Постановка задачі оптимальногокерування
1. Об’єкт керування
Розглянемо систему(об’єкт керування), поведінка якої характеризується двома видами параметрів –параметрами стану та параметрами керування.
Керована система – це система, що функціонує під впливом певного фактора, який здатнийрегулювати її еволюцію.
Як правило, існуєбезліч способів керування об'єктом з метою переведення системи в заданий стан.У зв'язку із цим виникає задача знайти такий спосіб керування, що у певномурозумінні є оптимальним. При цьому система може зазнавати випадкових впливів.Для того, щоб вибирати із усіх можливих способів керування найкращий, необхідновизначити критерій якості.
Якщо еволюція системиза заданих початкових умов однозначно визначається завданням керування в кожниймомент часу і не залежить від випадкових зовнішніх впливів, то системаназивається детермінованою.
Стан динамічногооб'єкта у фіксований момент часу описується набором параметрів />, …, />, які називаються фазовимикоординатами (фазовими змінними), а вектор /> називається фазовим вектором. Станоб'єкта в будь-який момент часу задається точкою />-вимірного простору />, що називається фазовимпростором. Величини />, …, /> залежно від контексту задачівизначають координати об'єкта, швидкість об'єкта та ін.
Рух об'єктасупроводжується зміною його фазових координат у часі />, тобто фазовий вектор є функцієюзмінної />: />.
Під час руху фазоваточка /> описуєу фазовому просторі криву, що називається фазовою траєкторією.
Сукупність усіхфазових станів, у яких може перебувати керований об'єкт, складає множину станів/> простору />. Таким чином,у будь-який момент часу повинні виконуватися обмеження на фазові координати:
/>: />.(1)
Множина фазовогопростору, що включає ті фазові стани, які є бажаними з точки зору цілейкерування даним об’єктом, називається множиною мети керування />, />.
Керування об'єктом укожний момент часу задається вектором керування />, />, де />, …, /> – параметри керування.
У загальному випадкустан об'єкта в будь-який момент часу /> залежить від того, яким булокерування /> домоменту часу /> і не залежить від майбутньогокерування.
У реальних об'єктахкерування не може бути довільним, що пов'язано або з конструктивнимиособливостями об'єкта, або з обмеженістю ресурсів, або з умовами експлуатаціїоб'єкта. У просторі керування /> (просторі всіх можливих керувань)виділяється деяка множина />, що називається множиноюприпустимих керувань і містить сукупність тих функцій
/>, />,(2)
які, виходячи з умовзадачі, можуть бути обрані за керування даною системою серед всіх можливихфункцій керування. У прикладних задачах, як правило, область керування /> є обмеженоюзамкнутою множиною.
Найчастіше закерування обирають кусково-неперервні вектор-функції, для яких кожна координата/> має набудь-якому кінцевому інтервалі скінченне число точок розриву першого роду />, причому длявизначеності припускають, що
/>, />,
і, крім того,керування /> неперервнона кінцях відрізка />.
Кусково-неперервнікерування />,такі що />,називаються припустимими.
Припустимим процесом називається пара функцій />, де /> – припустиме керування, а /> – відповіднайому фазова траєкторія.
Детермінованістькерованого об'єкта означає, що вибір керування />, /> за заданих початкових умоводнозначно визначає траєкторію руху />, />.
Існує два підходи длявизначення оптимального керування. Перший полягає в тому, що оптимальнекерування будується як функція часу />. Таке керування називається програмнимкеруванням. Із прикладної точки зору такий підхід є недосконалим, тому що невраховує впливів на систему зовнішніх факторів.
Другий підхід полягаєв тому, що оптимальне керування будується як функціяфазових координат, тобто />. Таке керування називають синтезуючим(або позиційним), а відповідну задачу – задачею синтезу оптимальних керувань.Таке керування враховує поточний стан системи, але його пошук значно складнішийпорівняно з пошуком програмного керування.
