МинистерствоТоплива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Тема:
ЭВМ с использованием математическогопакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений
Севастополь2008
План
1. Данные варианта задания
2. Операции численногорешения системы линейных алгебраических уравнений
2.1Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательногоисключения неизвестных (метод Гаусса)
2.2Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательногоисключения неизвестных (метод Холесского)
2.3Решение системы линейных алгебраических уравнений методом определителей
2.4Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
2.5Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений
Выводы по работе №2
1. Данные вариантазадания
Коэффициенты квадратнойматрицы А и вектора b
/>/>
Таблица1. Коэффициентыквадратной матрицы А и вектора b.
№
вар Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b системы линейных алгебраических уравнений
а11
а12
а13
а14
а21
а22
а23
а24
а31
а32
а33
а34
а41
а42
а43
а44
b1
b2
b3
b4 8 2,4 1,4 1,6 1,8 2,6 12 0,6 4,0 -0,8 0,85 0,1 0,2 0,4 1,2 1,0 1,5 0,1 0,2 -0,4 0,6
2.Операции численногорешения системы линейных алгебраических уравнений
2.1Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательногоисключения неизвестных (метод Гаусса)
a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=b1
a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=b2(1)
a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=b3
a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=b4
Составим расширеннуюматрицу системы (1):
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Преобразуемматрицу А, для чего умножим первую строку расширенной матрицы на а21/а11и вычтем из второй строки расширенной матрицы, затем первую строку умножим на а31/а11и вычтем из третьей строки расширенной матрицы, далее первую строку на а41/а11 и вычтем изчетвёртой строки, что с помощью Mathcad будет выглядеть так:
/>
/>
/>
Получили новыекоэффициенты матрицы А:
/>
Далее аналогично умножаеми вычитаем из второй строки:
/>
/>
Получили новыекоэффициенты матрицы А, где число нулевых членов увеличилось.
/>
Далее аналогично умножаеми вычитаем из третьей строки.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
Проверим правильностьнахождения корней:
/>
/>
/>
/>
Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.2Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательногоисключения неизвестных (метод Холесского)
МетодХолесского заключается в представлении матрицы в виде произведения двухтреугольных матриц L и U, имеющих следующий вид: диагональныеэлементы L матрицы равны единице, а элементы выше главной диагоналиравны нулю; у матрицы U равны нулю элементы, лежащие ниже главнойдиагонали. Тогда можно записать:
/>,
что эквивалентно двумтреугольным системам,
/>
которыеможно решить способом изложенным выше. Элементы lij, и uijматриц L и U можно найти, образуя произведение матриц LU и приравнивая егоэлементы последовательно элементам а11, а11……. аnnматрицы А.
/>
/>
/>
Последовательноприравниваем элементы полученной матрицы к элементам а11, а11…….аnn матрицы А и находим элементы lij, и uij.
По первой строке:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По второй строке:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По третьей строке:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По четвёртой строке:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Далее вычисляем значенияξ:
/>
/>
/>
2.3Решение системы линейных алгебраических уравнений методом определителей
Системауравнений с неизвестными, определитель которой не равен нулю, всегда имеетединственное решение. Это решение определяется так: значение каждого из неизвестныхравно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числительполучается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомомнеизвестном столбцом свободных членов.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.4Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Еслитребуется решить систему для фиксированных значений aij, но для различныхзначений вектора В, то выгодно построить обратную матрицу А-1 изатем воспользоваться соотношением />
/>
/>
/>
/>
Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.5Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений
Однороднойсистемой линейных алгебраических уравнений называют такую систему, свободныечлены которой равны нулю, т.е.:
a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=0
a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=0
a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=0
a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=0
Однородная линейнаясистема допускает нулевое решение х1=0, х2=0, х3=0, х4=0 и, следовательно,всегда совместна. Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеетненулевые решения. Это будет, если определитель равен нулю.
Найдемзначение коэффициента а, при котором определитель равен нулю:
/>
/>
/>
/>
/>
Решениесистемы будем искать, исключив из нее первое уравнение. Убедимся, что для новойсистемы уравнений определитель матрицы А не равен нулю:
a21·x1+ a22·x2+ a23·x3 =- a24·x4
a31·x1+ a32·x2+ a33·x3=- a34·x4
a41·x1+ a42·x2+ a43·x3=-a44·x4
/>
/>
Решениесистемы линейных алгебраических уравнений выполним методом последовательногоисключения неизвестных (метод Гаусса). Увеличим для более точных расчётов числознаков после запятой:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Врезультате будем иметь систему, решение которой определит неизвестные дляпроизвольного значения х4 :
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Выводы по работе №2В результате выполнения практического занятия №2 были изученынекоторые возможности математическогопакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры и решения системы линейных алгебраическихуравнений, а также изучены методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В процессе работы я научился:
1. Задавать шаблоныматриц и векторов.
2. Работать смассивами, векторами и матрицами.
3. Решать системылинейных алгебраических уравнений различными методами.
Интереснопризнать, что решение систем уравнений в курсе высшей математики занималобольшое количество времени. Например, решение системы методом последовательногоисключения неизвестных (метод Гаусса) довольно громоздкий для ручного расчёта инамного быстрее производится с помощью MathCad, причём с точностью до 18 знаков после запятой.Наиболее наглядным является метод определителей, а самым простым и быстрым — метод обратной матрицы. Результаты расчётов, полученные разными методами,совпадают.