Федеральноеагентство по образованию РФ
Тульский государственныйуниверситет
Кафедра АОТ и ОСКУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу информатика
«ПРИБЛИЖЕННОЕВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»
Тула, 2007
Содержание
Введение
Метод среднихпрямоугольников Методтрапеций
Метод Ньютона-Котеса МетодЧебышева
Блок-схема основнойпрограммы
Блок-схема процедуры:метод трапеций
Блок-схема процедуры:метод Ньютона-Котеса
Блок-схема процедуры:метод Чебышева
Текст программы
Список используемойлитературы
Введение
На практике редко удается вычислить точно определенныйинтеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа
/>
широко используемая в теории вероятностей для вычислениявероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.
Задача численногоинтегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:
/> (1)
отнепрерывной на отрезке [a, b] функции />.
Численные методы интегрирования применяются в случаях,когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции /> либо если функция /> задана таблично. Формулычисленного интегрирования называются квадратурными формулами.
Пример:Приближенное неравенство
/> (2)
где qj – некоторые числа, xj – некоторыеточки отрезка [a, b], называется квадратурной формулой, определяемой весамиqj и узлами xj.
Говорят, что квадратурная формула точна для многочленовстепени m, если при замене /> напроизвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство(2) становится точным.
Рассмотрим некоторые широко используемые примерыприближенного вычисления определенных интегралов, квадратурные формулы.
Метод средних прямоугольников
Вычислениеопределенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры,ограниченной кривой />, прямыми х=а их=b и осью абсцисс.Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.
Обозначим /> />, где
n – количество шагов.
Формула левыхпрямоугольников:
/>
Формулаправых прямоугольников:
/>
Более точнойявляется формула средних прямоугольников:
/>
/>
Метод трапеций
Площадь подкривой заменяется суммой площадей трапеций:
/>
или />
Нетрудноубедиться, что />
Посколькуточность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительныйпроцесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока небудет выполнено условие
/>
где /> – значения интеграла на /> шаге, а /> – точность вычислений.
/>
Метод Ньютона-Котеса
Заменимподынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:
/> />.
Тогда
/>;
/> (1)
Так как dx=hdq, то
/>
Так как />, то
/>
Окончательнополучаем формулу Ньютона-Котеса:
/>
/> (2)
Величины Hi называют коэффициентамиНьютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).
ФормулаНьютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большейточности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучшеразбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула содним и тем же небольшим числом узлов.Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса H N
1
2
3
4 H0 1/2 1/6 1/8 7/90
H1 1/2 2/3 3/8 16/45
H2 - 1/6 3/8 2/15
H3 - - 1/8 16/45
H4 - - - 7/90
Интересно отметить,что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1
/>;
формулаСимпсона при n=2
/>;
правило трехвосьмых при n=3
/>.
Формулу (2)при n>6не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими ивычислительная погрешность резко возрастает.
/>Метод Чебышева
П.Л. Чебышевпредложил формулу:
/>,
в которойкоэффициенты ci фиксированы, а хi подлежат определению.
Пользуясьалгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования,ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узловквадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.Таблица 2. Значения узлов квадратурной формулы ЧебышеваЧисло интервалов n Номер узла i
Значение узла Xi 1
1
2
0,211325
0,788675 2
1
2
3
0,146447
0,500000
0,853553 3
1
2
3
4
0,102673
0,406204
0,593796
0,897327 4
1
2
3
4
5
0,083751
0,312730
0,500000
0,687270
0,916249 5
1
2
3
4
5
6
0,066877
0,288740
0,366682
0,633318
0,712260
0,933123
Для любыхпределов интегрирования имеем:
/> где />,/>
Значения xi берутся из таблицы привыбранном значении n. Для повышения точности можно не только увеличивать количествоузлов, но и разбивать отрезок [a, b] на подотрезки, к каждому из которых применяется соответствующаяформула. Не рекомендуется применять формулы с большим количеством узлов (n>=8).Доказано, что дляn=8 построить квадратурнуюформулу Чебышева невозможно.
