскости.
Корниполинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полиномазнаменателя – полюсами.
/>
Найдем их спомощью пакета MathCad [приложение 1].
Таблица 1.6–Нули и полюса замкнутой системы «вход- выход ДОС»нули -26.316 -500 полюса -610.77+159.74j -610.77-159.74j -234.44
-26.175,89-j25.657
-26.175+j25.657
/>
Рисунок 1.22Нули и полюса на комплексной плоскости
Вычислимкорневые оценки прямых показателей качества [1.§ 8.6].
Степеньустойчивостиη – это расстояние от мнимой оси до наиболее близкорасположенного к ней полюса.
Ближайшим кмнимой оси является вещественный полюс, значитη – апериодическаястепень устойчивости. />.
Ближайшие кмнимой оси полюса называются доминирующими.
Доминирующиеполюса дают составляющей переходного процесса затухание наиболее медленно.Поэтому поη можно получить оценку времени регулирования:
/>
Колебательность/>,
где β–мнимая часть, α– вещественная часть доминирующихкомплексно-сопряженных полюсов.
Доминирующиекомплексно-сопряженные полюса: -26.175±j25,657.
/>
Удаленные отначала координат полюса увеличивают перерегулирование
/> Получаем />
Определимвлияние нулей на оценки прямых показателей качества.
Близкорасположенные нуль и полюс взаимно компенсируются. Скомпенсированный нулемполюс не участвует в оценке прямых показателей качества.
/>,
где λi– вещественная частьполюса;
nj— вещественная часть нуля.
В даннойработе близко расположенные нули и полюса отсутствуют./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Оценкаточности системы
Точность СУоценивается в статическом режиме – в режиме, соответствующем окончаниюпереходного процесса (t→¥).
Анализточности начинается с передаточной функции замкнутой системы по ошибке ФЕ(s). [1, § 8.3]
Этупередаточную функцию разлагаем в ряд:
/>
Где сi – коэффициенты ошибки.
Найдем выражениядля вычисления первых двух коэффициентов ошибки и занесем в табличку.
Таблица 1.7
С0
С1 выражение для ошибки
/> Значение ошибки 0.008
Рассчитаемустановившуюся ошибку системы для заданных в ТЗ сигналов.
/>
Тогда длявходного сигнала /> получаемустановившуюся ошибку: />
Для входногосигнала />с постоянной скоростью, гдеА=6В/с, установившаяся ошибка:
/>В
Установившуюся ошибку длягармонического сигнала вида /> рассчитаемпо следующей формуле:
/>, (1.19)
где /> — заданная частота,
/>-модуль частотнойпередаточной функции по ошибке,
А0=1В — амплитуда входногосигнала,
/> — аргумент частотнойпередаточной функции по ошибке.
/>.
Посколькучастота выходного сигнала (ошибки) совпадает с частотой входного сигнала,найдем NEи φE на частоте />.
Определимчастоту гармонического входного сигнала />,для которой амплитуда установившихся колебаний на выходе усилителя мощностиравна 110В при амплитуде входного сигнала 1В.
/> определим по графику АЧХ“вход-выход УМ” (Рис. 1.19). Получаем, что w=11,215.
НайдемNE частотной передаточнойфункции по ошибке. Выделим вещественные и мнимые части:
/>
/>
/>
Модульчастотной передаточной функции по ошибке:
/>
/>
N(w)=0.1
Определимаргумент частотной передаточной функции по ошибке:
/>; />.
Подставляянайденные значения в формулу (1.19) получим установившуюся ошибку пригармоническом входном сигнале:
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
2. Отработка типовых входных сигналов/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.1 Единичная ступенька />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.1.1 Переходная функция по выходу системы
Известно несколькоспособов расчета реакции системы на входные сигналы. В данной работе используемметод преобразований по Лапласу.