Характер змінифазової траєкторії об'єкта у часі задається законом руху. У теоріїдетермінованого керування найчастіше розглядаються динамічні системи за закономруху у формі диференціальних рівнянь
/>.(3)
Тут /> – вектор-функція,компоненти якої неперервні по всій сукупності змінних і неперервнодиференційовані по змінних />. Отже, якщо відоме керування />, />, то траєкторіяоб'єкта /> можебути визначена як розв’язок диференціального рівняння
/>.
Якщо для функції /> виконуютьсяперераховані вище умови, то остання система задовольняє теоремі існування таєдиності розв’язку для задачі Коші, тобто за заданих початкових умов /> вона маєєдиний розв’язок в околі точки />.
Задача керуваннярухом полягає в тому, щоб відшукати припустиме керування,яке реалізує ціль. Це означає, що потрібно відшукати таку кусково-неперервнуфункцію />,визначену на відрізку />, для якої система (3) маєрозв’язок />,який задовольняє початковій умові />, обмеженню /> і кінцевій умові />. Отже, задачадетермінованого керування зводиться до розв’язання крайової задачі для системи />-го порядку (3)за заданих обмежень (1) і (2).2. Крайові умовизадачі оптимального детермінованого керування
Якщо множина метикерування /> збігаєтьсяз усім фазовим простором />, то задача оптимального керуванняназивається задачею з вільним кінцем траєкторії. У цьому випадку роль крайовихумов відіграють початкові умови />.
2. Якщо заданіпочаткові /> ікінцеві умови />, то задача оптимального керуванняназивається двоточковою задачею або задачею з фіксованими кінцями. При цьомуінтервал часу керування /> може бути заданий або підлягаєвизначенню. Для даної задачі множина мети керування /> складається з єдиної точки />.
3. Якщо значеннякоординат (всіх або частини) вектора стану /> задані для декількох фіксованихмоментів часу />, />, …, />, то задача оптимального керуванняназивається багатоточковою задачею керування.
4. У задачах зрухомими кінцями необхідно визначити керування, що переводить об'єкт із деякогозаздалегідь невідомого стану /> в деякий стан />, де множини />, /> відомі. Якщо /> і /> вироджуються вточки, то задача оптимального керування стає задачею із фіксованими кінцями.
Якщо час /> і /> початкових ікінцевих крайових умов /> і /> відомий, то задача оптимальногокерування називається задачею з фіксованим часом. Якщо ж /> невідомо, то задачаназивається задачею з вільним часом.3. Критеріїякості
Найчастіше задачакерування має безліч розв’язків, тобто існує безліч керувань, які дозволяютьдосягти бажаної мети. У такому випадку виникає задача, як серед всіхприпустимих керувань вибрати таке, для якого керований процес буде, в певномурозумінні, найкращим. Інакше кажучи, якщо якість процесу можна оцінити деякоючисловою характеристикою /> – критерієм якості, то задачаполягає у виборі такого керування, що забезпечить його оптимальне значення.Далі вважатимемо, що оптимальним є мінімальне значення критерію />. Отже, задачаоптимального керування полягає в тому, щоб визначити таке керування
/>, що реалізуєціль, і для якого функціонал /> набуває найменшого можливогозначення:
/>.(4)
Процес /> з (4) називається оптимальнимпроцесом, а відповідні йому керування /> і фазова траєкторія /> – оптимальнимкеруванням і оптимальною траєкторією.
Припустимий процес /> називається локальнооптимальним у задачі з фіксованим часом />, якщо для певного /> і для будь-якогоприпустимого процесу />, що задовольняє умові
/>, />,
має місце нерівність />.
Якщо відрізок /> не фіксований,то локально оптимальним процесом називається припустимий процес /> на інтервалі часу />, для якогоіснує таке />,що для будь-якого процесу />, заданого на інтервалі часу />, такого що
/>, />, />, />,
має місце умова />.
Існують такі типикритеріїв якості.
Для керуванняпроцесами (3) найчастіше використовуються інтегральнікритерії:
/>.(5)
Інтегральні критеріїрозділяються на:
а) інтегральний критерійоптимальної швидкодії:
/>
з підінтегральноюфункцією />;
б) інтегральний квадратичнийкритерій з підінтегральною функцією
/>,
де />;
/>, /> – коефіцієнти, середяких є хоча б один ненульовий.
