Пермскийгосударственный технический университет
Строительныйфакультет
Кафедрастроительной механики и вычислительной техники
Курсоваяработа
по дисциплине
ИНФОРМАТИКА
Тема: Вычисление площадей эпюр сиспользованием численных методов
Работувыполнил:
Работупринял:
г. Пермь,2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
1.2 Уточнение корня
1.2.1 Метод Ньютона
2 Численное интегрирование
2.1 Квадратурные формулыпрямоугольников
Введение
Зачастую решениенекоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейныхуравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например,при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектныепараметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являтьсясоставной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения наустойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точнымиметодами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученныев процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известнылишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнениятеряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождениякорней уравнения и оценки степени их точности.
Нелинейные уравнения бываюталгебраическими и трансцендентными.
Любое нелинейноеуравнение с одним неизвестным можно представить в виде
/>
где функция /> определена и непрерывна внекотором конечном или бесконечном интервале А х
Всякое значение х*,обращающее уравнение /> в тождество,называется корнем этого уравнения, т.е. />.
С геометрической точкизрения задача нахождения корней уравнения /> эквивалентназадаче нахождения нулей функции у=f(х) или абсцисс точек пересечения графика функции с осью X,т.е. значений хi,для которых выполняется условие /> (для i=1, 2,......).
Методы решения нелинейныхуравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).
Прямые методы позволяютзаписать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы.На практике класс таких уравнений весьма невелик.
Итерационные (приближенные) методы – этометоды последовательных приближений.
Алгоритм нахожденияприближенных значений корней уравнения складывается из двух этапов.
Первый этап — отделение или локализация корней.На этом этапе необходимо решить следующие задачи:
· исследовать количество,характер и расположение корней;
· найти ихприближенные значения (нулевые итерации).
Второй этап — уточнение приближенного корня дозаданной степени точности
1. Решение нелинейного уравнения
/>1.1 Отделение(локализация) корней
Отделить (локализовать)корни — это значит выделить из области допустимых значений функции f(x)отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень. Отделить корниможно разными способами: построением таблицы значений функции y=f(x); графическим методом; исходя из физического смыслазадач. Рассмотрим более подробно графический метод. Построим график функции />Х у=е^х+lnx-10*x 1,000000 -7,281718 1,200000 -8,497562 1,400000 -9,608328 1,600000 -10,576964 1,800000 -11,362566 2,000000 -11,917797 2,200000 -12,186529 2,400000 -12,101355 2,600000 -11,580751 2,800000 -10,525734 3,000000 -8,815851 3,200000 -6,304319 3,400000 -2,812125 3,600000 1,879168 3,800000 8,036186 4,000000 15,984444 4,200000 26,121416 4,400000 38,932473 4,600000 55,010372 4,800000 75,079033 5,000000 100,022597
/>
Теорема 1. Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на концах егопротивоположные знаки, т.е. f(a) f(b), то внутри этого отрезкасодержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производнаяf/(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала(a;b), т.е. если f/(x)>0 (илиf/(x)при аb.
Искомый корень уравнениянаходится в интервале (3;4).1.2 Уточнениекорня
Итерационный процесссостоит в последовательном уточнении начального приближения корня х0.В результате этого процесса находится последовательность приближений (итераций)значений корня уравнения f(x)=0:
х1, х2,…, хп
Если этапоследовательность имеет предел
/>,
то говорят, чтоитерационный процесс сходится и сходится к точному решению уравнения х[3;4].
На практике нужноограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций) п.Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.
Для прекращенияитерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от видафункции у=f(х) в окрестности корня.
Существует несколькоитерационных методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления(бисекций), метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), модифицированныйметод Ньютона.
Рассмотрим более подробнометод хорд.1.2.1 МетодНьютона
Геометрически методНьютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой у=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этойкривой.
Пусть функция у=ех+lnх-10х на отрезке [3;5] удовлетворяетусловиям теоремы 1.
Положим дляопределенности /> для /> и f(5)>0. И выберем в качественулевого приближения х0=5, для которого выполняется условие f(x)*f”(x)>0.
Проведем касательную ккривой у=f(x) в точке В0[х0; f(x)]. В качестве первого приближения корня х1возмемабсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку В1[х1;f(x1)] снова проведем касательную, абсцисса точкипересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2и т.д.