Блок-схемаосновной программы
/>/>/>/>/>/>
Блок-схемапроцедуры: метод трапеций
/>
Блок-схемапроцедуры: метод Ньютона-Котеса
/>
Блок-схемапроцедуры: метод Чебышева
/>Текстпрограммы
program Curs;
uses crt, graph;
var i, n:integer;
t:byte;
a, b, eps, h:real;
x, sum1, sum2, seps, m0, m1, m2, m3, m4:real;
lf:text;
st:string;
function f (x:real):real;
begin
f:=19.44*exp (0.224*x);
end;
procedure gr (xn, xk:real);
var x, y, mx, my, dx, dy,
ymin, ymax, xh:real;
xb, yb, xm, ym, xl, yv, xp, yn, bord1, bord2,bord3, bord4, xt, yt, xt1, yt1, dxp, dyp, nd, nr, i, kx, ky, k:integer;
st:string;
begin
k:=100;
xh:=(xk-xn)/100;
ymax:=f(xn);
dx:=(xk-xn)/100;
for i:=1 to 100 do
begin x:=xn+dx*i;
y:=f(x);
if y>ymax then ymax:=y;
end;
ymin:=0;
ymax:=round(ymax);
nd:=detect;
initgraph (nd, nr, 'c:\tp7\bgi');
bord1:=60; kx:=6;
bord2:=30; ky:=8;
bord3:=30;
bord4:=80;
xb:=0; yb:=0; xm:=getmaxx; ym:=getmaxy;
xl:=xb+bord1;
xp:=xm-bord2;
yv:=yb+bord3;
yn:=ym-bord4;
dxp:=(xp-xl) div kx;
dyp:=(yn-yv) div ky;
dx:=(xk-xn)/kx;
dy:=(ymax-ymin)/ky;
xl:=xp-dxp*kx;
yn:=yv+dyp*ky;
mx:=(xp-xl)/(xk-xn);
my:=(yn-yv)/(ymax-ymin);
setfillstyle (1,15);
bar (xb, yb, xm, ym);
setcolor(0);
setlinestyle (0,0,1);
bar (xl, yv, xp, yn);
rectangle (xl, yv, xp, yn);
settextjustify (0,2);
settextstyle (2,1,4);
setcolor(9);
for i:=0 to kx do begin
xt:=xl+dxp*i;
str (xn+dx*i:6:3, st);
line (xt, yn‑3, xt, yn+3);
outtextxy (xt+4, yn+8, st);
end;
settextstyle (0,0,1);
for i:=0 to ky do begin
yt:=yv+dyp*i;
str (ymax-dy*i:6:3, st);
line (xl‑3, yt, xl+3, yt);
outtextxy (xl‑56, yt‑4, st);
end;
outtextxy (xl+100, bord3 div 2,'y=19.44*exp(0.224*x)');
setcolor(12);
if xn*xk
xt:=xl-trunc (xn*mx);
line (xt, yv, xt, yn);
end;
if ymax*ymin
yt:=yv+trunc (ymax*my);
line (xl, yt, xp, yt);
end;
xh:=(xk-xn)/5;
for i:=0 to 5 do begin
setcolor(3);
x:=xn+xh*i;
y:=f(x);
xt:=xl+trunc((x-xn)*mx);
yt:=yv+trunc((ymax-y)*my);
circle (xt, yt, 3);
if i>0 then
line (xt, yt, xt1, yt1);
setcolor(5);
rectangle (xt1, yt1, xt, yn);
xt1:=xt;
yt1:=yt;
end;
repeat until keypressed;
closegraph;
end;
function pr:real;
var s, x:real;
begin
s:=0;
x:=a;
for i:=1 to n do
begin
s:=s+abs (f(x))*h;
x:=x+h;
end;
pr:=s;
end;
function tr:real;
var s, x:real;
begin
s:=0;
x:=a;
for i:=1 to n do
begin
s:=s+(f(x)+f (x+h))/2*h;
x:=x+h;
end;
tr:=s;
end;
function ch:real;
var s, dp, kf, a1, b1:real;
begin
s:=0;
kf:=sqrt (1/3);
for i:=2 to n+1 do
begin
a1:=a+h*(i‑2);
b1:=a1+h;
s:=s+((b1‑a1)/2)*(f((a1+b1)/2‑kf*((b1‑a1)/2))+f((a1+b1)/2+kf*((b1‑a1)/2)));
end;
ch:=s;
end;
function si:real;
var s, x, f1, f2:real;
begin
s:=0;
x:=a;
i:=1;
f1:=0;
repeat
f1:=f1+f (a+h*i);
i:=i+2;
until i>=n;
i:=2;
f2:=0;
repeat
f2:=f2+f (a+h*i);
i:=i+2;
until i>=n;
s:=h/3*(f(a)+f (b-h)+(4*f1)+(2*f2));
si:=s;
end;
begin
assign (lf, 'otchet.txt');
rewrite(lf);
clrscr;
write ('Введите значение левого предела интегрирования: ');readln(a);
write ('Введите значение правого предела интегрирования: ');readln(b);
write ('Введите значение погрешности: '); readln(eps);
write ('Введите начальное значение количества разбиений: ');readln(n);
writeln;
gr (a, b);
write ('Ждите, идет обработка данных ');
m0:=0;
writeln (lf, ' КУРСОВАЯ РАБОТА');
writeln (lf, ' ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА');
writeln (lf, ' «ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ');
writeln (lf, ' ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» ');
writeln (lf, ' Выполнил: студент гр. ');
writeln (lf, ' Вариант 22 y=19.44*exp (0.224*x)');
writeln (lf, ' Xn=', a:5:3,' Xk=', b:5:3,'Eps=', eps:5:3);
writeln(lf);
writeln (lf, ' РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ');
repeat
h:=abs (b-a)/n;
m1:=pr;
m2:=tr;
m3:=si;
m4:=ch;
seps:=abs (m1‑m0);
writeln (lf, ' │', n:7,' │',m1:11:8,'│', m2:11:8,'│', m3:11:8,'│', m4:11:8,'│', seps:11:8,'│');
m0:=m1;
n:=n+200;
until (seps
clrscr;
reset(lf);
while not eof(lf) do
begin
readln (lf, st);
writeln(st);
end;
{write ('Нажмите для выхода из программы');
repeat until keypressed;}
close(lf);
end.
Список используемой литературы
1. Бахвалов Н.С.«Численные методы». М.: Наука, 1987 – 598 с.
2. Калиткин Н.Н.«Численные методы». М.: Наука, 1988 – 512 с.
3. Крылов В.И. «Вычислительныеметоды». М.: Наука, 1977 – 408 с.
4. Нечаев В.И., Нечаева О.А.,Почуева Л.Н. «Численные методы». Тула, 1999.