Вивчення системи можепроводитися як на скінченному, так і на нескінченному інтервалі часу, тому вінтегралі (5) />;
в) енергетичні критеріїякості з підінтегральними функціями
/> або />,
де />;
/>, /> – коефіцієнти, середяких хоча б один ненульовий;
г) змішаний інтегральнийкритерій з підінтегральною функцією
/>.
2. Термінальні критеріїякості:
/>,
наприклад, критерій кінцевогостану:
/>.
Даний критерійвикористовують, якщо необхідно привести систему в заданий кінцевий стан /> у момент часу/> змінімальною помилкою. У цьому випадку критерій кінцевого стану матиме вигляд
/>.
3. Змішані критерії якості:
/>,
які можна привести доінтегрального вигляду:
/>.
4. Задачі здискретним часом
Дотепер ми розглядалипроцеси з неперервним часом, наприклад, процеси з законом руху у вигляді системдиференціальних рівнянь. Іноді важливими є лише значення станів системи в деякідискретні моменти часу, або сам метод розв’язання потребує зробитидискретизацію задачі, тобто замінити диференціальні рівняння різницевими. Уобох цих випадках використовують системи різницевих рівнянь вигляду
/>, />,
або
/>,(6)
де />, а /> – число кроківдискретизації процесу.
Початкові та кінцевіумови для задачі (6) мають вигляд:
/>, />.(7)
Аналоги інтегральногота термінального критеріїв якості для процесу (6) мають наступний вигляд.
1. Необхідновизначити такі вектори />, />, …, /> і />, />, …, />, на яких величина
/>
набуває мінімальногозначення за умов (6), (7).
2. Необхідновизначити такі вектори />, />, …, /> і />, />, …, />, на яких величина
/>
набуває мінімальногозначення за умов (6), (7).5. Основніпитання теорії оптимального керування
1. Керованість. Передрозв’язанням задачі оптимального керування необхідно з'ясувати питання про те,чи існує хоча б одне припустиме керування />, що переводить динамічний об'єктіз множини початкових станів /> у множину кінцевих станів />, тобто чиіснує таке припустиме керування />, для якого вектор фазових станів /> задовольняєпочатковим і кінцевим умовам. Якщо таке керування існує, то об'єкт називається керованиміз множини /> умножину />.Інакше розв’язування задачі не має сенсу.
2. Існуванняоптимального керування. Якщо об'єкт керований, виникає питання про те, чи існуєоптимальне керування. З математичної точки зору воно має важливе значення,оскільки математика працює з моделями реальних об'єктів, а відсутність у моделіоптимального керування може вказувати на те, що сама модель побудована невірно.
3. Необхідні умовиоптимальності. Навіть у простих задачах може виявитися безліч припустимихкерувань, які переводять систему із множини початкових станів у множинукінцевих станів (за умови, що оптимальне керування існує). Тому розв’язуватизадачу оптимального керування перебором усіх можливих варіантів найчастішенеефективно. Виділити із усієї множини припустимих керувань підозрілі наоптимальність можна за допомогою необхідних умов оптимальності. Отже, задачапошуку оптимального керування зводиться до його пошуку серед тих керувань, якізадовольняють необхідним умовам оптимальності, наприклад, принципу максимумуПонтрягіна.
4. Достатні умовиоптимальності. Навіть у випадку використання необхідних умов оптимальності класпідозрілих на оптимальність керувань часто залишається досить широким. Вибратиз нього дійсно оптимальні керування можна за допомогою достатніх умовоптимальності. Якщо деяке керування із класу підозрілих на оптимальністьзадовольняє достатнім умовам оптимальності, то це гарантує його оптимальність.Можуть існувати задачі, у яких достатнім умовам задовольняють відразу кількакерувань. У цьому випадку вони всі є оптимальними.
5. Єдиністьоптимального керування. Важливе значення має питання про те, чи є отриманеоптимальне керування єдиним, тому що в цьому випадку може значно спроститисяйого реалізація для реальних керованих об'єктів.