Запишем переходнуюфункцию системы по выходу системы при входном воздействии X(t) = 1(t)
/>– изображение по Лапласувходного единичного сигнала.
Переходная функцияh(t) определяется по формуле:
/> (2.1)
Найдем переходную функциюпо выходу системы:
/>; (2.2)
Начальные иконечные значения переходной функции находятся по формулам:
/> (2.3)
/>
Начальное иконечное значение переходной функции по выходу системы:
/> (2.4)
/> (2.5)
Т.е. конечноезначение переходной характеристики системы по выходу системы зависит только откоэффициентов усиления звеньев.
Найдем переходную функциюпо выходу ДОС:
/>; (2.6)
По формулам(2.3) найдем начальное и конечное значение переходной функции по выходу ДОС:
/> (2.7)
/> (2.8)
Т.е.переходная характеристика системы по выходу ДОС не зависит от параметровсистемы.
Реакциясистемы представлена на Рисунке 1.14 (п. 1.3.5).
Найдем переходную функциюпо выходу УМ [приложение 2]:
/>; (2.9)
По формулам(2.3) найдем начальное и конечное значение переходной функции по выходусистемы:
/> (2.10)
/> (2.11)
Т.е.начальное значение переходной характеристики системы по выходу УМ зависит нетолько от коэффициентов УМ и КУ системы, а также от частот сопряжений w2 и wb./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.1.2 Переходныехарактеристики системы По формуле (2.2) построимпереходный процесс по выходу системы.
/>
Рисунок 2.1 Переходнаяхарактеристика по выходу системы
hmax=0.105, hуст=0,087, тогда
/>,
Определимвремя переходного процесса tpпостроив “коридор”, равный />, из Рисунка 2.1определяем, что tp=0.151с
Перерегулированиеи время переходного процесса по выходу ДОС соответственно:
/>, tp=0.147 с.
/>
Рисунок 2.4Переходная характеристика системы по выходу УМ/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.1.3 Сравнениепереходных характеристик
Определенныепо переходным характеристикам прямые показатели качества, для сравненияпредставим в табл. 2.2 вместе с оценками, полученными в пункте 1.4.4.
Таблица 2.2 по выходу системы по выходу ДОС Оценки по ВЧХ Корневые оценки s,% 19,5 18,8 26,704 4,053
tP, с 0,151 0,147 0.048 0,146
По даннымтаблицы можно сделать вывод, что постоянная времени датчика обратной связи незначительновлияет на качество переходного процесса.
Показателикачества, полученные по переходным характеристикам, по ВЧХ и корневым оценкам,отличаются. Это объясняется тем, что получаем оценку, а не само значение.
Запишем всезначения в таблицу для наглядности.
Таблица 2.3 графически аналитически вход–выход системы h(0) h(∞) 0,087 0,087 вход–выход ДОС h(0) h(∞) 1 1 вход-выход УМ h(0) 55472,575 55472,575 (∞)
Сравниваяначальные и конечные значения переходных характеристик по всем выходам,определенные аналитически по передаточным функциям в пункте 2.1.1, с ихрасчетными значениями, мы видим, что они совпадают. />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.1.4 Величинаступенчатого сигнала
Определимвеличину Х0ступенчатого сигнала, при котором система работает взоне линейности усилителя мощности. Допустимая величина входного сигналаограничена напряжением насыщения усилителя мощности, равным 110 В. Наибольшеезначение выхода УМ достигается при t = 0. Допустимую величину«ступеньки» Х0определим из пропорции:
/>;
Подставляязначения, получаем/>.
Величина Х0 = 0,002В.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.2 Сигнал с постоянной скоростью
Рассчитаем ипостроим график ошибки системы при отработке входного сигнала с постояннойскоростью, вида:
X(t) = А×t, где А=6 В/с.
Изображение по Лапласусигнала: />,
Переходная функция поошибке примет вид:
/>
/>;
/>
––– графикошибки при отработке входного сигнала с
постояннойскоростью;
/>график вынужденной (установившейся)составляющей ошибки
при отработкевходного сигнала с постоянной скоростью.
