Определение. Алгебра с умножением называется алгеброй Ли, если это умножение не ассоциативно, антикоммутативно и выполняется тождество .
Примеры:
1) Пусть - ассоциативная алгебра с умножением , тогда введем умножение . Относительно этого нового умножения наша алгебра будет алгеброй Ли.
2) - множество матриц размера над полем со следом ноль. Операция умножения , где - обычное матричное умножение.
3) - множество кососимметричных матриц. Умножение .
4) , операция умножения - векторное произведение .
Определение. Пусть - алгебра. Дифференцированием на называется линейный оператор , такой что .
Упражнение. Если и - дифференцирования в алгебре , то их коммутатор - снова дифференцирование. И все дифференцирования образуют алгебру Ли.
Рассмотрим алгебру Ли , построим в ней базис: , и .
Упражнение. Докажите, что , , .
Теорема. Алгебра Ли проста.
Доказательство.
Пусть - ненулевой идеал, и пусть - ненулевой элемент.
1) Если , тогда . Следовательно, и .
2) Если , то , далее аналогично получаем, что .
3) Если и , то , а, следовательно, и . И опять .
Упражнение. - простая алгебра Ли.