Уравнение касательной вточке В1[х1; f(x1)] (п=0,1,2…) к нашей кривой записывается
/>
Пологая у=0, х=хп+1,получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационнуюпоследовательность
/>.
Метод касательных хорошореализуется на ЭВМ
Метод Ньютона
Выбор нулевого приближения: Х0=
5,0000
f(x)=е^х+lnх-10*х
f(X0)*f''(X0)>0
/>
f'(x)=е^x+1/x-10
n
Xn
f(Xn)
f'(Xn)
If(Xn)I 5,00000 100,02260 138,61316 100,02260 1 4,27840 30,79482 62,35902 30,79482 2 3,78457 7,50210 34,28113 7,50210 3 3,56573 0,97941 25,64582 0,97941 4 3,52754 0,02541 24,32372 0,02541 5 3,52650 0,00002 24,28827 0,00002 6 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000 7 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000 8 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000
Вывод: к заданнойточности /> наиболее близка 5-я итерация.
/>, />.
Проверим решение данногоуравнения методом надстройки:Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0 Х0 Xn F(Xn) 3,5265 3,5265 0,00005
2 Численноеинтегрирование
При решении достаточнобольшого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостьювычисления определённого интеграла.
Очень часто применяютформулы для приближённого вычисления интегралов.
Такие формулы называют квадратурнымиформулами или формулами численного интегрирования.
Идея численного методазаключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которойвычисляется достаточно просто.2.1 Квадратурныеформулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [а;b] разбиваем на п равныхотрезков и получаем п+1 равноудаленных точек: х0=а, хп=b, хi+1=xi+h, i=(0,1,2…,
п-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим уi=f(хi).
Площадь каждойэлементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника соснованием h и высотой />, где /> , i=0,1,2,…, п+1.
Существует несколькоформул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».
В нашем случае рассмотримподробнее формулу «средних» прямоугольников, когда />
/>.
Произведём разбивку для n=5 и n=10:
a= 3,0000
Численное интегрирование
b= 3,5265 n= 5
J=/>
h= 0,1053
Номер Значение
f(x) Метод
узла узла ср.прямоуг
1 3,0000 -8,8159 0,0000
2 3,1053 -7,6040 -0,9228
3 3,2106 -6,1456 -1,7179
4 3,3159 -4,4131 -2,3595
5 3,4212 -2,3759 -2,8187
6 3,5265 0,0000 -3,0633
a= 3,0000
b= 3,5265 n= 10
h= 0,0527
Номер Значение
f(x) Метод
узла узла ср.прямоуг
1 3,0000 -8,8159 0,0000
2 3,0527 -8,2391 -0,4628
3 3,1053 -7,6040 -0,8952
4 3,1580 -6,9073 -1,2941
5 3,2106 -6,1456 -1,6564
6 3,2633 -5,3154 -1,9786
7 3,3159 -4,4131 -2,2571
8 3,3686 -3,4346 -2,4880
9 3,4212 -2,3759 -2,6675
10 3,4739 -1,2325 -2,7912
11 3,5265 0,0000 -2,8547
a= 3,5265
Численное интегрирование
b= 4,0000 n= 5
J=/>
h= 0,0947 Номер Значение
f(x) Метод узла узла ср.прямоуг 1 3,5265 0,0000 0,0000 2 3,6212 2,4572 0,0045 3 3,7159 5,2492 0,2417 4 3,8106 8,4093 0,7433 5 3,9053 11,9743 1,5441 6 4,0000 15,9844 2,6825
a= 3,5265
b= 4,0000 n= 10
h= 0,0474 Номер Значение
f(x) Метод узла узла ср.прямоуг 1 3,5265 0,0000 0,0000 2 3,5739 1,1887 0,0011 3 3,6212 2,4572 0,0585 4 3,6686 3,8093 0,1760 5 3,7159 5,2492 0,3575 6 3,7633 6,7810 0,6072 7 3,8106 8,4093 0,9294 8 3,8580 10,1388 1,3287 9 3,9053 11,9743 1,8099 10 3,9527 13,9211 2,3780 11 4,0000 15,9844 3,0382