Рисунок 2.5
Интервалвремени, на котором практически (с точностью 5%) устанавливается вынужденныйрежим определим по рисунку 2.5.
Таким образом,tв=0.13 с.
Время, закоторое практически устанавливается вынужденный режим, tв=0.13с меньше, чем времярегулирования tp=0.147c.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.3 Гармонический сигнал />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.3.4 Определениечастоты гармонического сигнала
Определимчастоту гармонического сигнала по АЧХ замкнутой системы по выходу УМ (п. 1.4.2).
Из Рис. 1.19следует, что значение частоты/>0=11.823-1.
Такимобразом, частота гармонического входного сигнала, при которой амплитудаустановившихся колебаний на выходе УМ равна 110В, при амплитуде входного 1В,равна 11.823-1./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>2.3.2 Графикреакции системы по выходу ДОС при подаче гармонического сигнала на вход системы
Входнойсигнал и его изображение по Лапласу имеют вид:
X(t) = sin(w×t), (2.11)
/>.
Реакциюсистемы на гармонический входной сигнал по выходу ДОС определим по формуле:
/>
/>
На Рисунке2.6 представлен график реакции на входное гармоническое воздействие по выходуДОС.
/>
/> реакция по выходу ДОС
––––– входноегармоническое воздействие
Рисунок 2.62.3.3 Амплитудно-фазовыеискажения отработки входного сигнала
Амплитудныеискажения отработки входного сигнала определим по формуле:
/>
где />– максимальное значениеамплитуды выходного сигнала;
/>– максимальное значениеамплитуды входного сигнала;
/>и /> определим по графикувынужденной составляющей сигнала по выходу ДОС (Рис. 2.6)
/>=1,083, />=1
Подставляязначения, получаем: />
Определимамплитудные искажения по ЛАЧХ разомкнутой системы на частоте w.
По Рис. 1.21на частоте w=11,823с-1/>
Фазовыеискажения отработки входного сигнала определяются по формуле:
/>.
где t= 0.011 с — временной сдвигмежду входным сигналом и сигналом ДОС, определено по Рис. 2.6. и />– по ЛФЧХ (рис 1.21)отличаются незначительно, что можно объяснить округлениями при вычислении.
/>/>/>/>/>/>3. Область устойчивости
Рассчитаем ипостроим границу области устойчивости на плоскости параметров «постояннаявремени корректирующего устройства Тa–коэффициент усиленияразомкнутой системы К».
Построимобласть устойчивости c помощью критерия Гурвица.
Характеристическоеуравнение замкнутой системы имеет вид:
/> (3.1)
Тогда оставимпеременными 2 параметра: K и Т2.
Получимследующие коэффициенты:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Длянахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующиеусловия:
3) одинаковость знака всех коэффициентов
4) для системы 5 порядка определитель D4=0
Решаяуравнение в пакете MathCad, [приложение 3]получим следующий график:
/>
Рисунок 3.1Область устойчивости
Точка Kкр, найденная в пункте1.4.3 практически совпадает с точкой, полученной по графику. Значениекоэффициента, соответствующее расчетным параметрам находится в зоне областиустойчивости. Т.е. при данных параметрах система устойчива. Небольшаяпогрешность в расчетах возникает из-за округлений.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>4. Анализсистемы с учетом нелинейности />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> 4.1 Определение автоколебанийв системе
Дляопределения возможности возникновения автоколебаний воспользуемся методомгармонической линеаризации. Суть метода заключается в замене нелинейногоэлемента эквивалентным линейным. Признак эквивалентности – одинаковостьпреобразования гармонического входного сигнала. Эквивалентный линейный элементхарактеризуется эквивалентным комплексным коэффициентом усиления.
Переход кэквивалентному линейному элементу позволяет исследовать систему частотнымиметодами (можно определить возможность возникновения в системе автоколебаний, атакже их параметры).
В системеприсутствует симметричная однозначная нелинейность типа “насыщение”.
/>
Рисунок 4.1
/>, где (4.1)
/>эквивалентный комплексныйкоэффициент усиления;
А- амплитуда автоколебаний.
Длянелинейности типа насыщения />, а
/>
РассчитаемЭККУ нелинейного элемента с данными параметрами.
/>
Xвых=f(Xвх)
/>
/>
(4.2)
Воспользуемсячастотным методом анализа симметричных автоколебаний.
В замкнутойсистеме имеют место незатухающие колебания управляемой величины, при условии:
/>
/>
/> - условие существования симметричныхавтоколебаний
Накомплексной плоскости строим />. Наэтой же плоскости по выражению /> строитсягодограф инверсного ЭККУ.
В системевозникнут автоколебания управляемой величины, если годограф Найквиста игодограф инверсного ЭККУ пересекутся.
Передаточнаяфункция линейной части системы имеет вид:
/>
/> />;
Таблица 4.1
w, />
P(w)
Q(w) 1 -0.285 -3.252 10 -0.122 0.189 100 -0.0070 -0.0073
/>/>
/>
Рисунок 4.2
Из рисунка 4.2видно, что годографы не имеют точек пересечения, следовательно, в системе отсутствуютавтоколебания./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>4.2 Влияние коэффициента усиления разомкнутой системы наусловие возникновения автоколебаний
В замкнутойсистеме будут возникать автоколебания, если годограф Найквиста будет проходитьчерез точку (-1;j0), т.е. система будет находиться на границеустойчивости. Граница устойчивости будет достигаться при коэффициенте усилениясистемы, равного критическому, т.е. при К=Ккр=431с-1./>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>4.3 Анализ абсолютной устойчивости положения равновесия системыпо критерию Попова
Если замкнутаясистема состоит из устойчивой линейной части и одного безынерционногонелинейного элемента со статической характеристикой, расположенной в секторе от0 до К, то достаточным условием устойчивости положения равновесия системы вначале координат является следующее:
/>,
где q- произвольное число,использованное для доказательства критерия
К-коэффициент наклонапрямой, ограничивающей сектор расположения статической характеристикинелинейного элемента.
ПреобразуемАФЧХ линейной части системы, домножив мнимую часть на w.
/>
/>
/>
/>
/>
Формулировкакритерия: для абсолютной устойчивости положения равновесия системы достаточно,чтобы годограф линейной преобразованной части системы располагался справа отпрямой Попова
Т. к. линейнаячасть системы устойчива, то критерий Попова можно применять напрямую.
Вещественнаяи мнимая части преобразованной частотной передаточной функции имеют вид:
/>
/>
/>
Таблица 4.2
w, />
P(w)
Q(w) -0,289 -3,286 274.36 -0.0026 852.16 0.135
/>/>
/>
Рисунок 4.3
Из Рисунка4.3 видно, что через точку />нельзяпровести прямую, такую, что преобразованная АФЧХ лежала бы справа от этойпрямой.
Следовательно,для системы характерна абсолютная неустойчивость положения равновесия.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Заключение
В результатепроведения синтеза была скорректирована система, удовлетворяющая требованиямтехнического задания. Соответствие приведено ниже в таблице.
Таблица Параметр Техническое задание Скорректированная система Перерегулирование не более 20% 18,8% Время регулирования не более 0,25с 0,147
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Список использованной литературы
1. Бесекерский В.А.,Попов Е.П. “Теория систем автоматического регулирования” — М.: Наука,1972.
2. Зырянов Г.В., КощеевА.А. “Динамический синтез систем автоматического управления”. Учебное пособиепо выполнению курсовой работы.- Челябинск, 2001.
3. Павловская О.О.“Лекции по курсу ТАУ”